Aula 4 espaços vetoriais

54
Parte 4 – Espaços Vetoriais

55
Espaços Vetoriais Reais
DEFINIÇÃO: Um espaço vetorial real é um conjunto de elementos V munidos
de duas operações ⊕ e ⊗ tais que
α) Se u
v
e v
v
são elementos de V, então vu
vv
⊕ está em V (i. e., V é fechado em relação
à operação ⊕).
a) uvvu
vvvv
⊕=⊕ se u
v
e v
v
pertencem a V.
b) ( ) ( ) wvuwvu
vvvvvv
⊕⊕=⊕⊕ se u
v
, v
v
e w
v
pertencem a V.
c) Existe um elemento 0
v
em V tal que uu00u
vvvvv
=⊕=⊕ , para todo u
v
em V.
d) Para cada u
v
em V, existe um elemento u
v
− em V tal que 0uu
vvv
=−⊕
β) Se u
v
é um elemento qualquer de V e r é qualquer número real, então ur
v
⊗ está em
V (i. e., V é fechado em relação à operação ⊗).
e) ( ) vrurvur
vvvv
⊗⊕⊗=⊕⊗ , para todo número real r e todos os elementos u
v
e
v
v
em V.
f) ( ) usurusr
vvv
⊗⊕⊗=⊗+ , para todos os números reais r e s e todo elemento u
v
de V.
g) ( ) ( ) ursusr
vv
⊗=⊗⊗ , para todos os números reais r e s e todo elemento u
v
de
V.
h) uu1
vv
=⊗ , para todo elemento u
v
de V.
Os elementos de V são chamados vetores; os números reais são chamados
escalares. A operação ⊕ é chamada soma de vetores; a operação ⊗ é denominada
multiplicação por escalar. O vetor 0
v
que aparece na propriedade (c) é conhecido
como o vetor nulo. O vetor u
v
− que ocorre na propriedade (d) é o negativo de u
v
. É
possível provar que os vetores 0
v
e u
v
− são únicos.
Exemplo: Considere o conjunto V das triplas ordenadas de números reais
munidos das operações ⊕ e ⊗ através das fórmulas
( ) ( ) ( )'zz,'yy,'xx'z,'y,'xz,y,x +++=⊕
( ) ( )z,y,rxz,y,xr =⊗
Podemos verificar que as propriedades (a), (b), (c), (d) e (e) são satisfeitas. Por
exemplo, para checarmos a propriedade (e) fazemos:
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )'zz,'yy,'xxr'zz,'yy,'xxr'z,'y,'xz,y,xr +++=+++⊗=⊕⊗
Além disso,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'zz,'yy,'xxr'z,'y,'rxz,y,rx'z,'y,'xrz,y,xr +++=⊕=⊗⊕⊗
Portanto, a propriedade (e) é satisfeita.
Entretanto, a propriedade (f) não é satisfeita. De fato,
( ) ( ) ( )( )z,y,xdrz,y,xdr +=⊗+
Por outro lado
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )z2,y2,xdrz,y,dxz,y,rxz,y,xdz,y,xr +=⊕=⊗⊕⊗
Logo, V não é um espaço vetorial. Observe que as propriedades (g) e (h) são
satisfeitas.

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Outra fonte de exemplos de espaços vetoriais é o conjunto dos polinômios. Um
polinômio (em t) é uma função que pode ser expressa da forma
( ) 01
1n
1n
n
n atatatatp ++++= −
− L
onde n10 a,,a,a K são números reais.
Exemplo: As funções a seguir são polinômios:
( ) 1t5t2t3tp 24
1 −+−=
( ) 1t2tp2 +=
( ) 4tp3 =
As funções a seguir não são polinômios
( ) 6t2tf4 −= e ( ) 1t2
t
1
tf 25 +−=
O polinômio ( )tp tem grau n se 0an ≠ . Portanto, o grau de um polinômio é igual
à potência mais alta com coeficiente não-nulo.
O polinômio nulo é definido da seguinte forma:
0t0t0t0 1nn
++++ −
L
Observe que, por definição, o polinômio nulo não tem grau.
Vamos considerar nP a coleção de todos os polinômios de grau n≤ juntamente
com o polinômio nulo. O polinômio 5t3t2 2
+− , por exemplo, é um elemento de 2P .
Exemplo: Se
( ) 01
1n
1n
n
n atatatatp ++++= −
− L
e
( ) 01
1n
1n
n
n btbtbtbtq ++++= −
− L
definimos ( ) ( )tqtp ⊕ pela fórmula
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0011
1n
1n1n
n
nn batbatbatbatqtp ++++++++=⊕ −
−− L
(isto é, somamos os coeficientes das potências de mesmo grau). Se c é um escalar,
definimos ( )tpc ⊗ pela fórmula
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01
1n
1n
n
n catcatcatcatpc ++++=⊗ −
− L
(isto é, multiplicamos cada coeficiente por c).

