Topo1

CHAPTER 1
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
1. Definición y Ejemplos
Los espacios topológicos son la base, entre otras cosas, de la estructura matemática
que le dará forma a los conjuntos. Como veremos en esta sección, basicamente dos
espacios topologicos son los mismos (homeomorficos), si se puede moldear uno de
ellos en plastilina y transformar este hasta llegar al otro sin romper la plastilina,
sin hacerle agujeros. Por ejemplo, un vaso para tomar agua y una pelota, ser´ıan
los mismos desde el punto de vista de la topolog´ıa, as´ı mismo, una taza con una
aza es equivalente a una dona, etc. Estos espacios han adquirido importancia en
varias ramas de la f´ısica y la ingenier´ıa para poder hacer modelos. Por ejemplo, en
la ingenier´ıa, las imágenes que se obtienen en la computadora son dijitales, estan
hechas por pixeles discontinuos. En este caso, resulta muy inexacto para algunas
aplicaciones tomar el espacio métrico correspondiente. En la actualidad existen
varios modelos topológicos que prometen ser más eficientes. En f´ısica, los campos
estan cuantizados, el campo gravitacional es el espacio tiempo mismo, si éste está
cuantizado, no pude ser metrizable y por tanto no hay una métrica que lo repre-
sente, el campo gravitacional vive entonces en espacios que no pueden ser modelados
por espacios métricos simples. Los espacios topológicos podr´ıan ser más exactos
en modelar espacios cuantizados o los espacios cuánticos mismos. La geometr´ıa
diferencial es una herramienta que se utiliza hoy en d´ıa intensivamente en varias
ramas de la ciencia. El control automático necesita de esta herramienta en gran
medida. En este cap´ıtulo veremos tanto la topolog´ıa como la geometr´ıa diferencial.
Iniciemos con la definición de espacio topológico.
Definición 1. Sea X conjunto y τX ⊂ P (X) subconjunto del conjunto poten-
cia P (X) . Un espacio topológico es el par (X, τX) , tal que: φ y X pertenecen a
τX y τX es cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas.
Vamos a entender esta definición. Explicitamente, un espacio topológico es un
subconjunto del conjunto potencia que cumple con los siguientes axiomas:
i) φ, X ∈ τX es decir, el vacio y todo el conjunto siempre están en la topolog´ıa
τX de X.
ii) Si Uα ∈ τX con α ∈ J (J un conjunto de ´ındices) entonces ∪
α∈J
Uα ∈ τX, es
decir, la union arbitraria de elementos de τX es un elemento de τX.
iii) Ui ∈ τX con i = 1, · · · , n implica que ∩n
i=1Ui ∈ τX , es decir, la intersección
finita de elementos de τX es un elemento de τX.
Notación 1. A los elementos de τX se les llama abiertos, a sus complementos
cerrados y a τX se le llama topolog´ıa sobre X.
3

4 1. ESPACIOS TOPOL ÓGICOS
Comentario 1. Noten que tanto el conjungo vacio φ como todo el conjunto X
son abiertos y cerrados a la vez, ya que φc
= X y Xc
= φ. Esta es una propiedad
de todos los espacios topológicos.
Más adelante veremos algunos ejemplos de espacios topológicos para ser más
explicitos, pero por ahora vamos a definir algunos conceptos que nos van a servir
durante nuestra discusión.
Definición 2. Sea (X, τX ) espacio topológico, U ∈ τX y x ∈ U. Se dice
entonces que U es una vecindad de x, se denota x ∈ Ux. Un entorno de x ∈ X
es un sobconjunto N ⊂ X, tal que x ∈ N y existe Ux ⊂ N, vean la figura 1.
Es decir, una vecindad de algún punto es siempre un abierto que contiene
al punto, mientras el entorno es un conjunto más grande que algún abierto, que
contiene al punto, pero no es un abierto él mismo.
Figure 1. Ux es una vecindad de x, es decir, es un abierto que
contiene a x. Un entorno de x, en cambio, es un sobconjunto de
X tal que x esta en N y N contiene a una vecindad de x.
Definición 3. Sea (X, τX) espacio topológico. Una cubierta de A ⊂ X, es
una familia de abiertos U = {Uα}α∈K tal que ∪
α∈K
Uα = A. Una subcubierta V
de U, es una familia V = {Vβ}β∈J tal que V es cubierta de A y Vα ∈ V implica
Vα ∈ U.
En forma sencilla, una cubierta de A es simplemente un conjunto de abiertos
que cubre todo el conjunto A y una subcubierta de la cubierta es un subconjunto
de la cubierta que también cubre A. Ahora veamos algunos ejemplos de espacios
topológicos.
Exemplo 1. τX = P (X) es siempre una topolog´ıa llamada la topolog´ıa disc-
reta de X en donde cada elemento es un abierto de X.
Exemplo 2. τX = {φ, X} es llamada la topolog´ıa indiscreta de X.
Estos dos ejemplos nos dicen que todo conjunto tiene al menos dos topolog´ıas,
la discreta y la indiscreta. Es decir, se puede hacer de cualquier conjunto un espacio
topológico, incluso de un conjunto de borreguitos del campo.

