Unidad 1: Espacios métricos y normados -

Unidad 1: Espacios métricos y normados -

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  Unidad 1: Espaciosmétricos y normados 07 septiembre 2024 Dr. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Conceptos Básicos
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  Análisis Matemático El análisismatemático es una rama de las matemáticas que estudia conceptos como la continuidad, la derivación, la integración y las series. Se utiliza ampliamente en física, ingeniería y economía.
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  Conjuntos Abiertos yConjuntos Cerrados Conjuntos Abiertos Un conjunto abierto en un espacio métrico es un conjunto que no contiene ninguno de sus puntos frontera. En otras palabras, todos los puntos del conjunto están "rodeados" por otros puntos del conjunto. Ejemplo: El intervalo (0, 1) es un conjunto abierto en la recta real. El intervalo [0, 1] no es un conjunto abierto porque contiene el punto frontera 1. Conjuntos Cerrados Un conjunto cerrado en un espacio métrico es un conjunto que contiene todos sus puntos frontera. En otras palabras, todos los puntos "alrededor" del conjunto también pertenecen al conjunto. Ejemplo: El intervalo [0, 1] es un conjunto cerrado en la recta real. El intervalo (0, 1) no es un conjunto cerrado porque no contiene los puntos frontera 0 y 1.
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  Convergencia de Sucesiones 1Definición Una sucesión converge a un límite si la distancia entre los términos de la sucesión y el límite tiende a cero a medida que el índice de la sucesión tiende a infinito. 2 Ejemplo La sucesión (1/n) converge al límite 0, porque la distancia entre los términos de la sucesión y 0 tiende a cero a medida que n tiende a infinito. 3 Aplicaciones La convergencia de sucesiones se utiliza en una variedad de aplicaciones, como el cálculo, la física y la ingeniería.
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  Puntos Notables Punto Límite Unpunto límite de un conjunto es un punto que está "rodeado" por puntos del conjunto. En otras palabras, todo entorno del punto contiene un punto del conjunto. Punto Aislado Un punto aislado de un conjunto es un punto que no es un punto límite del conjunto. En otras palabras, existe un entorno del punto que no contiene otros puntos del conjunto. Punto Adherente Un punto adherente de un conjunto es un punto que está en el conjunto o es un punto límite del conjunto. En otras palabras, todo entorno del punto contiene al menos un punto del conjunto.
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  Conjunto Interior 1 Definición Elconjunto interior de un conjunto es el conjunto de todos los puntos del conjunto que no son puntos frontera. 2 Propiedades El conjunto interior es siempre un conjunto abierto. El conjunto interior es el conjunto abierto más grande contenido en el conjunto original. 3 Ejemplo El conjunto interior del intervalo [0, 1] es el intervalo (0, 1). El conjunto interior del intervalo (0, 1) es el intervalo (0, 1).
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  Clausura de unConjunto Definición La clausura de un conjunto es el conjunto que contiene todos los puntos del conjunto original y todos sus puntos frontera. Propiedades La clausura es siempre un conjunto cerrado. La clausura es el conjunto cerrado más pequeño que contiene al conjunto original. Ejemplo La clausura del intervalo (0, 1) es el intervalo [0, 1]. La clausura del intervalo [0, 1] es el intervalo [0, 1].
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  Conjunto Frontera ySus Propiedades Definición El conjunto frontera de un conjunto es el conjunto de todos los puntos que son puntos frontera del conjunto. Propiedades El conjunto frontera es siempre un conjunto cerrado. El conjunto frontero es el conjunto de todos los puntos que son puntos límite del conjunto o del complemento del conjunto. Ejemplo El conjunto frontera del intervalo (0, 1) es el conjunto {0, 1}. El conjunto frontero del intervalo [0, 1] es el conjunto {0, 1}.
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  Espacios Separables yTeorema de Lindeloff Espacios Separables Un espacio métrico es separable si contiene un subconjunto denso numerable. En otras palabras, existe un conjunto contable de puntos que está "cerca" de todos los demás puntos del espacio. Teorema de Lindeloff El Teorema de Lindeloff establece que todo espacio métrico separable es Lindeloff, lo que significa que cada cubierta abierta del espacio tiene una subcubierta contable. Este teorema es útil para demostrar que ciertos espacios tienen propiedades especiales. Propiedades de los Espacios Separables Los espacios separables son muy importantes en el análisis matemático, ya que muchos teoremas importantes se aplican a ellos. Además, los espacios separables son relativamente fáciles de trabajar con, lo que los hace útiles para aplicaciones prácticas.
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  ¡Universidad del Puebloy para el Pueblo!