57
Vamos provar agora que nP é um espaço vetorial.
Sejam ( )tp e ( )tq elementos de nP como antes, isto é, são polinômios de grau
n≤ ou o polinômio nulo. Então, as definições dadas anteriormente de ⊕ e ⊗ mostram
que ( ) ( )tqtp ⊕ e ( )tpc ⊗ , qualquer que seja o escalar c, são polinômios de grau n≤ ou
o polinômio nulo, ou seja, ( ) ( )tqtp ⊕ e ( )tpc ⊗ estão em nP , de modo que as
propriedades (α) e (β) são válidas.
Para verificar (a), note que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0011
1n
1n1n
n
nn abtabtabtabtptq ++++++++=⊕ −
−− L
e, como iiii abba +=+ para números reais, podemos concluir que
( ) ( ) ( ) ( )tptqtqtp ⊕=⊕ .
A propriedade (b) pode ser demonstrada de forma análoga.
Para demonstrar (c) é só utilizar como elemento 0
v
o polinômio nulo.
Para demonstrar (d) é só lembrar que, para ( )tp como definido anteriormente,
temos seu negativo, ( )tp− , dado por
01
1n
1n
n
n atatata −−−−− −
− L
Para demonstrar (f) fazemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01
1n
1n
n
n adrtadrtadrtadrtpdr ++++++++=⊗+ −
− L
0011
1n
1n
1n
1n
n
n
n
n daratdatratdatratdatra ++++++++= −
−
−
− L
( ) ( )01
1n
1n
n
n01
1n
1n
n
n atatatadatatatar +++++++++= −
−
−
− LL
( ) ( )tpdtpr ⊗⊕⊗=
A demonstração das demais propriedades fica como exercício.
A vantagem da Definição de Espaço Vetorial apresentada é que ela não se
preocupa com o que é um espaço vetorial. Por exemplo, um vetor em 3
R é um ponto,
um segmento de reta orientado ou uma matriz 3×1? A Definição trata apenas do
comportamento algébrico dos elementos em um espaço vetorial. No caso de 3
R ,
qualquer que seja o ponto de vista adotado, o comportamento algébrico é o mesmo.
Podemos, então, falar sobre as propriedades de todos os espaços vetoriais sem ter que
nos referirmos a um espaço vetorial particular. Portanto, um “vetor”, agora, é,
simplesmente, um elemento de um espaço vetorial e não precisa estar associado a um
segmento de reta orientado. O teorema a seguir apresenta diversas propriedades úteis
comuns a todos os espaços vetoriais.
TEOREMA: Se V é um espaço vetorial, então
a) 0u0
vv
= para todo u
v
em V.
b) 00r
vv
= para todo escalar r.
c) Se 0ur
vv
= , então r = 0 ou 0u
vv
= .
d) ( ) uu1
vv
−=− para todo u
v
em V.

