Unidad I

Las matemáticas son fáciles Unidad
I

Teoría de conjuntos e intervalos

Prof.: Christiam Huertas
www.uchmate2.blogspot.com
23/03/2012

1

UNIDAD
Teoría de conjuntos,
desigualdades e I
intervalos
Capítulo 1
Teoría de conjuntos
En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En
matemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos que
lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de conjunto
es simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en la
cotidianidad.

1.1 Conjuntos
Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de
objetos reales o ideales, a los cuales se les denomina elementos del conjunto.

Ejemplo 1 Ejemplos de conjuntos
1. Los cinco primeros números impares.
2. Las 5 vocales.
3. Los días de la semana.
4. Los alumnos del aula 302.

A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas y a sus
elementos separados por comas ( , ) y encerrados por llaves: { }.

Notación Notación de un conjunto
{ }

Nombre del Elementos del
conjunto conjunto

2

Ejemplo 2 Ejemplos de conjuntos y su representación
1. El conjunto de los cinco primeros números impares.
{ }
2. El conjunto de las vocales.
{ }
3. El conjunto de los días de la semana.
{ }
4. El conjunto de los alumnos del aula 302.
{ }

1.1.1 Relación de pertenencia
Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece ( ) a este
conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece ( ) a dicho conjunto.

Notación Notación de la relación de pertenencia
Elemento Conjunto
{ }

Ejemplo 3
Dado el conjunto { }, afirmamos que:
 pertenece el conjunto Notación:
 pertenece el conjunto Notación:
 no pertenece el conjunto Notación:

Ejemplo 4
Dado el conjunto { { } { }}. ¿Cuántas de las siguientes
proposiciones son verdaderas?

 { }
 { }


 {{ }}
3

Solución
Como los elementos del conjunto son: { } { }. Podemos concluir que:
 (V)
 { } (V)
 { } (V)
 (F)
 (V)
 {{ }} (F)

1.2 Determinación de un conjunto
Determinar un conjunto es especificar o señalar en forma precisa, cuales son los
elementos que lo conforman sin que existan ambigüedades.

Por extensión o en forma tabular Por comprensión o en forma constructiva
Es cuando se señala a cada uno de sus Es cuando se menciona una o más
elementos del conjunto. características comunes y exclusivas
de los elementos del conjunto.

Ejemplo 5 Determinación de un conjunto por extensión y comprensión respectivamente
Los cinco primeros números naturales.
{ } { }
Las estaciones del año.
{ } { }
Los cinco primeros números pares.
{ } { }

1.3 Número cardinal
El número cardinal de un conjunto nos indica la cantidad de elementos
diferentes que posee el conjunto.

Notación Notación de número cardinal
o
Se lee: cardinal del conjunto .
4

Ejemplo 6 Ejemplos de conjuntos y su respectivo cardinal.
1. En el conjunto { }, su cardinal es .
2. En el conjunto { }, su cardinal es .
3. { }, su cardinal es .
4. { { } { } { }}, su cardinal es .

1.4 Representación gráfica de conjuntos

1.4.1 Diagramas de Venn – Euler
Los diagramas de Venn-Euler representan a los conjuntos mediante regiones
planas limitadas por figuras geométricas cerradas (triángulos, rectángulos,
circunferencias, elipses, etc.).

Ejemplo 7 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-Euler
El conjunto { } se puede representar mediante la siguiente
figura.
𝐴

𝑚
𝑎

Ejemplo 8 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-Euler
El conjunto { } se puede representar mediante la
siguiente figura.
𝐵
𝑎 𝑢
𝑖

𝑒 𝑜

1.4.2 Diagramas de Carroll
Es un diagrama que consiste en rectángulos divididos por segmentos. Se usan
para graficar conjuntos disjuntos.

5

Ejemplo 9 Representación de un conjunto por el diagrama de Carroll
En una reunión asistieron hombres y mujeres, además se observó que un grupo
de dichos asistentes son casados. Representar a través de un diagrama los
conjuntos mencionados.
Solución
Definimos los conjuntos: Diagrama de Carrol para los subconjuntos definidos:
: conjunto de los hombres 𝑆 𝐶
: conjunto de las mujeres
: conjunto de los solteros 𝐻
: conjunto de los casados
𝑀
Note que los 4 conjuntos son disjuntos.