1. DEFINICI ÓN Y EJEMPLOS 5
Exemplo 3. Si X = {x} , la única topolog´ıa que existe es τX = {{x} , φ}
Exemplo 4. Si X = {a, b} , existen 4 topolog´ıas
a) τ
1
X = P (X) = {φ, {a} , {b} , {a, b}}
b) τ2
X = {{a, b} , φ}
c) τ3
X = {φ, {a} , {a, b}}
d) τ4
X = {φ, {b} , {a, b}}
A las topolog´ıas τ3
X y τ4
X se les llama topolog´ıas de Sierpinski.
Estos son, tal vez, los espacios topológicos más simples que podemos construir.
Ahora veremos otros espacios más interesantes. Vamos a iniciar con los espacios
ℜn
. Estos son espacios topológicos y tienen, claramente, muchas topolog´ıas. Sin
embargo, la topolog´ıa que generalmente usaremos aqu´ı es la siguiente:
Exemplo 5. X = ℜn
, τX = {unión de bolas Br (x0)}, donde Br (x0) =
{x ∈ ℜn
| |x − x0| < r} . Esta es la topolog´ıa canónica de ℜn
.
Observen que la construcción de esta topolog´ıa se basa de hecho en la estructura
métrica de ℜn
. La demostración de que esta última es una topolog´ıa para ℜn
la
incluimos en la construcción de una topolog´ıa para todo espacio métrico en la
siguiente proposición.
Proposición 1. Sea (X, d) espacio métrico y τ = { conjuntos abiertos en (X, d)} .
Entonces (X, τ) es un espacio topológico.
Dem. 1. Se tiene que:
i) X y φ son abiertos en (X, d) , ya que la bola Bǫ (x) = {y ∈ X | d (x, y) |< ǫ}
⊂ X y φ es abierto trivialmente.
ii) Sea {Aα}α∈I una familia arbitraria de conjuntos abiertos en (X, d) . Para
cada α, Aα es unión de bolas, Aα = ∪
β∈K
Bβ (Aα) y la unión de la unión de bolas
es abierto en (X, d) .
iii) Sean Ai, i = 1, · · · , n conjuntos abiertos en (X, d) y V =
n
∩
i=1
Ai. Si x ∈ V
implica que x ∈ Ai para todo i = 1, · · · , n. Entonces existen {ri > 0}i=1,··· ,n tales
que Bri (x) ⊂ Ai. Tomemos r = min {ri}i=1,··· ,n , entonces Br (x) ⊂ Bri (x) para
todo i = 1, · · · , n y por tanto Br(x) ⊂ Ai para todo i = 1, · · · , n. Esto implica que
Br (x) ⊂ V , i.e. V es conjunto abierto en (X, d) .
Ejercicio 1. Demuestren que en todo espacio topológico la intesección arbi-
traria de cerrados es cerrada y la unión finita de cerrados es cerrada.
En los espacios métricos y normados es posible definir algunos conceptos como
continuidad o l´ımite debido a la existencia de la métrica o de la norma. En los
espacios topológicos esto también es posible, debido a la existencia de los abiertos.
Vamos a ejemplificar esto dando el concepto de l´ımite de una suseción. Veamos:
Definición 4. Sea (X, τX) espacio topológico y (xi) una sucesión en X, i ∈
Z+
. Se dice que (xi) tiene el l´ımite x (o converge a x) si para todo vecindad
de x, Ux ∈ τX existe un entero positivo N ∈ Z+
tal que xi ∈ Ux para todo indice
i ≥ N. Se denota como xi ⇀ x o lim xi = x.
Como ya vimos, todo espacio métrico es topológico, usando los abiertos definidos
por su métrica. Sin embargo, lo contrario no siempre se cumple, no todo espacio

topológico es métrico. Es en éste sentido que los espacios topológicos son más gen-
erales que los espacios métricos. A veces es posible definir una métrica en un espacio
topológico, en éste caso se dice que el espacio topológico es metrizable, formalmente
se dice que:
Definición 5. Un espacio topológico (X, τX) cuyos abiertos son los conjuntos
abiertos del espacio métrico (X, d), se dice metrizable. A la topolog´ıa τX sobre X
se le llama topolog´ıa inducida por la distancia d.
Veamos la siguiente interesante proposición:
Proposición 2. En todo espacio topológico (X, τX) metrizable, para cualquier
par de puntos, siempre existen dos vecindades disjuntas.
Dem. 2. (X, τX) es metrizable, implica que existe una distancia d que induce
τX. Sean x, y ∈ X con x = y, entonces d (x, y) = 2ǫ para algún ǫ > 0. Tomemos las
bolas Bǫ (x) = {z ∈ X | d (x, z) < ǫ} y Bǫ (y) = {w ∈ X | d (w, y) < ǫ} , los cuales
son abiertos de τX. Supongamos z ∈ Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) , se sigue que d (x, y) ≤
d (x, z) + d (z, y) < ǫ + ǫ = 2ǫ, pero d (x, y) = 2ǫ, lo cual es una contradicción. Por
tanto z /∈ Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) se sigue entonces que Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) = φ.
De esta proposición se desprende que si queremos construir un espacio topológico
metrizable, le tenemos que pedir primero que existan dos vecindades disjuntas
para cada punto. Mas adelante veremos que a estos espacios se les llama espa-
cios topológicos tipo T2 o Hausdorff.
En ocaciones los conjuntos son productos cartesianos de espacios topológicos o
se pueden descomponer en productos cartesianos de estos. En ese caso, si cada com-
ponente es un espacio topológico, el espacio total también lo será. Este resultado
se sigue de la proposición:
Proposición 3. El producto cartesiano de espacios topológicos es un espacio
topológico.
Dem. 3. Sean (X, τX) y (Y, τY ) espacios y (X × Y, τX×Y ) con τX×Y =
{uniones de elementos U × V ∈ τX × τY }. Entonces
i) φ ∈ τX×Y ya que φ = φ × φ, y X × Y ∈ τX×Y ya que X × Y ∈ τX × τY .
ii) Sean W = ∪
α∈j
Uα × Vα y W′
= ∪
β∈k
U
′
β × V
′
β, Uα,U
′
β ∈ τX, Vα,V
′
β ∈ τY ,
para toda α ∈ J, β ∈ K. Entonces W ∩ W′
= ∪
α∈J
Uα × Vα ∩ ∪
β∈k
U
′
β × V
′
β =
∪
(α,β)∈J×K
Uα ∩ U
′
β × Vα ∩ V
′
β ∈ τX×Y .
iii) Sea Wα = ∪
γ∈M
(Uαγ × Vαγ) ∈ τX×Y . Entonces ∪
α∈L
Wα = ∪
(α,γ)∈L×M
Uαγ
×Vαγ
∈ τX×Y .
Al par (X × Y, τX×Y ) se le llama producto topológico de los espacios (X, τX)
y (Y, τY ).
As´ı mismo, se puede construir un espacio topológico de un subconjunto de un
espacio topológico utilizando la topolog´ıa del espacio original. Esto se ve en la
siguiente proposición:
Proposición 4. Sea (X, τX) espacio topológico y A ⊂ X. Sea τA = {A ∩ U, U ∈ τX}.
Entonces el par (A, τA) es un espacio llamado subespacio topológico de X.

