Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

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  ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 257 13.1.DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . 257 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL . . . . . . . 259 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LIN- EAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 13.4. NÚCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL . . . 261 13.5. ESPACIO IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL . . . . . . . 264 13.6. TEOREMA DE LA DIMENSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13.7. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 13.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES 13.1.DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Definición 13.1.1. Sean (V, +, ◦, K), (W, ⊕, ∗, K) dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Una aplicación o función T : V → W es una transformación lineal si a) T(v1 + v2) = T(v1) ⊕ T(v2); ∀ v1, v2 ∈ V . b) T(k ◦ v) = k ∗ T(v); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K. Observación 13.1.1. Sea T : V → W una transformación lineal, entonces: a) Para simplificar la notación denotaremos las operaciones en los espacios con el mismo sı́mbolo diciendo: T : V → W es una transformación lineal si a) T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2); ∀ v1, v2 ∈ V . b) T(kv) = kT(v); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K. b) T es lineal si preserva las operaciones del espacio vectorial. c) El cero del espacio V se transforma en el cero del espacio W, es decir, T(0V ) = 0W ya que, usando b) de la Definición 13.1.1, con k = 0 se consigue T(0V ) = T(0 · v) = 0 · T(v) = 0W . Usando la contrapositiva concluimos: si T(0v) 6= 0W entonces T : V → W no es una transformación lineal. d) T µ n P i=1 kivi ¶ = n P i=1 kiT(vi); vi ∈ V, ki ∈ K. 257
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  258 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo 13.1.1. Verifique que la transformación T : R2 → R3 tal que T(x, y) = (x + y, y, x − y), es una transformación lineal. Solución. a) Sean v1 = (x, y), v2 = (p, q) ∈ R2, entonces T(v1 + v2) = T(x + p, y + q) = ((x + p) + (y + q), y + q, (x + p) − (y + q)) = ((x + y) + (p + q), y + q, (x − y) + (p − q)) = (x + y, y, x − y) + (p + q, q, p − q) = T(x, y) + T(p, q) = T(v1) + T(v2) b) Sean v = (x, y) ∈ R2, k ∈ R, entonces: T(kv) = T(kx, ky) = (kx + ky, ky, kx − ky) = k(x + y, y, x − y) = kT(x, y) = k(Tv) ası́, T es una transformación lineal. Ejemplo 13.1.2. Verifique si la transformación T : R2 → R3 tal que T(x, y) = (x+y, x− y + 2, y), es una transformación lineal. Solución. Claramente T no es transformación lineal ya que T(0, 0) = (0, 2, 0) 6= (0, 0, 0). Ejemplo 13.1.3. Compruebe que la transformación T : M(n, R) → M(n, R) tal que T(A) = MA+AM donde M es una matriz fija en M(n, R), es una transformación lineal. Solución. a) Sean A, B ∈ M(n, R) entonces T(A + B) = M(A + B) + (A + B)M = (MA + MB) + (AM + BM) = (MA + AM) + (MB + BM) = T(A) + T(B) b) Sea A ∈ M(n, R), k ∈ R entonces T(KA) = M(kA) + (kA)M = kMA + kAM = k(MA + AM) = kT(A) Por a) y b), T es una transformación lineal.