1.5 Relaciones entre conjuntos

1.5.1 Inclusión
Se dice que un conjunto esta incluido en el conjunto , si y solo si los
elementos de son también elementos del conjunto .

Notación
Si esta incluido en , se denota por:
Se lee: Diagrama
 esta incluido en . 𝐵
 esta contenido en . 𝐴
 es un subconjunto de . ∙ 𝑥
 contiene al conjunto .

Ejemplo 10
Dados los conjuntos Diagrama
{ }
𝐵
{ } 𝐴
∙
Notamos que todos los elementos ∙
∙ ∙
de están incluidos en .
Por lo tanto, ∙ ∙

6

Ejemplo 11
{ } 𝑀
{ } 𝑁

Se sabe que toda gallina es un ave.
Por lo tanto, .

1.5.2 Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y son iguales cuando tienen los mismos elementos sin
importar el orden.

Notación

Ejemplo 12 Conjuntos iguales
Dados los conjuntos
{ } y { }
Vemos que tanto como tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto
es igual al conjunto .

Dados los conjuntos
{ } y { }
Vemos que tanto como tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto
es igual al conjunto .

Dados los conjuntos
{ } y { }
Verifique que .
Solución

7

Un elemento de debe cumplir que
⏟ Diagrama
𝐴 𝐵
∙
{ } ∙
Luego,

1.5.3 Conjuntos comparables
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos
está incluido en el otro.

Ejemplo 15 Conjuntos comparables
{ } y { }
𝐴 𝐵
Vemos que y son comparables,
∙
ya que al menos esta incluido en . ∙ ∙
∙
∙

1.4.4 Conjuntos disjuntos
Conjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGÚN elemento común
entre ellos.

Ejemplo 16 Conjuntos disjuntos
Dados los conjuntos
{ } y { }
y son disjuntos, porque no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo 17
Dados los conjuntos
{ } y { }
y no son disjuntos, porque tienen el elemento común .

8

Ejemplo 18
Dados los conjuntos
{ } 𝑃 𝑄
{ }
Obviamente y son disjuntos.

1.6 Clases de conjuntos

1.6.1 Conjunto finito
Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, por lo tanto,
el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Ejemplo 19 Ejemplos de conjuntos finitos
 { }
 { }
 { } { }

1.6.2 Conjunto infinito
Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir,
el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo 20 Ejemplos de conjuntos infinitos
 { }
 { }
 { }

1.7 Conjuntos especiales

1.7.1 Conjunto vacío o nulo
Es aquel conjunto que no posee elementos.

Notación
{ } o

9

Ejemplo 21 Ejemplos de conjuntos vacíos
 { }
 { }
 { }

1.7.2 Conjunto unitario o singletón
Es aquel conjunto que solo posee un elemento.

Ejemplo 22 Ejemplos de conjuntos unitarios
 { } { }
 { } { }
 { } { }

1.7.3 Conjunto universal
Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que
contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal
absoluto.

Notación
Se denota generalmente con la letra

Ejemplo 23 Ejemplo de conjunto universal
Dados los conjuntos
{ }
𝕌
{ }
Los siguientes conjuntos pueden ser 𝐴 𝐵
considerados universos que contiene
a los conjuntos anteriores.
{ }
{ }

10

1.8 Conjuntos numéricos
La evolución de la humanidad trae por consecuencia la construcción de nuevos
conocimientos como también la evolución de estos, entre ellos la evolución de
los conjuntos numéricos. El hombre comienza de los conjuntos numéricos más
básicos, y a medida que se presentan nuevos desafíos como también debido a
necesidades se van creando nuevos conjuntos.
Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que tienen características
específicas. Los más importantes son:

1.8.1 Conjunto de los números naturales
Surgieron de la necesidad del ser humano de contar objetos. Se denota mediante
el símbolo y está formado por los números naturales.

{ }

1.8.2 Conjunto de los números enteros
Se denota mediante el símbolo y está formado por los números enteros.

{ }

Este conjunto se subdivide a la vez:
Conjunto de números enteros positivos
Se denota por y está formado por los números enteros positivos.

{ }

Conjunto de números enteros negativos
Se denota por y está formado por los números enteros negativos.

