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Apostila b9 - reduzida

1) O documento apresenta 18 questões sobre funções do 2o grau, incluindo identificação de coeficientes, determinação de vértices, zeros e máximos/mínimos de funções quadráticas. 2) As questões abordam também a concavidade de parábolas, construção de gráficos e relação entre o discriminante e os zeros da função. 3) Há também problemas envolvendo aplicações como área de figuras geométricas e trajetória de objetos.

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PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 1 B.9.1 – Função do 2º Grau e Complementos sobre Funções Função do 2º Grau 1)(COC) Uma embalagem para presentes está sendo desenvolvida para uma loja de perfumes. A caixa terá uma faixa decorativa de papelão. Veja o esboço do projeto com as medidas indicadas: Repara que uma dimensão tem medida fixa (10 cm). As outras duas dimensões são variáveis, porém de mesma medida 𝑥. Além disso, a faixa decorativa deve estar sempre 3 cm menor de cada um dos lados. Sobre essa situação, responda ao que se pede. a)Escreva uma fórmula que de a medida da área y da superfície externa da faixa decorativa em função de x. b)O resultado obtido no item anterior é uma função polinomial do 2º grau? Explique. c)Usando a fórmula obtida no item a, determine a área y da superfície externa para x=30 cm. d)Nessa caixa, considerando a existência da faixa com as características dadas, x deve ser maior que qual medida inteira em centímetros? 2)(COC)O número de diagonais d de um polígono convexo é dado em função do número de lados n desse polígono por meio da fórmula: 𝑑 = 𝑛(𝑛 − 3) 2 Considere esse fórmula, responda ao que se pede. a)Efetue a multiplicação indicada ao 2º membro dessa igualdade e verifique se é uma função polinomial do 2º grau. Justifique. b)Empregando a função obtida no item anterior, determine o número de diagonais d para n=12. c)E possível que um polígono convexo tenha 100 diagonais? Justifique. 3)(COC) Verifique quais funções a seguir são consideradas funções polinomiais do 2º grau. Calcule as funções que são desse tipo. 4)(COC)Considere o seguinte triangulo com as medidas dadas. Chamando de y a área dessa figura, escreva uma função polinomial do 2º grau que relaciona y com x. Depois, identifique os coeficientes a, b e c. 5)(COC)Dada a função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 7, determine o valor de 𝑓(−2) + 𝑓(3) 6)(COC)Escreva uma função quadrática que forneça a medida y da área pintada em função de x na figura. Depois, identifique os coeficientes a, b e c. 7)(COC) Descubra os valores de x que fazem com que 𝑓(𝑥) = 0 na função quadrática a seguir: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 21 8)(COC)Identifique os coeficientes a, b e c nas funções quadráticas a seguir. a)𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 2 b)𝑦 = −𝑥2 − 17 c)𝑦 = − 𝑥2 3 d)𝑦 = 𝑥2 5 + 𝑥 3 e)𝑦 = −0,1𝑥2 − √7
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 2 9)(COC)Escreva cada função a seguir para a forma geral de uma função polinomial do 2º grau: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. a)𝑦 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) b)𝑦 = −2𝑥 + 3𝑥(𝑥 − 6) + 22 10)(COC)Dada a função 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 20, o valor de 𝑓(√5) será positivo, negativo ou nulo? 11)(COC)Considere a seguinte função quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 Complete a tabela a seguir corretamente tomando como base essa função. Depois, assinale no plano cartesiano os pontos obtidos e trace o gráfico. 12)(COC)Uma pedra foi arremessada para o alto e descreveu uma trajetória curva definida pela função 𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥. Com base nessa informação, complete totalmente a tabela a seguir e, depois responda ao que se pede. a)Assinale no plano cartesiano, os pontos obtidos na tabela. Depois, trace o gráfico considerando apenas os valores de 𝑥 variando de 0 a 4. b)Qual foi a altura máxima atingida pela pedra? c)Considerando que o solo era todo plano, qual foi a distancia máxima alcançada pela pedra no instante em que tocou o solo após ser arremessada? 13)(COC)Considere que y seja o quadrado de um valor x, ou seja, 𝑦 = 𝑥2 . Sobre essa situação, responda ao que se pede. a)Complete os valores d y na tabela para alguns valores inteiros de x. b)Com base nos valores obtidos, trace o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 c)Sendo 𝑥 um elemento do domínio dessa função, com 𝑥 ∈ ℝ, como se define o conjunto imagem dessa função? d)Observando o traçado da parábola, é possível identificar um eixo de simetria. Determine-o. e)Qual a razão para que o gráfico seja definido apenas na parte positiva do eixo y? 14)(COC)Considere a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3. Sobre essa função, determine: a)as coordenadas dos pontos de cruzamento do gráfico dessa função com o eixo x. b)a coordenada do ponto de cruzamento do gráfico dessa função com o eixo y. 15)(COC)A partir do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 1. 16)(COC)Represente, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑥2 2 e 𝑦 = − 𝑥2 2 . 17)(COC)Construa o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2. 18)(COC)Na construção do gráfico de uma função quadrática, qual é o nome a curva formada? Concavidade da Parábola 1)(COC)No estudo e construção do gráfico de uma função polinomial do 2º grau, é possível que a parábola apresente concavidade voltada para cima ou para baixo. Assim, considerando a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, complete corretamente a frase: “Considere uma função quadrática, caso o coeficiente dominante ________ seja ________, a concavidade da parábola é voltada para cima. Mas, se o coeficiente
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 3 dominante ________ apresentar um valor ________, a concavidade é voltada para baixo.” 2)(COC)Circule as funções quadráticas que apresentam, em sua representação gráfica, uma concavidade volta para cima. 3)(COC)Considere a seguinte função quadrática em 𝑥: 𝑓(𝑥) = (2𝑚 + 1)𝑥2 + 5𝑥 − 17 Determine quais são os valores reais de m que fazem com que o gráfico dessa função quadrática apresente concavidade voltada para baixo. 4)(COC)Identifique em cada função a seguir, o coeficiente dominante a e escreva se o gráfico apresenta a concavidade para baixo ou para cima. a)𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 5 b)𝑦 = −2𝑥2 − 3𝑥 c)𝑦 = 1 − √5𝑥2 + 4𝑥 d)𝑓(𝑥) = − 𝑥2 3 − 𝑥 e)𝑓(𝑥) = −8 + 5𝑥2 7 5)(COC)Determine o valor de 𝑝 para que a função quadrática 𝑓(𝑥) = (3𝑝 − 1)𝑥2 + 4𝑥 + 3 apresente concavidade voltada para cima. 6)(Apoema)O professor de Matemática desenhou na lousa o gráfico de algumas funções quadráticas que passavam pela origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme esboço a seguir: Note que cada curva tem indicada a função quadrática correspondente e que a linha tracejada indica a função quadrática definida por 𝑦 = 𝑥2 . a)Qual dessas funções tem a maior imagem para 𝑥 = 7? b)E qual tem a menor imagem para 𝑥 = 7? Zero de uma função quadrática 1)(COC)Verifique, para cada função, se a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos, corta o eixo x em um único ponto, ou se não corta o eixo x. a)𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 b)𝑦 = −𝑥2 − 6𝑥 − 9 c)𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 3 2)(COC)Determine para cada função as coordenas dos pontos que a parábola corta o eixo x. a)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 b)𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 𝑥 + 2 c)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 3)(COC)Considerando uma função quadrática do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, trace, para cada caso, um esboço do gráfico de acordo com o valor do discriminante e do coeficiente dominante. a)Δ > 0 e 𝑎 > 0 b) Δ > 0 e 𝑎 < 0 c)Δ = 0 e 𝑎 > 0 d)Δ = 0 e 𝑎 < 0 e)Δ < 0 e 𝑎 > 0 f) Δ < 0 e 𝑎 < 0 4)(COC)Considere a função quadrática dada por 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 5𝑥 + (5𝑚 + 7). Determine o valor de m para que a representação gráfica dessa função seja uma parábola que corte o eixo x em dois pontos distintos. Vértice da parábola 1)(COC)Igor precisava traçar o gráfico da função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3. No entanto, estava em dúvida sobre quais valores escolher para 𝑥 a fim de compor uma tabela que fornecesse pontos adequados para tal construção. Verificou então que determinar o vértice V da parábola seria algo interessante, pois, a partir desse ponto, ele escolheria outros quatro valores, sendo dois menores e dois maiores que o 𝑥 do vértice. Faça como Igor: identifique a coordenada do vértice V e, a partir dessa coordenada, atribua outros quatro valores para x. Finalmente, faça um esboço do gráfico 2)(COC)Dada uma função quadrática da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, o vértice da parábola que representa geometricamente essa função é dado pela coordenada 𝑉 (− 𝑏 2𝑎 , − Δ 4𝑎 ). No entanto ao calcular essa coordenada, um aluno do 9º ano lembrandoo-se apenas de que 𝑥 𝑣 = − 𝑏 2𝑎 , esquecendo-se da expressão que fornece o valor de 𝑦𝑣. Partindo do valor conhecido de 𝑥 𝑣, explique como é possível determinar o valor de 𝑦𝑣 com base na função dada. 3)(COC)Considere as funções quadráticas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 − 1. Sobre essas funções, responda o que se pede: a)Determine a coordenada no vértice de cada função. b)No caderno, faça os cálculos necessários e uma tabela para cada função, tomando como referência a coordenada do vértice. c)O que se pode afirmar sobre a comparação dos dois gráficos traçados? 4)(COC)Determine o valor de 𝑚 na função quadrática em 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2 − 2𝑥 + 5𝑚, para que o vértice da parábola seja um ponto pertencente ao eixo 𝑥. 5)(COC)Mostre que uma função da forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 , com 𝑥 real não nulo, descreve uma parábola que apresenta o vértice 𝑉 sempre na origem, isto é, 𝑉 = (0; 0). Depois como exemplo, construa o gráfico da função 𝑦 = 0,5𝑥2 . Para isso, use régua e adote a medida de 1 cm para cada unidade dos eixos. Ponto de máximo e de mínimo da parábola 1)(COC)Considere um esguicho de água fixado no solo. Suponha que a trajetória percorrida pela água seja exatamente de uma parábola obtida por meio da função 𝑦 = −0,5𝑥2 + 4𝑥. A trajetória percorrida pela água é ilustrada neste esboço:
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 4 O ponto A, que indica o ponto de máximo da parábola, representa a altura, em metros, atingida pela água, e o ponto B, um dos zeros da função, indica a distância, em metros, atingida pelo esguicho de água. Sobre essa situação, responda ao que se pede: a)Qual é a coordenada do ponto de máximo? Qual é a altura máxima atingida pela água? b)Qual é a coordenada do ponto B? Qual é a distância atingida pelo esguicho de água? 2)(COC)Dada uma função quadrática, como é possível, sem efetuar cálculo algum, verificar se o gráfico definido por essa função tem ponto de máximo ou ponto de mínimo? 3)(COC)Determine o valor de 𝑚 na função cuja variável é 𝑥 para que o valor máximo seja 5. 𝑦 = −3𝑥2 − 5𝑥 + 4𝑚 4)(COC)Roberto propôs um desafio para sua amiga Paula: ela deveria escolher um número real qualquer e, depois, multiplica-lo pela diferença entre 1 e o número pensado. Assim, se Paula pensar em um número 𝑥, ela deverá multiplicar esse número por (1 − 𝑥). Chamando de 𝑦 o produto obtido por meio dessa multiplicação, qual será o maior produto obtido? Em qual número real devemos pensar para chegar a esse maior produto? Para responder a essas questões, complete as frases apresentadas em cada item e esboce o gráfico. a)A função quadrática que representa o problema é dada por _____ b)O coeficiente dominante é igual a _____. Logo, a concavidade da parábola é voltada para _________. Com isso, a parábola apresenta um ponto de __________. c)O vértice da parábola tem coordenada _________________. d)Obtendo outros pontos para a parábola, além do vértice, esboce o gráfico. e)Logo, o maior produto obtido nessa multiplicação é ______ e ocorre quando 𝑥 =___________. 5)(COC)Considere um dardo arremessado de tal forma que descreva uma trajetória dada pela função 𝑦 = − 𝑥2 20 + 3𝑥 2 , em que o chão representa o eixo horizontal, 𝑥 e 𝑦 são dados em metros, sendo 𝑥 a distancia alcançada no lançamento e 𝑦 a altura atingida pelo dardo. Nessas condições, qual será a altura atingida pelo dardo? E qual distancia alcançará? 6)(COC)Para cada função dada, verifique se ela apresenta um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Justifique. a)𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 b)𝑦 = −2𝑥2 c)𝑦 = −𝑥 − 2 − 𝑥2 d)𝑦 = √5𝑥2 + 2𝑥 − 1 e)𝑦 = − 𝑥2 10 + 9 7)(COC)Para que a função 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 𝑘, cuja variável é 𝑥, apresente um ponto de mínimo igual a −10, qual deve ser o valor de 𝑘? 8)(COC)Em cada função, calcule o valor de 𝑥 para que ela apresente um valor mínimo. a)𝑦 = 2𝑥2 − 16𝑥 + 5 b)𝑦 = 3𝑥2 + 12𝑥 − 7 Aplicação e revisão de Função polinomial do 2º grau 1)(COC)Uma tela será usada para cercar uma região retangular. Em um dos lados dessa região já existe um muro. Veja ilustração: São 6 metros de tela que deverão cercar a maior área possível. Por meio da visão superior, temos a seguinte representação: Sobre essa situação, responda ao que se pede: a)Escreva uma equação que relacione 𝑥 e 𝑦 ao perímetro e outra que relacione 𝑥 e 𝑦 à área 𝐴. b)Com base nas equações obtidas no item anterior, escreva uma função quadrática que forneça A em função de 𝑥. c)Determine o vértice e os zeros da função e faça um esboço desse gráfico. Depois analisando-o, determine qual é a maior área que se pode formar e quais são as medidas de 𝑥 e 𝑦 dessa área. 2)(COC)Considere o seguinte esboço do gráfico de uma função quadrática. E possível que ele seja o gráfico da função: a)𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 b)𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 c)𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 + 2 d)𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 e)𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3 3)(COC)De um quadrado com 10 cm de lado, pretende- se recortar um triângulo isósceles de tal forma que sua altura ℎ seja o dobro de sua base 𝑏.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 5 Para conseguir um triangulo com a maior área possível, quais devem ser os valores de 𝑏 e de ℎ? Qual será a medida da área nesse caso? 4)(COC)Construa, no plano cartesiano a seguir, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 e 𝑦 = −2𝑥2 + 4. 5) 5)(COC)Em uma companhia de aviação, a receita arrecadada em determinado voo é dada por 𝑟(𝑥) = −𝑥2 + 300𝑥, em que 𝑟(𝑥) é a receita em reais e 𝑥 é o número de passageiros desse voo. Com certo número de passageiros presentes nesse voo, é possível gerar qual receita máxima? a)22.500 b)24.000 c)26.500 d)28.000 e)29.500 6)(COC)De uma cartolina quadrada com lados de medidas 50 cm, são recortados dois quadrados, cujos lados tem medidas 𝑥, e dois triângulos retângulos isósceles de cateto 𝑥, formando uma máscara, como mostra a figura abaixo: A medida da área da máscara 𝐴(𝑥), após a retirada dos dois quadrados e dos dois triângulos retângulos isósceles, será de: a)𝐴(𝑥) = 2500 − 7𝑥2 b)𝐴(𝑥) = 2500 − 6𝑥2 c)𝐴(𝑥) = 2500 − 5𝑥2 d)𝐴(𝑥) = 2500 − 4𝑥2 e)𝐴(𝑥) = 2500 − 3𝑥2 7)(COC)Uma caixa será montada com um quadrado de papelão de lado medindo 𝑥, mostrado na figura 1. Para isso, será recortado, de cada um de seus cantos, um quadrado de lado 3, como mostra a figura 2: A expressão que fornece a área A da região sombreada na figura 2, em função de 𝑥, é: a)𝐴 = 𝑥2 − 9 b)𝐴 = 12 − 𝑥2 c)𝐴 = 𝑥2 − 12 d)𝐴 = 36 − 𝑥2 e)𝐴 = 𝑥2 − 36 8)(COC)Uma bola é lançada para cima, verticalmente, e a sua altura ℎ(𝑡), em metros, varia em relação ao tempo 𝑡 em segundos, conforme a seguinte função: ℎ(𝑡) = −𝑡2 + 10𝑡. O instante em que a bola atinge a altura de 25 m ocorre: a)0 s após o lançamento. b)10 s após o lançamento c)4 s após o lançamento d)5 s após o lançamento e)25 s após o lançamento Inequações do 2º Grau 1)(COC)Um retângulo deverá ser recortado de uma cartolina para ser utilizado em um trabalho artístico. Esse retângulo deverá respeitar as seguintes condições: • O comprimento deve medir 2 cm a mais que a largura; • O comprimento e a largura devem ser dados em medidas inteiras e positivas, em centímetros; • A área deve ser menor que 63 cm². Veja um esboço da figura: De acordo com as informações, quais valores de 𝑥 devem ser considerados? 2)(COC)Dada a função 𝑦 = 𝑥2 , verifique para quais valores reais de 𝑥 têm-se 𝑦 = 0, 𝑦 > 0 e 𝑦 < 0. 3)(COC)E possível, em ℝ, que 𝑦 < 0 na função polinomial do 2º grau 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 + 1? Explique. 4)(COC)Considerando o conjunto dos números reais, determine o conjunto solução para as inequações do 2º grau dadas: a)𝑥2 + 7𝑥 + 12 > 0 b)−𝑥2 − 9𝑥 ≥ 0 5)(COC)Estude os sinais das funções polinomiais do 2º grau a seguir, considerando o conjunto dos números reais. a)𝑦 = 𝑥2 + 16𝑥 + 64 b)𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 3 c)𝑦 = −𝑥2 − 5𝑥 − 4 d)𝑦 = −2𝑥2 + 𝑥 6)(COC)Sabe-se que a função polinomial do 2º grau dada por 𝑦 = − 2𝑥2 17 + 0,091𝑥 − 145,9 não apresenta zeros da função. Com isso, considerando qualquer 𝑥 real, verifique se 𝑦 > 0 ou 𝑦 < 0. 7)(COC)em uma indústria de embalagens, uma caixa em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: Quais devem ser os possíveis valores reais de x𝑥 para que a caixa apresente um volume menor que 90 unidades cúbicas? 8)(COC)Na função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 − 3, quais são os valores reais de 𝑥 que fazem com que 𝑓(𝑥) > 0?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 6 Função Composta Não vamos colocar exercícios nessa versão da apostila. Porém, é assunto do módulo. Função Inversa Não vamos colocar exercícios nessa versão da apostila. Porém, é assunto do módulo. B.9.2 – Demonstrações em Matemática Noções de Lógica Valor lógico de uma proposição: Verdadeira ou Falsa. Princípios Básicos das Proposições: Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro valor lógico. Negação de uma proposição: A negação de uma proposição 𝑝 é dada por ~𝑝. Conectivos: E (∧) OU (∨) SE...ENTÃO (→) SE, E SOMENTE SE (↔) Sentença aberta: não é uma proposição pois depende de informações (variável). Ex: a)x+5=8 b) Certo rapaz é jogador de futebol Tabela verdade: Aplicações: I – CONJUNÇÃO: II – DISJUNÇÃO: III – CONDICIONAL
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 7 IV - BICONDICIONAL Implicação lógica – é uma condicional verdadeira. Equivalência lógica – é uma bicondicional verdadeira Quantificadores: I. Quantificador universal: ∀ - para todo ou qualquer que seja II. Quantificadores existenciais: ∃ - existe pelo menos um; ∃| - existe apenas um. Negação de uma proposição com quantificador
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 8 1)(Manoel Paiva) Quais das afirmações a seguir são proposições? Classificar cada proposição como V ou F: a)4+2=6 b)2+9>15 c)x+5=6 d)x+y=10 2)(Manoel Paiva) Sendo p:5>3, q:5≠3, escrever a negação de cada uma dessas sentenças. 3)(Manoel Paiva) Construa a tabela verdade das proposições compostas: a)𝑝 ∨ ~𝑝 b) 𝑝 ∧ ~𝑝 c)𝑝 ∨ ~𝑞 d) 𝑝 ∧ ~𝑞 4)(Manoel Paiva) Compare a tabela verdade de ~(𝑝 ∨ 𝑞) e ~𝑝 ∧ ~𝑞 (Leis de De Morgan) 5)(Manoel Paiva) Qual é a negação de João é alto ou gordo. 6)(Manoel Paiva) Mostre que as proposições ~(𝑝 ∧ 𝑞) e ~𝑝 ∨ ~𝑞 são equivalentes. 7)(Manoel Paiva) Dada as proposições 𝑝 → 𝑞 com a de ~𝑞 → ~𝑝 (contraposição) 8)(Manoel Paiva) Escreva a contrapositiva de “Se Celso é pai de Guilherme, então Rita é esposa de Celso. 9)(Manoel Paiva) Sendo ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }, classificar cada uma das afirmações como V ou F: a)(∀𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 𝑥 = 0) b)(∀𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) c)(∃𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) d) (∃|𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) e) (∃|𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥2 = 9) f) (∃𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(2𝑥 = 3) 10)(Manoel Paiva) Qual é a negação da proposição 𝑝: (∀𝑥)(𝑥 + 2 = 6) 11)(Manoel Paiva)Escreva a negação da proposição: 𝑝: (∃𝑥)(𝑥 ≤ 5) 12)(Manoel Paiva)Escreva a negação de: a)Todo brasileiro gosta de futebol b)Existe mulher alta 13)(Concurso de Copeiro - CORE-SP - Banca INAZ do Pará) Qual das sentenças abaixo é uma sentença aberta? a) 5 + 4 = 8. b) O jogo foi bom. c) Pelé é considerado o rei do futebol no Brasil. d) Que dia ensolarado. e) 2 + x = 10 para 14)(Concurso para Vários Cargos - Ensino Médio - Prefeitura de Sarzedo - MG - Banca IBGP - 2018) Sobre os princípios das proposições, analise as afirmativas a seguir: I. Princípio da não contradição: “Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira." II. Princípio do terceiro excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Nunca ocorrendo uma terceira opção." III. Assim, as informações das proposições possuem valor lógico totalmente verdadeiro e totalmente falso, podendo ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Está(ão) CORRETA(s) a(s) afirmativa(s). a) I apenas. b) III apenas. c) I e II apenas. d) I, II e III. 15)(Concurso de Guarda Municipal - Prefeitura de Paraíba do Sul - RJ - Banca Instituto Pró-Município - 2019) No estudo de raciocínio lógico tem-se as proposições que podem ser divididas em simples ou compostas. Analise as duas proposições e marque a alternativa correta com relação às mesmas. I. Os cães são felizes; II. Se fizer sol amanhã, então vamos à praia. a) As proposições I e II são simples; b) As proposições I e II são compostas; c) A proposição I é simples e a preposição II é composta; d) A proposição I é composta e a preposição II é simples. 16)(Concurso Especialista Técnico - Analista de Sistemas - BNB - Banca CESPE - 2018) Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional. A sentença “No Livro dos Heróis da Pátria consta o nome de Francisco José do Nascimento, o Dragão do Mar, por sua atuação como líder abolicionista no estado do Ceará." é uma proposição simples. a)Errado b)Certo 17)(Concurso Especialista Técnico - Analista de Sistemas - BNB - Banca CESPE - 2018) Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional. Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional. A sentença “É justo que toda a população do país seja penalizada pelos erros de seus dirigentes?” é uma proposição lógica composta. a)Errado b)Certo 18)(Concurso Educador Social - Prefeitura de Ivaí - PR - Banca Instituto FIP - 2018) Considerando as proposições: p: Julia fala espanhol. q: Fábio fala japonês. A tradução da proposição “Ou Julia não fala espanhol ou Fábio fala japonês" para a linguagem simbólica é: a) p ^ q. b) q → p. c) (~p) ∨ q. d) (~p) ∧ (~q). 19)(Concurso Técnico do Seguro Social Ranking - INSS - Banca CESPE - 2016) Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. A sentença “Bruna acesse a internet e verifique a data de aposentadoria do Sr. Carlos!" é uma proposição composta que pode ser escrita da forma p ˄ q. a)Errado b)Certo 20)(Concurso Vários Cargos - Nível Superior - SES - DF - Banca IADES - 2018) Considere as proposições a seguir. P: Estudar matemática; Q: Aprender matemática; R: Gostar de matemática. A sentença Q↔(P∨R) significa, a respeito da matemática, que a) aprender é necessário para gostar ou estudar. b) gostar e estudar são suficientes para aprender. c) aprender e gostar são necessários para estudar. d) aprender é suficiente para gostar e estudar. e) gostar ou estudar são necessários para aprender 21)(Concurso para Soldado da Polícia Militar - PM-BA - Banca IBFC - 2017) Se o valor lógico de uma proposição p é verdade e o valor lógico de uma proposição q é falso, então é correto afirmar que o valor lógico: a) da conjunção entre p e q é falso b) da disjunção entre entre p e q é falso c) do bicondicional entre p e q é verdade d) do condicional entre p e q, nessa ordem, é verdade e) da negação entre a disjunção entre p e q é verdade 22)(Simulado do INSS - 2016) Se ela dança eu danço / Se ela dança eu danço / Se ela dança eu danço / Falei com DJ / Pra fazer diferente..... O texto acima é recorte de uma música conhecida na cultura brasileira. Com base no texto responda o item a seguir: Na primeira linha texto temos um condicional, representado por P → Q. Sabemos da lógica que um condicional é falso quando temos uma premissa verdadeira com tese falsa, deste o modo a negação da primeira linha se dá quando “Ela dança e eu não danço". a)Errado b)Certo 23)(Concurso de Enfermeiro - EBSERH - Banco IBFC - 2106) A conjunção entre duas proposições compostas é verdadeira se: a) os valores lógicos de ambas as proposições forem falsos b) se o valor lógico de somente uma das proposições for verdade c) se ambas as proposições tiverem valores lógicos verdadeiros d) se o valor lógico de somente uma das proposições for falso e) se o valor lógico da primeira proposição for verdade e o valor lógico da segunda proposição for falso. 24)(Concurso para Analista de Sistemas - Desenvolvimento de Sistemas - BRDE - Banca FUNDATEC - 2015) Qual operação lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa Verdadeiro, e F, Falso a) Ou. b) E. c) Ou exclusivo. d) Implicação (se...então). e) Bicondicional (se e somente se).