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 259 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para describir una transformación o función arbitraria se debe especificar su valor en cada elemento de su dominio, sin embargo, para una transformación lineal basta con conocer los valores sobre una base del espacio dominio. Teorema 13.2.1. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial VK y WK otro espacio vectorial tal que {w1, w2, . . . , wn} ⊆ W entonces, existe una única transformación lineal T : V → W donde T(v1) = wi, i = 1, 2, . . . , n. Demostración. Encontremos una transformación lineal con las propiedades. Si v ∈ V entonces v = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn, con ai las componentes de v en la base {v1, v2, . . . , vn}. Definamos entonces T : V → W por T(v) = a1w1 + a2w2 + · · · + anwn. Claramente T es una transformación ya que existe un único elemento en W correspon- diente a cada elemento de V . Veamos que T es una transformación lineal. Consideremos otro vector w ∈ V tal que w1 = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn entonces v + w = (a1 + c1)v1 + (a2 + c2)v2 + · · · + (an + cn)vn, luego T(v + w) = (a1 + c1)w1 + (a2 + c2)w2 + · · · + (an + cn)wn = a1w1 + a2w2 + · · · + anwn + c1w1 + c2w2 + · · · + cnwn = T(v) + T(v1). Además, T(kv) = ka1w1 + ka2w2 + · · · + kanwn = kT(v). Veamos ahora la unicidad de la transformación. Sea S : V → W otra transformación lineal tal que S(vi) = wi, i = 1, 2, . . . , n, entonces S(v) = S(a1v1 + a2v2 + · · · + anvn) = a1w1 + a2w2 + · · · + anwn = T(v) ası́, S = T. Observación 13.2.1. El conjunto {w1, w2, . . . , wn} es arbitrario, incluso podrı́a ser un con- junto linealmente dependiente. Ejemplo 13.2.1. Determine la transformación lineal T : R2 → R2 tal que T(1, 1) = (0, 2) y T(3, 1) = (2, −4). Solución. Claramente el conjunto {(1, 1), (3, 1)} es una base de R2 ya que él es un con- junto máximo de vectores linealmente independiente. Es L.I. ya que µ 1 1 3 1 ¶ f21(−3) ∼ µ 1 1 0 −2 ¶
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  260 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA y es maximal dado que la dimensión de R2 es 2. Sea v = (x, y) ∈ R2 entonces existen escalares a, b tal que (x, y) = a(1, 1) + b(3, 1), entonces ( x = a + 3b y = a + b Debemos expresar a, b en función de x, y. Al resolver el sistema para las variables a, b obtenemos a = 3y−x 2 , b = x−y 2 , de donde (x, y) = 3y−x 2 (1, 1) + x−y 2 (3, 1); ası́, T(x, y) = 3y−x 2 T(1, 1) + x−y 2 T(3, 1), es decir, T(x, y) = 3y−x 2 (0, 2) + x−y 2 (2, −4) = (x − y, 5y − 3x). 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMA- CIÓN LINEAL Estamos en condiciones de mostrar que cualquier transformación lineal de Rn a Rmpuede ser introducida mediante la multiplicación por una matriz adecuada Teorema 13.3.1. Sea T : Rn → Rm una transformación lineal, entonces existe una matriz A ∈ M(m, n, R) tal que T(v) = A · v, ∀ v ∈ Rn. Demostración. Antes de efectuar la demostración, es conveniente señalar que podemos “identificar” la n-upla (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn con la matriz columna    x1 . . . xn    ∈ M(n, 1, R); esto se realizará con un isomorfismo que presentaremos posteriormente. Sea E = {E1, E2, . . . , En} la base canónica de Rn y E∗ = {E∗ 1, E∗ 2, . . . , E∗ m} base canónica de Rm. Sea v = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, entonces v se escribe como combinación de los vectores de E como v = x1E1 + x2E2 + · · · + xnEn, ası́, aplicando la transformación lineal T obtenemos T(v) = x1T(E1) + x2T(E2) + · · · + xnT(En). (13.1) Por otro lado, cada vector T(Ej) ∈ Rm se escribe como combinación lineal de la base canónica E∗ como T(Ej) = a1jE∗ 1 + a2jE∗ 2 + · · · + amjE∗ m. Reemplazando esto último en (13.1) obtenemos T(v) = x1(a11E∗ 1 + a21E∗ 2 + a31E∗ 3 + · · · + am1E∗ m) +x2(a12E∗ 1 + a22E∗ 2 + · · · + a32E∗ 3 + · · · + am2E∗ m) + · · · + xn(a1nE∗ 1 + a2nE∗ 2 + a3nE∗ 3 + · · · + amnE∗ m) de aquı́ deducimos que la i-ésima componente de T(v) es ai1x1 +ai2x2 +ai3x3 +· · ·+ainxn.