{ }

Observación
El número 0 es entero, pero no es positivo ni negativo.

1.8.3 Conjunto de los números racionales
Está constituido por todas las fracciones de enteros, con denominador distinto
de 0. Se le representa mediante el símbolo y se define como
11

{ }

Todo número racional se puede representar como un número decimal finito o
infinito periódico. Ello se logra simplemente efectuando la división entre y .

1.8.4 Conjunto de los números irracionales
Está constituido por todos los números decimales infinitos y no periódicos. Se
le representa mediante el símbolo y se define como

{ }

Ejemplo 22 Ejemplos de números irracionales
 √ … es un número irracional.
 √ … es un número irracional.
 … es un número irracional trascendente.
 … es un número irracional trascendente.

1.8.5 Conjunto de los números reales
Se le representa mediante el símbolo y está formado tanto por los números
racionales como por los irracionales.

1.8.6 Diagrama de Venn-Euler de los conjuntos numéricos

12

1.9 Operaciones entre conjuntos
A continuación presentamos las operaciones más comunes entre conjuntos, con
su diagrama de Venn correspondientes.

1.9.1 Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos y es el conjunto formado por la agrupación de
todos los elementos de con todos los elementos de .

Notación Definición
{ }

Ejemplo 24
Dados los conjuntos 𝕌
𝐴 𝐵
{ } ∙
{ } ∙ ∙
∙
La unión de y es:
{ }

1.9.2 Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos y es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

{ }

Ejemplo 25
𝐴 𝐵
{ } ∙
{ } ∙
∙
∙
La intersección de y es:
{ }

1.9.3 Diferencia de conjuntos
La diferencia de dos conjuntos y (en ese orden) es el conjunto formado por
los elementos de pero que no pertenecen a .
13

{ }

Ejemplo 26
𝐴 𝐵
{ } ∙
{ } ∙ ∙
∙
La diferencia de y es:
{ }

1.9.4 Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen al conjunto universal pero no al conjunto .

C o ̅ o o { }

Ejemplo 27
Dado el conjunto 𝕌
{ }
∙𝑖 𝐴𝑐
Considerando como universo a 𝐴
{ } ∙ 𝑎
∙ 𝑒 ∙ 𝑢
el complemento de es: ∙ 𝑜
{ }

1.9.5 Aplicaciones

Ejemplo 28
En una fiesta donde había 70 personas, 10 eran hombres que no les gusta la
cumbia, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de
hombres que gusta de la cumbia es la tercera parte de las mujeres que no
gustan de esta música, ¿a cuántos les gusta la cumbia?
Solución
Definimos los conjuntos:
14

: conjunto de los hombres
: conjunto de las mujeres
: conjunto de personas que les gusta la cumbia
: conjunto de personas que no les gusta la cumbia.
Consideremos el diagrama de Carroll:
𝐶 𝑁𝐶

𝐻 𝒙

𝑀 𝟑𝒙

Por dato el total de asistentes es de 70 personas; es decir:

Pero la cantidad de personas que les gusta la cumbia es: .

Ejemplo 29
Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100
atletas en una competición deportiva. Se sabe que 45 atletas reciben medallas
de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de Bronce, 15 reciben
medallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce,
20 reciben medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce.
¿Cuántos atletas no recibieron medallas?
Solución
Llenamos los datos considerando:
: atletas que ganaron oro.
: atletas que ganaron plata.
: atletas que ganaron bronce.
Se debe cumplir:

𝒙
De donde . Es decir, no
recibieron medallas 5 atletas.

15

Capítulo 2
Desigualdades
El conjunto de números reales esta ordenado. Esto significa que podemos
comparar cualesquiera dos números reales que no sean iguales mediante
desigualdades y decir que uno “es menor que” o “mayor que” el otro.

La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se
aparea y pasea sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico.
El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 y 35 toneladas. Un macho adulto
mide unos 12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde
la playa El Doradillo considerada área natural de reproducción, se puede
disfrutar plenamente de un avistaje costero. La temporada de Ballenas se
extiende de Junio a Diciembre.
La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre,
época en que pueden contabilizarse entre 350 y 400 individuos. Esto convierte
a las aguas vecinas de la Península Valdés en el área de cría más importante
del Hemisferio Sur.

Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse
matemáticamente, como veremos a continuación.