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 9 25)(Concurso Vários Cargos - Nível Superior - SEGPLAN - GO - 2018) Dizer que não é verdade que “Maria é assistente social e Alberto é cozinheiro”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Maria não é assistente social ou Alberto não é cozinheiro. b) Maria não é assistente social e Alberto não é cozinheiro. c) Maria é assistente social ou Alberto não é cozinheiro. d) Se Maria não é assistente social, então Alberto é cozinheiro. e) Se Maria não é assistente social, então Alberto não é cozinheiro. 26)(Concurso para Vários Cargos - Nível Médio - TRF - 1ª Região - Banca CESPE - 2017) A partir da proposição P: "Quem pode mais, chora menos.", que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo item. A negação da proposição P pode ser expressa por “Quem pode menos, chora mais”. a)Errado b)Certo 27)(Concurso para área de Saúde - Ensino Médio - SES - PR - Banca IBFC - 2016) De acordo com a lógica de proposições a negação da frase “Os carros são velozes e as bicicletas não são de três rodas” é: a) Os carros não são velozes e as bicicletas são de três rodas. b) Os carros são velozes ou as bicicletas não são de três rodas. c) Os carros não são velozes ou as bicicletas não são de três rodas. d) Os carros não são velozes ou as bicicletas são de três rodas. 28)(Concurso para Professor - SEDUC - MT - Banca IBFC - 2017) De acordo com a lógica proposicional, a negação da frase “O advogado não foi convincente e a petição foi cancelada” a) Se o advogado foi convincente, então a petição não foi cancelada b) Se o advogado não foi convincente, então a petição não foi cancelada c) O advogado não foi convincente se, e somente se, a petição não foi cancelada d) Se a petição não foi cancelada, então o advogado foi convincente e) Se a petição foi cancelada, então o advogado não foi convincente 29)(Concurso Básico para Todos os Cargos Exceto 12 - MPOG - Banca CESPE - 2015) Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar", julgue o item a seguir. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava". a)Errado b)Certo 30)(Concurso para Vários Cargos - Nível Superior - Prefeitura do Rio de Janeiro - RJ - 2016) Em uma matéria jornalística, uma pessoa afirmou em entrevista que “este transporte é irregular ou não houve fiscalização adequada”. A negação dessa afirmação é a seguinte: a) esse transporte não é irregular ou houve fiscalização adequada b) esse transporte não é irregular e houve fiscalização adequada c) esse transporte é irregular ou houve fiscalização adequada d) esse transporte é irregular e houve fiscalização adequada 31)(Vestibular da FATEC – 2011) A negação da sentença - 3 < x ≤ 2 é a) x ≤ - 3 ou x > 2. b) x < - 3 ou x ≥2. c) x < - 2 ou x ≥ 3. d) x < - 3 e x ≥ 2. e) x ≤ - 3 e x > 2. 32)(Concurso para Soldado da Polícia Militar - PM-BA - Banca IBFC - 2017) A frase: “Se o soldado chegou atrasado, então não fez atividade física” é equivalente à frase: a) O soldado chegou atrasado e não fez atividade física b) O soldado chegou atrasado e fez atividade fisica c) O soldado chegou atrasado ou fez atividade física d) O soldado não chegou atrasado ou não fez atividade física e) O soldado chegou atrasado se, e somente, não fez atividade física 33)(Concurso para Auxiliar Administrativa – CFF – Banca INAZ do Pará – 2017) Qual é a alternativa que apresenta a equivalência da proposição: “Se o pai fala inglês, então o filho fala francês”. a) “Se o pai não fala inglês, então o filho não fala francês”. b) “O pai não fala inglês e o filho fala francês”. c) “O pai não fala inglês ou o filho fala francês”. d) “O pai fala francês e o filho fala inglês”. e) “O pai não fala francês e o filho não fala inglês”. Demonstrações Material conciso, que precisa ser completado Demonstrações Diretas Idéias teóricas para explicação 𝑝 ⟹ 𝑞 (se ‘p’ então ‘q’) O que é recíproca? 𝑞 ⟹ 𝑝 Hipótese / Tese Postulado-Axioma / Teorema / Lema / Corolário Definição / Ente Primitivo Conjecturas – O Ultimo Teorema de Fermat e a Conjectura de Goldbach 1) Prove que se m e n forem par, a) a soma m+n também é par. b) o produto mn também é par. 2) Prove que o quadrado de um número ímpar é ímpar . 3) Prove que se n é divisível por 6, 2n é divisível por 4. Demonstração por Contraposição O que é contrapositiva? ~𝑞 ⇒ ~𝑝 1) Prove que se n² é par, necessariamente n é par. 2) Prove que se 3n+2 é ímpar, então n é ímpar. 3) Prove que se n=ab, então 𝑎 ≤ √ 𝑛 ou 𝑏 ≤ √ 𝑛. Demonstração pela Redução ao Absurdo Se p é verdadeira ~p é falsa 𝑝^~𝑞 ⇒ ~(𝑝 → 𝑞) é uma tautologia Mostrar que 𝑝^~𝑞 é falsa 1) Prove que √2 é irracional. 2) Prove que existem infinitos números primos. 3) Prove que se um número somado com ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é zero. Comentários de Paradoxos da divisão por Zero (2=1 ?) #1 – Prova que 2=1 Suponha que 𝑥 = 𝑦 Multiplique ambos os membros por x 𝑥2 = 𝑥𝑦 Tire 𝑦2 em ambos os membros 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥𝑦 − 𝑦2 Fatore ambos os membros (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑦(𝑥 − 𝑦) Divida ambos os membros por 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 Como já é hipótese que 𝑥 = 𝑦 𝑦 + 𝑦 = 𝑦 Portanto 2𝑦 = 𝑦 Divida ambos os membros por y 2 = 1 Onde está o erro? #2 – Outra prova Sabemos que 0x2=0 (1) e 0x1=0 (2) Usando a propriedade transitiva da igualdade temos que 0x2=0x1 Dividindo ambos os membro por zero 2=1
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 10 #3 – Mais 0 0 é ao mesmo tempo igual a 0 e 1, pois: - Um número dividido por ele mesmo é 1. - Zero dividido por qualquer número é 0. Logo 1=0, e portanto 1+1=0+1, e então 2=1 #4 – Mais ainda Sabemos que 2-2=0 e 1-1=0 Igualando as duas expressões temos que 2-2=1-1 Fatorando temos que 2(1-1)=1(1-1) Dividindo ambos os membros por 1-1 temos que 2=1 Todos esses 4 raciocínios são idênticos e tem uma explicação única! Demonstração por Exaustão Quantificadores O erro de Fermat: 𝐹𝑛 = 22 𝑛 + 1, sendo n primo, é primo. É falso para n=5, pois 225 + 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417 “A expressão 991𝑛2 + 1 não é um quadrado perfeito para todo todo número n”. Essa expressão falha quando n=12.055.735.790.331.359.447.442.538.767 1) Prove que é falso que ∀𝑛 ∈ ℝ, 𝑛! ≤ 𝑛2 . Demonstração por Casos 1) Prove que se 𝑛 ∈ ℕ, então 𝑛2 ≥ 𝑛. Provas Geométricas Simples - Álgebra 1) Suponha válidas as relações métricas no triângulo retângulo. Prove válido o Teorema de Pitágoras: Existem mais de 350 formas de demonstrar o Teorema de Piágoras registradas em um livro do Prof. Elisha Scott Loomis, dos Estados Unidos, entre elas demonstrações de Pascal, Pappus, Bháskara, Napoleão Bonaparte e do presidente estadunidense James Garfield. O prof. Paulus Gerdes, de Moçambique, com base na cultura dos povos de Moçambique demonstrou infinitas maneiras de provar o Teorema de Pitágoras. 2) Usando o Teorema de Pitágoras deduza: a) Uma fórmula para calcular a diagonal de um quadrado. b) Uma fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero. c) Uma fórmula para calcular a área de um hexágono regular. d) Uma fórmula para o lado e para o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência. e) O seno e o cosseno de 45º. 3) Mostre que, para ângulos de 0º a 90º, é verdadeiro que 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1. Provas Geométricas Simples – Argumentos Angulares e Combinatórios O problema da circularidade em demonstrações. A diferença da prova e da demonstração rigorosa. 1) Mostre que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 2) Deduza a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono, supondo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. 3) Deduza uma fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono. 4) Demonstre o Teorema do Ângulo Externo para um triângulo. 5) Considere que é válida a afirmação “Em retas paralelas cortadas por uma transversal, ângulos alternos internos são congruentes”. A partir disso verifique que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Propriedades da Igualdade e da Desigualdade Propriedades da Igualdade (Relação de Equivalência) Reflexiva a=a Simétrica Se a=b, então b=a Transitiva Se a=b e b=c, então a=c Propriedades da Desigualdade (Relação de Ordem) Reflexiva a≤a a≥a Transitiva Se a≤b e b≤c, então a≤c Se a≥b e b≥c, então a≥c Anti-simétrica Se a≥b, então b≤a O problema das Definições A importância das definições para as provas. 1) Prove que, se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐶, então 𝐴 ⊂ 𝐶. (Transitividade) 2) Mostre que semelhança é uma relação de equivalência. 3) Mostre que inclusão é uma relação de ordem parcial. Princípio da Indução Finita 1) p(1) é válido – passo básico ou base da indução 2) Se par todo k p(k) implica em p(k+1), onde k é um natural positivo – passo indutivo 1) Prove que: a) 2 𝑘 < 𝑘!, ∀𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ b) 1 + 2 + 3+. . . +𝑛 = 𝑛(𝑛+1) 2 c) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 d) 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) para n inteiro é sempre divisível por 6. e) 32𝑛+1 + 2 𝑛−1 é divisível por 7.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 11 f) 𝑛3 − 𝑛 é divisível por 3. g) 2 𝑜 + 21 + 22 + ⋯ + 2 𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 Outros Temas relacionados (de outros módulos) PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS – PCP RECURSIVIDADE Demonstração em Geometria Esse assunto será abordado pelo professor teoricamente com material complementar. Paradoxos Esse assunto será abordado pelo professor teoricamente com material complementar. B.8.2 – Noções sobre Sólidos Geométricos e Volumes Noções de Geometria Espacial 1)(Bianchini) Quais dos objetos a seguir não dá a idéia de um sólido? E quais dão a idéia de um poliedro? 2)(Bianchini) Cada sólido representado a seguir é identificado por um número. Use essa identificação para classificar esses sólidos como corpo redondo ou poliedro. Organize essas informações em uma tabela. 3)(Somos Educação)Quais sólidos abaixo são poliedros e quais são corpos redondos? É possível não se enquadrar em nenhuma das duas categorias. 4)(Somos Educação)Classifique as figuras em poliedros, corpos redondos ou nenhum dos dois. 5)(Bianchini) Veja o que Paulo e Pedro fizeram com copos descartáveis: Paulo contornou com lápis a boca do copo sobre uma folha de papel. Pedro pintou toda a parte externa do copo com tinta guaxe. a)Qual deles representou uma figura plana? b)Pedro pintou a superfície de um poliedro? 6)(Bianchini)Veja as imagens do caranguejo e de sua sombra. Qual delas representa uma figura plana?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 12 7)(Bianchini) Dê o nome dos poliedros de acordo com o número de faces. 8)(Bianchini) Todas as figuras a seguir são hexaedros: Calcule o número de vértices, faces e arestas de cada um deles. 9)(Bianchini)Dê o nome completo dos seguintes prismas e pirâmides: 10)(Bianchini)Das embalagens apresentadas a seguir, identifique quais têm forma de prisma e quais têm forma de pirâmide. 11)(Bianchini)Identifique em cada construção se a parte indicada pela seta lembra a forma de prisma, de pirâmide ou nenhuma delas. 12)(Bianchini)Em cada linha do quadro a seguir, descubra qual dos poliedros tem suas faces desenhadas. 13)(Somos Educação)Qual poliedro pode ser montado com cada conjunto a seguir? 14)(Bianchini) Determine o número de vértices, faces e arestas de cada uma das figuras a seguir e verifique que V+F-A=2: 15)(Bianchini) Observe a pirâmide abaixo e responda: o ponto E está no mesmo plano de A, B e C? E o ponto A está no mesmo plano de D, C e E? 16)(Bianchini)Considerando a figura, copie no caderno as afirmações verdadeiras. a)Os pontos A, B, C e D são coplanares. b)Os pontos A, B, C e F não são coplanares. c)Os pontos D, C, F e G são coplanares. d)Os pontos B, C, F e G são coplanares.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 13 17)(Somos Educação)Veja a representação de um bloco retangular e de sua planificação. Coloque na planificação as letras no lugar adequado. Você precisa se lembrar o que são pontos e retas coplanares, o que são retas reversas: E1 / B1 Prismas e Pirâmides e Relação de Euler 1)(Somos Educação)Que tipos de polígonos aparecem nos contornos das faces de cada poliedro? Quantos são de cada tipo? 2)(Somos Educação)Qual das figuras indica um poliedro com o número de vértices igual ao número de faces? 3)(Somos Educação)Escreva o nome do sólido geométrico que pode ser montado com cada uma das planificações a seguir: 4)Preencha a tabela: 5)(Somos Educação)Complete o quadro abaixo com o número de vértices (V), o número de faces (F) e o número de arestas (A) das pirâmides a seguir. Depois indique, entre todos os casaos, em quais deles se verifica: a)V=F b)V+F=A+2 c)2V=A+2 d)F+A=19 e)A=F+3 f)AF=30 6)(Saresp – Adaptado por Somos Educação) Paula vai colar um adesivo em cada face de duas caixas de presente, com as do desenho, até mesmo nas faces que ficam apoiadas sobre a mesa. O total de adesivos que Paula vai colar é: 7)(Somos Educação)O paralelepípedos ou blocos retangulares, incluídos os cubos, são exemplos de prismas ou pirâmides? 8)(Somos Educação)Em um prisma, o número de faces é 7 e o número de arestas é 15. Então, o número de vértices é ___. 9)(Somos Educação)Verifique a relação de Euler nos poliedros a seguir: 10)(Bianchini) Se as bases de um prisma têm 7 vértices cada uma, quantas arestas tem esse prisma? E quantas faces laterais? 11)(Bianchini) Se uma pirâmide tem 12 vértices, quantos lados tem sua base? Quantas faces laterais tem essa pirâmide? E arestas? 12)(Bianchini) Se uma pirâmide de 20 faces e um prisma têm o mesmo número de vértices, quantas faces tem o prisma?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 14 13)(Somos Educação)Considere uma pirâmide qualquer e responda às questões a seguir. a)O número de faces e o número de vértices são iguais ou diferentes? b)O que acontece com o número de vértices em relação ao número de lados da base? c)O que acontece com o número de arestas em relação ao número de lados da base? 14)(Somos Educação)Beatriz está limpado seu porta- lápis de vidro, que tem a forma de um prisma octogonal. Quantas faces Beatriz tem de limpar? 15)(Somos Educação)Rose fabrica potes de geléia que tem a forma de prisma decagonal. Cada face do pote é feita por um único pedaço de vidro, inclusive a tampa. De quantos pedaços de vidro ela necessita para fazer 10 potes? 16)(Somos Educação)Flávia construiu um aquário de base hexagonal fechado como representa a figura. Ela vedou todos os encontros de duas peças de vidra com massa e um pedaço de alumínio. Quantos pedaços de alumínio Flávia usou? Vistas 1)(Bianchini) Para cada poliedro, desenhe uma figura plana que representa a parte da sua superfície que represente a parte da sua superfície vista de cima. 2)(OBM) Sobre uma mesa retangular de uma sala foram colocados quadro sólidos, mostrados no desenho. Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa melhor essa fotografia? 3)(Somos Educação)Desenhe a vista superior e a inferior de cada sólido geométrico. 4)(Somos Educação)Considere três dados de cores diferentes em que as faces “encostadas” têm o mesmo número de pontos. Observe duas vistas dos três dados: Examine as figuras acima e desenhe as vistas inferior, lateral direita, frontal e de trás dos dados. 5)(OBM) No desenho abaixo, três cubos iguais estão apoiados sobre uma mesa. Cada cubo tem as faces numeradas por 0, 1, 3 , 4, 5, 9, onde cada número aparece exatamente uma vez. Qual é a soma dos números das faces em contato com a mesa? a)6 b)8 c)9 d)10 e)12 6)(Universidade de Coimbra – Portugal) Qual das peças seguintes permite construir um paralelepípedo a partir de objeto representado ao lado? 7)(Somos Educação) Em qualquer dado, a soma dos pontos das faces opostas é sempre igual a 7. Na figura a seguir, a soma dos pontos brancos das faces que estão encostadas nas três placas (verde, marrom e vermelha) é igual a 20. Com base nessa informação, responda às questões a seguir. a)Quantos pontos marca a face de baixo apoiada na placa vermelha? b)Qual é a soma dos pontos das faces dos dois dados que estão encostadas uma na outra?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 15 8)(Exame Final do Ensino Básico – Portugal – Matemática 92 – 3º Ciclo – 2012 – 1ª Chamada) Na Figura 1, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta. Em qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente? Assinala a opção correta. Corpos Redondos e Sólidos de Revolução 1)Desenhe a forma geradora dos sólidos abaixo se eles forem de revolução (despreze detalhes mínimos). Caso contrário, assinale-os com um x: : 2)(Saeb) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de base circular, qual é a planificação do molde desse copo? 3)(ENEM – 1998) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo, girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5D d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A O material do E1 tem exercícios interessantes de Sólidos de Revolução. Poliedros Regulares 1)Dê o nome dos sólidos abaixo: 2)Duas histórias interessantes relacionadas com este tema. Uma diz respeito ao Filósofo Grego Platão, outra ao Astrônomo e Físico Johannes Kepler. Platão associou os 4 elementos com os sólidos. Para ele a terra era o cubo, o ar era o octaedro regular, a água o icosaedro regular, o fogo o tetraedro regular. O formato do éter, a “alma do universo”, o “5º elemento” era um dodecaedro regular. Esta idéia está escrita em seu livro Timeu publicado em cerca de 360aC. Fonte: http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?de ze_art_online_id=124 Associe os nomes às gravuras acima.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 16 3) Escreva o nome dos sólidos cuja planificação está abaixo: 4)O que é um Poliedro Regular? 5)Preencha a tabela: Poliedro Regular V F A arestas que Sai de um vértice Número de lados da Face T H O D I 6)Quanto ao número de faces, o cubo é um: ( ) Tetraedro ( ) Hexaedro ( ) Octaedro 7)Quanto ao número de faces uma pirâmide quadrangular é um: ( ) Tetraedro ( ) Pentaedro ( ) Octaedro 8)Qual prisma é um hexaedro? ( ) Prisma triangular( ) Prisma quadrangular( ) Prisma hexagonal 9)Calcule o número de vértices, faces e arestas: 10)(Somos Educação)Verifique se as figuras são poliedros regulares. 