Transformaciones_lineales_(parte_1)_(6).pptx

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
• Transformaciones lineales: Definición,
propiedades y ejemplos.
• Núcleo e Imagen de una
transformación lineal.

Transformaciones lineales
Definición:
Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales. Una transformación
lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es una función que cumple que:
o Para todos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉: 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
o Para todos 𝑢 ∈ 𝑉 y 𝑘 ∈ 𝑅: 𝑇 𝑘𝑢 = 𝑘 𝑇(𝑢)

Ejemplo:
o ¿Se cumple que, para todos 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟐
, 𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝒖 + 𝑻 𝒗 ?
Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅2, es decir, 𝑢 = 𝑥, 𝑦 , 𝑣 = (𝑥′, 𝑦′).
o 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑥, 𝑦 + (𝑥′, 𝑦′) = 𝑇 (𝑥 + 𝑥′ , 𝑦 + 𝑦′
= 𝑥 + 𝑥′
+ 𝑦 + 𝑦´
o 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑥, 𝑦 + 𝑇 𝑥′
, 𝑦′
= 𝑥 + 𝑦 + 𝑥′
+ 𝑦′
= 𝑥 + 𝑥′ + (𝑦 + 𝑦′)
o Vemos que las expresiones 1 y 2 son iguales. Es decir, se cumple la
primera condición.
Consideremos la función 𝑇: 𝑅2
→ 𝑅 /𝑇 (𝑥, 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦.
¿Es 𝑇 una transformación lineal?
1
2

Ejemplo:
→ 𝑅 /𝑇 (𝑥, 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦.
o ¿Se cumple que, para todos 𝒖 ∈ 𝑹𝟐
y 𝒌 ∈ 𝑹 , 𝑻 𝒌𝒖 = 𝒌 𝑻(𝒖)?
Sean 𝑢 ∈ 𝑅2
y 𝑘 ∈ 𝑅.
𝑇 𝑘𝑢 = 𝑇 𝑘 𝑥, 𝑦 = 𝑇 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦
= 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦
= 𝑘 (𝑥 + 𝑦)
= 𝑘 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑘 𝑇(𝑢)
o Concluimos que 𝑇 sí es una transformación lineal de 𝑅2 en 𝑅 .

Ejemplo 1:
o ¿Se cumple que, para todos 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟑
, 𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝒖 + 𝑻 𝒗 ?
Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅3, es decir, 𝑢 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑣 = (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′).
𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 + (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) = 𝑇 (𝑥 + 𝑥′ , 𝑦 + 𝑦′ , 𝑧 + 𝑧′
= 𝑥 + 𝑥′ + 𝑦 + 𝑦′ , 𝑦 + 𝑦′ − (𝑧 + 𝑧′)
= 𝑥 + 𝑦 + 𝑥′ + 𝑦′ , 𝑦 − 𝑧 + (𝑦′ − 𝑧′)
= 𝑥 + 𝑦 , 𝑦 − 𝑧 + 𝑥′
+ 𝑦′
, 𝑦′
− 𝑧′
= 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑇 𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′
= 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
Consideremos la función 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2/𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧).
Por ejemplo,
𝑻 𝟏, 𝟐, 𝟑 = 𝟏 + 𝟐, 𝟐 − 𝟑
=(3, -1)

Ejemplo 1:
o ¿Se cumple que, para todos 𝒖 ∈ 𝑹𝟑
y 𝒌 ∈ 𝑹 , 𝑻 𝒌𝒖 = 𝒌 𝑻(𝒖)?
Sean 𝑢 ∈ 𝑅3
y 𝑘 ∈ 𝑅.
𝑇 𝑘𝑢 = 𝑇 𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑇 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧
= 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 , 𝑘𝑦 − 𝑘𝑧
= 𝑘 𝑥 + 𝑦 , 𝑘 𝑦 − 𝑧 = 𝑘 𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧
= 𝑘 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑇(𝑢)
o Concluimos que 𝑇 sí es una transformación lineal de 𝑅3 en 𝑅2.
→ 𝑅2
/𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧).

Ejemplo 2:
→ 𝑅/𝑇 (𝑥, 𝑦 ) = 𝑥𝑦.
o ¿Se cumple que, para todos 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟐
, 𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝒖 + 𝑻 𝒗 ?
o Consideremos los vectores 𝑢 = (1, 1) y 𝑣 = (1, 2).
o Entonces: 𝑢 + 𝑣 = (2, 3) y
𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝟐, 𝟑 = 𝟐. 𝟑 = 𝟔
o Por otro lado: 𝑇 𝑢 = 𝑇 1, 1 = 1.1 = 1
𝑇 𝑣 = 𝑇 1, 2 = 1.2 = 2
y así: 𝑻 𝒖 + 𝑻 𝒗 = 𝟑
o Por lo tanto, para los vectores dados, 𝑇 𝑢 + 𝑣 ≠ 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣).
o Entonces concluimos que 𝑇 no es transformación lineal, ya que
existen vectores 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅2 , para los cuales no se cumple que
𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣 .

Ejemplo 3:
Consideremos la función 𝑇: 𝑀2𝑥3 → 𝑀3𝑥2/𝑇(𝐴) = 𝐴𝑇.
o ¿Se cumple que, para todas 𝑨, 𝑩 ∈ 𝑴𝟐𝒙𝟑, 𝑻 𝑨 + 𝑩 = 𝑻 𝑨 + 𝑻 𝑩 ?
Sean 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀2𝑥3.
𝑇 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝑇
= 𝐴𝑇
+ 𝐵𝑇
(por propiedad de transposición de matrices)
= 𝑇 𝐴 + 𝑇(𝐵)
o ¿Se cumple que, para toda 𝑨 ∈ 𝑴𝟐𝒙𝟑 y 𝒌 ∈ 𝑹 , 𝑻 𝒌𝑨 = 𝒌 𝑻(𝑨)?
𝑇 𝑘𝐴 = (𝑘𝐴)𝑇
= 𝑘𝐴𝑇
(por propiedad de transposición de matrices)
= 𝑘 𝑇(𝐴)
o Concluimos que 𝑇 sí es una transformación lineal de 𝑀2𝑥3 en 𝑀3𝑥2.

Transformación lineal Identidad
Sea 𝑉 un espacio vectorial.
La función
𝑰𝒅: 𝑽 → 𝑽 / 𝑰𝒅 𝒗 = 𝒗
es una transformación lineal, llamada transformación lineal
identidad.
Es la transformación que a cada vector del dominio le asigna
como imagen el mismo vector.
o 𝐼𝑑 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 = 𝐼𝑑 𝑢 + 𝐼𝑑(𝑣)
o 𝐼𝑑 𝑘𝑢 = 𝑘𝑢 = 𝑘 𝐼𝑑 𝑢
o Transformación lineal
identidad en 𝑹𝟐
:
𝑇: 𝑅2
→ 𝑅2
dada por
𝑇 𝑥, 𝑦 = (𝑥, 𝑦)
o Transformación lineal
identidad en 𝑹𝟑
:
𝑇: 𝑅3 → 𝑅3 dada por
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
V V
v T(v)=v

Transformación lineal nula
Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales. La función
𝑻: 𝑽 → 𝑾 / 𝑻 𝒗 = 𝟎𝑾
es una transformación lineal, llamada transformación
lineal nula.
Es la transformación que a cada vector del dominio le
asigna como imagen el vector nulo del codominio.
v T(v)=0𝑊
V W

Transformación lineal Matricial
Consideremos la función 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3/𝑇
𝑥
𝑦 =
1 0
−1 2
0 −1
𝑥
𝑦 .
o Notemos que 𝑇
𝑥
𝑦 =
1 0
−1 2
0 −1
𝑥
𝑦 =
𝑥
−𝑥 + 2𝑦
−𝑦
.
o Trabajando de manera similar al ejemplo 1, podemos
comprobar que 𝑇 sí es una transformación lineal.
o ¿Es posible generalizar este ejemplo?

Transformación lineal Matricial
Sea 𝐴 una matriz de tamaño 𝑚𝑥𝑛.
Definimos la función:
𝑻: 𝑹𝒏
→ 𝑹𝒎
𝑻 𝑿 = 𝑨𝑿
𝑇 es una transformación lineal, llamada transformación
lineal matricial.
o Veamos que efectivamente 𝑻 es transformación lineal:
Sean 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑅𝑛
:
𝑇 𝑋 + 𝑌 = 𝐴 (𝑋 + 𝑌)
= 𝐴𝑋 + 𝐴𝑌 (por propiedad de producto de matrices)
= 𝑇 𝑋 + 𝑇(𝑌)
Sean 𝑋 ∈ 𝑅𝑛
y 𝑘 ∈ 𝑅:
𝑇 𝑘𝑋 = 𝐴(𝑘𝑋)
= 𝑘(𝐴𝑋) (por propiedad de producto de matrices)
= 𝑘 𝑇(𝑋)
𝑨𝒎𝒙𝒏𝑿𝒏𝒙𝟏 = 𝑻(𝑿) 𝒎𝒙𝟏

Transformaciones lineales
Propiedades:
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Entonces se
cumple que:
o 𝑇 0𝑉 = 0𝑊
o Para todo 𝑢 ∈ 𝑉: 𝑇 −𝑢 = −𝑇 𝑢
o Para todos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑇 𝑢 − 𝑣 = 𝑇 𝑢 − 𝑇(𝑣)

Ejemplo:
→ 𝑅2
/𝑇 (𝑥, 𝑦 ) = (𝑥 + 𝑦, 5).
Vemos que 𝑇 0, 0 = 0, 5 ≠ (0, 0).
Es decir, no se cumple que 𝑇 0𝑉 = 0𝑊.
Por lo tanto, 𝑇 no es transformación lineal.