2.1 Desigualdad
Una desigualdad es la relación de orden entre dos números reales, en la que uno
de ellos es menor o mayor que el otro.

Notación
La relación se denota con el símbolo
o
Así tenemos que
 se lee: es menor que .
 se lee: es mayor que .

2.2 La recta numérica
En matemáticas es frecuente utilizar representaciones geométricas que
presentan alguna relación significativa con un determinado tema. Dado que la
recta está formada por infinitos puntos y existen infinitos números reales, se
puede asociar cada punto de la recta con un número real (relación biunívoca).
Se obtiene así la recta numérica.
16

Donde los símbolos (infinito negativo) y (infinito positivo), no son
números reales.

La correspondencia entre números reales y los puntos de una recta nos permite
apreciar gráficamente una propiedad fundamental de los números reales: existe
un ordenamiento entre ellos. De este modo se puede representar la desigualdad
en la recta numérica como:

Es decir, el número se ubica a la izquierda del número .

Notaciones
Relación de orden Lectura
es mayor que
es menor que
es mayor o igual que
es menor o igual que

Ejemplo 1 Ejemplos de comparación de dos números
Escriba los símbolos , , según corresponda:

a) ____ f) ____
b) ____ g) ____
c) ____ h) ____ √
d) ____ i) ____ √
e) ____ j) √ ____ √

17

Capítulo 3
Intervalos
La ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir un
tipo de conjunto en que van a ser muy útiles: los intervalos.

3.1 Intervalo
Es un subconjunto de los números reales definidos mediante la relación de
orden dada en el conjunto de los números reales.
Un intervalo de extremos y ( ) es el conjunto de todos los números
reales que estén entre y .

Representación gráfica de un intervalo

𝐼

Donde y son los extremos del intervalo, que pueden o no pertenecer a él.

3.1.1 Clases de intervalos
Existen diferentes clases de intervalos como los finitos (o acotados), los que
pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados e infinitos (o no acotados).

Clases de intervalos

Intervalo cerrado Representación

[ ] { }

Intervalo abierto Representación

〈 〉 { }

Intervalos semiabiertos Representación

[ ⟩ { }

⟨ ] { }

18

Intervalos infinitos Representación

⟨ ] { }

〈 〉 { }

[ ⟩ { }

〈 〉 { }

Ejemplo 1
Escriba cada desigualdad usando la notación de intervalos.
a) b) c) d)
Solución
a) describe todos los números entre 1 y 3, inclusive. En la
notación de intervalos, se escribe [ ].
b) En notación de intervalos, se escribe 〈 〉.
c) consiste en todos los números mayores que 5. En la notación de
intervalos, se escribe 〈 〉.
d) En notación de intervalos, se escribe ⟨ ].

Ejemplo 2
Escriba cada intervalo como una desigualdad que involucre .
a) [ ⟩ b) 〈 〉 c) [ ] d) ⟨ ]
Solución
a) [ ⟩ consiste en todos los números tales que .
b) 〈 〉 consiste en todos los números tales que .
c) [ ] consiste en todos los números tales que .
d) ⟨ ] consiste en todos los números tales que .

Ejemplo 3
En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la
derecha:

19

a) √ ____ 〈 〉
b) ____ 〈 〉
c) ____ 〈 〉
d) ____ 〈 〉
e) ____ 〈 〉
f) ____ 〈 〉
g) √ ____ 〈 〉

3.1.2 Operaciones con intervalos
Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar
todas las operaciones con conjuntos estudiadas anteriormente.
Sean e dos intervalos, entonces:

Notación y definición
Unión de y { }
Intersección de y { }
Diferencia de y { }
Complemento de C { }

Ejemplo 4
Dados los intervalos ⟨ ], ⟨ ]y [ ⟩.
Determine , , , , , , , , .
Solución

20

21

Capítulo 4
Relación de orden

4.1 Propiedades de las desigualdades

1. Propiedad de no negatividad. Para cualquier número real , el valor de
es 0 o positivo; es decir, es no negativo.

A

Ejemplo 1 Ejemplos de la propiedad de no negatividad
a) Como , entonces .
b) Como , entonces .
c) Como , entonces .
d) Si , entonces .
e) Si , entonces .