11)(Somos Educação) Examine o cubo e sua planificação e responda. a)Quantas faces tem o cubo? Quantos vértices? E quantas arestas? b)Por que o cubo também é chamado de hexaedro regular? c)O cubo é um caso particular do bloco retangular? Explique. 12)(Somos Educação)Sobre o Tetraedro Regular, responda: a)O tetraedro regular é uma pirâmide especial? Explique. b)Qual é o significado do prefixo tetra? c)Quantas faces tem o tetraedro regulares? Quantos vértices? E quantas arestas? d)O que ocorre com o número de faces e de vértices de um tetraedro? Isso acontece em qualquer pirâmide? 13)(Somos Educação)Sobre o Octaedro Regular, responda: a)O que significa a expressão octaedro regular? b)Qual é a forma das faces do octaedro regular? c)Quantos vértices, quantas arestas e quantas faces tem o octaedro? 14)(Somos Educação)Sobre o Dodecaedro Regular, responda: a)O que significa dodecaedro regular? b)Qual é a forma das faces do dodecaedro regular? c)Quantos vértices tem o dodecaedro? Quantas arestas? E quantas faces? 15)(Somos Educação)Sobre o Icosaedro Regular, responda: a)O que significa icosaedro regular? b)Qual é a forma das faces do icosaedro regular? c)Quantos vértices tem o icosaedro? Quantas arestas? E quantas faces? 16)(Somos Educação)Complete a tabela e verifique a relação de Euler? 17)(Somos Educação)Considere os cinco poliedros regulares. a)Em quais deles temos 𝑉 = 3 4 𝐹?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 17 b)Em quais deles temos 𝐹 = 2 3 𝐴? c)Em quais deles temos: 2𝑉+𝐹+3𝐴 2𝐴+7 = 2 18)(Somos Educação)Em um poliedro regular, o número de vértices é a metade do número de arestas e o número de faces é 2 3 do número de arestas. Descubra quantos vértices, quantas faces e quantas arestas tem esse poliedro e qual é seu nome. 19)(PUC-SP) O poliedro regular que possui 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a) tetraedro b)icosaedro c)hexaedro d)dodecaedro e)icosaedro 20)(PUC-SP) Sobre as sentenças: I- Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II- Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III- Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a)I é verdadeira b)II é verdadeira c)III é verdadeira d)I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras 21)(UFCG-MS) Um professor de Matemática, em uma aula de Geometria, pediu que cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares. Podemos afirmar que o número de vértices do poliedro construído pelos alunos é igual a: a)28 b)12 c)19 d)27 e)41 22)(OBM) Um dado especial tem como faces triângulos equiláteros, numerados de 1 a 4, como no desenho. Colando dois dados, fazemos coincidir duas faces, com o mesmo número ou não. Qual dos números a seguir não pode ser a soma dos números das faces visíveis? a)12 b)14 c)17 d)18 e)19 Outros Poliedros Cubo (aqui é só contar, não é preciso da técnica, mas faremos como exemplo) Faces: 6 faces quadrangulares (quadradas) Arestas: 6 faces x 4 lados = 24; 242=12 arestas Vértices: 6 faces x 4 lados = 24; grau dos vértices: 3 (partem 3 arestas de cada vértice); 243=8 vértices Dodecaedro Faces: 12 faces pentagonais Arestas: 12 faces x 5 lados = 60; 602=30 arestas Vértices: 12 faces x 5 lados = 60; grau dos vértices: 3 (g=3); 603=20 vértices. Poliedro Bola, Buckyball ou Icosaedro Truncado Faces: 12 faces pentagonais, 20 faces hexagonais; total de faces: 12+20=32 faces Arestas: 12x5+20x6=60+120=180; 1802=90 arestas Vértices: grau dos vértices: 3; 1803=60 vértices Tetraedro Truncado Faces: 4 faces hexagonais, 4 faces triangulares; total de faces: 4+4=8 faces Arestas: 4x6+4x3=24+12=36; 362=18 arestas Vértices: grau do vértice: 3; 183=6 arestas 1)Vejam os conceitos e simbologias: Considere então: Prisma Piramidal Triangular – PP3 Prisma Piradimal Quadrangul ar – PP4 Prisma Piramidal N- agonal – PPn * Prisma Piramidal Triangular (ou Pirâmide Triangular Alongada ou Sólido de Johnson 7 – J7) * Prisma Piramidal Quadrangular (ou Pirâmide Quadrangular Alongada ou Sólido de Johnson 8 – J8) * Prisma Piramidal Pentagonal (ou Pirâmide Pentagonal Alongada ou Sólido de Johnson 9 – J9) a) Preencha a tabela: P P 3 P P 4 P P 5 P P 6 P P 7 P P 8 P P 9 P P 10 P P 89 PP 14 4 PP 38 7 P P n V F A
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 18 b) As seqüências de vértices, de faces e arestas estão em Progressão Aritmética, assim como estão as seqüências de Prismas e Pirâmides. c) Mostre que para os Prismas Piramidais, V+F-A=2. 3) (UERJ-1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m 4) Uma bola de futebol é composta por 20 “gomos” hexagonais e 12 “gomos” pentagonais. Uma costureira gasta 15 cm de linha para emendar os gomos e formar uma bola. Quantos metros de linha usa essa costureira? 5) Desenhe: a) Pentágono não convexo b) Eneágono não convexo c) Heptágono não convexo 6) Dê o nome às formas: 7) Dada a forma geométrica e a planificação, encontre vértices, faces e arestas: 8) Qual é o formato das faces laterais do: a) Prisma____________________________ b) Pirâmide _________________________ 9) Classifique as figuras quanto ao número de faces 4 faces – TETRAEDRO5 faces – PENTAEDRO 6 faces – HEXAEDRO 7 faces – HEPTAEDRO 8 faces – OCTAEDRO 9 faces – ENEAEDRO 10 faces – DECAEDRO11 faces – UNDECAEDRO 12 faces – DODECAEDRO 15 faces – PENTADECAEDRO 20 faces – ICOSAEDRO Como se classificaria quanto ao número de faces: a) a pirâmide hexagonal b) o prisma pentagonal c) a pirâmide eneagonal d) o prisma heptagonal 11) Associe cada figura às suas planificações: 12) Classifique os poliedros quanto às faces 13) Um ponto que aparece em uma face de cada planificação estará também em outras faces depois de montada a figura. Quais são essas outras faces? Responda sem montar a figura. 14) Cada planificação a seguir tem uma face pintada que será vizinha de outras faces depois de montada a figura. Sem montá-la, assinale essas outras faces.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 19 28)Veja a figura abaixo e responda a) Quantos são os vértices? b) Quantas são as faces? c) Quantas são as arestas? d) Calcule V+F-A 29) Construa em papel sulfite o molde para construir a seguinte figura TEMÁTICAS IMPORTANTES (veja E1): - Como desenhar sem tirar o lápis do papel - Faixa de Möbius e Garrafa de Klein - Problema das Sete Pontes de Königsberg Aplicações Topológicas – Problema das Quatro Cores (Somos Educação)Pinte as figuras com o menor número possível de cores e indique o número de cores que você usou. (Somos Educação)Na figura, temos o mapa simplificado da região Norte do Brasil pintado como o melhor número possível de cores. Responda: quantos são os estados e quantas cores foram necessárias? (Somos Educação)Agora você têm os mapas das regiões Sudeste e Nordeste. Pinte-os com o menor número possível de cores. Indique o número de estados e o número de cores em cada um deles. Volumes: conceitos básicos 1)(Prova de Aferição do Ensino Básico – Portugal) A Rosa decidiu medir o volume do corpo do seu peixe. Para o fazer, colocou água num copo graduado e, em seguida, mergulhou o peixe lá dentro, como se vê na figura. Faça uma estimativa do volume do corpo do peixe de Rosa. 2)(Somos Educação) Observe as pilhas montadas com cubos de aresta 1 cm. Determine o volume dos poliedros a seguir: 3)(Somos Educação)Qual é a medida do volume de um cubo de 10 cm de aresta?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 20 Volume do Bloco Retangular 1)(Somos Educação)Qual é o volume da caixa, do aquário e da piscina representados abaixo? 2)(COC)Uma caixa de papelão foi montada na forma de um cubo com arestas medindo 12 cm, conforme ilustração. Depois disso, revestiram-na por completo, com papel de presente, pois seria utilizada como decoração de Natal. Determine a medida da área da superfície coberta pelo papel de presente. 3)(COC)Considere o seguinte bloco retangular cujas dimensões são dadas pelas medidas a, b e c. Faça um esboço da planificação desse sólido e depois escreva uma fórmula que dê a medida da área A da superfície desse sólido (área total). 4)(COC)Calcule a área total de um bloco retangular que tem 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm de altura. 5)(Somos Educação)Escreva uma fórmula geral para determina medida do volume do paralelepípedo e do cubo abaixo. 6)(Somos Educação)Calcule a área e o volume da figura a seguir: 7)(Somos Educação)Qual é a área total de um paralelepípedo com dimensões de 6 centímetros, 8 centímetros e 10 centímetros? Qual o volume desse paralelepípedo? 8)(Somos Educação)Se um paralelepípedo tem volume de792 m³, comprimento de 11 metros e largura de 8 metros, qual é a medida de sua altura? 9)(Somos Educação)Quanto mede o comprimento de cada aresta de um cubo com volume de 343 dm³? 10)(Somos Educação)Qual é a medida do volume de um cubo cuja área total é de 384 cm²? 11)(Somos Educação)Com cubinhos que têm 2 centímetros de aresta foi formado um bloco retangular como este da figura. Qual é o volume desse bloco? Medidas de Capacidade e Volume 1)(Somos Educação)Você estudou que, se um cubo tem arestas de 1 dm (10 cm), seu volume é de 1 dm³ (1000 cm³) e sua capacidade é de 1 litro. Complete as correspondências: 2)(Somos Educação)Faça uma estimativa e depois responda considerando a representação abaixo. Quantos litros de água são necessários para encher esta piscina de plástico? 3)(Somos Educação)A capacidade desta caixa térmica de isopor é maior, igual ou menor que 35 litros? 4)(Somos Educação) Uma caixa-d’água tem a forma de um paralelepípedo de dimensões 80 cm por 90 cm por 60 cm. Qual é a medida do seu volume? E de sai capacidade? 5)(Somos Educação)Um tanque em forma de paralelepípedo tem como base uma região retangular de 30 cm por 20 cm. Ele está com nível de água de 7,5 cm. Quando um cubo sólido é completamente mergulhado no tanque, o nível de água se eleva em 0,5 cm. Quanto mede, aproximadamente, a aresta do cubo? 6)(Somos Educação)Faça o desenho da planificação de um bloco retangular com dimensões de 4 cm, 3 cm e 1 cm.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 21 Mais Volume do Bloco Retangular 1)(Somos Educação)Uma caixa de creme dental com a forma de um bloco retangular tem as seguintes dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm. Determine a área da caixa planificada. 2)(Somos Educação)Para construir uma caixa aberta com a forma de um bloco retangular, Júlia recortou uma região poligonal de papelão como está indicado na figura, dobrou e colocou fita-crepe. Quantos centímetros quadrados de papelão ela usou? 3)(Somos Educação)Sônia é decoradora e resolveu comprar alguns aquários de vidro para decorar a casa das três clientes. Observer os três modelos que ela comprou e as informações em cada um. a)Calcule a medida do volume de cada aquário. b)Determine a medida do comprimento de cada aresta do aquário C. c)Responda: o volume de C corresponde a quanto por cento do volume de A? d)Determine quantos litros de água cabem em cada um desses aquários. 4)(Somos Educação)Para encher um tanque A, uma torneira que despeja 190 litros de água por minuto ficou aberta durante 1 hora e 10minutos. O tanque B tem volume 11,3 m³. a)Em qual dos dois tanques cabe mais água? b)Quantos litros a mais? 5)(Somos Educação)As dimensões de um reservatório em forma de bloco retangular, em metros, são três números naturais consecutivos. Descubra essas dimensões sabendo que, nesse reservatório, cabem 120 000 litros de água. 6)(Somos Educação)Uma torneira despeja 20 litros de água por minuto. Quanto tempo ela gasta para encher uma caixa-d’água em formato de paralelepípedo com dimensões 1 metro, 1 metro por 0,5 metro? 7)(Somos Educação)O nível de água corresponde a 2/3 da altura do aquário. Quantos litros de água há no aquário? 8)(Somos Educação)Os vasilhames A e B estão cheios de água e o vasilhame C, de forma cúbica, está vazio. Despejando água de A e B em C, este fica com 4/5 de sua capacidade ocupada. Qual é a medida de cada aresta de C? 9)(Somos Educação)Uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 0,95 m, 1,95 m e 0,95 m. Qual é o valor aproximado da medida de capacidade dessa caixa? a)20.000 L b)2.000 L c)5.000 L 10)(Somos Educação)Uma indústria embala os sabonetes que fabrica em caixas com dimensões de 20 centímetros, 10 centímetros e 8 centímetros. Para transportar as caixas elas são colocadas em recipientes com a forma, a posição e as dimensões indicadas na figura abaixo: As caixas devem ser colocadas no recipiente, todas na mesma posição, de modo que caiba nele o maior número possível de caixas. a)Analise as três figuras a seguir e faça uma estimativa: qual delas indica a melhor posição para que isso aconteça?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 22 b)Calcule quantas caixas cabem nos recipientes A, B e C, considerando a posição indicada em cada um deles, e confirma sua resposta para o item “a”. 11)(Somos Educação)Um bloco de forma cúbica com medidas 10 cm x 10 cm x 10 cm é pintado em suas 6 faces com tinta azul. Depois ele é cortado em bloquinhos de medidas 1 cm x 1 cm x 1 cm. Qual é a quantidade de bloquinhos que não terão nenhuma de suas faces pintadas de azul? 12)(Somos Educação)Em uma caixa-d’água com 1 m³ de volume cabem 1.000 L de água. Calcule quantos litros de água cabem em um reservatório que tem a forma de um bloco retangular com dimensões de 2 m, 1,5 m e 70 cm. 13)(Somos Educação)Um tanque com a forma de bloco retangular tem as dimensões indicadas na figura abaixo. Se uma torneira despeja 25 L de água por minuto, em quanto tempo ele encherá esse tanque? 14)(Somos Educação)Qual deve ser a medida da aresta de um reservatório cubico para que sua capacidade seja de 8000 L? 15)(Somos Educação)Um cubo de aresta 10 cm está com água até certa altura. Em seu interior, é colocada uma pedra que faz a altura da água subir 4 cm sem que a água derrame. Qual é o volume da pedra colocada em seu interior? 16)(Somos Educação)Os dois recipientes mostrados nas figuras estão cheios de um mesmo material. A quantidade contida no recipiente cúbico tem massa 600 g. a)Qual é a massa da quantidade contida no outro recipiente? b)Qual é a densidade desse material? c)Quando colocado na água, ele flutua ou afunda? 17)(Somos Educação)Vamos considerar uma cartolina retangular cujo comprimento é 40 cm e cuja largura é de 20 cm. Para calcular sua área, nós dependemos dessas duas medidas, o que nos leva a concluir que a área da cartolina não é uma medida linear, ou seja, se reduzirmos suas dimensões pela metade, isso não significa que sua área também será reduzida à metade. Observe: a área da cartolina é o produto de suas dimensões (40 ∙ 20) resultando um total de 800 cm². Se reduzirmos essas dimensões para 20 cm e 10 cm, a nova área será de 200 cm² (20 ∙ 10), ou seja, um quarto da área anterior (e não a metade). Consideramos, agora, a figura que representa a mesma cartolina citada acima, mas da qual serão recortadas quatro regiões quadradas de lado x, uma em cada canto. Observe o gráfico. Ele mostra como varia a área da região em destaque da cartolina quando retiramos as quatro regiões quadradas. I)Responda às questões a seguir, usando o gráfico se necessário. a)Qual é a expressão algébrica E que representa a área da cartolina após a retirada dos cantos? b)É possível retirar as quatro regiões quadradas dos cantos com lados de medida 11 cm? Justifique. c)Qual deve ser a área de cada uma das quatro regiões quadradas para que a área restante corresponda a 7/8 da área inicial. Dica: considere a área de cada região quadrada como 𝑥2 . II)Após recortarmos a quatro regiões quadradas da cartolina, obtemos a figura da esquerda. Depois de dobrada nas linhas tracejadas, obtemos a caixa mostrada na figura da direita. Observe no gráfico que, para obtermos a caixa, o valor de x deve ser maior do que zero e menor do que 10.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 23 Observe o gráfico e faça o que se pede: d)Represente o volume da caixa com uma expressão algébrica. e)O que aconteceria se tivéssemos x=0 ou x=10 cm? f)Qual o volume da caixa para x=7 cm? g)Para um volume de 1400 cm³, qual é aproximadamente o valor de x? 18)(Somos Educação)No bloco retangular da figura ao lado, a medida de 𝐸𝐶̂ 𝐹 é: a)30° b)45° c)60° d)90° Diagonal do Bloco Retangular Calcule a diagonal FC do Bloco Retangular: Proporcionalidade e Volume 1)(Somos Educação)considere dois cubos cujas arestas medem 4 cm e 6 cm, nessa ordem. Calcule e indique com frações irredutíveis a razão entre: a)as medidas de comprimento das arestas. b)os perímetros das faces. c)as áreas das faces. d)as áreas totais. e)os volumes. 2)(Somos Educação)A medidas de volume de um cubo com arestas de 1 cm é igual a 1 cm³. Fixamos esse cubo como unidade de medida de volume. Observe as figuras acima e faça o que se pede. a)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no cubo da figura 2? Qual é o volume do cubo da figura 2? b)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no cubo da figura 3? Qual é o volume do cubo da figura 3? c)Há alguma outra maneira de calcular o volume desses cubos sem contar os cubinhos que formam o cubo maior? Explique. d)Qual é a medida do volume de um cubo com arestas de 5 cm? 3)(Somos Educação)Considere o paralelepípedo abaixo com dimensões de 6 cm, por 2 cm, por 3 cm, e a unidade de medida de volume é 1 cm³. Vamos calcular o volume desse paralelepípedo. a)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no paralelepípedo da figura 3? Qual é o volume do paralelepípedo da figura 3? b)Há alguma outra maneira de calcular o volume desse paralelepípedo sem contar os cubinhos que o formam? Explique. 4)(Somos Educação)Elisabeth faz chocolates para vender. Ela vende barras de um mesmo tipo de chocolate, com tamanhos diferentes. As barras têm a forma aproximada de um paralelepípedo, e os valores que correspondem ao volume (em cm³), à massa (em g) e ao preço (em reais) são proporcionais. Abaixo temos o valor de uma das barras. Analise-o e escreva os valores das outras duas barras.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 24 c)Um quarto tipo de barra de chocolate tem a forma cúbica e será vendido por R$ 5,76. Determine o seu volume, a medida de cada aresta e o seu “peso”, considerando que a proporcionalidade será mantida. Tópicos que podem ser assuntos desse módulo: Proporcionalidade e Semelhança de Sólidos, Simetrias em Sólidos – que precisam entrar na versão definitiva Volume do Prisma 1)(Somos Educação)Calcule a medida do volume de cada um dos sólidos abaixo. 2)(Somos Educação)a)Determine a área, em centímetros quadrados, da região retangular abaixo. b)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários para cobrir a região retangular acima? c)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários para encher completamente o prisma abaixo? Esse valor corresponde à medida do volume do prisma. d)Como podemos obter o volume desse prisma relacionando a área da sua base e a sua altura? e)Vamos agora calcular o volume deste outro prisma. Para isso, resolva os exercícios a seguir. Determine a área, em centímetros quadrados, da região limitada pelo triângulo retângulo abaixo. f)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários para encher completamente o prismo abaixo? Esse valor corresponde à medida do volume do prisma. g)Como podemos obter o volume do prisma acima relacionando a área da base e a altura desse prisma? 3)(Somos Educação)Calcule a medida do volume de cada sólido indicado abaixo. a) Prisma com 5 cm de altura, cuja base tem como contorno um triângulo retângulo com lados 6 cm, 8 cm e 10 cm. b)Cilindro com diâmetro da base da medida igual a 8 cm e altura de medida igual a 5 cm. c)Prisma com 6 cm de altura, cuja base tem como contorno um hexágono regular com lados de 8 cm (use √3 = 1,7)