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 261 Si definimos A = (aij) ∈ M(m, n, R) entonces, dado que la i-ésima componente de A · v =    a11 · · · a1n . . . ... . . . am1 · · · amn    ·    x1 . . . xn    es ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · · + ainxn, concluimos que T(v) = A · v. Observación 13.3.1. 1. Si T : Rn → Rm una transformación lineal entonces la matriz A = (aij) ∈ M(m, n, R) que hemos construido se llama “matriz asociada a la transformación lineal T00 y la denotamos por TA, [T]E, [T]E∗ E . 2. La matriz TA se obtiene, colocando como columnas, los coeficientes de la combinación lineal que representa al vector T(Ej) al escribirlo como combinación lineal de los vectores de la base E∗. Ejemplo 13.3.1. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que T(x, y, z) = (2x + y, x + y + z). Determine A = [T]E∗ E y verifique. Solución. Sean E = {E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1)}, E∗ = {E∗ 1 = (1, 0), E∗ 2 = (0, 1)} bases canónicas de RR3 y RR2 respectivamente, entonces: T(E1) = T(1, 0, 0) = (2, 1) = 2E∗ 1 + 1E∗ 2 T(E2) = T(0, 1, 0) = (1, 1) = 1E∗ 1 + 1E∗ 2 T(E3) = T(0, 0, 1) = (0, 1) = 0E∗ 1 + 1E∗ 2 entonces A = µ 2 1 0 1 1 1 ¶ . Verificación: T(v) = A · v = µ 2 1 0 1 1 1 ¶ ·   x y z   = µ 2x + y x + y + z ¶ = (2x + y, x + y + z). 13.4. NÚCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LIN- EAL Definición 13.4.1. Una transformación lineal T : V → W es inyectiva o monomorfismo si, como función es inyectiva. Observación 13.4.1. La Transformación Lineal T : V → W es un monomorfismo si y sólo si T(v1) = T(v2) ⇒ v1 = v2, ∀ v1, v2 ∈ V .
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  262 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo 13.4.1. Sea T : R2 → R2 una transformación lineal tal que T(x, y) = (x+y, x− y). Demuestre que T es un monomorfismo. Solución. Consideremos T(x, y) = T(z, w), debemos demostrar que (x, y) = (z, w). T(x, y) = T(z, w) ⇒ (x + y, x − y) = (z + w, z − w) ⇒ ( x + y = z + w x − y = z − w ⇒ ( x = z y = w Ası́ (x, y) = (z, w), y entonces, T es un monomorfismo. Ejemplo 13.4.2. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que T(x, y, z) = (x, y), notamos inmediatamente que T no es un monomorfismo ya que (3, 2, 1) 6= (3, 2, 7) y sin embargo T(3, 2, 1) = T(3, 2, 7) = (3, 2). Presentaremos ahora una forma más simple para decidir si una transformación lineal es o no un monomorfismo, mirando el núcleo de la transformación. Definición 13.4.2. Sea T : V → W una transformación lineal, el núcleo de T es el conjunto de vectores de V que tienen imagen nula. Observación 13.4.2. 1. Si denotamos al núcleo de T por Ker(T) entonces Ker(T) = {v ∈ V / T(v) = 0}. 2. Ker(T) 6= ∅ ya que T(0v) = 0W . Teorema 13.4.1. Sea T : V → W una transformación lineal, entonces a) Ker(T) / V . b) T es un monomorfismo si y sólo si Ker(T) = {0V }. Demostración. a) Debemos demostrar que Ker(T) es un subespacio vectorial de V , es decir, debemos demostrar: i) 0 ∈ Ker(T). ii) v1, v2 ∈ Ker(T) ⇒ (v1 + v2) ∈ Ker(T). iii) k ∈ K, v ∈ Ker(T) ⇒ kv ∈ Ker(T). i) 0 ∈ Ker(T) ya que T(0) = 0.
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 263 ii) Debemos demostrar que T(v1 + v2) = 0. Como v1 · v2 ∈ Ker(T) entonces se cumple T(v1) = 0 = T(v2), luego, T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0. iii) Para que kv ∈ Ker(T) debemos demostrar que T(kv) = 0. Como T(v) = 0 entonces es inmediato obtener T(kv) = kT(v) = k · 0 = 0. Por i), ii)y iii) concluimos que Ker(T) / V . b) Debemos demostrar que i) Si T es monomorfismo entonces Ker(T) = {0V }. ii) Ker(T) = {0V } entonces T es monomorfismo. i) Sea v ∈ Ker(T), debemos demostrar que v = 0. Como T(v) = 0W y además T(0) = 0W entonces T(v) = T(0) y dado que T : V → W es un monomorfismo (es decir T es inyectiva) entonces, v = 0. ii) Sea T(x) = T(y) debemos demostrar que x = y. Si T(x) = T(y) entonces T(x) − T(y) = 0, es decir, T(x − y) = 0; ası́, (x − y) ∈ Ker(T), de donde x − y = 0 y entonces, x = y. Ejemplo 13.4.3. Sea T : R2(x) → M(2, R) una transformación lineal tal que T(a + bx + cx2 ) = µ 0 0 a a + b + c ¶ . a) Determine dim(Ker(T)). b) Extienda la base de Ker(T) a una base de R2(x). Solución. a) Sea a + bx + cx2 ∈ Ker(T) entonces T(a + bx + cx2 ) = µ 0 0 0 0 ¶ , de esto último deducimos que µ 0 0 a a + b + c ¶ = µ 0 0 0 0 ¶ . Solucionando el sistema que se origina concluimos que a = 0, a+b+c = 0, ası́ a = 0, c = −b. Concluimos entonces que Ker(T) = © bx − bx2 / b ∈ R ª . Como bx−bx2 = b(x−x2) ∈ Ker(T), b ∈ R entonces Ker(T) = h © x − x2 ª i de donde dim(Ker(T)) = 1 ya que el conjunto formado por un único vector es linealmente independiente.
