Variacion de Parametros

Variacion de Parametros

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  Método de Variaciónde ParámetrosPor : Iván Gil Perales Gómez.Registro 811015Gpo. B: 211
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  Este es unmétodo general para determinar una solución particular de una ecuacióndiferencial lineal. Sin pérdida de generalidad, consideremos la ecuación lineal de segundo orden escrita como :El método consiste en buscar una solución de la forma :Donde y1y y2 son dos soluciones l.i. de la ecuación diferencial homogénea asociada, yu1 y u2son dos funciones a determinar de modo quesea una solución de y satisfagan una condición arbitraria, pero seleccionada de tal forma que se simplifiquen los cálculos.;Podemos simplificar esta expresión, imponiendo a u1y u2 la condición de que:Derivando:En tal caso:y por consiguiente:
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  Sustituyendo las expresionesde yp,y´p,y´´pen , y usando el hecho de que y1y y2 son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, resulta:Así, buscamos una solución particular de la forma : , con u1,u2funciones que satisfacen las ecuaciones:Resolviendo el sistema de ecuaciones (para las incógnitas u1 y u2 ,empleando la regla de Cramer. Obtenemos: Donde W(x) denota al wronskiano W(y1,y2)(x).
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  Finalmente, integrando lasexpresiones resulta :Sustituyendo en se obtiene la solución particular deseada.EJEMPLO 1. ResolverDeteminamos primero la solución general de la ecuación homogénea asociadaA saberLa ecuación característica dey sus raíces son r1= 1 + i y r2=1— i. En consecuencia:Denotemos por:
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  Luego tenemos: Buscamosuna solución particular de la forma yp=u1y1 + u2y2 , donde lasfunciones u1y u2se calculan utilizando las ecuaciones:Se tiene que:yLuego:y por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea estádada por :