Transformacion lineal

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION.
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO
MARIÑO”.
ESCUELA: ING. INDUSTRIAL.
ALGEBRA LINEAL.
BACHILLER:
YHINDY FERNANDEZ.
C.I. 23.653.375.
SECCION: IV
BARCELONA, MARZO DEL 2017.

1.Definición: Una transformación lineal es una función entre
espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un
espacio vectorial en otro.
2. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f
(v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre
un mismo campo.
3. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos
aplicación lineal.
4.Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1,
v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de
los elementos de V.
VI
V2
V3
W1
W2
W3
V W
F
Sean:
V,W Espacios Vectoriales
Vi,V2,V3
Vectores
W1,W2,W3

Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v ,
un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є
K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientes axiomas:
1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj)
2. 2. f (vi) = α.f (vi)
 Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se
cumple que:
1. f (0v) = 0w
2. 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)
 Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n
dimV = dimN (f) + dimIm (f)

Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo
que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada
una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea,
las que anteceden a la ecuación principal así como de las que la
siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma
una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario
entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la
solución.
Para resolver sistemas de
ecuaciones lineales con el método
Gauss Jordán, debemos en primer
lugar anotar los coeficientes de las
variables del sistema de ecuaciones
lineales con la notación matricial.

Núcleo de una transformación lineal Definición Sea T : V → W una
transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los
vectores en V que se mapean a cero en W.
Ker (T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}
Ejemplo
Indique cuales opciones contienen un vector en el núcleo de la
transformación de R3 en R3 definida como
x
T Y
z
−2 x + 3 z
= −23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z Dentro de las opciones:
1. v1 = (0, 0, 0)0
2. v2 = (12, −28, 8)0
3. v3 = (1, −2, 1)0
4. v4 = (3, −7, 2)0
5. v5 = (2, −4, −4)0
6. v6 = (9, −18, −15)

Núcleo e imagen de una
transformación lineal
sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.
Entonces:
i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por
ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
Observación 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema
1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se
tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De
nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V
y el de la derecha en W.

Nulidad y rango de una transformación
lineal
Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.
Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal
T:R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im
A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las
definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una
transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen,
la nulidad y el rango de una matriz.

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin
hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio
y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el
conocimiento de dichas bases. Cualquier transformación
lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz:
T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para
V y W. La matriz de una transformación lineal queda
determinada cuando se conocen una base ordenada de V,
una base ordenada de W y los transformados de la base de
V, en la base de W.

 Supongamos que en el plano x-y la transformación de
matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como
espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a
cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar
las matrices A y B, usando como base de R2el conjunto
{(1, 0), (0, 1)}.
a) ¿ Matriz A?
Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:
Ejercicios

b) ¿ Matriz B?
Transformado de (1, 0) = (-1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la
transformación es:
Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t)
/dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤4 en polinomios de
grado ≤ 2).
Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}
Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es

CONCLUSION.
Muchas de las transformaciones lineales que hemos
estudiado, conservan la forma y las medidas de las figuras u
objetos, como por ejemplo las simetrías y las rotaciones.
En algebra lineal una aplicación lineal es
un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el
lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la
categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Bibliografía
•http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/defini
cion%20y%20ejemplos.htm
•http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def91.htm
•http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def94.htm

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