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  264 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA b) R2(x) tiene dimensión 3, por lo tanto, a la base del Ker(T) debemos agregar dos vectores tal que, los tres vectores sean linealmente independientes (maximal L.I.). Podemos agregar, por ejemplo, los vectores canónicos 1, x2. Se puede verificar, rápidamente, que © 1, x − x2, x2 ª es un conjunto linealmente in- dependiente (por ejemplo usando la matriz ³ 1 0 0 0 1 −1 0 0 1 ´ , que está escalonada) 13.5. ESPACIO IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Definición 13.5.1. Sea T : V → W una transformación lineal, definimos la Imagen de T denotada Im(T) como: Im(T) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V tal que w = T(v)} . Observación 13.5.1. Im(T) 6= ∅ ya que T(0) = 0. Teorema 13.5.1. Sea T : V → W una transformación lineal entonces Im(T) / W. Demostración. a) Claramente 0 ∈ Im(T). b) Sean w1, w2 ∈ Im(T) entonces existen v1, v2 ∈ V tal que T(v1) = w1 y T(v2) = w2, ası́, T(v1) + T(v2) = T(v1 + v2) = w1 + w2, por lo tanto, w1 + w2 ∈ Im(T). c) Sea w ∈ Im(T), k ∈ K, entonces existe v ∈ V tal que T(v) = w; como T es una Transformación Lineal entonces T(kv) = kT(v) = kw, de donde kw ∈ Im(T). Teorema 13.5.2. Sea A ∈ M(m, n, R) la matriz asociada a la transformación lineal T : Rn → Rm entonces las columnas de A generan Im(T). Demostración. Sea {E1, E2, . . . , En} base de Rn. Si v ∈ Rn entonces existen n escalares αi tal que v = α1E1 + α2E2 + · · · + αnEn, entonces T(v) = T(α1E1 + α2E2 + · · · + αnEn), esta última expresión es T(v) = α1T(E1) + α2T(E2) + · · · + αnT(En) = α1(AE1) + α2(AE2) + · · · + αn(AEn). Como AEi es la i-ésima columna de A, y dado que todo elemento en Im(T) es combinación lineal de {AE1, AE2, . . . , AEn} concluimos que las columnas de A generan la imagen de T.
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 265 Ejemplo 13.5.1. Considere la transformación lineal T : R3 → R2 tal que T(x, y, z) = (x + y, x − y + z). Determine dim(Im(T)). Solución. Encontremos la matriz asociada a la transformación lineal y con respecto a las bases canónicas; para ello determinamos la imagen de los vectores canónicos del espacio de partida y los expresamos como combinación lineal de los vectores de la base canónica del espacio de llegada, tenemos: T(1, 0, 0) = (1, 1) , T(0, 1, 0) = (1, −1) , T(0, 0, 1) = (0, 1), ası́, la matriz buscada es A = µ 1 1 0 1 −1 1 ¶ . Como los vectores columna de la matriz A generan la imagen de T entonces Im(T) = h{(1, 1), (1, −1), (0, 1)}i; naturalmente que sólo dos vectores son linealmente independi- entes, por ejemplo, (1, 1) y (0, 1); por lo tanto el conjunto {(1, 1), (0, 1)} es base de Im(T) de donde dim(Im(T)) = 2. 