3º Ano Geometria Espacial

GEOMETRIA ESPACIALProfª Roberta Reis

INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PRISMADADO UM POLÍGONO SITUADO EM UM PLANO, É CHAMADO PRISMA O SÓLIDO FORMADO PELA PROJEÇÃO DESTE POLÍGONO EM OUTRO PLANO PARALELO, COM A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS

CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA : PRISMA RETOARESTAS LATERAIS PERPENDICULARES À BASE

PRISMA REGULARÉ UM PRISMA RETO E OS POLÍGONOS DAS BASES SÃO POLÍGONOS REGULARESEX: CUBO

ÁREA DE UM PRISMAA ÁREA DE UM PRISMA É DADA PELO DOBRO DA ÁREA DA BASE SOMADA À SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS

VOLUME DE UM PRISMAO VOLUME DE UM PRISMA É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA

PRISMA OBLÍQUOAS ARESTAS LATERAIS NÃO SÃO PERPENDICULARES À BASE

PIRÂMIDEDEFINE-SE PIRÂMIDE COMO A UNIÃO DE TRÊS OU MAIS PONTOS CONTIDOS EM UM PLANO COM UM PONTO EXTERIOR A ESSE PLANO

PIRÂMIDE REGULARÉ UMA PIRÂMIDE CUJA PROJEÇÃO DO VÉRTICE SOBRE A BASE COINCIDE COM O SEU CENTRO E QUE A BASE É UM POLÍGONO REGULAR.

APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULARO APÓTEMA DA BASE É O APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR DA BASEO APÓTEMA DA PIRÂMIDE É A ALTURA DO TRIÂNGULO ISÓCELES FORMADO NA FACE LATERAL.

ÁREA DE UMA PIRÂMIDEA ÁREA TOTAL DE UMA PIRÂMIDE É DADA PELA SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS COM A ÁREA DA BASE.

VOLUME DE UMA PIRÂMIDEO VOLUME DE UMA PIRÂMIDE É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA E DIVIDIDO POR 3

CILINDRODADOS DOIS PLANOS E DUAS CIRCUNFERÊNCIAS IDÊNTICAS CONTIDA NELES, CHAMA-SE CILINDRO A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS PERTENCENTES ÀS CIRCUNFERÊNCIAS.É NA REALIDADE PRISMA COM BASE CIRCULAR

CONEDENOMINA-SE CONE CIRCULAR A UNIÃO DE TODOS OS SEGMENTOS QUE UNEM UMA CIRCUNFERÊNCIA CONTIDA EM UM PLANO E UM PONTO NÃO PERTENCENTE A ESSE PLANO.

Cone: A Definição! Considere um círculo Ccontido num plano  e um ponto V não-pertencente a . Chama-se cone a reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de Rao ponto P.O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.ghrNote: g, h e r formam um triângulo retângulo.Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.

eixo*Oaa90ºVV é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratrizhg’gEste cone é Oblíquo.RElementos do cone

O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base.Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto. Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.A altura é sempre perpendicular ao plano.Eixo = AlturaalturaeixoNote que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.

O*Cone Circular Retoou Cone de RevoluçãoV1) O eixo é perpendicular ao plano da base. g2) No DVOA : hg2 = h2 + R2RAB

Um cone reto pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Por isso o cone reto é chamado de cone de revolução.ACB

Áreas e VolumeO cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!

V*OABChama-se secção meridiana a intersecção de um cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base do cone.Seção MeridianagSe o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero.g=2R2RO DVBA é a seção meridiana do cone.

Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base.Seção TransversalNote que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensções são proporcionais.gk = Constante de proporcionalidade.hSuas áreas são proporcionais.Seus volumes são proporcionais.A secção transversal forma o tronco de cone

Semelhança de uma forma mais claraGeratriz do cone semelhante (g)Altura do cone original (H)Altura do cone semelhante (h)Altura do tronco (HT)Obviamente G = g + GTOutra conclusão lógicaV = v + VTGeratriz do Tronco (GT)

Tronco de ConerR  raio da base maiorr  raio da base menorElementos:hT altura do troncogT geratriz do troncogThTRAs fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.

ESFERAÉ A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA .

ÁREA DA ESFERAEXPERIMENTALMENTE, PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO PESO DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA. SENDO DO MESMO MATERIAL.

POLIEDROSÉ UM SÓLIDO LIMITADO POR POLÍGONOS, QUE TEM, DOIS A DOIS, UM LADO COMUM

POLIEDROS REGULARESUM POLIEDRO É REGULAR QUANDO TODOS OS SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES E TODOS OS SEUS ÂNGULOS SÃO CONGRUENTES.

TEOREMA DE EULLERV : VÉRTICESA: ARESTASF: FACES LATERAIS.

POLIEDROS DE PLATÃOUM POLIEDRO DE PLATÃO DEVE TER:TODAS AS FACES COM O MESMO NÚMERO DE ARESTASDOS VÉRTICES PARTA O MESMO NÚMERO DE ARESTAS.

SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO

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