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 25 4)(Somos Educação)Uma caixa de creme dental com a forma de um bloco retangular tem as seguintes dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm. Determine a área da caixa planificada. 5)(Somos Educação)Para construir uma caixa aberta com a forma de um bloco retangular, Júlia recortou uma região poligonal de papelão como está indicado na figura, dobrou e colocou fita-crepe. Quantos centímetros quadrados de papelão ela usou? 6)(Somos Educação)Qual é a área do prisma a seguir? 7)(Somos Educação)Veja o prisma de base quadrada: a)Qual é área lateral desse prisma? b)Qual é a área de cada uma das suas bases? 8)(Somos Educação)Moacir é marceneiro e quer construir uma caixa de madeira com a forma e as dimensões indicadas na figura abaixo. De quantos centímetros quadrados de madeira Moacir vai precisar para construir essa caixa? 9)(Somos Educação)Determine a área total aproximada da superfície do prisma pentagonal abaixo, formado por duas regiões pentagonais e cinco regiões retangulares. Use 𝑡𝑔 36° = 0,727. 10)(Somos Educação)Calcule a área total da superfície de uma caixa cúbica com aresta de 5 cm. 11)(Somos Educação)Um prisma de base triangular tem as seguintes características: • Cada base é um região triangular com um ângulo reto e lados de 6 cm, 8 cm e 10 cm. • Altura com medida de 8 cm. a)A área da base. b)A área da maior face lateral. c)A área total desse prisma. 12)(Somos Educação)Uma caixa de fósforos é composta de duas peças. Observe as dimensões da caixa de fósforo da figura abaixo e responda: em qual das peças, a ou b, se usa mais material na confecção? 13)(UFABC-SP) Para fabricar um único microchip de 32 megabytes de memória (figura 1) usam-se 1,6 kg de combustível fóssil e 72 gramas de substâncias químicas (Enciclopédia do Estudante, Estadão). É necessária ainda toda a água contida em um prisma reto de base quadrada (figura 2), com sua capacidade total preenchida. Sabendo que a densidade da água, ou massa por unidade de volume, é de 1 g/mL, pode-se concluir que a massa de água usada para fabricar esse microchip é igual a: a)400 g b)500 g c) 550 g d) 600 g e)700 g
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 26 14)(UECE) Se um prisma triângulo reto é tal que cada uma de suas arestas mede 2 m, então a medida do seu volume é: a)3√2 m³ b)2√3m³ c)6 m³ d)8 m³ 15)(COC)Paula confecciona bombons de chocolate e, para o Natal, está utilizando uma caixa no formato de prisma de base triangular, conforme ilustração. Ele deseja embalar essa caixa com papel de presente. Considerando as medidas dadas, no esboço a seguir e sua respectiva planificação (dois triângulos equiláteros e três retângulos), qual é a quantidade mínima de papel, em centímetros quadrados, que Paula deverá utilizar? Considere: √3 = 1,73 16)(COC)Tiago produz envelopes para cartões e cartas. Um dos modelos que ele produz toma como base a seguinte planificação: A planificação é obtida a partir de uma única folha de papel retangular, conforme esquema e medidas em milímetros: A planificação é formada por um triângulo isósceles e quatro retângulos. Considerando essa situação, responda ao que se pede. a)Determine a área total, em centímetros quadrados, da superfície da folha de papel usada para traçar o molde do cartão. b)Determine, em centímetro quadrados, a área da superfície da folha ocupada apenas pelo molde do cartão. c)Depois do recorte do molde, as sobras da folha são direcionadas para reciclagem. Assim, são reaproveitadas na própria linha de produção dos cartões. Que porcentagem de uma folha é desprezada e enviada para reciclagem após o recorte do molde? d)Para a confecção de 1000 cartões quantos metros quadrados de folha são necessários? Desse total, quantos metros quadrados de folha são reciclados? 17)(COC)Uma caixa de presentes tem o formato de um prisma de base pentagonal regular. As medidas dessa caixa são apresentadas no rascunho a seguir: Deseja-se embalar essa caixa com um papel adesivo, cobrindo toda a sua superfície. Qual é a medida da área total da superfície desse sólido? Considere tg(36°)=0,73. O Princípio de Cavalièri Segunda imagem, do prof. Nilo Esse princípio é usado para demonstrar os volumes da pirâmide, do cone e da esfera Volume da Pirâmide 1)(Somos Educação)Verifique que o volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma de mesma base.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 27 2)(Somos Educação)Pedro ganhou uma pirâmide de acrílico com as seguintes características: a base é uma região retangular de 5 cm por 6 cm e a altura é de 9 cm. Qual é o volume dessa pirâmide? 3)(Somos Educação)A altura dessa pirâmide é de 8,95 cm. A medida de seu volume está mais próxima de 80 cm³, 70 cm³ ou 60 cm³? 4)(Somos Educação)Uma pirâmide de base quadrada tem altura de 13 cm e sua base tem 2,5 cm de lado, qual é a medida de seu volume? 5)(Somos Educação)Leia o texto: Com as informações dadas, descubra a área da base da pirâmide de Quéops. Use calculadora. 6)(UFPE)Uma pirâmide tem base quadrada e faces laterais congruentes, como ilustrado a seguir. Se as arestas laterais da pirâmide medem 10 cm, e a altura da pirâmide mede 8 cm, qual é o volume da pirâmide? a)190cm³ b)192cm³ c)194cm³ d)196cm³ e)198cm³ 7)(Somos Educação)Faça o desenho da planificação de um pirâmide de base quadrada, como da figura ao lado, considerando as seguintes dimensões: a)cada lado de base 3 cm; b)cada face lateral: região triangular isósceles com 2,5 cm de altura. 8)(COC)A figura a seguir ilustra um típico vaso de flores. Ele é confeccionado em madeira e possui o formato de um tronco de pirâmide regular. No entanto, uma de suas bases, a maior, não existe. Deseja-se cobrir toda a parte externa desse vaso, incluindo o fundo, com um material decorativo. Determine quantos centímetros quadrados deverão ser cobertos por este material sabendo-se que a base menor é um quadrado com 10 cm de lado, as faces laterais são trapézios com base maior medindo 15 cm e o apótema do tronco (altura dos trapézios) mede 16 cm. 9)(COC)A figura a seguir mostra um esquema de um silo utilizado em um sítio para armazenar forragem que será utilizada na alimentação de bovinos. Ela possui a forma de um tronco de pirâmide regular, com base na forma de um quadrado. As dimensões, na figura, são dadas em metros. Deseja-se forrar o fundo e as paredes internas deste silo com um material impermeabilizante. Determina qual deve ser a área total coberta por esse material. Volume do Cilindro 1)(Somos Educação)Qual é o volume e área lateral de um cilindro de altura 8 cm e base sendo um círculo de raio 4,1 cm? 2)(Somos Educação)Considere o cilindro da figura ao lado e use 𝜋 = 3,14. a)Qual é a área lateral desse cilindro? b)Qual é a área de cada uma das suas bases? c)Qual é a área total da superfície do cilindro? 4)(Somos Educação)Determinada embalagem de leite em pó tem forma cilíndrica, como mostra a figura ao lado. O fundo e a superfície arredondada são feitos de material metálico; a tampa, que apresenta uma borda com altura de 0,5 cm, é de material plástico. Tanto o fundo como a tampa possuem raio de 5 cm. Use 𝜋 = 3,14. a)Quantos centímetros quadrados de plástico serão usados para fabricar a tampa de cada lata como essa? b)Quantos centímetros quadrados do material metálico serão usados em cada lata? 5)(Somos Educação)Observe as latas cilíndricas A e B abaixo:
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 28 a)Transforme em centímetros cúbicos as medidas dadas em mililitros, que indicam o conteúdo das latas. Lembre-se que 1 𝑑𝑚3 = 1000 𝑐𝑚3 = 1𝐿. b)Determine a área da base, em centímetros quadrados, na lata A e na lata B, com aproximação de décimos. Use 𝜋 = 3,1. c)Para cada lata, efetue a divisão da medida do volume pela área de uma base. Compare o resultado obtido a altura da respectiva lata. d)Complete: a medida do volume do cilindro dividido pela _________ dá como resultado a ______. 6)(Somos Educação) Uma indústria recebeu um pedido para fabricar 2500 peças de ferro maciço, com a forma e as dimensões indicadas na figura abaixo. Quantos centímetros cúbicos de ferro serão usados na fabricação dessas peças? Use calculadora e considere 𝜋 = 3,14. 7)(Somos Educação)Um cilindro tem 225𝜋 cm³ de volume e o diâmetro de sua base mede 10 cm. Quanto mede a altura desse cilindro? 8)(Somos Educação)As figuras mostram dois bolos cilíndricos. Descubra quanto pesa e quanto custa o bolo da direita. Use 𝜋 = 3,14. 9)(Somos Educação)Em um cilindro que tem a medida do diâmetro da base igual a 8 cm e a altura igual a 6 cm, a área total e o volume têm, respectivamente: a)80𝜋 cm² e 96 𝜋 cm³ b) 80𝜋 cm² e 84 𝜋 cm³ c) 60𝜋 cm² e 96 𝜋 cm³ d) 60𝜋 cm² e 84 𝜋 cm³ 10)(COC)Paulo projetou um recipiente que servirá de comedouro para sua pequena criação de bodes no formato de um semi-cilindro, isto é, a metade de um cilindro, conforme mostra a ilustração: Ele utilizará uma folha de zinco e partirá da seguinte planificação: Observe que o raio do semicírculo tem 20 cm e o comprimento do comedouro será de 80 cm. Nessa condições, qual é a área da superfície que será utilizada para a confecção desse comedouro? 11)(COC) Uma caixa de presentes apresenta o formato de um cilindro com medidas indicadas na ilustração. Deseja-se encapar toda a caixa com um adesivo decorativo. Para isso, deve-se saber qual é a área da superfície de toda a caixa. Calcule essa área. Volume de Cone 1)(Somos Educação)O professor Manuel deu a Ana uma tarefa que, a princípio, parecida difícil: relacionar o volume de um cone com o de um cilindro de mesma base e altura. Para descobrir, Ana fez o experimento abaixo, usando cones iguais: Responda: quantos cones Ana utilizou para preencher o cilindro? O que se pode concluir, então, a respeito do volume de cada cone que ela utilizou em relação ao volume do cilindro? 2)(Somos Educação)Um cone tem altura de 6 cm e o raio de sua base tem 5 cm, qual é a medida de seu volume? Use 𝜋 = 3,14. 3)(Somos Educação)Qual destes sólidos tem volume maior? Considere 𝜋 = 3,14. 4)(Somos Educação)Na figura 1, temos ℎ = 6 𝑐𝑚 e 𝑟 = 3 𝑐𝑚. Calcule o volume do cone inscrito no cilindro. Na figura 2, temos um cubo de 9 cm de aresta. Calcule o volume da pirâmide inscrita no cubo. Use 𝜋 = 3,14. 5)(Somos Educação)Quantos litros de água contém o reservatório da figura abaixo quando está com 80% de sua capacidade? Use 𝜋 = 3,14.
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 29 Volume da Esfera 1)(Somos Educação)Veja as fórmulas de área e volume de uma esfera: Considere o raio do planeta Terra com medida 6370 km. Use as fórmulas acima, e com ajuda de uma calculadora e adotando 𝜋 = 3,14, determine o valor aproximado: a)Da área da superfície do planeta Terra. b)Do volume do planeta Terra. 2)(Somos Educação)O volume de água que é armazenado em uma caixa-d’água é uma função das dimensões da caixa. Por exemplo, para um reservatório com formato esférico, o volume pode ser calculado usando-se a fórmula 𝑉 = 4𝜋𝑅3 3 , em que 𝜋 = 3,141592 … a)Observe a tabela seguinte: Represente esses valores graficamente. b)Use 𝜋 = 3 e determine, aproximadamente, quantos litros de água cabem em uma caixa-d’água esférica cujo raio é igual a 1,4 m. Construções em Malhas 1)(Somos Educação)Desenhe em malhas pontilhadas: a)três cubos justapostos. b)dois blocos retangulares justapostos. c)uma pilha de cubos formadas com seis cubos. d)uma pilha de cubos construída como você quiser. e)A letra U formada por 7 cubos. f)A letra H formada por 12 cubos. g)A letra E formada por 10 cubos. 2)(Somos Educação)Desenhe em malhas quadriculadas. a)quatro cubos justapostos b)três blocos retangulares, um sobre o outro. c)um prisma de base hexagonal. d)uma pirâmide de base pentagonal. e)uma pilha de cubos construída por 5 cubos. f)a letra F formada por 8 cubos. g)a letra O formada por 12 cubos. 3)(Somos Educação)Desenhe em malhas triangulares: a)cinco cubos justapostos. b)quatro blocos retangulares, um sobre o outro. c)a letra L construída com 6 cubos. 4)(Somos Educação)Escreva quantos cubinhos há em cada figura. 5)(Somos Educação)Numa malha triangular represente um bloco retangular formado por 16 cubos. 6)(Somos Educação)Ao lado há uma representação de uma peça formada por 3 cubos. Observe-a e responda: você acha que, se forem dobradas as medidas de todas as suas arestas, o volume dobrará? 7)(Somos Educação)Nas figuras abaixo, você vê a representação de um sólido e de duas de suas vistas. Escreva que vistas são essas e depois desenhe a vista de baixo e uma vista lateral. 8)(Somos Educação)Observe a figura espacial representada abaixo e considere a figura ao lado como sua vista de frente. Desenhe as vistas de cima, de baixo e lateral dessa figura espacial. Perspectiva 1)(Somos Educação)Em geral, nas pinturas, podemos identificar as que foram e as que não foram feitas com o uso da perspectiva. Você consegue identificar qual dos quadros a seguir foi pintado com o recurso da perspectiva?
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 30 2)(Somos Educação)Quais as letras estão representadas em perspectiva? 3)(Somos Educação)Utilizando-se do ponto de fogo desenhe as figuradas, das a face frontal, em perspectiva: 4)(Somos Educação)Veja um exemplo de um bloco retangular abaixo da linha do horizonte visto com dois pontos de fuga: 5)(Somos Educação)Represente em perspectiva o bloco retangular e o cubo desses esboços: 6)(Somos Educação)Represente em perspectiva os três blocos retangulares, em que são dadas as faces frontais, a linha do horizonte e o ponto de fuga. 7)(Somos Educação)Verifique se cada uma destas representações em perspectiva está acima ou abaixo da linha do horizonte. 8)(Somos Educação)Desenhe três blocos retangulares na linha do horizonte. 9)(Somos Educação)Represente em perspectiva a pilha de cubos cujo esboço está ao lado. Coloque-a abaixo da linha do horizonte com o ponto de fuga à esquerda. 10)(Somos Educação)Determine o ponto de fugo e a linha do horizonte da representação em perspectiva a seguir: 11)(Somos Educação)Complete a representação em perspectiva de um bloco retangular com dois pontos de fuga, em que a resta frontal e os pontos de fuga já são dados abaixo. 12)(Somos Educação)Agora, complete a representação em perspectiva de três caixas em forma de bloco retangular com dois pontos de fuga, em que são dados a aresta frontal de cada caixa e os dois ponto de fuga. 13)(Somos Educação)Usando 6 palitos inteiros e iguais, construa 4 triângulos equiláteros de mesmo tamanho. 14)(Somos Educação)Rafael e Marina estão criando uma atividade que ajuda muito no desenvolvimento da visão espacial e de sua representação no plano. Um deles faz uma arrumação com três dados e outro desenha sua vista superior. Nos itens I a III a seguir, observe o desenho da arrumação e faça uma previsão de qual será a vista superior correta. Depois, utilizando três dados, confira se sua previsão foi correta. Atenção na posição dos pontos! 15)(Somos Educação)Como chegada da Copa do Mundo de Futebol, um fabricante de suvenir inventou um modelo de chaveiro de tecido, em formato de cubo, que
PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 31 sempre destaca as cores amarelo, verde e azul da seleção brasileira de futebol. O fabricante definiu que, em todo cubo, as cores das faces opostas e paralelas são iguais. a)Para otimizar a produção e minimizar os custos com o tecido na fabricação dos chaveiros, as faces dos cubos foram planificadas e justapostas de forma que não houvesse desperdício nos cortes dos moldes. A figura abaixo representa um pedaço do tecido utilizado na fabricação dos chaveiros. Observe a representação e determine quantos são os cubos do chaveiro que poderão ser formados com esse pedaço de tecido. b)Outros modelos de suvenir foram também criados usando-se a técnica anterior. Veja cada um dos sólidos abaixo e complete sua planificação obedecendo aos padrões das cores definidos pelo fabricante. 16) (Somos Educação)Na representação em perspectiva abaixo, o paralelepípedo está: a)acima da linha do horizonte e à direita do ponto de fuga b)acima da linha do horizonte e à esquerda do ponto de fuga. c)abaixo da linha do horizonte e à direita do ponto de fuga. d)abaixo da linha do horizonte e à esquerda do ponto de fuga. Exercícios Gerais 1)(Somos Educação)Muitas pessoas costumam confeccionar peças de artesanato para vender, como caixas, enfeites, bijuterias, tapetes, velas, etc. Rogério trabalha com artesanato e vai montar três caixas para presente como a da figura da esquerda e mais duas caixas como a da figura da direita. As faces opostas em cada caixa têm a mesma cor. Para isso, ele vai usar fita adesiva, para unir as arestas das placas, e placas de dois tipos: a)Quantas placas de cada tipo ele vai usar? b)Quantos metros de fita adesiva ele vai usar? 2)(Universidade de Coimbra – Portugal) A primeira figura representa um pedaço de cartão com alguns segmentos numerados de 1 a 8. A Ana resolveu cortar o cartão ao longo de quatros desses segmentos para dobrar o cartão ao longo de outros segmentos e obter o objeto representado na segunda figura. Qual é a soma dos números dos segmentos que Ana cortou? 3)(COC)Certo octaedro regular apresenta cada uma de suas arestas medindo 8 cm, conforme a figura. Sua planificação pode ser dada por: Qual é a medida da área total de sua superfície?