13.6. TEOREMA DE LA DIMENSIÓN Teorema 13.6.1. Sea T : V → W una transformación lineal tal que dim(V ), dim(W) < ∞, entonces dim(V ) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)). Demostración. Determinamos una base de Ker(T) y una base de Im(T) y postulamos que el conjunto formado por los elementos de Ker(T) junto con pre-imagenes de los elementos de Im(T) forman una base de V . Sea {v1, v2, v3, . . . , vn} base de Ker(T) y {w1, w2, w3, . . . , wm} base de Im(T), entonces dim(Ker(T)) = n y dim(Im(T)) = m, debemos demostrar que dim(V ) = n + m. Como w1, w2, . . . , wm ∈ Im(T) entonces existen u1, u2, . . . , um ∈ V tal que T(ui) = wi, ∀ i = 1, 2, . . . , m. Postulamos que B = {v1, v2, . . . , vn, u1, u2, . . . , um} es base de V . B es L.I., en efecto, sea a1v1 + a2v2 + · · · + anvn + c1u1 + c2u2 + · · · + cmum = 0, (13.2) debemos demostrar que los escalares ai, cj son nulos y únicos. Aplicando la transformación lineal a la última combinación lineal obtenemos a1T(v1) + a2T(v2) + · · · + anT(vn) + c1T(u1) + c2T(u2) + · · · + cmT(um) = 0, (13.3) pero T(vi) = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , n, de donde (13.3) queda c1T(u1)+c2T(u2)+· · ·+cmT(um) = 0, como {T(uj) = wj / j = 1, 2, . . . , m} es base de Im(T) entonces cj = 0, únicos, ∀ j = 1, 2, . . . , m. Reemplazando esto último en (13.2) obtenemos a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0, y como {vi / i = 1, 2, . . . , n} es base concluimos que ai = 0, únicos, ∀ i = 1, 2, . . . , n.
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  266 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA hBi = V , en efecto: Sea v ∈ V entonces, T(v) ∈ Im(T) de donde T(v) = d1w1 + d2w2 + · · · + dmwm, definiendo vr como vr = v −d1u1 −d2u2 −· · ·−dmum y aplicando la transformación lineal obtenemos T(vr) = T(v) − d1T(u1) − d2T(u2) − · · · − dmT(um) = d1w1 + d2w2 + · · · + dmwm − d1w1 + d2w2 + · · · + dmwm = 0, ası́, vr ∈ Ker(T), luego este vector se escribe como combinación lineal de los vectores de la base del Ker(T) obteniendo vr = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn; tenemos entonces vr = v − d1u1 − d2u2 − · · · − dmum = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn de donde, al despejar v conseguimos v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn + d1u1 + d2u2 − · · · + dmum, esto último nos indica que hBi = V . Corolario 13.6.1. Sea T : V → W una transformación lineal, entonces 1. dim(Im(T)) ≤ dim(V ). En efecto, como dim(V ) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) ≥ dim(Im(T)) entonces dim(Im(T)) ≤ dim(V ). 2. Si dim(W) < dim(V ) entonces Ker(T) > 0, es decir, en esas condiciones la trans- formación T no es un monomorfismo. En efecto, como Im(T) / W entonces dim(Im(T)) ≤ dim(W), como por hipótesis se tiene dim(W) < dim(V ) entonces dim(Im(T)) ≤ dim(W) < dim(V ). Despejando dim(Ker(T)) tenemos dim(Ker(T)) = dim(V ) − dim(Im(T)) > 0. 3. Si dim(V ) = dim(W) entonces T inyectiva ⇔ T sobreyectiva. En efecto, como dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = dim(V ) = dim(W) entonces dim(Ker(T)) = dim(W) − dim(Im(T)). Si T es inyectiva entonces dim(Ker(T)) = 0 de donde dim(W) = dim(Im(T)) y entonces T es sobreyectiva. Si T es sobreyectiva entonces dim(W) = dim(Im(T)) de donde dim(Ker(T)) = 0 y entonces T es inyectiva.