58
Subespaços
DEFINIÇÃO: Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não-vazio de V.
Se W é um espaço vetorial em relação às operações em V, dizemos que W é um
subespaço de V.
Exemplo: Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o
subespaço { }0
v
que tem como único elemento o vetor nulo (lembre-se que 000
vvv
=⊕ e
00r
vv
=⊗ em qualquer espaço vetorial). O subespaço { }0
v
é chamado de subespaço
nulo.
TEOREMA: Seja V um espaço vetorial com as operações ⊕ e ⊗ e seja W um
subconjunto não-vazio de V. Então W é um subespaço de V se e somente se as
seguintes condições são válidas:
α) Se u
v
e v
v
são vetores em W, então vu
vv
⊕ pertence a W.
β) Se r é um número real qualquer e u
v
é qualquer vetor em W, então ur
v
⊗
pertence a W.
Exemplo: Considere o conjunto W de todas as matrizes 2×3 da forma
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc0
0ba
onde a, b, c e d são números reais arbitrários. Mostre que W é um subespaço de 23M ,
onde 23M consiste no conjunto das matrizes 2×3 munido das operações de soma e
produto por escalar habituais.
Sol: Considere
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
11
11
dc0
0ba
u
v
e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
22
dc0
0ba
v
v
em W
Então
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++
=+
2121
2121
ddcc0
0bbaa
vu
vv
está em W
de modo que (α) é satisfeita. Além disso, se k é um escalar, então
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
11
11
kdkc0
0kbka
uk
v
está em W
de modo que (β) também é satisfeita. Portanto, W é um subespaço de 23M .

59
Exemplo: Seja W o subconjunto de 3
R formado por todos os vetores da forma
(a, b, 1), onde a e b são números reais. Para verificar se as propriedades (α) e (β) do
Teorema são satisfeitas, suponha que ( )1,b,au 11=
v
e ( )1,b,av 22=
v
estão em W. Então
( ) ( ) ( )2,bb,aa1,b,a1,b,avu 21212211 ++=+=+
vv
não pertence a W, já que sua terceira
componente é 2 e não 1. Como a propriedade (α) não é satisfeita, W não é um
subespaço de 3
R .
Exemplo: Representamos por nP o espaço vetorial dos polinômios de grau n≤
junto com o polinômio nulo e por P o espaço vetorial de todos os polinômios. É fácil
verificar que 2P é um subespaço de 3P e que, em geral, nP é um subespaço de 1nP + .
Além disso, nP é um subespaço de P.
Exemplo: Seja V o conjunto de todos os polinômios de grau exatamente = 2;
então V é um subconjunto de 2P , mas não é um subespaço de 2P , já que a soma dos
polinômios 1t3t2 2
++ e 2tt2 2
++− é um polinômio de grau 1, que não está em V.
Exemplo: Um modo simples de construir subespaços em espaços vetoriais é o
seguinte. Sejam 1v
v
e 2v
v
vetores fixos em um espaço vetorial V e seja W o conjunto de
todas as combinações lineares de 1v
v
e 2v
v
, isto é, W é o conjunto dos vetores em V da
forma 2211 vava
vv
+ , onde 1a e 2a são números reais. Para mostrar que W é um subespaço
de V, vamos verificar as propriedades (α) e (β) do teorema. Sejam então,
22111 vavaw
vvv
+= e 22112 vbvbw
vvv
+=
vetores em W. Temos
( ) ( ) ( ) ( ) 2221112211221121 vbavbavbvbvavaww
vvvvvvvv
+++=+++=+
que também pertence a W. Logo, W é um subespaço de V.

60
DEFINIÇÃO: Sejam k21 v,...,v,v
vvv
vetores em um espaço vetorial V. Um vetor v
v
em V é uma combinação linear de k21 v,...,v,v
vvv
se existem números reais k21 c,...,c,c ,
tais que
kk2211 vc...vcvcv
vvvv
+++=
Exemplo: Considere em 3
R os vetores
( )1,2,1v1 =
v
( )2,0,1v2 =
v
( )0,1,1v3 =
v
O vetor ( )5,1,2v =
v
é uma combinação linear de 1v
v
, 2v
v
e 3v
v
se pudermos
encontrar escalares 1c , 2c e 3c tais que
vvcvcvc 332211
vvvv
=++
Substituindo 1v
v
, 2v
v
e 3v
v
, obtemos
( ) ( ) ( ) ( )5,1,20,1,1c2,0,1c1,2,1c 321 =++
Combinando os termos do lado esquerdo e igualando os coeficientes
correspondentes, obtemos o sistema linear
5c2c
1cc2
2ccc
21
31
321
=+
=+
=++
Resolvendo este sistema obtemos 1c1 = , 2c2 = e 1c3 −= , o que significa que v
v
é uma combinação linear de 1v
v
, 2v
v
e 3v
v
. Temos então
321 vv2vv
vvvv
−+=
2211 vcvcv
vvv
+=
11vc
v
22 vc
v
2v
v
1v
v
O