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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 1 B.9.1 – Função do 2º Grau e Complementos sobre Funções Função do 2º Grau 1)(COC) Uma embalagem para presentes está sendo desenvolvida para uma loja de perfumes. A caixa terá uma faixa decorativa de papelão. Veja o esboço do projeto com as medidas indicadas: Repara que uma dimensão tem medida fixa (10 cm). As outras duas dimensões são variáveis, porém de mesma medida 𝑥. Além disso, a faixa decorativa deve estar sempre 3 cm menor de cada um dos lados. Sobre essa situação, responda ao que se pede. a)Escreva uma fórmula que de a medida da área y da superfície externa da faixa decorativa em função de x. b)O resultado obtido no item anterior é uma função polinomial do 2º grau? Explique. c)Usando a fórmula obtida no item a, determine a área y da superfície externa para x=30 cm. d)Nessa caixa, considerando a existência da faixa com as características dadas, x deve ser maior que qual medida inteira em centímetros? 2)(COC)O número de diagonais d de um polígono convexo é dado em função do número de lados n desse polígono por meio da fórmula: 𝑑 = 𝑛(𝑛 − 3) 2 Considere esse fórmula, responda ao que se pede. a)Efetue a multiplicação indicada ao 2º membro dessa igualdade e verifique se é uma função polinomial do 2º grau. Justifique. b)Empregando a função obtida no item anterior, determine o número de diagonais d para n=12. c)E possível que um polígono convexo tenha 100 diagonais? Justifique. 3)(COC) Verifique quais funções a seguir são consideradas funções polinomiais do 2º grau. Calcule as funções que são desse tipo. 4)(COC)Considere o seguinte triangulo com as medidas dadas. Chamando de y a área dessa figura, escreva uma função polinomial do 2º grau que relaciona y com x. Depois, identifique os coeficientes a, b e c. 5)(COC)Dada a função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 7, determine o valor de 𝑓(−2) + 𝑓(3) 6)(COC)Escreva uma função quadrática que forneça a medida y da área pintada em função de x na figura. Depois, identifique os coeficientes a, b e c. 7)(COC) Descubra os valores de x que fazem com que 𝑓(𝑥) = 0 na função quadrática a seguir: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 21 8)(COC)Identifique os coeficientes a, b e c nas funções quadráticas a seguir. a)𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 2 b)𝑦 = −𝑥2 − 17 c)𝑦 = − 𝑥2 3 d)𝑦 = 𝑥2 5 + 𝑥 3 e)𝑦 = −0,1𝑥2 − √7
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 2 9)(COC)Escreva cada função a seguir para a forma geral de uma função polinomial do 2º grau: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. a)𝑦 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) b)𝑦 = −2𝑥 + 3𝑥(𝑥 − 6) + 22 10)(COC)Dada a função 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 20, o valor de 𝑓(√5) será positivo, negativo ou nulo? 11)(COC)Considere a seguinte função quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 Complete a tabela a seguir corretamente tomando como base essa função. Depois, assinale no plano cartesiano os pontos obtidos e trace o gráfico. 12)(COC)Uma pedra foi arremessada para o alto e descreveu uma trajetória curva definida pela função 𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥. Com base nessa informação, complete totalmente a tabela a seguir e, depois responda ao que se pede. a)Assinale no plano cartesiano, os pontos obtidos na tabela. Depois, trace o gráfico considerando apenas os valores de 𝑥 variando de 0 a 4. b)Qual foi a altura máxima atingida pela pedra? c)Considerando que o solo era todo plano, qual foi a distancia máxima alcançada pela pedra no instante em que tocou o solo após ser arremessada? 13)(COC)Considere que y seja o quadrado de um valor x, ou seja, 𝑦 = 𝑥2 . Sobre essa situação, responda ao que se pede. a)Complete os valores d y na tabela para alguns valores inteiros de x. b)Com base nos valores obtidos, trace o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 c)Sendo 𝑥 um elemento do domínio dessa função, com 𝑥 ∈ ℝ, como se define o conjunto imagem dessa função? d)Observando o traçado da parábola, é possível identificar um eixo de simetria. Determine-o. e)Qual a razão para que o gráfico seja definido apenas na parte positiva do eixo y? 14)(COC)Considere a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3. Sobre essa função, determine: a)as coordenadas dos pontos de cruzamento do gráfico dessa função com o eixo x. b)a coordenada do ponto de cruzamento do gráfico dessa função com o eixo y. 15)(COC)A partir do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 1. 16)(COC)Represente, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑥2 2 e 𝑦 = − 𝑥2 2 . 17)(COC)Construa o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2. 18)(COC)Na construção do gráfico de uma função quadrática, qual é o nome a curva formada? Concavidade da Parábola 1)(COC)No estudo e construção do gráfico de uma função polinomial do 2º grau, é possível que a parábola apresente concavidade voltada para cima ou para baixo. Assim, considerando a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, complete corretamente a frase: “Considere uma função quadrática, caso o coeficiente dominante ________ seja ________, a concavidade da parábola é voltada para cima. Mas, se o coeficiente
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 3 dominante ________ apresentar um valor ________, a concavidade é voltada para baixo.” 2)(COC)Circule as funções quadráticas que apresentam, em sua representação gráfica, uma concavidade volta para cima. 3)(COC)Considere a seguinte função quadrática em 𝑥: 𝑓(𝑥) = (2𝑚 + 1)𝑥2 + 5𝑥 − 17 Determine quais são os valores reais de m que fazem com que o gráfico dessa função quadrática apresente concavidade voltada para baixo. 4)(COC)Identifique em cada função a seguir, o coeficiente dominante a e escreva se o gráfico apresenta a concavidade para baixo ou para cima. a)𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 5 b)𝑦 = −2𝑥2 − 3𝑥 c)𝑦 = 1 − √5𝑥2 + 4𝑥 d)𝑓(𝑥) = − 𝑥2 3 − 𝑥 e)𝑓(𝑥) = −8 + 5𝑥2 7 5)(COC)Determine o valor de 𝑝 para que a função quadrática 𝑓(𝑥) = (3𝑝 − 1)𝑥2 + 4𝑥 + 3 apresente concavidade voltada para cima. 6)(Apoema)O professor de Matemática desenhou na lousa o gráfico de algumas funções quadráticas que passavam pela origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme esboço a seguir: Note que cada curva tem indicada a função quadrática correspondente e que a linha tracejada indica a função quadrática definida por 𝑦 = 𝑥2 . a)Qual dessas funções tem a maior imagem para 𝑥 = 7? b)E qual tem a menor imagem para 𝑥 = 7? Zero de uma função quadrática 1)(COC)Verifique, para cada função, se a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos, corta o eixo x em um único ponto, ou se não corta o eixo x. a)𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 b)𝑦 = −𝑥2 − 6𝑥 − 9 c)𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 3 2)(COC)Determine para cada função as coordenas dos pontos que a parábola corta o eixo x. a)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 b)𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 𝑥 + 2 c)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 3)(COC)Considerando uma função quadrática do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, trace, para cada caso, um esboço do gráfico de acordo com o valor do discriminante e do coeficiente dominante. a)Δ > 0 e 𝑎 > 0 b) Δ > 0 e 𝑎 < 0 c)Δ = 0 e 𝑎 > 0 d)Δ = 0 e 𝑎 < 0 e)Δ < 0 e 𝑎 > 0 f) Δ < 0 e 𝑎 < 0 4)(COC)Considere a função quadrática dada por 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 5𝑥 + (5𝑚 + 7). Determine o valor de m para que a representação gráfica dessa função seja uma parábola que corte o eixo x em dois pontos distintos. Vértice da parábola 1)(COC)Igor precisava traçar o gráfico da função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3. No entanto, estava em dúvida sobre quais valores escolher para 𝑥 a fim de compor uma tabela que fornecesse pontos adequados para tal construção. Verificou então que determinar o vértice V da parábola seria algo interessante, pois, a partir desse ponto, ele escolheria outros quatro valores, sendo dois menores e dois maiores que o 𝑥 do vértice. Faça como Igor: identifique a coordenada do vértice V e, a partir dessa coordenada, atribua outros quatro valores para x. Finalmente, faça um esboço do gráfico 2)(COC)Dada uma função quadrática da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, o vértice da parábola que representa geometricamente essa função é dado pela coordenada 𝑉 (− 𝑏 2𝑎 , − Δ 4𝑎 ). No entanto ao calcular essa coordenada, um aluno do 9º ano lembrandoo-se apenas de que 𝑥 𝑣 = − 𝑏 2𝑎 , esquecendo-se da expressão que fornece o valor de 𝑦𝑣. Partindo do valor conhecido de 𝑥 𝑣, explique como é possível determinar o valor de 𝑦𝑣 com base na função dada. 3)(COC)Considere as funções quadráticas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 − 1. Sobre essas funções, responda o que se pede: a)Determine a coordenada no vértice de cada função. b)No caderno, faça os cálculos necessários e uma tabela para cada função, tomando como referência a coordenada do vértice. c)O que se pode afirmar sobre a comparação dos dois gráficos traçados? 4)(COC)Determine o valor de 𝑚 na função quadrática em 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2 − 2𝑥 + 5𝑚, para que o vértice da parábola seja um ponto pertencente ao eixo 𝑥. 5)(COC)Mostre que uma função da forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 , com 𝑥 real não nulo, descreve uma parábola que apresenta o vértice 𝑉 sempre na origem, isto é, 𝑉 = (0; 0). Depois como exemplo, construa o gráfico da função 𝑦 = 0,5𝑥2 . Para isso, use régua e adote a medida de 1 cm para cada unidade dos eixos. Ponto de máximo e de mínimo da parábola 1)(COC)Considere um esguicho de água fixado no solo. Suponha que a trajetória percorrida pela água seja exatamente de uma parábola obtida por meio da função 𝑦 = −0,5𝑥2 + 4𝑥. A trajetória percorrida pela água é ilustrada neste esboço:
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 4 O ponto A, que indica o ponto de máximo da parábola, representa a altura, em metros, atingida pela água, e o ponto B, um dos zeros da função, indica a distância, em metros, atingida pelo esguicho de água. Sobre essa situação, responda ao que se pede: a)Qual é a coordenada do ponto de máximo? Qual é a altura máxima atingida pela água? b)Qual é a coordenada do ponto B? Qual é a distância atingida pelo esguicho de água? 2)(COC)Dada uma função quadrática, como é possível, sem efetuar cálculo algum, verificar se o gráfico definido por essa função tem ponto de máximo ou ponto de mínimo? 3)(COC)Determine o valor de 𝑚 na função cuja variável é 𝑥 para que o valor máximo seja 5. 𝑦 = −3𝑥2 − 5𝑥 + 4𝑚 4)(COC)Roberto propôs um desafio para sua amiga Paula: ela deveria escolher um número real qualquer e, depois, multiplica-lo pela diferença entre 1 e o número pensado. Assim, se Paula pensar em um número 𝑥, ela deverá multiplicar esse número por (1 − 𝑥). Chamando de 𝑦 o produto obtido por meio dessa multiplicação, qual será o maior produto obtido? Em qual número real devemos pensar para chegar a esse maior produto? Para responder a essas questões, complete as frases apresentadas em cada item e esboce o gráfico. a)A função quadrática que representa o problema é dada por _____ b)O coeficiente dominante é igual a _____. Logo, a concavidade da parábola é voltada para _________. Com isso, a parábola apresenta um ponto de __________. c)O vértice da parábola tem coordenada _________________. d)Obtendo outros pontos para a parábola, além do vértice, esboce o gráfico. e)Logo, o maior produto obtido nessa multiplicação é ______ e ocorre quando 𝑥 =___________. 5)(COC)Considere um dardo arremessado de tal forma que descreva uma trajetória dada pela função 𝑦 = − 𝑥2 20 + 3𝑥 2 , em que o chão representa o eixo horizontal, 𝑥 e 𝑦 são dados em metros, sendo 𝑥 a distancia alcançada no lançamento e 𝑦 a altura atingida pelo dardo. Nessas condições, qual será a altura atingida pelo dardo? E qual distancia alcançará? 6)(COC)Para cada função dada, verifique se ela apresenta um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Justifique. a)𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 b)𝑦 = −2𝑥2 c)𝑦 = −𝑥 − 2 − 𝑥2 d)𝑦 = √5𝑥2 + 2𝑥 − 1 e)𝑦 = − 𝑥2 10 + 9 7)(COC)Para que a função 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 𝑘, cuja variável é 𝑥, apresente um ponto de mínimo igual a −10, qual deve ser o valor de 𝑘? 8)(COC)Em cada função, calcule o valor de 𝑥 para que ela apresente um valor mínimo. a)𝑦 = 2𝑥2 − 16𝑥 + 5 b)𝑦 = 3𝑥2 + 12𝑥 − 7 Aplicação e revisão de Função polinomial do 2º grau 1)(COC)Uma tela será usada para cercar uma região retangular. Em um dos lados dessa região já existe um muro. Veja ilustração: São 6 metros de tela que deverão cercar a maior área possível. Por meio da visão superior, temos a seguinte representação: Sobre essa situação, responda ao que se pede: a)Escreva uma equação que relacione 𝑥 e 𝑦 ao perímetro e outra que relacione 𝑥 e 𝑦 à área 𝐴. b)Com base nas equações obtidas no item anterior, escreva uma função quadrática que forneça A em função de 𝑥. c)Determine o vértice e os zeros da função e faça um esboço desse gráfico. Depois analisando-o, determine qual é a maior área que se pode formar e quais são as medidas de 𝑥 e 𝑦 dessa área. 2)(COC)Considere o seguinte esboço do gráfico de uma função quadrática. E possível que ele seja o gráfico da função: a)𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 b)𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 c)𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 + 2 d)𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 e)𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3 3)(COC)De um quadrado com 10 cm de lado, pretende- se recortar um triângulo isósceles de tal forma que sua altura ℎ seja o dobro de sua base 𝑏.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 5 Para conseguir um triangulo com a maior área possível, quais devem ser os valores de 𝑏 e de ℎ? Qual será a medida da área nesse caso? 4)(COC)Construa, no plano cartesiano a seguir, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 e 𝑦 = −2𝑥2 + 4. 5) 5)(COC)Em uma companhia de aviação, a receita arrecadada em determinado voo é dada por 𝑟(𝑥) = −𝑥2 + 300𝑥, em que 𝑟(𝑥) é a receita em reais e 𝑥 é o número de passageiros desse voo. Com certo número de passageiros presentes nesse voo, é possível gerar qual receita máxima? a)22.500 b)24.000 c)26.500 d)28.000 e)29.500 6)(COC)De uma cartolina quadrada com lados de medidas 50 cm, são recortados dois quadrados, cujos lados tem medidas 𝑥, e dois triângulos retângulos isósceles de cateto 𝑥, formando uma máscara, como mostra a figura abaixo: A medida da área da máscara 𝐴(𝑥), após a retirada dos dois quadrados e dos dois triângulos retângulos isósceles, será de: a)𝐴(𝑥) = 2500 − 7𝑥2 b)𝐴(𝑥) = 2500 − 6𝑥2 c)𝐴(𝑥) = 2500 − 5𝑥2 d)𝐴(𝑥) = 2500 − 4𝑥2 e)𝐴(𝑥) = 2500 − 3𝑥2 7)(COC)Uma caixa será montada com um quadrado de papelão de lado medindo 𝑥, mostrado na figura 1. Para isso, será recortado, de cada um de seus cantos, um quadrado de lado 3, como mostra a figura 2: A expressão que fornece a área A da região sombreada na figura 2, em função de 𝑥, é: a)𝐴 = 𝑥2 − 9 b)𝐴 = 12 − 𝑥2 c)𝐴 = 𝑥2 − 12 d)𝐴 = 36 − 𝑥2 e)𝐴 = 𝑥2 − 36 8)(COC)Uma bola é lançada para cima, verticalmente, e a sua altura ℎ(𝑡), em metros, varia em relação ao tempo 𝑡 em segundos, conforme a seguinte função: ℎ(𝑡) = −𝑡2 + 10𝑡. O instante em que a bola atinge a altura de 25 m ocorre: a)0 s após o lançamento. b)10 s após o lançamento c)4 s após o lançamento d)5 s após o lançamento e)25 s após o lançamento Inequações do 2º Grau 1)(COC)Um retângulo deverá ser recortado de uma cartolina para ser utilizado em um trabalho artístico. Esse retângulo deverá respeitar as seguintes condições: • O comprimento deve medir 2 cm a mais que a largura; • O comprimento e a largura devem ser dados em medidas inteiras e positivas, em centímetros; • A área deve ser menor que 63 cm². Veja um esboço da figura: De acordo com as informações, quais valores de 𝑥 devem ser considerados? 2)(COC)Dada a função 𝑦 = 𝑥2 , verifique para quais valores reais de 𝑥 têm-se 𝑦 = 0, 𝑦 > 0 e 𝑦 < 0. 3)(COC)E possível, em ℝ, que 𝑦 < 0 na função polinomial do 2º grau 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 + 1? Explique. 4)(COC)Considerando o conjunto dos números reais, determine o conjunto solução para as inequações do 2º grau dadas: a)𝑥2 + 7𝑥 + 12 > 0 b)−𝑥2 − 9𝑥 ≥ 0 5)(COC)Estude os sinais das funções polinomiais do 2º grau a seguir, considerando o conjunto dos números reais. a)𝑦 = 𝑥2 + 16𝑥 + 64 b)𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 3 c)𝑦 = −𝑥2 − 5𝑥 − 4 d)𝑦 = −2𝑥2 + 𝑥 6)(COC)Sabe-se que a função polinomial do 2º grau dada por 𝑦 = − 2𝑥2 17 + 0,091𝑥 − 145,9 não apresenta zeros da função. Com isso, considerando qualquer 𝑥 real, verifique se 𝑦 > 0 ou 𝑦 < 0. 7)(COC)em uma indústria de embalagens, uma caixa em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: Quais devem ser os possíveis valores reais de x𝑥 para que a caixa apresente um volume menor que 90 unidades cúbicas? 8)(COC)Na função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 − 3, quais são os valores reais de 𝑥 que fazem com que 𝑓(𝑥) > 0?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 6 Função Composta Não vamos colocar exercícios nessa versão da apostila. Porém, é assunto do módulo. Função Inversa Não vamos colocar exercícios nessa versão da apostila. Porém, é assunto do módulo. B.9.2 – Demonstrações em Matemática Noções de Lógica Valor lógico de uma proposição: Verdadeira ou Falsa. Princípios Básicos das Proposições: Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro valor lógico. Negação de uma proposição: A negação de uma proposição 𝑝 é dada por ~𝑝. Conectivos: E (∧) OU (∨) SE...ENTÃO (→) SE, E SOMENTE SE (↔) Sentença aberta: não é uma proposição pois depende de informações (variável). Ex: a)x+5=8 b) Certo rapaz é jogador de futebol Tabela verdade: Aplicações: I – CONJUNÇÃO: II – DISJUNÇÃO: III – CONDICIONAL
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 7 IV - BICONDICIONAL Implicação lógica – é uma condicional verdadeira. Equivalência lógica – é uma bicondicional verdadeira Quantificadores: I. Quantificador universal: ∀ - para todo ou qualquer que seja II. Quantificadores existenciais: ∃ - existe pelo menos um; ∃| - existe apenas um. Negação de uma proposição com quantificador
  • 8.