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 267 Ejemplo 13.6.1. Determine una transformación lineal T : R3 → R3 tal que Ker(T) = h{(1, 2, 0)}i e Im(T) = h{(0, 1, 2), (0, 0, 3)}i. Determine además T(−1, 2, 3). Solución. Sabemos que una transformación lineal queda completamente determinada cuando conocemos lo que ella le hace a una base del espacio dominio. Usando la demostración del Teorema de la Dimensión, debemos agregar dos vectores a la base del Ker(T) para formar una base de RR3 ; si escogemos v1 = (0, 1, 0) tal que T(0, 1, 0) = (0, 1, 2) y v2 = (0, 0, 1) tal que T(0, 0, 1) = (0, 0, 3) entonces el conjunto {(1, 2, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es base de RR3 , observe que el conjunto es linealmente indepen- diente ya que   1 2 0 0 1 0 0 0 1   está escalonada con las tres filas no nulas y es entonces un conjunto máximo de vectores L.I. Sea v = (x, y, z) ∈ RR3 entonces, existen escalares únicos a1, a2, a3 ∈ R tal que (x, y, z) = a1(1, 2, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1), de aquı́ deducimos el sistema lineal      x = a1 y = 2a1 + a2 z = a3 de donde a1 = x, a2 = y−2x, a3 = z; luego, (x, y, z) = x(1, 2, 0)+(y−2x)(0, 1, 0)+z(0, 0, 1), aplicando la transformación lineal T obtenemos T(x, y, z) = xT(1, 2, 0) + (y − 2x)T(0, 1, 0) + zT(0, 0, 1) = x(0, 0, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + z(0, 0, 3) = (0, y − 2x, 2y − 4x + 3z). Ahora, T(−1, 2, 3) = (0, 4, 17). Ejemplo 13.6.2. Sea T : R3 → R3 una transformación lineal tal que T(1, 2, 0) = (3, 1, 0), T(0, 1, 2) = (1, 1, 1). a) Determine T(x, y, z). b) Determine T(1, 2, 3). Solución. a) Para determinar una transformación lineal necesitamos conocer la acción de ella sobre una base, por lo tanto debemos agregar un vector a los dos vectores dados, declarando su imagen. Si agregamos el vector canónico (0, 0, 1) tal que, por ejemplo, T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) entonces podemos expresar el vector (x, y, z) como combinación lineal de la base {(1, 2, 0), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}.
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  268 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Sea (x, y, z) = a(1, 2, 0) + b(0, 1, 2) + c(0, 0, 1), entonces del sistema que se produce obtenemos la siguiente relación a = x, b = y − 2x, c = z − 2y + 4x, ası́, (x, y, z) = x(1, 2, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1). Tenemos, T(x, y, z) = xT(1, 2, 0) + (y − 2x)T(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)T(0, 0, 1), de donde T(x, y, z) = x(3, 1, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1) = (x + y, −x + y, 2x − y + z). b) Reemplazando en la transformación lineal encontrada obtenemos T(1, 2, 3) = (3, 1, 3). 13.7. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 13.1. Verifique si la transformación T : R2 → R3 tal que T(x, y) = (x+y, y, x− y), es una transformación lineal. Solución. a) Sean v1 = (x, y), v2 = (p, q) ∈ R2, entonces T(v1 + v2) = T(x + p, y + q) = ((x + p) + (y + q), y + q, (x + p) − (y + q) = ((x + y) + (p + q), y + q, (x − y) + (p − q)) = (x + y, y, x − y) + (p + q, q, p − q) = T(x, y) + T(p, q) = T(v1) + T(v2) b) Sean v = (x, y) ∈ R2, k ∈ R, entonces T(kv) = T(kx, ky) = (kx + ky, ky, kx − ky) = k(x + y, y, x − y) = kT(x, y) = k(Tv) Ası́, T es una transformación lineal. Ejercicio 13.2. Verifique si la transformación T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x + y, x − y + 2), es una transformación lineal. Solución. Claramente T no es transformación lineal ya que T(0, 0) = (0, 2) 6= (0, 0).
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 269 Ejercicio 13.3. Verifique si la transformación T : M(n, R) → M(n, R) tal que T(X) = MX + XM donde M es una matriz fija en M(n, R), es una transformación lineal. Solución. a) Sean A, B ∈ M(n, R) entonces: T(A + B) = M(A + B) + (A + B)M = (MA + MB) + (AM + BM) = T(A) + T(B). b) Sea A ∈ M(n, R), k ∈ R entonces T(kA) = M(kA) + (kA)M = kMA + kAM = k(MA + AM) = kT(A). Por a) y b), T es una transformación lineal. Ejercicio 13.4. Sea T : R2(x) → M(2, R) una transformación lineal tal que T(a + bx + cx2 ) = µ 0 0 a a + b + c ¶ . a) Determine dim(Ker(T)). b) Extienda la base de Ker(T) a una base de R2(x). c) Determine dim(Im(T)). Solución. a) Sea a + bx + cx2 ∈ Ker(T) entonces T(a + bx + cx2 ) = µ 0 0 0 0 ¶ , de esto último deducimos que µ 0 0 a a + b + c ¶ = µ 0 0 0 0 ¶ . Solucionando el sistema que se origina concluimos que a = 0, a+b+c = 0, ası́ a = 0, c = −b. Concluimos entonces que Ker(T) = © bx − bx2 / b ∈ R ª . Como bx−bx2 = b(x−x2) ∈ Ker(T), b ∈ R entonces Ker(T) = h © x − x2 ª i de donde dim(Ker(T)) = 1 ya que el conjunto formado por un único vector es linealmente independiente.