2. Propiedad de la suma para desigualdades. Si se suma el mismo número
en ambos lados de una desigualdad, se obtiene una desigualdad
equivalente.
Si , entonces
Si , entonces
A

Ejemplo 2 Ejemplos de la suma de desigualdades
a) Si , entonces ; es decir, .
b) Si , entonces ; es decir, .
c) Si , entonces ; es decir,
.

3. Propiedad de la multiplicación para desigualdades.
Si y si , entonces
Si y si , entonces
Si y si , entonces
Si y si , entonces
A

22

Ejemplo 3 Ejemplos de la multiplicación para desigualdades
a) Si , entonces ; es decir, .
b) Si , entonces ; es decir, .
c) Si , entonces ; es decir, .
d) Si , entonces ; es decir,
.

4. Propiedad del recíproco para desigualdades. Establece que el recíproco
de un número real positivo es positivo y que el recíproco de un número
real negativo es negativo.

A

Ejemplo 4 Ejemplos de la propiedad del recíproco para desigualdades
a) Si , entonces .
b) Si , entonces .
c) Si , entonces .

5. Propiedad del inverso para desigualdades. Establece que podemos
invertir una desigualdad siempre y cuando los extremos de la desigualdad
tengan el mismo signo.
Sean y dos números del mismo signo; es decir, ambos positivos
o ambos negativos.

A

Ejemplo 5 Ejemplos de la propiedad del inverso para desigualdades
a) Si , entonces .
b) Si , entonces ; es decir,
c) Si , entonces .

23

4.1.1 Aplicaciones de las propiedades

Ejemplo 6
Halle el mínimo valor de la expresión si se sabe que .
Solución
La expresión lo podemos expresar como

Como , entonces . Por la propiedad 1 se cumple que:

Sumamos 3 ⏟

Por lo tanto, el menor valor de es 3.

Ejemplo 7
Determine el máximo valor de la expresión .
Solución
La expresión lo podemos expresar como

Como , entonces . Por la propiedad 1 se cumple que:

Multiplicamos por -1

Sumamos 1 ⏟

Por lo tanto, el máximo valor de es 1.

Ejemplo 8
Si ⟨ ]; halle los valores enteros que toma la expresión .
Solución
Como ⟨ ], esto quiere decir que:

Sumamos 2 ⏟

24

Los valores enteros que toma la expresión son: 0; 1; 2 y 3.

Ejemplo 9
Si , halle la variación de la expresión .
Solución
Aplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión .
Por dato se tiene
Multiplicamos por 3

Sumamos 1 ⏟

Luego, ⟨ ]; es decir, varía en el intervalo ⟨ ].

Ejemplo 10
Si , halle la variación de la expresión .
Solución
Por dato se tiene
Multiplicamos por -5

Sumamos 4 ⏟

Luego, ⟨ ]; es decir, varía en el intervalo ⟨ ].

Ejemplo 11
Halle la variación de si se sabe que .
Solución
Como , esto es equivalente a

Sumamos 6

25

Multiplicamos por 1/3

Luego, 〈 〉.

Ejemplo 12
Halle la variación de la expresión si se sabe que ⟨ ].
Solución
Por dato se tiene
Multiplicamos por 2

Restamos 5

Invertimos ⏟

Por lo tanto, [ ⟩.

26

Apéndice
Simbología y terminología

Símbolo Se lee

El elemento pertenece al conjunto
El elemento no pertenece al conjunto
Conjunto vacío
El conjunto es igual al conjunto
El conjunto está incluido en el conjunto
El conjunto no está incluido en el conjunto
unión (Reunión de dos conjuntos)
intersección (Intersección de dos conjuntos)
Tal que
Conjunto universal
Diferencia simétrica de los conjuntos y
Producto cartesiano de los conjuntos y
Para todo (Cuantificador universal)
Existe (Cuantificador existencial)
, Existe, No existe
Cardinal del conjunto ó número de elementos
del conjunto .
Implica que, Entonces si, Es suficiente para, etc.
Si y solo si (Doble implicación)
y (Conectivo lógico de conjunción)
o (Conectivo lógico de disyunción inclusiva)
Complemento del conjunto con respecto al
,
conjunto universal
Es menor que
Es mayor que
Es menor o igual que
Es mayor o igual que

27

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