    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 8 1)(Manoel Paiva) Quais das afirmações a seguir são proposições? Classificar cada proposição como V ou F: a)4+2=6 b)2+9>15 c)x+5=6 d)x+y=10 2)(Manoel Paiva) Sendo p:5>3, q:5≠3, escrever a negação de cada uma dessas sentenças. 3)(Manoel Paiva) Construa a tabela verdade das proposições compostas: a)𝑝 ∨ ~𝑝 b) 𝑝 ∧ ~𝑝 c)𝑝 ∨ ~𝑞 d) 𝑝 ∧ ~𝑞 4)(Manoel Paiva) Compare a tabela verdade de ~(𝑝 ∨ 𝑞) e ~𝑝 ∧ ~𝑞 (Leis de De Morgan) 5)(Manoel Paiva) Qual é a negação de João é alto ou gordo. 6)(Manoel Paiva) Mostre que as proposições ~(𝑝 ∧ 𝑞) e ~𝑝 ∨ ~𝑞 são equivalentes. 7)(Manoel Paiva) Dada as proposições 𝑝 → 𝑞 com a de ~𝑞 → ~𝑝 (contraposição) 8)(Manoel Paiva) Escreva a contrapositiva de “Se Celso é pai de Guilherme, então Rita é esposa de Celso. 9)(Manoel Paiva) Sendo ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }, classificar cada uma das afirmações como V ou F: a)(∀𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 𝑥 = 0) b)(∀𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) c)(∃𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) d) (∃|𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) e) (∃|𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥2 = 9) f) (∃𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(2𝑥 = 3) 10)(Manoel Paiva) Qual é a negação da proposição 𝑝: (∀𝑥)(𝑥 + 2 = 6) 11)(Manoel Paiva)Escreva a negação da proposição: 𝑝: (∃𝑥)(𝑥 ≤ 5) 12)(Manoel Paiva)Escreva a negação de: a)Todo brasileiro gosta de futebol b)Existe mulher alta 13)(Concurso de Copeiro - CORE-SP - Banca INAZ do Pará) Qual das sentenças abaixo é uma sentença aberta? a) 5 + 4 = 8. b) O jogo foi bom. c) Pelé é considerado o rei do futebol no Brasil. d) Que dia ensolarado. e) 2 + x = 10 para 14)(Concurso para Vários Cargos - Ensino Médio - Prefeitura de Sarzedo - MG - Banca IBGP - 2018) Sobre os princípios das proposições, analise as afirmativas a seguir: I. Princípio da não contradição: “Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira." II. Princípio do terceiro excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Nunca ocorrendo uma terceira opção." III. Assim, as informações das proposições possuem valor lógico totalmente verdadeiro e totalmente falso, podendo ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Está(ão) CORRETA(s) a(s) afirmativa(s). a) I apenas. b) III apenas. c) I e II apenas. d) I, II e III. 15)(Concurso de Guarda Municipal - Prefeitura de Paraíba do Sul - RJ - Banca Instituto Pró-Município - 2019) No estudo de raciocínio lógico tem-se as proposições que podem ser divididas em simples ou compostas. Analise as duas proposições e marque a alternativa correta com relação às mesmas. I. Os cães são felizes; II. Se fizer sol amanhã, então vamos à praia. a) As proposições I e II são simples; b) As proposições I e II são compostas; c) A proposição I é simples e a preposição II é composta; d) A proposição I é composta e a preposição II é simples. 16)(Concurso Especialista Técnico - Analista de Sistemas - BNB - Banca CESPE - 2018) Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional. A sentença “No Livro dos Heróis da Pátria consta o nome de Francisco José do Nascimento, o Dragão do Mar, por sua atuação como líder abolicionista no estado do Ceará." é uma proposição simples. a)Errado b)Certo 17)(Concurso Especialista Técnico - Analista de Sistemas - BNB - Banca CESPE - 2018) Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional. Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional. A sentença “É justo que toda a população do país seja penalizada pelos erros de seus dirigentes?” é uma proposição lógica composta. a)Errado b)Certo 18)(Concurso Educador Social - Prefeitura de Ivaí - PR - Banca Instituto FIP - 2018) Considerando as proposições: p: Julia fala espanhol. q: Fábio fala japonês. A tradução da proposição “Ou Julia não fala espanhol ou Fábio fala japonês" para a linguagem simbólica é: a) p ^ q. b) q → p. c) (~p) ∨ q. d) (~p) ∧ (~q). 19)(Concurso Técnico do Seguro Social Ranking - INSS - Banca CESPE - 2016) Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. A sentença “Bruna acesse a internet e verifique a data de aposentadoria do Sr. Carlos!" é uma proposição composta que pode ser escrita da forma p ˄ q. a)Errado b)Certo 20)(Concurso Vários Cargos - Nível Superior - SES - DF - Banca IADES - 2018) Considere as proposições a seguir. P: Estudar matemática; Q: Aprender matemática; R: Gostar de matemática. A sentença Q↔(P∨R) significa, a respeito da matemática, que a) aprender é necessário para gostar ou estudar. b) gostar e estudar são suficientes para aprender. c) aprender e gostar são necessários para estudar. d) aprender é suficiente para gostar e estudar. e) gostar ou estudar são necessários para aprender 21)(Concurso para Soldado da Polícia Militar - PM-BA - Banca IBFC - 2017) Se o valor lógico de uma proposição p é verdade e o valor lógico de uma proposição q é falso, então é correto afirmar que o valor lógico: a) da conjunção entre p e q é falso b) da disjunção entre entre p e q é falso c) do bicondicional entre p e q é verdade d) do condicional entre p e q, nessa ordem, é verdade e) da negação entre a disjunção entre p e q é verdade 22)(Simulado do INSS - 2016) Se ela dança eu danço / Se ela dança eu danço / Se ela dança eu danço / Falei com DJ / Pra fazer diferente..... O texto acima é recorte de uma música conhecida na cultura brasileira. Com base no texto responda o item a seguir: Na primeira linha texto temos um condicional, representado por P → Q. Sabemos da lógica que um condicional é falso quando temos uma premissa verdadeira com tese falsa, deste o modo a negação da primeira linha se dá quando “Ela dança e eu não danço". a)Errado b)Certo 23)(Concurso de Enfermeiro - EBSERH - Banco IBFC - 2106) A conjunção entre duas proposições compostas é verdadeira se: a) os valores lógicos de ambas as proposições forem falsos b) se o valor lógico de somente uma das proposições for verdade c) se ambas as proposições tiverem valores lógicos verdadeiros d) se o valor lógico de somente uma das proposições for falso e) se o valor lógico da primeira proposição for verdade e o valor lógico da segunda proposição for falso. 24)(Concurso para Analista de Sistemas - Desenvolvimento de Sistemas - BRDE - Banca FUNDATEC - 2015) Qual operação lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa Verdadeiro, e F, Falso a) Ou. b) E. c) Ou exclusivo. d) Implicação (se...então). e) Bicondicional (se e somente se).
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 9 25)(Concurso Vários Cargos - Nível Superior - SEGPLAN - GO - 2018) Dizer que não é verdade que “Maria é assistente social e Alberto é cozinheiro”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Maria não é assistente social ou Alberto não é cozinheiro. b) Maria não é assistente social e Alberto não é cozinheiro. c) Maria é assistente social ou Alberto não é cozinheiro. d) Se Maria não é assistente social, então Alberto é cozinheiro. e) Se Maria não é assistente social, então Alberto não é cozinheiro. 26)(Concurso para Vários Cargos - Nível Médio - TRF - 1ª Região - Banca CESPE - 2017) A partir da proposição P: "Quem pode mais, chora menos.", que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo item. A negação da proposição P pode ser expressa por “Quem pode menos, chora mais”. a)Errado b)Certo 27)(Concurso para área de Saúde - Ensino Médio - SES - PR - Banca IBFC - 2016) De acordo com a lógica de proposições a negação da frase “Os carros são velozes e as bicicletas não são de três rodas” é: a) Os carros não são velozes e as bicicletas são de três rodas. b) Os carros são velozes ou as bicicletas não são de três rodas. c) Os carros não são velozes ou as bicicletas não são de três rodas. d) Os carros não são velozes ou as bicicletas são de três rodas. 28)(Concurso para Professor - SEDUC - MT - Banca IBFC - 2017) De acordo com a lógica proposicional, a negação da frase “O advogado não foi convincente e a petição foi cancelada” a) Se o advogado foi convincente, então a petição não foi cancelada b) Se o advogado não foi convincente, então a petição não foi cancelada c) O advogado não foi convincente se, e somente se, a petição não foi cancelada d) Se a petição não foi cancelada, então o advogado foi convincente e) Se a petição foi cancelada, então o advogado não foi convincente 29)(Concurso Básico para Todos os Cargos Exceto 12 - MPOG - Banca CESPE - 2015) Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar", julgue o item a seguir. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava". a)Errado b)Certo 30)(Concurso para Vários Cargos - Nível Superior - Prefeitura do Rio de Janeiro - RJ - 2016) Em uma matéria jornalística, uma pessoa afirmou em entrevista que “este transporte é irregular ou não houve fiscalização adequada”. A negação dessa afirmação é a seguinte: a) esse transporte não é irregular ou houve fiscalização adequada b) esse transporte não é irregular e houve fiscalização adequada c) esse transporte é irregular ou houve fiscalização adequada d) esse transporte é irregular e houve fiscalização adequada 31)(Vestibular da FATEC – 2011) A negação da sentença - 3 < x ≤ 2 é a) x ≤ - 3 ou x > 2. b) x < - 3 ou x ≥2. c) x < - 2 ou x ≥ 3. d) x < - 3 e x ≥ 2. e) x ≤ - 3 e x > 2. 32)(Concurso para Soldado da Polícia Militar - PM-BA - Banca IBFC - 2017) A frase: “Se o soldado chegou atrasado, então não fez atividade física” é equivalente à frase: a) O soldado chegou atrasado e não fez atividade física b) O soldado chegou atrasado e fez atividade fisica c) O soldado chegou atrasado ou fez atividade física d) O soldado não chegou atrasado ou não fez atividade física e) O soldado chegou atrasado se, e somente, não fez atividade física 33)(Concurso para Auxiliar Administrativa – CFF – Banca INAZ do Pará – 2017) Qual é a alternativa que apresenta a equivalência da proposição: “Se o pai fala inglês, então o filho fala francês”. a) “Se o pai não fala inglês, então o filho não fala francês”. b) “O pai não fala inglês e o filho fala francês”. c) “O pai não fala inglês ou o filho fala francês”. d) “O pai fala francês e o filho fala inglês”. e) “O pai não fala francês e o filho não fala inglês”. Demonstrações Material conciso, que precisa ser completado Demonstrações Diretas Idéias teóricas para explicação 𝑝 ⟹ 𝑞 (se ‘p’ então ‘q’) O que é recíproca? 𝑞 ⟹ 𝑝 Hipótese / Tese Postulado-Axioma / Teorema / Lema / Corolário Definição / Ente Primitivo Conjecturas – O Ultimo Teorema de Fermat e a Conjectura de Goldbach 1) Prove que se m e n forem par, a) a soma m+n também é par. b) o produto mn também é par. 2) Prove que o quadrado de um número ímpar é ímpar . 3) Prove que se n é divisível por 6, 2n é divisível por 4. Demonstração por Contraposição O que é contrapositiva? ~𝑞 ⇒ ~𝑝 1) Prove que se n² é par, necessariamente n é par. 2) Prove que se 3n+2 é ímpar, então n é ímpar. 3) Prove que se n=ab, então 𝑎 ≤ √ 𝑛 ou 𝑏 ≤ √ 𝑛. Demonstração pela Redução ao Absurdo Se p é verdadeira ~p é falsa 𝑝^~𝑞 ⇒ ~(𝑝 → 𝑞) é uma tautologia Mostrar que 𝑝^~𝑞 é falsa 1) Prove que √2 é irracional. 2) Prove que existem infinitos números primos. 3) Prove que se um número somado com ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é zero. Comentários de Paradoxos da divisão por Zero (2=1 ?) #1 – Prova que 2=1 Suponha que 𝑥 = 𝑦 Multiplique ambos os membros por x 𝑥2 = 𝑥𝑦 Tire 𝑦2 em ambos os membros 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥𝑦 − 𝑦2 Fatore ambos os membros (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑦(𝑥 − 𝑦) Divida ambos os membros por 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 Como já é hipótese que 𝑥 = 𝑦 𝑦 + 𝑦 = 𝑦 Portanto 2𝑦 = 𝑦 Divida ambos os membros por y 2 = 1 Onde está o erro? #2 – Outra prova Sabemos que 0x2=0 (1) e 0x1=0 (2) Usando a propriedade transitiva da igualdade temos que 0x2=0x1 Dividindo ambos os membro por zero 2=1
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 10 #3 – Mais 0 0 é ao mesmo tempo igual a 0 e 1, pois: - Um número dividido por ele mesmo é 1. - Zero dividido por qualquer número é 0. Logo 1=0, e portanto 1+1=0+1, e então 2=1 #4 – Mais ainda Sabemos que 2-2=0 e 1-1=0 Igualando as duas expressões temos que 2-2=1-1 Fatorando temos que 2(1-1)=1(1-1) Dividindo ambos os membros por 1-1 temos que 2=1 Todos esses 4 raciocínios são idênticos e tem uma explicação única! Demonstração por Exaustão Quantificadores O erro de Fermat: 𝐹𝑛 = 22 𝑛 + 1, sendo n primo, é primo. É falso para n=5, pois 225 + 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417 “A expressão 991𝑛2 + 1 não é um quadrado perfeito para todo todo número n”. Essa expressão falha quando n=12.055.735.790.331.359.447.442.538.767 1) Prove que é falso que ∀𝑛 ∈ ℝ, 𝑛! ≤ 𝑛2 . Demonstração por Casos 1) Prove que se 𝑛 ∈ ℕ, então 𝑛2 ≥ 𝑛. Provas Geométricas Simples - Álgebra 1) Suponha válidas as relações métricas no triângulo retângulo. Prove válido o Teorema de Pitágoras: Existem mais de 350 formas de demonstrar o Teorema de Piágoras registradas em um livro do Prof. Elisha Scott Loomis, dos Estados Unidos, entre elas demonstrações de Pascal, Pappus, Bháskara, Napoleão Bonaparte e do presidente estadunidense James Garfield. O prof. Paulus Gerdes, de Moçambique, com base na cultura dos povos de Moçambique demonstrou infinitas maneiras de provar o Teorema de Pitágoras. 2) Usando o Teorema de Pitágoras deduza: a) Uma fórmula para calcular a diagonal de um quadrado. b) Uma fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero. c) Uma fórmula para calcular a área de um hexágono regular. d) Uma fórmula para o lado e para o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência. e) O seno e o cosseno de 45º. 3) Mostre que, para ângulos de 0º a 90º, é verdadeiro que 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1. Provas Geométricas Simples – Argumentos Angulares e Combinatórios O problema da circularidade em demonstrações. A diferença da prova e da demonstração rigorosa. 1) Mostre que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 2) Deduza a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono, supondo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. 3) Deduza uma fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono. 4) Demonstre o Teorema do Ângulo Externo para um triângulo. 5) Considere que é válida a afirmação “Em retas paralelas cortadas por uma transversal, ângulos alternos internos são congruentes”. A partir disso verifique que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Propriedades da Igualdade e da Desigualdade Propriedades da Igualdade (Relação de Equivalência) Reflexiva a=a Simétrica Se a=b, então b=a Transitiva Se a=b e b=c, então a=c Propriedades da Desigualdade (Relação de Ordem) Reflexiva a≤a a≥a Transitiva Se a≤b e b≤c, então a≤c Se a≥b e b≥c, então a≥c Anti-simétrica Se a≥b, então b≤a O problema das Definições A importância das definições para as provas. 1) Prove que, se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐶, então 𝐴 ⊂ 𝐶. (Transitividade) 2) Mostre que semelhança é uma relação de equivalência. 3) Mostre que inclusão é uma relação de ordem parcial. Princípio da Indução Finita 1) p(1) é válido – passo básico ou base da indução 2) Se par todo k p(k) implica em p(k+1), onde k é um natural positivo – passo indutivo 1) Prove que: a) 2 𝑘 < 𝑘!, ∀𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ b) 1 + 2 + 3+. . . +𝑛 = 𝑛(𝑛+1) 2 c) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 d) 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) para n inteiro é sempre divisível por 6. e) 32𝑛+1 + 2 𝑛−1 é divisível por 7.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 11 f) 𝑛3 − 𝑛 é divisível por 3. g) 2 𝑜 + 21 + 22 + ⋯ + 2 𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 Outros Temas relacionados (de outros módulos) PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS – PCP RECURSIVIDADE Demonstração em Geometria Esse assunto será abordado pelo professor teoricamente com material complementar. Paradoxos Esse assunto será abordado pelo professor teoricamente com material complementar. B.8.2 – Noções sobre Sólidos Geométricos e Volumes Noções de Geometria Espacial 1)(Bianchini) Quais dos objetos a seguir não dá a idéia de um sólido? E quais dão a idéia de um poliedro? 2)(Bianchini) Cada sólido representado a seguir é identificado por um número. Use essa identificação para classificar esses sólidos como corpo redondo ou poliedro. Organize essas informações em uma tabela. 3)(Somos Educação)Quais sólidos abaixo são poliedros e quais são corpos redondos? É possível não se enquadrar em nenhuma das duas categorias. 4)(Somos Educação)Classifique as figuras em poliedros, corpos redondos ou nenhum dos dois. 5)(Bianchini) Veja o que Paulo e Pedro fizeram com copos descartáveis: Paulo contornou com lápis a boca do copo sobre uma folha de papel. Pedro pintou toda a parte externa do copo com tinta guaxe. a)Qual deles representou uma figura plana? b)Pedro pintou a superfície de um poliedro? 6)(Bianchini)Veja as imagens do caranguejo e de sua sombra. Qual delas representa uma figura plana?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 12 7)(Bianchini) Dê o nome dos poliedros de acordo com o número de faces. 8)(Bianchini) Todas as figuras a seguir são hexaedros: Calcule o número de vértices, faces e arestas de cada um deles. 9)(Bianchini)Dê o nome completo dos seguintes prismas e pirâmides: 10)(Bianchini)Das embalagens apresentadas a seguir, identifique quais têm forma de prisma e quais têm forma de pirâmide. 11)(Bianchini)Identifique em cada construção se a parte indicada pela seta lembra a forma de prisma, de pirâmide ou nenhuma delas. 12)(Bianchini)Em cada linha do quadro a seguir, descubra qual dos poliedros tem suas faces desenhadas. 13)(Somos Educação)Qual poliedro pode ser montado com cada conjunto a seguir? 14)(Bianchini) Determine o número de vértices, faces e arestas de cada uma das figuras a seguir e verifique que V+F-A=2: 15)(Bianchini) Observe a pirâmide abaixo e responda: o ponto E está no mesmo plano de A, B e C? E o ponto A está no mesmo plano de D, C e E? 16)(Bianchini)Considerando a figura, copie no caderno as afirmações verdadeiras. a)Os pontos A, B, C e D são coplanares. b)Os pontos A, B, C e F não são coplanares. c)Os pontos D, C, F e G são coplanares. d)Os pontos B, C, F e G são coplanares.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 13 17)(Somos Educação)Veja a representação de um bloco retangular e de sua planificação. Coloque na planificação as letras no lugar adequado. Você precisa se lembrar o que são pontos e retas coplanares, o que são retas reversas: E1 / B1 Prismas e Pirâmides e Relação de Euler 1)(Somos Educação)Que tipos de polígonos aparecem nos contornos das faces de cada poliedro? Quantos são de cada tipo? 2)(Somos Educação)Qual das figuras indica um poliedro com o número de vértices igual ao número de faces? 3)(Somos Educação)Escreva o nome do sólido geométrico que pode ser montado com cada uma das planificações a seguir: 4)Preencha a tabela: 5)(Somos Educação)Complete o quadro abaixo com o número de vértices (V), o número de faces (F) e o número de arestas (A) das pirâmides a seguir. Depois indique, entre todos os casaos, em quais deles se verifica: a)V=F b)V+F=A+2 c)2V=A+2 d)F+A=19 e)A=F+3 f)AF=30 6)(Saresp – Adaptado por Somos Educação) Paula vai colar um adesivo em cada face de duas caixas de presente, com as do desenho, até mesmo nas faces que ficam apoiadas sobre a mesa. O total de adesivos que Paula vai colar é: 7)(Somos Educação)O paralelepípedos ou blocos retangulares, incluídos os cubos, são exemplos de prismas ou pirâmides? 8)(Somos Educação)Em um prisma, o número de faces é 7 e o número de arestas é 15. Então, o número de vértices é ___. 9)(Somos Educação)Verifique a relação de Euler nos poliedros a seguir: 10)(Bianchini) Se as bases de um prisma têm 7 vértices cada uma, quantas arestas tem esse prisma? E quantas faces laterais? 11)(Bianchini) Se uma pirâmide tem 12 vértices, quantos lados tem sua base? Quantas faces laterais tem essa pirâmide? E arestas? 12)(Bianchini) Se uma pirâmide de 20 faces e um prisma têm o mesmo número de vértices, quantas faces tem o prisma?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 14 13)(Somos Educação)Considere uma pirâmide qualquer e responda às questões a seguir. a)O número de faces e o número de vértices são iguais ou diferentes? b)O que acontece com o número de vértices em relação ao número de lados da base? c)O que acontece com o número de arestas em relação ao número de lados da base? 14)(Somos Educação)Beatriz está limpado seu porta- lápis de vidro, que tem a forma de um prisma octogonal. Quantas faces Beatriz tem de limpar? 