61
DEFINIÇÃO: Se { }k21 v,...,v,vS
vvv
= é um conjunto de vetores em um espaço
vetorial V, então o conjunto de todos os vetores em V que são combinações lineares de
vetores em S é representado por
[ ]S ou { }[ ]k21 v,...,v,v
vvv
Exemplo: Considere o conjunto S de matrizes 2×3,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
100
000
,
010
000
,
000
010
,
000
001
S
Então [ ]S é o conjunto em 23M de todos os vetores da forma
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc0
0ba
100
000
d
010
000
c
000
010
b
000
001
a
onde a, b, c e d são números reais. Logo, [ ]S é o subconjunto de 23M formado pelas
matrizes
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc0
0ba
TEOREMA: Seja { }k21 v,...,v,vS
vvv
= um conjunto de vetores em um espaço
vetorial V. Então [ ]S é um subespaço de V.
Exemplo: Considere, em 2P ,
2tt2v 2
1 ++=
v
t2tv 2
2 −=
v
2t5t5v 2
3 +−=
v
2t3tv 2
4 −−−=
v
Determine se o vetor
2ttu 2
++=
v
pertence a { }[ ]4321 v,v,v,v
vvvv
.
Se pudermos encontrar escalares 1c , 2c , 3c e 4c tais que
uvcvcvcvc 44332211
vvvvv
=+++
então u
v
vvvv
. Substituindo u
v
, 1v
v
, 2v
v
, 3v
v
e 4v
v
na expressão
acima, temos

62
( ) ( ) ( ) ( ) 2tt2t3tc2t5t5ct2tc2tt2c 22
4
2
3
2
2
2
1 ++=−−−++−+−+++
ou
( ) ( ) ( ) 2ttc2c2c2tc3c5c2ctcc5cc2 2
4314321
2
4321 ++=−++−−−+−++
Como dois polinômios são iguais para todos os valores de t se e somente se os
coeficientes das respectivas potências de t são iguais, obtemos o sistema linear
2c2c2c2
1c3c5c2c
1cc5cc2
431
4321
4321
=−+
=−−−
=−++
Para investigar se esse sistema de equações lineares é compatível, formamos a
matriz aumentada do sistema e a colocamos na forma escalonada reduzida por linhas,
obtendo
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
10000
01310
01101
M
M
M
o que indica que o sistema é incompatível, isto é, não tem solução. Portanto, u
v
não
vvvv
.

63
Independência Linear
DEFINIÇÃO: Dizemos que os vetores k21 v,...,v,v
vvv
em um espaço vetorial V
geram V se todo vetor em V é uma combinação linear de k21 v,...,v,v
vvv
. Além disso, se
esses vetores forem distintos e { }k21 v,...,v,vS
vvv
= , dizemos, também, que S gera V, ou
que { }k21 v,...,v,v
vvv
gera V, ou que V é gerado por S, ou ainda, que [ ] VS = .
O procedimento para verificar se os vetores k21 v,...,v,v
vvv
geram o espaço vetorial V é o
seguinte:
Etapa 1: Escolha um vetor arbitrário v
v
em V.
Etapa 2: Verifique se v
v
é uma combinação linear dos vetores dados.
Se for, os vetores dados geram V. Se não for, eles não geram V.
Exemplo: Seja V o espaço vetorial 3
R e sejam
( )1,2,1v1 =
v
( )2,0,1v2 =
v
( )0,1,1v3 =
v
Os vetores 1v
v
, 2v
v
e 3v
v
geram V?
Solução:
Etapa 1: Seja ( )c,b,av =
v
um vetor arbitrário em 3
R , onde a, b e c são números
reais quaisquer.
Etapa 2: Temos que verificar se existem constantes 1c , 2c e 3c tais que
vvcvcvc 332211
vvvv
=++
Isto nos leva ao seguinte sistema linear:
cc2c
bcc2
accc
21
31
321
=+
=+
=++
Uma solução é
3
cb2a2
c1
++−
=
3
cba
c2
+−
=
3
c2ba4
c3
−−
=
Como obtivemos uma solução para qualquer escolha de a, b e c, concluímos que
1v
v
, 2v
v
e 3v
v
geram 3
R , o que é equivalente a { }[ ] 3
k21 Rv,...,v,v =
vvv