2. CERRADURA, INTERIOR Y FRONTERA 7
Dem. 4. i) φ ∈ τA ya que φ ∩ A = φ y A ∈ τA ya que A ∩ X = A.
ii) Sean Uα ∈ τX y A∩Uα ∈ τA, α ∈ J. Entonces ∪
α∈J
A∩Uα = A∩ ∪
α∈J
Uα ∈ τA.
iii) Sean Ui ∈ τX, i = 1, · · · , n y A ∩ Ui ∈ τA. Entonces
n
∩
i=1
A ∩ Ui =
A ∩
n
∩
i=1
Ui ∈ τA. Se sigue que (A, τA) es espacio topológico.
Notación 2. A τA se le llama la topolog´ıa relativa o inducida por τX
sobre X.
Con esta proposición es entonces fácil ver que muchos espacios son topológicos
porque heredan la topolgia de algún espacio mayor. Veamos un ejemplo importante
que usaremos a lo largo de este cap´ıtulo.
Exemplo 6. Sea n ∈ Z. La n-esfera Sn
se define como un subespacio de ℜn+1
como
Sn
= x ∈ ℜn+1
|
n+1
i=1
xi 2
= 1
As´ı,
S0
= x ∈ ℜ | x2
= 1 = {1, −1} ,
S1
= (x, y) ∈ ℜ2
| x2
+ y2
= 1 ,
S2
= (x, y, z) ∈ ℜ3
| x2
+ y2
+ z2
= 1 etc.
La topolog´ıa de Sn
será τSn = {Sn
∩ U | U ∈ τℜn+1 } .
De la misma forma se pueden conocer los cerrados de un subespacio topológico,
conociendo los cerrados del espacio original, usando la proposición siguiente:
Proposición 5. Sea (A, τA) subespacio topológico de (X, τX) . V ⊂ A es cer-
rado en A s´ı y sólo s´ı V = A ∩ R con R cerrado en X.
Dem. 5. =⇒) V cerrado en A implica que existe W ∈ τA tal que V = A W,
con W = A ∩ U, lo que implica que V = A A ∩ U = A ∩ Uc
con Uc
cerrado en X.
⇐=) Sea R cerrado en X. Consideremos B = A ∩ R esto implica que Bc
=
A B = A A ∩ R = A ∩ Rc
, y como Rc
es abierto en X, Bc
es abierto en A, es
decir B es cerrado en A.
2. Cerradura, Interior y Frontera
En esta sección veremos tres conceptos para distinguir regiones de nuestro
espacio topológico. Si nuestro conjunto tiene una topolog´ıa, podemos distinguir la
región en donde termina el espacio, donde es adentro y afuera. Vamos a definir
estos conceptos. Iniciemos por definir un punto de adherencia.
Definición 6. Sea (X, τX) espacio topológico, A ⊂ X y p ∈ X. Un punto de
adherencia p de A es aquel que toda vecindad de p no es disjunta con A, es decir
p es punto de adherencia si para toda Up ∈ τX se cumple Up ∩A = φ, vean la figura
2.
Al conjunto de todos los puntos de adherencia se le llama la clausura, que nos
servir’a para definir el interior del espacio.
Definición 7. Al conjunto de puntos de adherencia se le llama clausura y
se denota por A, vean la figura 3

Figure 2. Los puntos de adherencia del conjunto A. En la figura
se muestran puntos de adherencia y puntos que no son de adheren-
cia del conjunto A.
Figure 3. Los puntos de adherencia forman la clausura del con-
junto A. Hay que comparar esta figura con la figura ??, en donde
se muestran los puntos de adherencia del conjunto A.
Comentario 2. Noten que si p ∈ A, implica que Up ∩A = φ, por tanto A ⊂ A
Veamos una serie de proposiciones referentes a la cerradura de un conjunto,
con el objetivo de concluir que la clausura es un conjunto cerrado. Veamos esto.
Proposición 6. A es cerrado ssi A = A.
Dem. 6. =⇒) Sea p ∈ A, i.e. para todo Up ∈ τX se cumple Up ∩ A = φ.
Supongamos que p /∈ A, entonces p ∈ Ac
= X A ∈ τX , ya que A es cerrado.
Entonces existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ X A o sea Vp ∩ A = φ, lo cual contradice el
hecho que p ∈ A, entonces p ∈ A, i.e. A ⊂ A.
⇐=) Sea q ∈ Ac
y por tanto q /∈ A, entonces existe Vq ∈ τX con Vq ∩ A = φ
i.e. Vq ⊂ Ac
para toda q. Entonces Ac
es abierto.

2. CERRADURA, INTERIOR Y FRONTERA 9
Corolario 1. A cerrado implica que A es cerrado.
Proposición 7. A es la intersección de todos los cerrados en X que contienen
a A.
Dem. 7. Sea R = {Rα | A ⊂ Rα, Rα cerrado}α∈J . Sea x ∈ ∩
α∈j
Rα. De-
mostremos que x es punto de adherencia de A, o sea que x ∈ A. Sea M ∈ τX con
x ∈ M. Supongamos M ∩ A = φ esto implica que A ⊂ Mc
que es un cerrado
que contiene a A, entonces x ∈ Mc
ya que Mc
= Rα para algún α, lo que es una
contradicción. Por lo tanto M ∩ A = φ. Sea q ∈ A y sea Rα para algún α ∈ J.
A ⊂ Rα implica que A ⊂ Rα = Rα se sigue entonces que q ∈ Rα para todo α ∈ J
es decir q ∈ ∩
α∈J
Rα.
Corolario 2. A es cerrado.
Exemplo 7. Los ejemplos más representativos y simples son en la recta real con
la topolog´ıa canónica. Es claro que [a, b] es cerrado. La cerradura de (a, b) = [a, b],
etc.
Exemplo 8. La cerradura del conjunto de los racionales o del conjunto de los
irracionales son los reales, ya que junto a un racional siempre hay un irracional y
junto a un irracional hay un racional.
Exemplo 9. Un ejemplo más interesante es el conjunto ℜZ. Observemos que
ℜZ = ℜ.
Ejercicio 2. Demuestren que
a) A ∪ B ⊃ A ∪ B
b) A ∩ B ⊂ A ∩ B
De una manera análoga se puede hacer lo mismo para puntos interiores de un
conjunto. Estos se definen como:
Definición 8. Sea (X, τX) espacio topológico y p ∈ X. p es punto interior
de A ⊂ X si existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, vean la figura 4.
Definición 9. Al conjunto de puntos interiores de A ⊂ X se le llama interior
y se denota por ˚A. Note que p ∈˚A implica que existe Vp ∈ τX con p ∈ Vp ⊂ A, es
decir ˚A⊂ A, vean la figura 5
Proposición 8. A es abierto ss´ı A =˚A.
Dem. 8. =⇒) Sea p ∈ A, implica que existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, es decir
p ∈˚A se sigue entonces que A ⊂˚A.
⇐=) Sea p ∈ A, como A =˚A, entonces existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, esto es, A
es abierto.
Proposición 9. ˚A es la unión de todos los abiertos de X contenidos en A .
Dem. 9. Sea U = {Uα | Uα ⊂ A. Uα abierto}α∈J . Sea q ∈ ∪
α∈J
Uα entonces
q ∈ Uβ para algún β ∈ J tal que Uβ ⊂ A, por tanto q ∈˚A, sea x ∈˚A. Esto implica
que existe Vx ∈ τX con x ∈ Vx ⊂ A, o sea x ∈ ∪
x∈J
Uα, por lo tanto ˚A= ∪
α∈J
Uα.