15)(Somos Educação)Rose fabrica potes de geléia que tem a forma de prisma decagonal. Cada face do pote é feita por um único pedaço de vidro, inclusive a tampa. De quantos pedaços de vidro ela necessita para fazer 10 potes? 16)(Somos Educação)Flávia construiu um aquário de base hexagonal fechado como representa a figura. Ela vedou todos os encontros de duas peças de vidra com massa e um pedaço de alumínio. Quantos pedaços de alumínio Flávia usou? Vistas 1)(Bianchini) Para cada poliedro, desenhe uma figura plana que representa a parte da sua superfície que represente a parte da sua superfície vista de cima. 2)(OBM) Sobre uma mesa retangular de uma sala foram colocados quadro sólidos, mostrados no desenho. Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa melhor essa fotografia? 3)(Somos Educação)Desenhe a vista superior e a inferior de cada sólido geométrico. 4)(Somos Educação)Considere três dados de cores diferentes em que as faces “encostadas” têm o mesmo número de pontos. Observe duas vistas dos três dados: Examine as figuras acima e desenhe as vistas inferior, lateral direita, frontal e de trás dos dados. 5)(OBM) No desenho abaixo, três cubos iguais estão apoiados sobre uma mesa. Cada cubo tem as faces numeradas por 0, 1, 3 , 4, 5, 9, onde cada número aparece exatamente uma vez. Qual é a soma dos números das faces em contato com a mesa? a)6 b)8 c)9 d)10 e)12 6)(Universidade de Coimbra – Portugal) Qual das peças seguintes permite construir um paralelepípedo a partir de objeto representado ao lado? 7)(Somos Educação) Em qualquer dado, a soma dos pontos das faces opostas é sempre igual a 7. Na figura a seguir, a soma dos pontos brancos das faces que estão encostadas nas três placas (verde, marrom e vermelha) é igual a 20. Com base nessa informação, responda às questões a seguir. a)Quantos pontos marca a face de baixo apoiada na placa vermelha? b)Qual é a soma dos pontos das faces dos dois dados que estão encostadas uma na outra?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 15 8)(Exame Final do Ensino Básico – Portugal – Matemática 92 – 3º Ciclo – 2012 – 1ª Chamada) Na Figura 1, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta. Em qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente? Assinala a opção correta. Corpos Redondos e Sólidos de Revolução 1)Desenhe a forma geradora dos sólidos abaixo se eles forem de revolução (despreze detalhes mínimos). Caso contrário, assinale-os com um x: : 2)(Saeb) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de base circular, qual é a planificação do molde desse copo? 3)(ENEM – 1998) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo, girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5D d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A O material do E1 tem exercícios interessantes de Sólidos de Revolução. Poliedros Regulares 1)Dê o nome dos sólidos abaixo: 2)Duas histórias interessantes relacionadas com este tema. Uma diz respeito ao Filósofo Grego Platão, outra ao Astrônomo e Físico Johannes Kepler. Platão associou os 4 elementos com os sólidos. Para ele a terra era o cubo, o ar era o octaedro regular, a água o icosaedro regular, o fogo o tetraedro regular. O formato do éter, a “alma do universo”, o “5º elemento” era um dodecaedro regular. Esta idéia está escrita em seu livro Timeu publicado em cerca de 360aC. Fonte: http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?de ze_art_online_id=124 Associe os nomes às gravuras acima.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 16 3) Escreva o nome dos sólidos cuja planificação está abaixo: 4)O que é um Poliedro Regular? 5)Preencha a tabela: Poliedro Regular V F A arestas que Sai de um vértice Número de lados da Face T H O D I 6)Quanto ao número de faces, o cubo é um: ( ) Tetraedro ( ) Hexaedro ( ) Octaedro 7)Quanto ao número de faces uma pirâmide quadrangular é um: ( ) Tetraedro ( ) Pentaedro ( ) Octaedro 8)Qual prisma é um hexaedro? ( ) Prisma triangular( ) Prisma quadrangular( ) Prisma hexagonal 9)Calcule o número de vértices, faces e arestas: 10)(Somos Educação)Verifique se as figuras são poliedros regulares. 11)(Somos Educação) Examine o cubo e sua planificação e responda. a)Quantas faces tem o cubo? Quantos vértices? E quantas arestas? b)Por que o cubo também é chamado de hexaedro regular? c)O cubo é um caso particular do bloco retangular? Explique. 12)(Somos Educação)Sobre o Tetraedro Regular, responda: a)O tetraedro regular é uma pirâmide especial? Explique. b)Qual é o significado do prefixo tetra? c)Quantas faces tem o tetraedro regulares? Quantos vértices? E quantas arestas? d)O que ocorre com o número de faces e de vértices de um tetraedro? Isso acontece em qualquer pirâmide? 13)(Somos Educação)Sobre o Octaedro Regular, responda: a)O que significa a expressão octaedro regular? b)Qual é a forma das faces do octaedro regular? c)Quantos vértices, quantas arestas e quantas faces tem o octaedro? 14)(Somos Educação)Sobre o Dodecaedro Regular, responda: a)O que significa dodecaedro regular? b)Qual é a forma das faces do dodecaedro regular? c)Quantos vértices tem o dodecaedro? Quantas arestas? E quantas faces? 15)(Somos Educação)Sobre o Icosaedro Regular, responda: a)O que significa icosaedro regular? b)Qual é a forma das faces do icosaedro regular? c)Quantos vértices tem o icosaedro? Quantas arestas? E quantas faces? 16)(Somos Educação)Complete a tabela e verifique a relação de Euler? 17)(Somos Educação)Considere os cinco poliedros regulares. a)Em quais deles temos 𝑉 = 3 4 𝐹?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 17 b)Em quais deles temos 𝐹 = 2 3 𝐴? c)Em quais deles temos: 2𝑉+𝐹+3𝐴 2𝐴+7 = 2 18)(Somos Educação)Em um poliedro regular, o número de vértices é a metade do número de arestas e o número de faces é 2 3 do número de arestas. Descubra quantos vértices, quantas faces e quantas arestas tem esse poliedro e qual é seu nome. 19)(PUC-SP) O poliedro regular que possui 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a) tetraedro b)icosaedro c)hexaedro d)dodecaedro e)icosaedro 20)(PUC-SP) Sobre as sentenças: I- Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II- Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III- Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a)I é verdadeira b)II é verdadeira c)III é verdadeira d)I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras 21)(UFCG-MS) Um professor de Matemática, em uma aula de Geometria, pediu que cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares. Podemos afirmar que o número de vértices do poliedro construído pelos alunos é igual a: a)28 b)12 c)19 d)27 e)41 22)(OBM) Um dado especial tem como faces triângulos equiláteros, numerados de 1 a 4, como no desenho. Colando dois dados, fazemos coincidir duas faces, com o mesmo número ou não. Qual dos números a seguir não pode ser a soma dos números das faces visíveis? a)12 b)14 c)17 d)18 e)19 Outros Poliedros Cubo (aqui é só contar, não é preciso da técnica, mas faremos como exemplo) Faces: 6 faces quadrangulares (quadradas) Arestas: 6 faces x 4 lados = 24; 242=12 arestas Vértices: 6 faces x 4 lados = 24; grau dos vértices: 3 (partem 3 arestas de cada vértice); 243=8 vértices Dodecaedro Faces: 12 faces pentagonais Arestas: 12 faces x 5 lados = 60; 602=30 arestas Vértices: 12 faces x 5 lados = 60; grau dos vértices: 3 (g=3); 603=20 vértices. Poliedro Bola, Buckyball ou Icosaedro Truncado Faces: 12 faces pentagonais, 20 faces hexagonais; total de faces: 12+20=32 faces Arestas: 12x5+20x6=60+120=180; 1802=90 arestas Vértices: grau dos vértices: 3; 1803=60 vértices Tetraedro Truncado Faces: 4 faces hexagonais, 4 faces triangulares; total de faces: 4+4=8 faces Arestas: 4x6+4x3=24+12=36; 362=18 arestas Vértices: grau do vértice: 3; 183=6 arestas 1)Vejam os conceitos e simbologias: Considere então: Prisma Piramidal Triangular – PP3 Prisma Piradimal Quadrangul ar – PP4 Prisma Piramidal N- agonal – PPn * Prisma Piramidal Triangular (ou Pirâmide Triangular Alongada ou Sólido de Johnson 7 – J7) * Prisma Piramidal Quadrangular (ou Pirâmide Quadrangular Alongada ou Sólido de Johnson 8 – J8) * Prisma Piramidal Pentagonal (ou Pirâmide Pentagonal Alongada ou Sólido de Johnson 9 – J9) a) Preencha a tabela: P P 3 P P 4 P P 5 P P 6 P P 7 P P 8 P P 9 P P 10 P P 89 PP 14 4 PP 38 7 P P n V F A
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 18 b) As seqüências de vértices, de faces e arestas estão em Progressão Aritmética, assim como estão as seqüências de Prismas e Pirâmides. c) Mostre que para os Prismas Piramidais, V+F-A=2. 3) (UERJ-1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m 4) Uma bola de futebol é composta por 20 “gomos” hexagonais e 12 “gomos” pentagonais. Uma costureira gasta 15 cm de linha para emendar os gomos e formar uma bola. Quantos metros de linha usa essa costureira? 5) Desenhe: a) Pentágono não convexo b) Eneágono não convexo c) Heptágono não convexo 6) Dê o nome às formas: 7) Dada a forma geométrica e a planificação, encontre vértices, faces e arestas: 8) Qual é o formato das faces laterais do: a) Prisma____________________________ b) Pirâmide _________________________ 9) Classifique as figuras quanto ao número de faces 4 faces – TETRAEDRO5 faces – PENTAEDRO 6 faces – HEXAEDRO 7 faces – HEPTAEDRO 8 faces – OCTAEDRO 9 faces – ENEAEDRO 10 faces – DECAEDRO11 faces – UNDECAEDRO 12 faces – DODECAEDRO 15 faces – PENTADECAEDRO 20 faces – ICOSAEDRO Como se classificaria quanto ao número de faces: a) a pirâmide hexagonal b) o prisma pentagonal c) a pirâmide eneagonal d) o prisma heptagonal 11) Associe cada figura às suas planificações: 12) Classifique os poliedros quanto às faces 13) Um ponto que aparece em uma face de cada planificação estará também em outras faces depois de montada a figura. Quais são essas outras faces? Responda sem montar a figura. 14) Cada planificação a seguir tem uma face pintada que será vizinha de outras faces depois de montada a figura. Sem montá-la, assinale essas outras faces.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 19 28)Veja a figura abaixo e responda a) Quantos são os vértices? b) Quantas são as faces? c) Quantas são as arestas? d) Calcule V+F-A 29) Construa em papel sulfite o molde para construir a seguinte figura TEMÁTICAS IMPORTANTES (veja E1): - Como desenhar sem tirar o lápis do papel - Faixa de Möbius e Garrafa de Klein - Problema das Sete Pontes de Königsberg Aplicações Topológicas – Problema das Quatro Cores (Somos Educação)Pinte as figuras com o menor número possível de cores e indique o número de cores que você usou. (Somos Educação)Na figura, temos o mapa simplificado da região Norte do Brasil pintado como o melhor número possível de cores. Responda: quantos são os estados e quantas cores foram necessárias? (Somos Educação)Agora você têm os mapas das regiões Sudeste e Nordeste. Pinte-os com o menor número possível de cores. Indique o número de estados e o número de cores em cada um deles. Volumes: conceitos básicos 1)(Prova de Aferição do Ensino Básico – Portugal) A Rosa decidiu medir o volume do corpo do seu peixe. Para o fazer, colocou água num copo graduado e, em seguida, mergulhou o peixe lá dentro, como se vê na figura. Faça uma estimativa do volume do corpo do peixe de Rosa. 2)(Somos Educação) Observe as pilhas montadas com cubos de aresta 1 cm. Determine o volume dos poliedros a seguir: 3)(Somos Educação)Qual é a medida do volume de um cubo de 10 cm de aresta?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 20 Volume do Bloco Retangular 1)(Somos Educação)Qual é o volume da caixa, do aquário e da piscina representados abaixo? 2)(COC)Uma caixa de papelão foi montada na forma de um cubo com arestas medindo 12 cm, conforme ilustração. Depois disso, revestiram-na por completo, com papel de presente, pois seria utilizada como decoração de Natal. Determine a medida da área da superfície coberta pelo papel de presente. 3)(COC)Considere o seguinte bloco retangular cujas dimensões são dadas pelas medidas a, b e c. Faça um esboço da planificação desse sólido e depois escreva uma fórmula que dê a medida da área A da superfície desse sólido (área total). 4)(COC)Calcule a área total de um bloco retangular que tem 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm de altura. 5)(Somos Educação)Escreva uma fórmula geral para determina medida do volume do paralelepípedo e do cubo abaixo. 6)(Somos Educação)Calcule a área e o volume da figura a seguir: 7)(Somos Educação)Qual é a área total de um paralelepípedo com dimensões de 6 centímetros, 8 centímetros e 10 centímetros? Qual o volume desse paralelepípedo? 8)(Somos Educação)Se um paralelepípedo tem volume de792 m³, comprimento de 11 metros e largura de 8 metros, qual é a medida de sua altura? 9)(Somos Educação)Quanto mede o comprimento de cada aresta de um cubo com volume de 343 dm³? 10)(Somos Educação)Qual é a medida do volume de um cubo cuja área total é de 384 cm²? 11)(Somos Educação)Com cubinhos que têm 2 centímetros de aresta foi formado um bloco retangular como este da figura. Qual é o volume desse bloco? Medidas de Capacidade e Volume 1)(Somos Educação)Você estudou que, se um cubo tem arestas de 1 dm (10 cm), seu volume é de 1 dm³ (1000 cm³) e sua capacidade é de 1 litro. Complete as correspondências: 2)(Somos Educação)Faça uma estimativa e depois responda considerando a representação abaixo. Quantos litros de água são necessários para encher esta piscina de plástico? 3)(Somos Educação)A capacidade desta caixa térmica de isopor é maior, igual ou menor que 35 litros? 4)(Somos Educação) Uma caixa-d’água tem a forma de um paralelepípedo de dimensões 80 cm por 90 cm por 60 cm. Qual é a medida do seu volume? E de sai capacidade? 5)(Somos Educação)Um tanque em forma de paralelepípedo tem como base uma região retangular de 30 cm por 20 cm. Ele está com nível de água de 7,5 cm. Quando um cubo sólido é completamente mergulhado no tanque, o nível de água se eleva em 0,5 cm. Quanto mede, aproximadamente, a aresta do cubo? 6)(Somos Educação)Faça o desenho da planificação de um bloco retangular com dimensões de 4 cm, 3 cm e 1 cm.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 21 Mais Volume do Bloco Retangular 1)(Somos Educação)Uma caixa de creme dental com a forma de um bloco retangular tem as seguintes dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm. Determine a área da caixa planificada. 2)(Somos Educação)Para construir uma caixa aberta com a forma de um bloco retangular, Júlia recortou uma região poligonal de papelão como está indicado na figura, dobrou e colocou fita-crepe. Quantos centímetros quadrados de papelão ela usou? 3)(Somos Educação)Sônia é decoradora e resolveu comprar alguns aquários de vidro para decorar a casa das três clientes. Observer os três modelos que ela comprou e as informações em cada um. a)Calcule a medida do volume de cada aquário. b)Determine a medida do comprimento de cada aresta do aquário C. c)Responda: o volume de C corresponde a quanto por cento do volume de A? d)Determine quantos litros de água cabem em cada um desses aquários. 4)(Somos Educação)Para encher um tanque A, uma torneira que despeja 190 litros de água por minuto ficou aberta durante 1 hora e 10minutos. O tanque B tem volume 11,3 m³. a)Em qual dos dois tanques cabe mais água? b)Quantos litros a mais? 5)(Somos Educação)As dimensões de um reservatório em forma de bloco retangular, em metros, são três números naturais consecutivos. Descubra essas dimensões sabendo que, nesse reservatório, cabem 120 000 litros de água. 6)(Somos Educação)Uma torneira despeja 20 litros de água por minuto. Quanto tempo ela gasta para encher uma caixa-d’água em formato de paralelepípedo com dimensões 1 metro, 1 metro por 0,5 metro? 7)(Somos Educação)O nível de água corresponde a 2/3 da altura do aquário. Quantos litros de água há no aquário? 8)(Somos Educação)Os vasilhames A e B estão cheios de água e o vasilhame C, de forma cúbica, está vazio. Despejando água de A e B em C, este fica com 4/5 de sua capacidade ocupada. Qual é a medida de cada aresta de C? 9)(Somos Educação)Uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 0,95 m, 1,95 m e 0,95 m. Qual é o valor aproximado da medida de capacidade dessa caixa? a)20.000 L b)2.000 L c)5.000 L 10)(Somos Educação)Uma indústria embala os sabonetes que fabrica em caixas com dimensões de 20 centímetros, 10 centímetros e 8 centímetros. Para transportar as caixas elas são colocadas em recipientes com a forma, a posição e as dimensões indicadas na figura abaixo: As caixas devem ser colocadas no recipiente, todas na mesma posição, de modo que caiba nele o maior número possível de caixas. a)Analise as três figuras a seguir e faça uma estimativa: qual delas indica a melhor posição para que isso aconteça?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 22 b)Calcule quantas caixas cabem nos recipientes A, B e C, considerando a posição indicada em cada um deles, e confirma sua resposta para o item “a”. 11)(Somos Educação)Um bloco de forma cúbica com medidas 10 cm x 10 cm x 10 cm é pintado em suas 6 faces com tinta azul. Depois ele é cortado em bloquinhos de medidas 1 cm x 1 cm x 1 cm. Qual é a quantidade de bloquinhos que não terão nenhuma de suas faces pintadas de azul? 12)(Somos Educação)Em uma caixa-d’água com 1 m³ de volume cabem 1.000 L de água. Calcule quantos litros de água cabem em um reservatório que tem a forma de um bloco retangular com dimensões de 2 m, 1,5 m e 70 cm. 13)(Somos Educação)Um tanque com a forma de bloco retangular tem as dimensões indicadas na figura abaixo. Se uma torneira despeja 25 L de água por minuto, em quanto tempo ele encherá esse tanque? 14)(Somos Educação)Qual deve ser a medida da aresta de um reservatório cubico para que sua capacidade seja de 8000 L? 15)(Somos Educação)Um cubo de aresta 10 cm está com água até certa altura. Em seu interior, é colocada uma pedra que faz a altura da água subir 4 cm sem que a água derrame. Qual é o volume da pedra colocada em seu interior? 16)(Somos Educação)Os dois recipientes mostrados nas figuras estão cheios de um mesmo material. A quantidade contida no recipiente cúbico tem massa 600 g. a)Qual é a massa da quantidade contida no outro recipiente? b)Qual é a densidade desse material? c)Quando colocado na água, ele flutua ou afunda? 17)(Somos Educação)Vamos considerar uma cartolina retangular cujo comprimento é 40 cm e cuja largura é de 20 cm. Para calcular sua área, nós dependemos dessas duas medidas, o que nos leva a concluir que a área da cartolina não é uma medida linear, ou seja, se reduzirmos suas dimensões pela metade, isso não significa que sua área também será reduzida à metade. Observe: a área da cartolina é o produto de suas dimensões (40 ∙ 20) resultando um total de 800 cm². Se reduzirmos essas dimensões para 20 cm e 10 cm, a nova área será de 200 cm² (20 ∙ 10), ou seja, um quarto da área anterior (e não a metade). Consideramos, agora, a figura que representa a mesma cartolina citada acima, mas da qual serão recortadas quatro regiões quadradas de lado x, uma em cada canto. Observe o gráfico. Ele mostra como varia a área da região em destaque da cartolina quando retiramos as quatro regiões quadradas. I)Responda às questões a seguir, usando o gráfico se necessário. a)Qual é a expressão algébrica E que representa a área da cartolina após a retirada dos cantos? b)É possível retirar as quatro regiões quadradas dos cantos com lados de medida 11 cm? Justifique. c)Qual deve ser a área de cada uma das quatro regiões quadradas para que a área restante corresponda a 7/8 da área inicial. Dica: considere a área de cada região quadrada como 𝑥2 . II)Após recortarmos a quatro regiões quadradas da cartolina, obtemos a figura da esquerda. Depois de dobrada nas linhas tracejadas, obtemos a caixa mostrada na figura da direita. Observe no gráfico que, para obtermos a caixa, o valor de x deve ser maior do que zero e menor do que 10.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 23 Observe o gráfico e faça o que se pede: d)Represente o volume da caixa com uma expressão algébrica. e)O que aconteceria se tivéssemos x=0 ou x=10 cm? f)Qual o volume da caixa para x=7 cm? g)Para um volume de 1400 cm³, qual é aproximadamente o valor de x? 18)(Somos Educação)No bloco retangular da figura ao lado, a medida de 𝐸𝐶̂ 𝐹 é: a)30° b)45° c)60° d)90° Diagonal do Bloco Retangular Calcule a diagonal FC do Bloco Retangular: Proporcionalidade e Volume 1)(Somos Educação)considere dois cubos cujas arestas medem 4 cm e 6 cm, nessa ordem. Calcule e indique com frações irredutíveis a razão entre: a)as medidas de comprimento das arestas. b)os perímetros das faces. c)as áreas das faces. d)as áreas totais. e)os volumes. 