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  270 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA b) R2(x) tiene dimensión 3, por lo tanto, a la base del Ker(T) debemos agregar dos vectores tal que, los tres vectores sean linealmente independientes (maximal L.I.). Podemos agregar, por ejemplo, los vectores canónicos 1, x2. Se puede verificar, rápidamente, que © 1, x − x2, x2 ª es un conjunto linealmente in- dependiente, por ejemplo usando la matriz   1 0 0 0 1 −1 0 0 1   , que está escalonada. c) Usando el Teorema de la dimensión obtenemos dim(Im(T)) = dim(R2(x)) − dim(Ker(T)) = 3 − 2 = 1. Ejercicio 13.5. Sea T : R3 → R3 una transformación lineal tal que T(1, 2, 0) = (3, 1, 0) , T(0, 1, 2) = (1, 1, 1). a) Determine T(x, y, z). b) Determine T(1, 2, 3). Solución. a) Para determinar una transformación lineal necesitamos conocer la acción de ella sobre una base, por lo tanto debemos agregar un vector a los dos vectores dados, declarando su imagen. Si agregamos el vector canónico (0, 0, 1) tal que, por ejemplo, T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) entonces podemos expresar el vector genérico (x, y, z) como combinación lineal de la base {(1, 2, 0), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}. Sea (x, y, z) = a(1, 2, 0) + b(0, 1, 2) + c(0, 0, 1), entonces del sistema que se produce obtenemos la siguiente relación: a = x, b = y − 2x, c = z − 2y + 4x, ası́ (x, y, z) = x(1, 2, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1). Tenemos T(x, y, z) = xT(1, 2, 0)+(y−2x)T(0, 1, 2)+(z−2y+4x)T(0, 0, 1), de donde T(x, y, z) = x(3, 1, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1) = (x + y, −x + y, 2x − y + z). b) Para determinar la imagen del vector (1, 2, 3) por la transformación lineal T basta con reemplazar, en la transformación lineal ya determinada, x, y, z por 1, 2, 3 respec- tivamente, obtenemos T(1, 2, 3) = (3, 1, 3).
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 271 13.8. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 13.1. Determine cuales de las siguientes transformaciones son transformaciones lineales. a) T : R3 → R2 tal que T(x, y, z) = (x, y). b) T : R3 → R3 tal que T(X) = X. c) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, z) + (1, 2, 3). d) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (2x, y, x − z). e) T : R3 → R2 tal que T(x, y, z) = (x + 1, z + 2). f) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (ax + by, cx + dy), a, b, c, d ∈ R − {0}. g) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x2, y2). h) T : R2 → R tal que T(x, y) = |x − y|. i) T : M(2, R) → R tal que T(A) = det(A). j) T : M(n, R) → M(n, R) tal que: i) T(A) = AB − B2A, B ∈ M(n, R) matriz fija. ii) T(A) = AB − BA, B ∈ M(n, R) matriz fija. iii) T(A) = At. Ejercicio 13.2. Sean V, W dos espacios vectoriales sobre R y T : V → W una transfor- mación lineal a) Si T(u) = w y T(v) = 0 demuestre que T(u + v) = w, u, v ∈ V . b) Demuestre que T(−v) = −T(v). c) Si Ker(T) = {v ∈ V / T(v) = 0} demuestre que Ker(T) / V . d) Demuestre que Im(T) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V tal que w = T(v)} / W. e) Demuestre que si T(0V ) 6= 0W entonces T no es transformación lineal. f) Si f : V → R, g : V → R son dos transformaciones lineales demuestre que la transformación S : V → R2 tal que S(v) = (f(v), g(v)) es una transformación lineal. g) Si A = {v1, v2, . . . , vn} es base de V entonces T(v) se escribe de manera única. Ejercicio 13.3. Sea V el espacio formado por todas las funciones continuas de R en R. Definimos la transformación T(f(x)) = Z x 0 f(t)dt. Demuestre que T es una transformación lineal.