Núcleo de una transformación lineal
Definición:
Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales y sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una
transformación lineal. El núcleo de 𝑻 es el conjunto de
vectores de 𝑉 cuya imagen es el vector nulo de 𝑊.
En símbolos:
𝑁 𝑇 = 𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑇 𝑣 = 0𝑊
o Notemos que el núcleo de una transformación lineal nunca es
vacío, ya que siempre el vector 0𝑉 pertenece al núcleo, porque
𝑇 0𝑉 = 0𝑊.

Núcleo de una transformación lineal
Propiedad:
El núcleo de una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es un
subespacio del dominio 𝑉.
Demostración: ver video correspondiente.

Ejemplo 1:
→ 𝑅2
/𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧).
¿Cuál es el núcleo de 𝑇?
o 𝑁 𝑇 = 𝑣 ∈ 𝑅3 ∶ 𝑇 𝑣 = (0, 0)
o Buscamos los (𝑥, 𝑦, 𝑧) que cumplen que:
𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧 = 0, 0
→
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
→
𝑥 = −𝑦
𝑧 = 𝑦
o 𝑁 𝑇 = −𝑡, 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅3, 𝑡 ∈ 𝑅
o Vemos que el núcleo de 𝑇 es la recta de ecuación:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑡 −1, 1, 1 , 𝑡 ∈ 𝑅
o Dicha recta es un subespacio de 𝑅3
. Entonces, podemos buscar una
base para el núcleo y su dimensión:
𝐵𝑁 𝑇 = (−1, 1, 1)
𝑑𝑖𝑚𝑁 𝑇 = 1

Imagen de una transformación lineal
Definición:
Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales y sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una
transformación lineal. La imagen de 𝑻 es el conjunto de
vectores de 𝑊 que son imagen de algún vector de 𝑉.
En símbolos:
𝐼𝑚 𝑇 = 𝑤 ∈ 𝑊: 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑣 ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇 𝑣 = 𝑤
o Notemos que la imagen de una transformación lineal nunca
es vacía, ya que siempre el vector 0𝑊 pertenece al conjunto
imagen, porque 0𝑊 es imagen de 0𝑉.

Imagen de una transformación lineal
Propiedad:
La imagen de una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es un
subespacio del codominio W.
Demostración: ver video correspondiente.

→ 𝑅2
/𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧).
¿Cuál es la imagen de 𝑇?
Ejemplo 1:
o 𝐼𝑚 𝑇 = 𝑤 ∈ 𝑅2: 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑣 ∈ 𝑅3 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇 𝑣 = 𝑤
o Buscamos los (𝑎, 𝑏) para los cuales existe algún 𝑥, 𝑦, 𝑧 tal que:
𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧 = (𝑎, 𝑏)
→
𝑥 + 𝑦 = 𝑎
𝑦 − 𝑧 = 𝑏
o
1 1
0 1
0 𝑎
−1 𝑏
→ vemos que este SEL es compatible para cualquier
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅2.
o Entonces 𝐼𝑚 𝑇 = 𝑅2
.
o Vemos que la imagen de esta transformación es un subespacio de
𝑅2. Entonces, podemos buscar una base para la imagen y su
dimensión:
𝐵𝐼𝑚 𝑇 = 1, 0 , (0,1)
𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚 𝑇 = 2
¿Para cuáles (𝒂, 𝒃) ∈
𝑹𝟐
este sistema es
compatible?

Núcleo e Imagen de la transformación
lineal Identidad
Sea 𝑉 un espacio vectorial. La transformación lineal
identidad es:
𝑰𝒅: 𝑽 → 𝑽 / 𝑰𝒅 𝒗 = 𝒗
o Tenemos que: 𝑁𝑢𝑐𝐼𝑑 = 𝑣 ∈ 𝑉: 𝐼𝑑 𝑣 = 0𝑊
o Por lo tanto:
𝑁𝑢𝑐𝐼𝑑 = 0𝑉
o 𝐼𝑚𝐼𝑑 = 𝑉

Núcleo e Imagen de la transformación
lineal nula
Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales. La función
𝑻: 𝑽 → 𝑾 / 𝑻 𝒗 = 𝟎𝑾
es una transformación lineal, llamada
transformación lineal nula.
o 𝑁𝑢𝑐𝑇 = 𝑉
o 𝐼𝑚𝑇 = 0𝑊

Teorema de la dimensión
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Entonces se
cumple que:
𝒅𝒊𝒎𝑵 𝑻 + 𝒅𝒊𝒎𝑰𝒎 𝑻 = 𝒅𝒊𝒎𝑽
o A la dimensión del núcleo de 𝑇 la llamamos nulidad
de 𝑻.
o A la dimensión de la imagen de 𝑇 la llamamos rango
de 𝑻.
o Entonces la igualdad anterior se puede expresar
como:
𝒏𝒖𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑻 + 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑻 = 𝒅𝒊𝒎𝑽

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