2)(Somos Educação)A medidas de volume de um cubo com arestas de 1 cm é igual a 1 cm³. Fixamos esse cubo como unidade de medida de volume. Observe as figuras acima e faça o que se pede. a)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no cubo da figura 2? Qual é o volume do cubo da figura 2? b)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no cubo da figura 3? Qual é o volume do cubo da figura 3? c)Há alguma outra maneira de calcular o volume desses cubos sem contar os cubinhos que formam o cubo maior? Explique. d)Qual é a medida do volume de um cubo com arestas de 5 cm? 3)(Somos Educação)Considere o paralelepípedo abaixo com dimensões de 6 cm, por 2 cm, por 3 cm, e a unidade de medida de volume é 1 cm³. Vamos calcular o volume desse paralelepípedo. a)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no paralelepípedo da figura 3? Qual é o volume do paralelepípedo da figura 3? b)Há alguma outra maneira de calcular o volume desse paralelepípedo sem contar os cubinhos que o formam? Explique. 4)(Somos Educação)Elisabeth faz chocolates para vender. Ela vende barras de um mesmo tipo de chocolate, com tamanhos diferentes. As barras têm a forma aproximada de um paralelepípedo, e os valores que correspondem ao volume (em cm³), à massa (em g) e ao preço (em reais) são proporcionais. Abaixo temos o valor de uma das barras. Analise-o e escreva os valores das outras duas barras.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 24 c)Um quarto tipo de barra de chocolate tem a forma cúbica e será vendido por R$ 5,76. Determine o seu volume, a medida de cada aresta e o seu “peso”, considerando que a proporcionalidade será mantida. Tópicos que podem ser assuntos desse módulo: Proporcionalidade e Semelhança de Sólidos, Simetrias em Sólidos – que precisam entrar na versão definitiva Volume do Prisma 1)(Somos Educação)Calcule a medida do volume de cada um dos sólidos abaixo. 2)(Somos Educação)a)Determine a área, em centímetros quadrados, da região retangular abaixo. b)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários para cobrir a região retangular acima? c)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários para encher completamente o prisma abaixo? Esse valor corresponde à medida do volume do prisma. d)Como podemos obter o volume desse prisma relacionando a área da sua base e a sua altura? e)Vamos agora calcular o volume deste outro prisma. Para isso, resolva os exercícios a seguir. Determine a área, em centímetros quadrados, da região limitada pelo triângulo retângulo abaixo. f)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários para encher completamente o prismo abaixo? Esse valor corresponde à medida do volume do prisma. g)Como podemos obter o volume do prisma acima relacionando a área da base e a altura desse prisma? 3)(Somos Educação)Calcule a medida do volume de cada sólido indicado abaixo. a) Prisma com 5 cm de altura, cuja base tem como contorno um triângulo retângulo com lados 6 cm, 8 cm e 10 cm. b)Cilindro com diâmetro da base da medida igual a 8 cm e altura de medida igual a 5 cm. c)Prisma com 6 cm de altura, cuja base tem como contorno um hexágono regular com lados de 8 cm (use √3 = 1,7)
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 25 4)(Somos Educação)Uma caixa de creme dental com a forma de um bloco retangular tem as seguintes dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm. Determine a área da caixa planificada. 5)(Somos Educação)Para construir uma caixa aberta com a forma de um bloco retangular, Júlia recortou uma região poligonal de papelão como está indicado na figura, dobrou e colocou fita-crepe. Quantos centímetros quadrados de papelão ela usou? 6)(Somos Educação)Qual é a área do prisma a seguir? 7)(Somos Educação)Veja o prisma de base quadrada: a)Qual é área lateral desse prisma? b)Qual é a área de cada uma das suas bases? 8)(Somos Educação)Moacir é marceneiro e quer construir uma caixa de madeira com a forma e as dimensões indicadas na figura abaixo. De quantos centímetros quadrados de madeira Moacir vai precisar para construir essa caixa? 9)(Somos Educação)Determine a área total aproximada da superfície do prisma pentagonal abaixo, formado por duas regiões pentagonais e cinco regiões retangulares. Use 𝑡𝑔 36° = 0,727. 10)(Somos Educação)Calcule a área total da superfície de uma caixa cúbica com aresta de 5 cm. 11)(Somos Educação)Um prisma de base triangular tem as seguintes características: • Cada base é um região triangular com um ângulo reto e lados de 6 cm, 8 cm e 10 cm. • Altura com medida de 8 cm. a)A área da base. b)A área da maior face lateral. c)A área total desse prisma. 12)(Somos Educação)Uma caixa de fósforos é composta de duas peças. Observe as dimensões da caixa de fósforo da figura abaixo e responda: em qual das peças, a ou b, se usa mais material na confecção? 13)(UFABC-SP) Para fabricar um único microchip de 32 megabytes de memória (figura 1) usam-se 1,6 kg de combustível fóssil e 72 gramas de substâncias químicas (Enciclopédia do Estudante, Estadão). É necessária ainda toda a água contida em um prisma reto de base quadrada (figura 2), com sua capacidade total preenchida. Sabendo que a densidade da água, ou massa por unidade de volume, é de 1 g/mL, pode-se concluir que a massa de água usada para fabricar esse microchip é igual a: a)400 g b)500 g c) 550 g d) 600 g e)700 g
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 26 14)(UECE) Se um prisma triângulo reto é tal que cada uma de suas arestas mede 2 m, então a medida do seu volume é: a)3√2 m³ b)2√3m³ c)6 m³ d)8 m³ 15)(COC)Paula confecciona bombons de chocolate e, para o Natal, está utilizando uma caixa no formato de prisma de base triangular, conforme ilustração. Ele deseja embalar essa caixa com papel de presente. Considerando as medidas dadas, no esboço a seguir e sua respectiva planificação (dois triângulos equiláteros e três retângulos), qual é a quantidade mínima de papel, em centímetros quadrados, que Paula deverá utilizar? Considere: √3 = 1,73 16)(COC)Tiago produz envelopes para cartões e cartas. Um dos modelos que ele produz toma como base a seguinte planificação: A planificação é obtida a partir de uma única folha de papel retangular, conforme esquema e medidas em milímetros: A planificação é formada por um triângulo isósceles e quatro retângulos. Considerando essa situação, responda ao que se pede. a)Determine a área total, em centímetros quadrados, da superfície da folha de papel usada para traçar o molde do cartão. b)Determine, em centímetro quadrados, a área da superfície da folha ocupada apenas pelo molde do cartão. c)Depois do recorte do molde, as sobras da folha são direcionadas para reciclagem. Assim, são reaproveitadas na própria linha de produção dos cartões. Que porcentagem de uma folha é desprezada e enviada para reciclagem após o recorte do molde? d)Para a confecção de 1000 cartões quantos metros quadrados de folha são necessários? Desse total, quantos metros quadrados de folha são reciclados? 17)(COC)Uma caixa de presentes tem o formato de um prisma de base pentagonal regular. As medidas dessa caixa são apresentadas no rascunho a seguir: Deseja-se embalar essa caixa com um papel adesivo, cobrindo toda a sua superfície. Qual é a medida da área total da superfície desse sólido? Considere tg(36°)=0,73. O Princípio de Cavalièri Segunda imagem, do prof. Nilo Esse princípio é usado para demonstrar os volumes da pirâmide, do cone e da esfera Volume da Pirâmide 1)(Somos Educação)Verifique que o volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma de mesma base.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 27 2)(Somos Educação)Pedro ganhou uma pirâmide de acrílico com as seguintes características: a base é uma região retangular de 5 cm por 6 cm e a altura é de 9 cm. Qual é o volume dessa pirâmide? 3)(Somos Educação)A altura dessa pirâmide é de 8,95 cm. A medida de seu volume está mais próxima de 80 cm³, 70 cm³ ou 60 cm³? 4)(Somos Educação)Uma pirâmide de base quadrada tem altura de 13 cm e sua base tem 2,5 cm de lado, qual é a medida de seu volume? 5)(Somos Educação)Leia o texto: Com as informações dadas, descubra a área da base da pirâmide de Quéops. Use calculadora. 6)(UFPE)Uma pirâmide tem base quadrada e faces laterais congruentes, como ilustrado a seguir. Se as arestas laterais da pirâmide medem 10 cm, e a altura da pirâmide mede 8 cm, qual é o volume da pirâmide? a)190cm³ b)192cm³ c)194cm³ d)196cm³ e)198cm³ 7)(Somos Educação)Faça o desenho da planificação de um pirâmide de base quadrada, como da figura ao lado, considerando as seguintes dimensões: a)cada lado de base 3 cm; b)cada face lateral: região triangular isósceles com 2,5 cm de altura. 8)(COC)A figura a seguir ilustra um típico vaso de flores. Ele é confeccionado em madeira e possui o formato de um tronco de pirâmide regular. No entanto, uma de suas bases, a maior, não existe. Deseja-se cobrir toda a parte externa desse vaso, incluindo o fundo, com um material decorativo. Determine quantos centímetros quadrados deverão ser cobertos por este material sabendo-se que a base menor é um quadrado com 10 cm de lado, as faces laterais são trapézios com base maior medindo 15 cm e o apótema do tronco (altura dos trapézios) mede 16 cm. 9)(COC)A figura a seguir mostra um esquema de um silo utilizado em um sítio para armazenar forragem que será utilizada na alimentação de bovinos. Ela possui a forma de um tronco de pirâmide regular, com base na forma de um quadrado. As dimensões, na figura, são dadas em metros. Deseja-se forrar o fundo e as paredes internas deste silo com um material impermeabilizante. Determina qual deve ser a área total coberta por esse material. Volume do Cilindro 1)(Somos Educação)Qual é o volume e área lateral de um cilindro de altura 8 cm e base sendo um círculo de raio 4,1 cm? 2)(Somos Educação)Considere o cilindro da figura ao lado e use 𝜋 = 3,14. a)Qual é a área lateral desse cilindro? b)Qual é a área de cada uma das suas bases? c)Qual é a área total da superfície do cilindro? 4)(Somos Educação)Determinada embalagem de leite em pó tem forma cilíndrica, como mostra a figura ao lado. O fundo e a superfície arredondada são feitos de material metálico; a tampa, que apresenta uma borda com altura de 0,5 cm, é de material plástico. Tanto o fundo como a tampa possuem raio de 5 cm. Use 𝜋 = 3,14. a)Quantos centímetros quadrados de plástico serão usados para fabricar a tampa de cada lata como essa? b)Quantos centímetros quadrados do material metálico serão usados em cada lata? 5)(Somos Educação)Observe as latas cilíndricas A e B abaixo:
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 28 a)Transforme em centímetros cúbicos as medidas dadas em mililitros, que indicam o conteúdo das latas. Lembre-se que 1 𝑑𝑚3 = 1000 𝑐𝑚3 = 1𝐿. b)Determine a área da base, em centímetros quadrados, na lata A e na lata B, com aproximação de décimos. Use 𝜋 = 3,1. c)Para cada lata, efetue a divisão da medida do volume pela área de uma base. Compare o resultado obtido a altura da respectiva lata. d)Complete: a medida do volume do cilindro dividido pela _________ dá como resultado a ______. 6)(Somos Educação) Uma indústria recebeu um pedido para fabricar 2500 peças de ferro maciço, com a forma e as dimensões indicadas na figura abaixo. Quantos centímetros cúbicos de ferro serão usados na fabricação dessas peças? Use calculadora e considere 𝜋 = 3,14. 7)(Somos Educação)Um cilindro tem 225𝜋 cm³ de volume e o diâmetro de sua base mede 10 cm. Quanto mede a altura desse cilindro? 8)(Somos Educação)As figuras mostram dois bolos cilíndricos. Descubra quanto pesa e quanto custa o bolo da direita. Use 𝜋 = 3,14. 9)(Somos Educação)Em um cilindro que tem a medida do diâmetro da base igual a 8 cm e a altura igual a 6 cm, a área total e o volume têm, respectivamente: a)80𝜋 cm² e 96 𝜋 cm³ b) 80𝜋 cm² e 84 𝜋 cm³ c) 60𝜋 cm² e 96 𝜋 cm³ d) 60𝜋 cm² e 84 𝜋 cm³ 10)(COC)Paulo projetou um recipiente que servirá de comedouro para sua pequena criação de bodes no formato de um semi-cilindro, isto é, a metade de um cilindro, conforme mostra a ilustração: Ele utilizará uma folha de zinco e partirá da seguinte planificação: Observe que o raio do semicírculo tem 20 cm e o comprimento do comedouro será de 80 cm. Nessa condições, qual é a área da superfície que será utilizada para a confecção desse comedouro? 11)(COC) Uma caixa de presentes apresenta o formato de um cilindro com medidas indicadas na ilustração. Deseja-se encapar toda a caixa com um adesivo decorativo. Para isso, deve-se saber qual é a área da superfície de toda a caixa. Calcule essa área. Volume de Cone 1)(Somos Educação)O professor Manuel deu a Ana uma tarefa que, a princípio, parecida difícil: relacionar o volume de um cone com o de um cilindro de mesma base e altura. Para descobrir, Ana fez o experimento abaixo, usando cones iguais: Responda: quantos cones Ana utilizou para preencher o cilindro? O que se pode concluir, então, a respeito do volume de cada cone que ela utilizou em relação ao volume do cilindro? 2)(Somos Educação)Um cone tem altura de 6 cm e o raio de sua base tem 5 cm, qual é a medida de seu volume? Use 𝜋 = 3,14. 3)(Somos Educação)Qual destes sólidos tem volume maior? Considere 𝜋 = 3,14. 4)(Somos Educação)Na figura 1, temos ℎ = 6 𝑐𝑚 e 𝑟 = 3 𝑐𝑚. Calcule o volume do cone inscrito no cilindro. Na figura 2, temos um cubo de 9 cm de aresta. Calcule o volume da pirâmide inscrita no cubo. Use 𝜋 = 3,14. 5)(Somos Educação)Quantos litros de água contém o reservatório da figura abaixo quando está com 80% de sua capacidade? Use 𝜋 = 3,14.
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 29 Volume da Esfera 1)(Somos Educação)Veja as fórmulas de área e volume de uma esfera: Considere o raio do planeta Terra com medida 6370 km. Use as fórmulas acima, e com ajuda de uma calculadora e adotando 𝜋 = 3,14, determine o valor aproximado: a)Da área da superfície do planeta Terra. b)Do volume do planeta Terra. 2)(Somos Educação)O volume de água que é armazenado em uma caixa-d’água é uma função das dimensões da caixa. Por exemplo, para um reservatório com formato esférico, o volume pode ser calculado usando-se a fórmula 𝑉 = 4𝜋𝑅3 3 , em que 𝜋 = 3,141592 … a)Observe a tabela seguinte: Represente esses valores graficamente. b)Use 𝜋 = 3 e determine, aproximadamente, quantos litros de água cabem em uma caixa-d’água esférica cujo raio é igual a 1,4 m. Construções em Malhas 1)(Somos Educação)Desenhe em malhas pontilhadas: a)três cubos justapostos. b)dois blocos retangulares justapostos. c)uma pilha de cubos formadas com seis cubos. d)uma pilha de cubos construída como você quiser. e)A letra U formada por 7 cubos. f)A letra H formada por 12 cubos. g)A letra E formada por 10 cubos. 2)(Somos Educação)Desenhe em malhas quadriculadas. a)quatro cubos justapostos b)três blocos retangulares, um sobre o outro. c)um prisma de base hexagonal. d)uma pirâmide de base pentagonal. e)uma pilha de cubos construída por 5 cubos. f)a letra F formada por 8 cubos. g)a letra O formada por 12 cubos. 3)(Somos Educação)Desenhe em malhas triangulares: a)cinco cubos justapostos. b)quatro blocos retangulares, um sobre o outro. c)a letra L construída com 6 cubos. 4)(Somos Educação)Escreva quantos cubinhos há em cada figura. 5)(Somos Educação)Numa malha triangular represente um bloco retangular formado por 16 cubos. 6)(Somos Educação)Ao lado há uma representação de uma peça formada por 3 cubos. Observe-a e responda: você acha que, se forem dobradas as medidas de todas as suas arestas, o volume dobrará? 7)(Somos Educação)Nas figuras abaixo, você vê a representação de um sólido e de duas de suas vistas. Escreva que vistas são essas e depois desenhe a vista de baixo e uma vista lateral. 8)(Somos Educação)Observe a figura espacial representada abaixo e considere a figura ao lado como sua vista de frente. Desenhe as vistas de cima, de baixo e lateral dessa figura espacial. Perspectiva 1)(Somos Educação)Em geral, nas pinturas, podemos identificar as que foram e as que não foram feitas com o uso da perspectiva. Você consegue identificar qual dos quadros a seguir foi pintado com o recurso da perspectiva?
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 30 2)(Somos Educação)Quais as letras estão representadas em perspectiva? 3)(Somos Educação)Utilizando-se do ponto de fogo desenhe as figuradas, das a face frontal, em perspectiva: 4)(Somos Educação)Veja um exemplo de um bloco retangular abaixo da linha do horizonte visto com dois pontos de fuga: 5)(Somos Educação)Represente em perspectiva o bloco retangular e o cubo desses esboços: 6)(Somos Educação)Represente em perspectiva os três blocos retangulares, em que são dadas as faces frontais, a linha do horizonte e o ponto de fuga. 7)(Somos Educação)Verifique se cada uma destas representações em perspectiva está acima ou abaixo da linha do horizonte. 8)(Somos Educação)Desenhe três blocos retangulares na linha do horizonte. 9)(Somos Educação)Represente em perspectiva a pilha de cubos cujo esboço está ao lado. Coloque-a abaixo da linha do horizonte com o ponto de fuga à esquerda. 10)(Somos Educação)Determine o ponto de fugo e a linha do horizonte da representação em perspectiva a seguir: 11)(Somos Educação)Complete a representação em perspectiva de um bloco retangular com dois pontos de fuga, em que a resta frontal e os pontos de fuga já são dados abaixo. 12)(Somos Educação)Agora, complete a representação em perspectiva de três caixas em forma de bloco retangular com dois pontos de fuga, em que são dados a aresta frontal de cada caixa e os dois ponto de fuga. 13)(Somos Educação)Usando 6 palitos inteiros e iguais, construa 4 triângulos equiláteros de mesmo tamanho. 14)(Somos Educação)Rafael e Marina estão criando uma atividade que ajuda muito no desenvolvimento da visão espacial e de sua representação no plano. Um deles faz uma arrumação com três dados e outro desenha sua vista superior. Nos itens I a III a seguir, observe o desenho da arrumação e faça uma previsão de qual será a vista superior correta. Depois, utilizando três dados, confira se sua previsão foi correta. Atenção na posição dos pontos! 15)(Somos Educação)Como chegada da Copa do Mundo de Futebol, um fabricante de suvenir inventou um modelo de chaveiro de tecido, em formato de cubo, que
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    PODEMOS – B.9– Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 31 sempre destaca as cores amarelo, verde e azul da seleção brasileira de futebol. O fabricante definiu que, em todo cubo, as cores das faces opostas e paralelas são iguais. a)Para otimizar a produção e minimizar os custos com o tecido na fabricação dos chaveiros, as faces dos cubos foram planificadas e justapostas de forma que não houvesse desperdício nos cortes dos moldes. A figura abaixo representa um pedaço do tecido utilizado na fabricação dos chaveiros. Observe a representação e determine quantos são os cubos do chaveiro que poderão ser formados com esse pedaço de tecido. b)Outros modelos de suvenir foram também criados usando-se a técnica anterior. Veja cada um dos sólidos abaixo e complete sua planificação obedecendo aos padrões das cores definidos pelo fabricante. 16) (Somos Educação)Na representação em perspectiva abaixo, o paralelepípedo está: a)acima da linha do horizonte e à direita do ponto de fuga b)acima da linha do horizonte e à esquerda do ponto de fuga. c)abaixo da linha do horizonte e à direita do ponto de fuga. d)abaixo da linha do horizonte e à esquerda do ponto de fuga. Exercícios Gerais 1)(Somos Educação)Muitas pessoas costumam confeccionar peças de artesanato para vender, como caixas, enfeites, bijuterias, tapetes, velas, etc. Rogério trabalha com artesanato e vai montar três caixas para presente como a da figura da esquerda e mais duas caixas como a da figura da direita. As faces opostas em cada caixa têm a mesma cor. Para isso, ele vai usar fita adesiva, para unir as arestas das placas, e placas de dois tipos: a)Quantas placas de cada tipo ele vai usar? b)Quantos metros de fita adesiva ele vai usar? 2)(Universidade de Coimbra – Portugal) A primeira figura representa um pedaço de cartão com alguns segmentos numerados de 1 a 8. A Ana resolveu cortar o cartão ao longo de quatros desses segmentos para dobrar o cartão ao longo de outros segmentos e obter o objeto representado na segunda figura. Qual é a soma dos números dos segmentos que Ana cortou? 3)(COC)Certo octaedro regular apresenta cada uma de suas arestas medindo 8 cm, conforme a figura. Sua planificação pode ser dada por: Qual é a medida da área total de sua superfície?