Figure 4. La figura muestra los puntos interiores de A y algunos
que no son puntos interiores de A. Compare esta figura con las
figuras ?? y ?? anteriores sobre puntos de adherencia.
Figure 5. El interior de A. Compare esta figura con la figura 3
que muestra la cerradura de A.
Corolario 3. ˚A es abierto.
Exemplo 10. Los ejemplos más representativos y simples de nuevo son en la
recta real con la topolog´ıa canónica. Es claro que (a, b) es abierto. El interior de
[a, b]
o
= (a, b), etc.
Exemplo 11. El interior del conjunto de los racionales o del conjunto de los
irracionales es vacio, ya que no hay abiertos que contengan racionales o irracionales
solamente.
Exemplo 12. Un ejemplo más interesante es de nuevo el conjunto ℜZ. Ob-
servemos que (ℜZ)o
= ℜZ

3. FUNCIONES CONTINUAS 11
Entonces, el interior es abierto y la cerradura es un cerrado. Para dar un
criterio de donde termina el espacio topológico, se define la frontera del conjunto.
La idea intiutiva es simple y su definición formal es como sigue:
Definición 10. La frontera (topológica) de A es la intersección de las cer-
raduras de A y su complemento, se denota ∂A, i.e.
∂A = A ∩ Ac
La frontera de A tiene las siguientes propiedades:
i) ∂A es cerrado, ya que es intersección de cerrados.
ii) ∂Ac
= Ac ∩ (Ac)c
= Ac ∩ A = ∂A
iii) A = A∪∂A ya que si p ∈ A y p /∈ A se sigue que p ∈ Ac
∩A ⊂ Ac ∩A = ∂A,
lo que implica que A ⊂ A∪∂A, de la misma forma, si p ∈ A esto implica que p ∈ A
ó y si p ∈ ∂A implica que p ∈ A ya que ∂A = A ∩ Ac.
iv) ∂A = φ ss´ı A es cerrado y abierto a la vez. Esto es debido a que si ∂A = φ
se sigue que A = A ya que A = A ∪ ∂A, es decir A es cerrado. Por otro lado como
A = A, si A ∩ Ac = φ esto implica que Ac ⊂ Ac
, pero como Ac
⊂ Ac, se sigue que
Ac = Ac
, entonces Ac
es cerrado, por lo que A es abierto. Al contrario, si A es
cerrado, se sigue que A = A, A abierto implica que Ac
es cerrado y por lo tanto
Ac = Ac
. Entonces A ∩ Ac = A ∩ Ac
= φ.
v) ∂X = ∂φ = φ ya que X y φ son abiertos y cerrados.
vi) A es cerrado ss´ı ∂A ⊂ A, ya que A cerrado implica que A = A = A ∪ ∂A y
por lo tanto ∂A ⊂ A. A la inversa ∂A ⊂ A implica que A ∪ ∂A = A = A de donde
se sigue que A es cerrado.
Exemplo 13. Tomemos de nuevo un ejemplo sobre la recta real con la topolog´ıa
canónica. La frontera de ∂(a, b) = (a, b) (a, b)c = [a, b] (−∞, a]∪[b, ∞) = {a, b},
etc.
Exemplo 14. Regresemos al conjunto ℜZ. Observemos que
∂(ℜZ) = (ℜZ) (ℜZ)c = ℜ Z = Z.
Es decir, el conjunto ℜZ es un conjunto abierto, cuya cerradura es ℜ y su
frontera es Z. Esto también quiere decir que Z es un conjunto cerrado, pues es la
frontera de ℜZ.
Ejercicio 3. Demuestre que la frontera del conjunto de los racionales o del
conjunto de los irracionales son los reales.
Para terminar esta sección, vamos a definir un conjunto denso. Un conjunto es
denso si su cerradura es todo el espacio, esto es:
Definición 11. A es denso en X si A = X.
Exemplo 15. Cláramente ℜZ es denso en los reales, pues su cerradura son
los reales.
Comentario 3. Note que si A es un espacio métrico, A es denso si para todo
x ∈ X y para todo ǫ > 0 existe p ∈ A tal que p ∈ Bǫ(x).
3. Funciones Continuas
En esta sección vamos a introducir conceptos t´ıpicos de espacios normados
o métricos relacionados con funciones, pero usando sólo la topolog´ıa del espacio.

Vamos a iniciar con el concepto de continuidad de funciones en espacios topológicos.
Básicamente la idea es la misma que en espacios métricos, pero como aqu´ı no
tenemos una distancia, tenemos que usar sólo la existencia de los abiertos. La
idea es entonces, que si podemos mapear un abierto, tan arbitrario (“pequeño”)
como sea, y éste es también abierto en el dominio, entonces la función es continua.
Formalmente se tiene:
Definición 12. Sean (X, τX) y (Y, τy) espacios topológicos. Se dice que el
mapeo f : X → Y x → f(x) es una función continua, si f−1
(V ) ∈ τX para todo
V ∈ τY , i.e. preimágenes de abiertos son abiertas.
Notación 3. Al conjunto de funciones continuas se denota por Map(X, Y ) =
C0
(X, Y ).
Dado que en un espacio métrico la topolog´ıa se construye con los abiertos del
espacio, podemos demostrar una serie de proposiciones en espacios topológicos que
después se pueden extender a espacios métricos o normados. Veamos la siguiente
proposición.
Proposición 10. Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios topológicos f : X → Y,
función. Son equivalentes
1) f es continua.
2) Para todo x ∈ X y Wf(x) ∈ τY existe Vx ∈ τX tal que f(Vx) ⊂ Wf(x)
3) f(A) ⊂ f(A) para todo A ⊂ X
4) f−1(B) ⊂ f−1
(B) para todo B ⊂ Y
5) Si A es cerrado en Y implica que f−1
(a) es cerrado en X.
Dem. 10. 1) =⇒ 2) Sean x ∈ X y Wf(x) ⊂ τY ; como f es continua x ∈
f−1
(Wf(x)) ∈ τx y entonces existe Vx ∈ τX tal que Vx ⊂ f−1
(Wf(x)), se sigue
entonces que f(Vx) ⊂ Wf(x) .
2) =⇒ 3) Sea b ∈ A, entonces para todo Ub ∈ τX se sigue que Ub ∩ A = φ,
entonces φ = f(Ub ∩ A) ⊂ f(Ub) ∩f(A). Sea Wf(b) ∈ τY arbitrario, por 2) existe
Vb ∈ τX con f(Vb) ⊂ Wf(b), por lo que f(Vb) ∩ f(A) ⊂ Wf(b) ∩f(A) es decir
f(b) ∈ f(A).
3) =⇒ 4) Sea a = f−1
(B) con B ⊂ Y ; por 3 f(A) ⊂ f(A) = f (f−1(B)) ⊂ B,
ya que f f−1
(B) ⊂ B. Por lo tanto, también f−1
f(A) ⊂ f−1
(B) y como
A ⊂ f−1
f(A) tenemos A ⊂ f−1
(B); o sea f−1(B) ⊂ f−1
(B).
4) =⇒ 5) Sea B cerrado en Y , por 4) f−1(B) ⊂ f−1
(B) = f−1
(B) ⊂ f−1(B)
por lo que f−1(B) = f−1
(B), entonces f−1
(B) es cerrado en X.
5) =⇒ 1) Sea B ∈ τY , entonces Bc
es cerrado en Y , como f−1
(Bc
) =
(f−1
(B))c
, por 5) se tiene que f−1
(B)
c
es cerrado en X, o sea f−1
(B) ∈ τX.
Proposición 11. La composición de funciones continuas es continua.
Dem. 11. Sean (X, τX) , (Y, τY ) y (Z, τz) espacios y f : X → Y, g : Y → Z
funciones continuas. Se tiene que si U′′
∈ τz entonces g−1
(U′′
) ∈ τY y por lo tanto
f−1
(g−1
(U′′
)) = f ◦ g (U′′
) ∈ τZ .
Las funciones en espacios que son productos cartesianos también tienen un cri-
terio de continuidad. Estas funciones son interesantes y serán usadas más adelante,
por ahora veamos este criterio de continuidad usando la siguiente proposición:

3. FUNCIONES CONTINUAS 13
Proposición 12. Sean (X, τX) , (Y, τY ) y (Z, τZ ) espacios y f : X × Y → Z
función. f es continua ss´ı para todo Wf(x,y) ∈ τz existe Ux ∈ τX y Vy ∈ τY tales
que f(Ux × Uy) ⊂ Wf(x,y).
Dem. 12. ⇐=) Sea Wf(x,y) ∈ τZ esto implica que existe Ux ∈ τX, Vy ∈ τY con
f(Ux×Vy) ⊂ Wf(x,y) con Ux×Vy ∈ τX × Y , esto implica que para todo (x, y) ∈ X×
Y existe Ux×Vy ∈ τX × Y tal que Ux×Vy ⊂ f−1
(Wf(x,y)) por lo que f−1
(Wf(x,y)) ∈
τX×Y .
=⇒) Sea Wf(x,y) ∈ τZ , entonces f−1
(Wf(x,y)) ∈ τX×Y esto implica que para
todo (x, y) ∈ f(Wf(x,y)) existe Ux × Vy ∈ τX×Y tal que Ux × Vy ⊂ f−1
(Wf(x,y)),
por tanto f(Ux × Vy) ⊂ Wf(x,y).
Mas adelante, en la construcción de los haces, vamos a necesitar el uso de la
proyección, que es una función que mapea solo una parte de un producto cartesiano
de espacios topológicos. Vamos a introducir ahora este concepto.
Definición 13. Sea (X × Y, τX×Y ) espacio producto de los espacios (X, τX) y
(Y, τY ). A las funciones Πx : X ×Y → X, (x, y) → x y Πy : X ×Y → Y, (x, y) → y
se les llama las proyecciones de X × Y , ver figura 6.
Figure 6. La proyección del producto cartesiano de X y Y . El
mapeo va de X × Y a X, y mapea el punto (x, y) en x.
Proposición 13. Πx y Πy son continuas.
Ejercicio 4. Demostrar la proposición.
Definición 14. Sea (A, τA) subespacio topológico de (X, τX ). La inclusión
de A en X es la función identidad restringida a A , i.e.
i : A → X
x → i(x) ≡ id |X |A
También se denota como i : A ֒→ X.

Proposición 14. Sea f continua, f = X → Y y (A, τA) subespacio topológico
de (X, τX). Entonces la restricción de f a A es continua.
Ejercicio 5. Demostrar la proposición
Ejercicio 6. Demostar que i es continua.
El concepto más importante en espacios topológicos es tal vez éste que nos
da el concepto de isomorfismo entre ellos. Los isomorfismos aqu´ı son llamados
homeomorfismos. Ahora vamos a introducirlos, para esto necesitamos primero el
concepto de función abierta. Iniciemos con éste.
Definición 15. Sea f : X → Y función. f se llama abierta si imagenes de
abiertos son abiertas, i.e. si para todo U ∈ τX se tiene que f(U) ∈ τY .
Definición 16. Un homeomorfismo es una función continua, biyectiva y
abierta.
Esta difinición nos garantiza entonces que la inversa es una función continua y
abierta. Es decir:
Proposición 15. Sea f homeomorfismo, entonces f−1
es continua.
Dem. 13. Por ser biyectiva existe f−1
con f−1
◦ f = Id |X. Por ser abierta
se sigue que f(U) = V ∈ τY para todo U ∈ τx ya que la inversa de f−1
es f. De
donde que f−1
es continua.
Definición 17. Dos espacios topológicos se dicen homeomorfos si entre
ellos existe un homeomorfismo. A las propiedades invariantes bajo homeomorfismos
se les llama propiedad topológica.
Es decir, los homeomorfismos me dan un criterio para decir cuando dos espacios
topológicos son el mismo, desde el punto de vista de espacio topológico. Es más,
los homeomorfismos separan el conjunto de los espacios topológicos en clases de
equivalencia. Vamos a ver esto, primero veamos que la relación: dos espacios estan
relacionados entre si, si son homeomofos, es una relación de equivalencia.
Proposición 16. Sean (X, τX ), (Y, τY ), (Z, τz) espacios. La relación X
hom
∼ Y
“dos espacios son homeomorfos”, es una relación de equivalencia.
Entonces los espacios homeomórficos forman clases de equivalencia en las cuales
se conservan sus propiedades topológicas. Estas clases sirven para clasificar a los
espacios topológicos. Otra propiedad interesante y muy importante es el hecho que
los homeomorfismos con la operación de composición de funciones forma un grupo,
llamado el grupo de automorfismos. Veamos esto.
Proposición 17. Sea (X, τX) espacio topológico y
Aut (X) = {f | f : X − X homeomorfismo}. Entonces el par (Aut(X), ◦) es
un grupo llamado el grupo de automorfismos de X.
Para terminar esta sección veamos ahora el concepto de camino y trayectoria.
Estos conceptos son muy usados para definir geodésicas y conceptos relacionados
con estas. Formalmente, la definición de camino o trayectoria es:

4. TOPOLOGÍA COCIENTE 15
Definición 18. Sea (X, τX) espacio topológico e I ⊂ ℜ. A una función c :
I → X se le llama un camino o trayectoria en X.
Entonces, una curva es la imagen de una trayectoria, esto es:
Definición 19. Sea c ∈ C0
(I, X). A la imagen de c se le llama la curva de
c.
Estos dos conceptos deben quedar claros, un camino es la función misma mien-
tras que la curva es la imagen de la función. Son conceptos muy distintos, el primero
es un elemento del conjunto de funciones y el segundo es un subconjunto del codo-
minio de la función. Por otro lado, una reparametrización es una composición de
la curva con un automorfismo monotono creciente del dominio I de ℜ de la curva,
es decir:
Definición 20. Sea ϕ ∈ Aut+(I) = {f ∈ Aut(I) | f(t′
) > f(t), t′
> t} y c ∈
C0
(I, X). A la función ϕ∗
: C0
(I, X) → C0
(I, X), c → ϕ∗
(c) = c ◦ ϕ se le llama
una reparametrización de c.
Lo interesante de este concepto es que las curvas (no los caminos) son invari-
antes ante estos automorfismos, es decir:
Proposición 18. Las curvas son invariantes bajo reparametrizaciones.
Dem. 14. Sea c ∈ C0
(I, X) trayectoria y Γc = c(I) la curva correspondiente.
Entonces Γϕ∗(c) = ϕ∗
(c)(I) = c ◦ ϕ(I) = c(ϕ(I)) = c(I) = Γc.
Exemplo 16. Al camino c(t) = p para todo t ∈ I se le llama camino con-
stante.
Exemplo 17. Sea c : [0, 1] → X con c(0) = c(1) = p. A este camino se le
llama lazo o loop en X.
4. Topolog´ıa cociente
Imaginemos que podemos construir una función entre dos conjuntos y que el
dominio tiene una topolog´ıa. Entonces podemos mapear los abiertos del dominio
al codominio y definir estos como abiertos del codominio. Surge la pregunta si
ahora las imagenes de estos abiertos forman una topolog´ıa para el codominio. La
respuesta la podemos dar en la siguiente proposición.
Proposición 19. Sean (X, τX) espacios Y conjunto y f : X → Y función so-
bre. El conjunto τf = V ∈ P(Y ) | f−1
(V ) ∈ τX es una topolog´ıa para Y , llamada
topolog´ıa cociente de Y respecto a f.
Dem. 15. i) φ ∈ τf ya que f−1
(φ) = φ ∈ τX y Y esta en τf ya que f es sobre
y por lo tanto f−1
(Y ) = X ;
ii) Sean V1, · · · , Vn ∈ τf , entonces f−1
(∪n
i=1Vi) = ∪n
i=1f−1
(Vi) ∈ τX se sigue
que ∩n
i=1Vi ∈ τf ya que cada f−1
(Vi) ∈ τX;
iii) Sea {Vα}α∈K con Vα ∈ τf . Entonces f−1
( ∪
α∈K
Vα) = ∪
α∈K
f−1
(Vα) ∈ τX
pues cada f−1
(Vα) ∈ τX, se sigue entonces que ∪
α∈K
Vα ∈ τf .
Vamos a estudiar unos ejemplos de como podemos construir espacios topológicos
usando mapeos sobre. Para hacer esto, lo importante es construir la función sobre
con la cual construimos el espacio topológico del codominio. Sea (X, τX) espacio

topológico y ∼ una relación de equivalencia en X. La función p = X → X/ ∼ es
una función sobre que asocia a cada elemento de X, x → [x] su clase. La topolog´ıa
τX/∼ = {V ∈ P(X/ ∼) | p−1
(V ) ∈ τX} es una topolog´ıa para el conjunto de clases
de equivancia X/ ∼.
Sea I × I = (x, y) ∈ ℜ2
| 0 ≤ x ≤ 1, 0 < y < 1 subespacio topológico de ℜ2
.
Entonces:
Exemplo 18. Sea la relación de equivalencia pr1
q si p = q ∈ ℜ2
i.e. (x, y) =
(x′
, y′
) , ó si p = q (p, q) = ((0, y), (1, y)) ó ((1, y), (0, y)) y la relación pr2 q como
p = q ó si p = q, (p, q) = ((0, y), (1, 1 − y)) ó ((1, y), (0, 1 − y)) . Gráficamente se
ve en las figura 7 y figura 8.
Figure 7. El producto cartesiano de los intervalos [1, 1] × [1, 1]
con la relación r1, es topologicamente igual al cilindro.
Figure 8. De la misma forma, el producto cartesiano de los in-
tervalos [1, 1] × [1, 1] con la relación r2, es topologicamente igual a
la cinta de Möbius
Cilindro= I × I/r1, τI×I/r1
Cinta de Möbius= I × I/r2, τI×I/r2

5. ESPACIOS COMPACTOS 17
Exemplo 19. Sea I
2
= (x, y) ∈ ℜ2
| 0 ≤ x, y ≤ 1 . Sea la relación pr3q si
p = q, ó p = q, (p, q) = ((0, y), (1, y)) ó ((1, y), (0, y)) y (p, q) = ((x, 0), (x, 1)) ó
((x, 1), (x, 0)). Y la relación pr4q si p = q ó (p, q) = ((0, y), (1, y)) ó ((1, y), (0, y))
y (p, q) = ((x, 0), (1 − x, 1)) ó ((1 − x, 1), (x, 0)). Gráficamente se ve en las figura
9 y figura 10
Figure 9. El producto cartesiano de los intervalos [1, 1] × [1, 1]
con la relación r3, es topologicamente igual al Toro.
Figure 10. De la misma forma, el producto cartesiano de los in-
tervalos [1, 1] × [1, 1] con la relación r4, es topologicamente igual a
la Botella de Klein.
Toro= I
2
/r3, τI
2
/r3
Botella de Klein= I
2
/r4, τI
2
/r4
5. Espacios Compactos
Entre las nociones intuitivas que tenemos de conjuntos, existen dos clases que
se diferencian notablemente. Existen espacios como ℜ que no tienen fin y otros
como la esfera que son finitos. Por supuesto, desde el punto de vista matemático
podemos dar una diferenciacion de estos espacios, ya que no es lo mismo que un

