Aula 1 - Sistema de Equações

Aula 1 - Sistema de Equações

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  Apontamentos de ÁlgebraLinear [email protected] 1 a Aula 2013.02.15 AL 1.1 L E G M , L M A C , M E F T , M E B io m , M E C Chama-se equação linear nas n incógnitas (ou variáveis) x1 , ..., xn a uma equação da forma a1 x1 + ... + an xn = d, (1.1) onde a1 , ..., an e d são números (reais ou complexos); a1 , ..., an , dizem-se os coeficientes da equação e d o seu segundo membro ou termo independente. Uma vez fixada uma ordem para as incógnitas, uma lista ordenada de números (s1 , ..., sn ) diz-se solução de da equação (1.1) se a1 s1 + ... + an sn = d. Exemplo 1.1 Nas variáveis x, y a equação linear x + 2y = 1 define uma recta em R2 que passa nos pontos 0, 1 e (1, 0). 2 Exemplo 1.2 Nas variáveis x, y, z a equação linear x−y +4z = 3 define um plano em R3 que passa no ponto (3, 0, 0) e é perpendicular ao vector (1, −1, 4) . Ou seja o plano {(3 + y − 4z, y, z) : y, z ∈ R} . Um sistema de m equações lineares nas n incógnitas (ou variáveis) x1 , ..., xn , é um conjunto ordenado de m de equações lineares:   a11 x1 + ... + a1n xn = d1   a21 x1 + ... + a2n xn = d2 . ...    am1 x1 + ... + amn xn = dm (1.2) Uma lista ordenada de números (s1 , ..., sn ) é uma solução do sistema (1.2) se essa lista for solução de cada uma das equações lineares que constituem o sistema (considerando sempre a mesma ordem para as variáveis). O conjunto das soluções de um sistema linear de equações é o conjunto de todas as suas soluções. Dois sistemas de equações lineares nas mesmas n incógnitas ordenadas são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções (não precisam de ter o mesmo número de equações). Exemplo 1.3 O sistema linear x+y =2 x−y =0 nas variáveis x, y define a intersecção das rectas x + y = 2 e x − y = 0 que é o ponto (1, 1), e portanto, a única solução do sistema.
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  1.2 [email protected] Exemplo 1.4 Osistema linear x+y = 2 x+y = 4 nas variáveis x, y define a intersecção das rectas x + y = 2 e x + y = 4 que é o conjunto vazio. Portanto o conjunto das soluções do sistema é o conjunto vazio. Exemplo 1.5 O sistema linear x+y+z = 8 x+y−z =0 nas variáveis x, y, z define a intersecção dos planos x + y + z = 8 e x + y − z = 0. De facto o conjunto das soluções do sistema é recta definida por S = {(4 − y, y, 4) : y ∈ R} . Portanto neste caso temos uma infinidade de soluções do sistema (os pontos da recta). Exemplo 1.6 O sistema linear x+y = 2 x−y =0 nas variáveis x, y, z define a intersecção dos planos de R3 com equações x + y = 2 e x − y = 0. Neste caso o conjunto S das soluções representa uma recta: S = {(1, 1, z) : z ∈ R} . Compare-se com o Exemplo 1.3. Qual é a diferença? Exemplo 1.7 O sistema linear x1 + x2 + x3 + x4 = 8 x1 + x4 = 8 nas variáveis x1 , x2 , x3 , x4 tem com o conjunto das soluções o conjunto definido por S = {(8 − x4 , −x3 , x3 , x4 ) : x3 , x4 ∈ R} . Exemplo 1.8 Os sistemas x+y = 3 x−y =1 e x + 2y = 4 x − 2y = 0 são equivalentes porque têm o mesmo conjunto solução que é S = {(2, 1)}.
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  1. a Aula 2013.02.15 AL LE G M , L M A C , M E F T , M E B io m , M E C 1.3 De acordo com o seu conjunto de soluções classificamos um sistema de equações lineares como • Impossível se o conjunto das soluções for vazio (ou seja quando não existirem soluções). • Determinado se o conjunto das soluções possuir uma único elemento (uma só solução). • Indeterminado se o conjunto das soluções possuir mais de uma solução (caso em que, como veremos a seguir, existem sempre infinitas soluções). Portanto os sistemas podem ser possíveis ou impossíveis; e os sistemas possíveis podem ser determinados ou indeterminados. No caso de um sistema ser indeterminado vamos determinar (descrever) o conjunto das soluções identificando variáveis livres que podem tomar qualquer valor e variáveis dependentes que são funções lineares das variáveis livres de forma a obter todos os elementos do conjunto de soluções. Assim dando valores arbitrários às variáveis livres e calculando o valor correspondente das variáveis dependentes obtemos diversas soluções do sistema indeterminado. Exemplo 1.9 O sistema linear x+y+z =8 ⇔ x+y−z =0 x+y = 4 z=4 nas variáveis x, y, z tem o conjunto das soluções S = {(4 − y, y, 4) : y ∈ R} , onde y é uma variável livre e x = 4 − y e z = 4 são dependentes. Dando o valor y = 3, obtemos x = 1 e z = 4, concluímos (1, 3, 4) ∈ S. Ou fazendo por exemplo y = 0, obtemos x = 4, z = 4 e (4, 0, 4) ∈ S. Mas este mesmo conjunto S pode ser descrito na forma S = {(x, 4 − x, 4) : x ∈ R} , onde x é uma variável livre e y = 4 − x e z = 4 são dependentes. No entanto a variável z nunca poderá ser considerada livre neste sistema. O algoritmo de Gauss que analisaremos de seguida, indica-nos de forma única uma escolha possível das variáveis livres e das variáveis dependentes; não sendo uma escolha obrigatória é a escolha que seguiremos e portanto o problema de saber quais as variáveis que podem ser consideradas livres não nos vai interessar.
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  1.4 [email protected] Uma vez fixadaa ordem das variáveis, toda a informação de um sistema (1.2) a m equações e n incógnitas pode ser condensada no seguinte quadro de números com m linhas (numeradas de cima para baixo) e n colunas (numeradas da esquerda para a direita) que tem o nome de matriz aumentada do sistema:   a11 ... a1n d1  a21 ... a2n d2   .  ... ... ... ...  am1 ... amn dm Exemplo 1.10 A matriz aumentada do sistema   x2 + x3 + x4 = 1   x1 − x2 − x3 − x4 = 2  x1 + 2x4 = 3   x1 + 5x2 − 7x4 = 4 nas variáveis x1 , x2 , x3 , x4 é  0  1   1 1 1 −1 0 5 1 −1 0 0 1 −1 2 −7  1 2  . 3  4 Exemplo 1.11 A matriz aumentada do sistema x+y = 2 x−y =0 nas variáveis x, y, z é 1 1 0 1 −1 0 2 0 .