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  272 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 13.4. Sea T : R2 → R2 una transformación lineal tal que T(x, y) = (x+y, 2x− y). a) Determine Ker(T). b) Determine dim(Ker(T)). Ejercicio 13.5. Sea T : V → W una transformación lineal tal que Ker(T) = {0}. De- muestre que si {T(v1), T(v2), . . . , T(vn)} es un conjunto linealmente dependiente entonces el conjunto {v1, v2, . . . , vn} es linealmente dependiente. Ejercicio 13.6. Sea T : R3 → R3 una transformación tal que T(1, −1, 1) = (−1, 0, 3) , T(0, 2, 0) = (4, 2, 2) , T(1, 0, 0) = (1, 1, 2). a) Demuestre que A = {(1, −1, 1), (0, 2, 0), (1, 0, 0)} es base de R3 R. b) Determine la transformación lineal T(x, y, z). c) Determine dim(Ker(T)). Ejercicio 13.7. Sea T : R4 → R4 una transformación y A = {(0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 2), (1, 0, 0, 0)} . Asigne imágenes a los vectores de A de modo que T sea una transformación lineal inyectiva. Ejercicio 13.8. Sea T : R3 → R3 una transformación tal que T(x, y, z) = (x − y + 2z, x + 2y, −x − 2y + 2z). a) Demuestre que T es una transformación lineal. b) Determine dim(Ker(T)). c) Extienda la base encontrada de Ker(T) a una base de R3 R. Ejercicio 13.9. Determine una transformación lineal T : M(3, 1, R) → R3 tal que Ker(T) = *     1 1 2      + y además Im(T) = h{(1, 0, 1), (−2, 1, 3)}i. Justifique.
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  CAPÍTULO 13 TRANSFORMACIONESLINEALES 273 Ejercicio 13.10. Sea T : R3 → R3 una transformación lineal tal que T(x, y, z) = (x−y + 2z, 2x + y, −x − 2y + 2z). ¿Qué condiciones deben cumplir a, b, c ∈ R para que (a, b, c) ∈ Ker(T)?. Ejercicio 13.11. Sea T : M(n, R) → M(n, R) una transformación lineal tal que T(A) = BABt, con B ∈ M(n, R) una matriz fija. a) Demuestre que T es una transformación lineal. b) Si n = 2 y B = ¡ 0 −2 0 1 ¢ determine: i) Ker(T). ii) dim(Ker(T)). Ejercicio 13.12. Hallar una transformación lineal T : R4 → R4 tal que h{v1 = (1, −1, 2, 1), v2 = (0, −1, 2, 1)}i = Ker(T) y h{w1 = (1, 2, −1), w2 = (2, 1, −2)}i = Im(T). Ejercicio 13.13. Sea T : R2[t] → R una transformación lineal tal que T(at2 + bt + c) = Z 1 0 (at2 + bt + c)dt. a) Determine dim(Ker(T)). b) Determine dim(Im(T)). Ejercicio 13.14. Sea T : R3 → R2 una transformación definida por T(x, y, z) = (x+y, 2z). a) Si B es la base canónica ordenada de R3 R y B1 es la base canónica ordenada de R2 R determine la matriz asociada a la transformación lineal T. b) Si B = {v1 = (1, 0, −1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (1, 1, 1)} y B1 = {w1 = (0, −1), w2 = (1, 2)}. ¿Cuál es ahora la matriz asociada a la transformación lineal T?. Ejercicio 13.15. Defina una transformación lineal T : R2[x] → M(2, R) tal que Ker(T) = h © 1 + x2 ª i , Im(T) = ½µ a b c d ¶ ∈ M(2, R) / a = b, d = c ¾ .
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  274 UNIVERSIDAD DESANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 13.16. Sea B = {v1 + v3, v2 + v3, v1 + v2} base de VK, definimos la transfor- mación T : V → V por T(k1(v1 + v3) + k2(v2 + v3) + k3(v1 + v2)) = 3 X i=1 kivi. a) Demuestre que T es una transformación lineal. b) Demuestre que T es un isomorfismo. Ejercicio 13.17. Se define la transformación T : M(n, R) → R por T(A) = n X i=1 n X j=1 aij. a) Demuestre que T es una transformación lineal. b) ¿Es T una transformación lineal inyectiva?. Justifique.