conjunto no tenga fin o principio o que este conjunto sea simplemeten muy grande.
Para dar una noción concreta de estos conceptos, diremos que los conjuntos como
la esfera, son compactos. Basicamente la diferencia es que a la esfera la podemos
cubrir con un número finito de abiertos. La definición formal es:
Definición 21. Sean (X, τX ) espacio topológico y A ⊂ X. A es un conjunto
compacto si toda cubierta U de A contiene una subcubierta finita.
Proposición 20. Sean (X, τX), (Y, τY ) espacios y f : X → Y función con-
tinua. Entonces la imagen de subconjuntos compactos de X son subconjuntos com-
pactos de Y .
Dem. 16. Sea A subconjunto compacto de X y sea V = {Vα}α∈K una cu-
bierta de f(A), entonces V−1
= f−1
(Vα) α∈K
es una cubierta de A. Como A
es compacto, existe una cubierta finita de A, U = f−1
(Vj)
N
J=1
, subcubierta de
V−1
. Como f f−1
(Vj) ⊂ Vj tenemos que f(A) ⊂ f ∪N
j=1f−1
(Vj) ⊂ ∪N
j=1
f f−1
(Vj) ⊂ ∪N
j=1Vj, por lo que {Vj}N
J=1 es una cubierta finita de f(A).
El punto más importante de los espacio compacto es el hecho que:
Proposición 21. Ser espacio compacto es una propiedad topológica.
Dem. 17. Sólo daremos una idea de la demostración. Se desprende del hecho
que si X es compacto, f(X) lo es y si f es homeomorfismo, f−1
(X) también es
compacto.
En lo que sigue hablaremos de algunas propiedades de los espacios compactos
y de como se puede saber si un espacio es o no compacto. Por lo general no es fácil
demostrar que un espacio es o no compacto. Pero usando las dos siguientes proposi-
ciones, de la segunda no daremos su demostración, se puede verificar la propiedad
de compacto en muchas ocaciones. Comencemos por la siguiente proposición.
Proposición 22. Si (X, τX) es compacto y Y tiene la topolog´ıa cociente τf
con respecto a f : X → Y , sobre, entonces se sigue que (Y, τf ) es compacto.
Dem. 18. Como τY = τf , f es continua y como f es sobre f(X) = Y . Entonces
Y es imagen continua de un compacto por lo tanto es compacto.
Proposición 23. [0, 1] ∈ ℜ es compacto.
Otra propiedad que ayuda a verificar si un espacio es o no compoacto es la
siquiente:
Proposición 24. Todo subconjunto cerrado de un espacio compacto, es com-
pacto.
Dem. 19. Sea A subconjunto cerrado de X y sea U = {Uα}α∈J una cubierta
de A. A cerrado implica que Ac
∈ τX y Uext = {Uα, Ac
}α∈J es una cubierta de X,
ya que A ⊂ ∪
α∈J
Uα. Si X es compacto, entonces existe una subcubierta finita V de
Uext. Vext = {Vi, Ac
}
n
i=1 que cubre X. Por tanto V = {Vi}
N
i=1 es cubierta finita
de A, ya que para todo Vj ∈ Vext existe Ur ∈ Uext tal que Vj = Ur, es decir, A es
compacto.
También es fácil imaginarse que el producto cartesiano de espacios compactos,
es compacto. Formalmente se tiene la siguiente proposición:

5. ESPACIOS COMPACTOS 19
Proposición 25. El producto topológico (X × Y, τx×y) es compacto s´ı cada
(X, τX) y (Y, τy) es compacto.
Dem. 20. Solo demostraremos una dirección. =⇒) Como X × Y es compacto,
entonces Π1 : X × Y = X y Π2 : X × Y → Y son compactos, ya que Π1 y Π2 son
continuas.
De estas propiedades resultan algunos ejemplos y resultados sencillos. Por
ejemplo tenemos que el n-cubo es compacto, i.e. I
N
⊂ ℜn
es compacto.
Otro concepto relacionado con espacios compactos, es el concepto de conjunto
acotado, concepto que se puede dar en un espacio normado. Entonces podemos
definir conjuntos acotados en los reales, utilizando su norma canónica. Intuiti-
vamente, un espacio compacto debe ser acotado, finito. Formalmente se tiene la
definición:
Definición 22. Sea A subconjunto de (ℜn
, τℜn ) y n ∈ Z+
. Se dice que A es
un conjunto acotado si para todo x = (x1
, · · · , xn
) ∈ A, existe K ∈ ℜ+
, tal que
xi
≤ K para todo i = 1, · · · , xm.
Con el siguiente teorema podemos relacionar entonces ambos conceptos.
Teorema 21 (de Heine-Borel). Todo subconjunto de ℜn
cerrado y acotado, es
compacto.
Dem. 22. A acotado ⇒ A ⊂ [−K, K]
n hom
≅ I
n
para algún K. A cerrado y
[−K, K]n
compacto implica A compacto.
Ahora usemos lo anterior para verificar si algunos espacios son compactos,
veamos algunos ejemplos.
Exemplo 20. I
n
⊂ ℜn
es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto.
Exemplo 21. Sn
⊂ Rn+1
es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto, etc.
Otro concepto interesante, que sólo mencionaremos, es el de espacios paracom-
pactos. Para definirlo, es necesario introducir la siguiente definición.
Definición 23. Una familia F de subconjuntos de (X, τX) es localmente
finita o finita por vecindades, si para todo x ∈ X existe Ux ∈ τX tal que Ux
intersecta a lo más un número finito de elementos de F.
Definición 24. Un refinamiento de U es una cubierta V = {Vβ}β∈K de
(X, τX) tel que para todo Vβ ∈ V existe Uα ∈ U con Vβ ⊂ Uα. Se denota por
{Vβ}β∈J < {Uα}α∈J .
Proposición 26. Toda subcubierta de una cubierta es un refinamiento.
Dem. 23. Sea V una subcubierta de U, esto implica que para todo Vβ ∈ V
existe Uα ∈ U con Vβ = Uα ⊂ Uα.
Definición 25. Un espacio es paracompacto si toda cubierta tiene un refi-
namiento finito por vecindades.
Este concepto, en cierta forma, es más general que el concepto de espacios
compactos, ya que:
Proposición 27. Todo espacio compacto es paracompacto.

Dem. 24. X compacto implica que toda cubierta U de X tiene una subcubierta
finita, esto quiere decir que cualquier vecindad Ux de x ∈ X intersecta a lo más un
número finito de elementos del refinamiento V de U.
Los espacios que no son compactos, se pueden en ocaciones, compactificar. La
forma más simple de entenderlo es dando un ejemplo sencillo. Imaginemos la recta
real, la cual se extiende indefinidamente hacia los números positivos y negativos.
Ahora tomemos la recta real y unamos los puntos extremos, tanto de lado negativo
como del lado positivo. Lo que se tendrá es un c´ırculo, que puede ser de radio 1,
por simplicidad. Este c´ırculo es una forma compacta de escribir la recta real, donde
ahora si tenemos un número que representa el infinito (en los reales, el infinito no es
un número, es solo un concepto para designar muy grande). Formalmente se puede
hacer este proceso, siguiendo los pasos de la siguiente proposición que enunciaremos
sin demostración.
Proposición 28. Sea (X, τX) espacio topológico y ∗ /∈ X. Sea
∧
τ = τX ∪
{V ∪ {∗}}V ∈K con K = {abiertos con complemento compacto en X}. Entonces
1)
∧
τ es una topolog´ıa para
∧
X = X ∪ {∗}
2) (X, τX) es subespacio topológico de
∧
X,
∧
τ
3)
∧
X,
∧
τ es compacto
4) X es denso en
∧
X,
∧
τ si X no es compacto.
Notación 4. A la topolog´ıa
∧
τ = τX ∪ {V ∪ {∗}}V ∈K con K = {abiertos con
complemento compacto en X} se le llama la compactificación por un punto de
(X, τX) o simplemente compactificación de X.
Ahora veamos el ejmplo de la compactificación de la recta real formalmente. Lo
que vamos a hacer es agregarle un punto a la recta real, que podemos llamar también
el infinito, pero puede ser lo que sea. Y luego definimos un homeomorfismo que vaya
del c´ırculo a la recta real. As´ı demostramos que el c´ırculo es una compactificación
de la recta real. Aqu´ı estudiaremos el ejemplo más general de la compactificación
de ℜn
, esto es:
Exemplo 22. La compactificación por un punto de ℜn
está dada por
∧
ℜn
=
ℜn
∪ {∞}, veamos esto.
Consideremos la función:
σ : Sn
→ˆℜn
es decir
σ : x1
, · · · , xn+1
→
x1
, · · · , xn
/ 1 − xn+1
si x = (0, · · · , 0, 1)
∞ si x = (0, · · · , 0, 1)
el cual es un homeomorfismo, con inversa σ−1
: ˆℜn
→ Sn
dada por
σ−1
:
x1
, · · · , xn
→ 1
1+(x1)2
+···+(xn)2 2x1
, · · · , 2xn
, (x1
)2
+ · · · + (xn
)2
− 1
∞ → (0, · · · , 0, 1)
Entonces Sn
hom
∼= ˆℜn
. Ejemplos de esto son el c´ırculo S1
hom
∼= ˆℜ y la esfera S2
hom
∼=
ˆℜ2
= ℜ2
∪ {∞} ∼= C ∪ {∞} llamada esfera de Riemann, etc. A la función σ se
le llama proyección estereográfica . Vean la figura 11

6. ESPACIOS CONEXOS 21
Figure 11. La proyección estereográfica en el plano. Esta función
proyecta los puntos del c´ırculo 1 -1 en la l´ınea recta. De la misma
forma, la proyección estereográfica proyecta 1 -1 cualquier esfera
de dimensión arbitraria (finita) en un plano de la misma dimensión.
Para terminar esta sección daremos una clasificación interesante de los espacios
topológicos según su estructura.
Definición 26. Sea(X, τX) espacio topológico.
· Se dice que X es espacio T0 si para todo x, y ∈ X , x = y, existe Ux con
y /∈ Ux ó existe Uy con x /∈ Uy
· Se dice que X es espacio T1 si para todo x, y ∈ X, x = y, existe Ux y Uy
con y /∈ Ux y x /∈ Uy
· Se dice que X es espacio T2 o Hausdorff si para todo x, y ∈ X, x = y,
existe Ux, Uy con Ux ∩ Uy = φ
· Se dice que X es espacio T3 o espacio regular, si X es T1 y si para todo
x ∈ X y F cerrado en X con x /∈ F, existe Ux y U en τX con F ⊂ U y Ux ∩U = φ
· Se dice que X es espacio T4 o espacio normal , si X es T1 y para todo
F, G cerrados disjuntos en X, existe U, V ∈ τX tal que U ∩V = φ y F ⊂ U, G ⊂ V ,
ver figura 12.
Ejercicio 9. Muestre que todo espacio T2 es T1
Ejercicio 10. Muestre que todo espacio T1 es T0
Ejercicio 11. Muestre que todo espacio metrizables es T2
Ejercicio 12. Muestre que todo espacio métrico es Hausdorff.
6. Espacios Conexos
Un espacio topológico puede ser también hecho de piezas separadas, o pedazos
sin unión. Cuando los espacios son hechos de una sola pieza, se dice que son espa-
cios conexos. Para definir los espacios conexos es más sencillo definir los espacios
disconexos, es decir:
Definición 27. Un espacio topológico (X, τX) es disconexo si existen A, B ∈
τX tales que A, B = φ, A ∪ B = X y A ∩ B = φ.

Figure 12. Clasificación de los espacios topológicos.
Definición 28. Un espacio es conexo si no es disconexo.
Definición 29. Sea (X, τX) espacio topológico y A ⊂ X (subespacio). A es
conexo si lo es como subespacio topológico de X.
Algunos ejemplos simples son:
Exemplo 23. El espacio de Sierpinski es conexo, ya que X = {a, b} y τX =
{φ, {a, b} , {a}}, siempre, ya que {a, b} ∪ {a} = X y {a, b} ∩ {a} = φ.
Exemplo 24. La topolog´ıa discreta es disconexa, ya que para todo A = φ, X
con A ∈ P(X), Ac
∈ P(X) y A ∩ Ac
= φ, con A ∪ Ac
= X
Por definición, en un espacio topológico el vacio y todo el espacio son abiertos
y cerrados a la vez. En base a esto, un criterio para decidir si un espacio es conexo,
es el siguiente.
Proposición 29. Sea (X, τX) espacio. X es conexo, ss´ı los únicos abiertos y
cerrados a la vez son X y φ, además no existe f ∈ C0
(X, {0, 1}) sobre.

6. ESPACIOS CONEXOS 23
Finalmente, ser conexo es también una propiedad topolólogica. Para ver esto,
veamos la siguiente proposición.
Proposición 30. La imagen continua de conexos es conexa.
Dem. 25. Sea f : X → Y continua y (X, τX) espacio conexo. Supongamos que
f(X), τf(x) ⊂ (Y, τY ) no es conexo. Entonces existe g : f(X) → {0, 1} continua
y sobre y por lo tanto g ◦ f ∈ C0
(X, {0, 1}) y es sobre, lo que implica que (X, τX)
no es conexo, lo que contradice la hipótesis.
Proposición 31. Ser conexo es una propiedad topológica.
Dem. 26. Basta tomar un homeomorfismo, como es sobre y continuo, la ima-
gen de un conexo será conexa y lo mismo para la inversa.
Vamos a ver algunos ejemplos representativos:
Exemplo 25. Todos los intervalos en ℜ son conexos.
Exemplo 26. ℜ es conexo, ya que ℜ
hom
∼= (−1, 1) que es conexo.
Exemplo 27. S1
es conexo ya que f : [0, 1] → S1
, τ → (cos (2πt) , sen (2πt))
es continua.

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