64
Exemplo: Mostre que
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
00
,
01
10
,
00
01
S
gera o subespaço de 22M formada por todas as matrizes simétricas.
Solução:
Etapa 1: Uma matriz simétrica arbitrária tem a forma
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
cb
ba
A
onde a, b e c são números reais quaisquer.
Etapa 2: Precisamos encontrar constantes 1d , 2d e 3d tais que
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
cb
ba
A
10
00
d
01
10
d
00
01
d 321
o que nos leva a um sistema linear cuja solução é
ad1 = bd2 = cd3 =
Como encontramos uma solução para qualquer escolha de a, b e c, concluímos
que S gera o subespaço dado.
Exemplo: Seja 2PV = , o espaço vetorial de todos os polinômios de grau 2≤ e o
polinômio nulo. Seja ( ) ( ){ }tp,tpS 21= , onde ( ) 1t2ttp 2
1 ++= e ( ) 2ttp 2
2 += . S gera
2P ?
Solução:
Etapa 1: Seja ( ) cbtattp 2
++= um polinômio arbitrário em 2P , onde a, b e c são
números reais quaisquer.
Etapa 2: Temos que verificar se existem constantes 1c e 2c tais que
( ) ( ) ( )tpctpctp 2211 +=
ou
( ) ( )2tc1t2tccbtat 2
2
2
1
2
++++=++
Temos
( ) ( ) ( ) cbtatc2ctc2tcc 2
211
2
21 ++=++++
Como dois polinômios são iguais para todos os valores de t se e somente se os
coeficientes das potências respectivas são iguais, obtemos o sistema linear:

65
cc2c
bc2
acc
21
1
21
=+
=
=+
Usando operações elementares nas linhas da matriz aumentada desse sistema
linear, obtemos
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−
−
c2a4b00
ac10
ca201
M
M
M
Se 0c2a4b ≠+− , não existe solução. Logo, ( ) ( ){ }tp,tpS 21= não gera 2P .
Exemplo: Os vetores ( )0,1ie1 ==
vv
e ( )1,0je2 ==
vv
geram 2
R , pois, se ( )21 u,uu =
v
é qualquer vetor em 2
R , então 2211 eueuu
vvv
+= . Todos os vetores u
v
em 3
R podem ser
escritos como uma combinação linear dos vetores ( )0,0,1ie1 ==
vv
, ( )0,1,0je2 ==
vv
e
( )1,0,0ke3 ==
vv
, logo 1e
v
, 2e
v
e 3e
v
geram 3
R . Analogamente, os vetores ( )0,...,0,1e1 =
v
,
( )0,...,0,1,0e2 =
v
, ..., ( )1,...,0,0en =
v
geram n
R , já que qualquer vetor ( )n21 u,...,u,uu =
v
pode ser escrito como
nn2211 eueueuu
v
L
vvv
+++=
Exemplo: O conjunto { }1,t,...,t,tS 1nn −
= gera nP , já que todos os polinômios em
nP são da forma
n1n
1n
1
n
0 atatata ++++ −
−
L
que é uma combinação linear de elementos de S.
Exemplo: Considere o sistema linear homogêneo 0xA
vv
= , onde
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
=
9144
3111
5122
2011
A
O conjunto de todas as soluções de 0xA
vv
= forma um subespaço de 4
R . Para
determinar um conjunto gerador para o espaço solução desse sistema, vamos colocar a
matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada por linhas:

66
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
00000
00000
01100
02011
M
M
M
M
A solução geral é, então, dada por
sx
sx
rx
s2rx
4
3
2
1
=
=
=
−−=
onde r e s são números reais arbitrários. Em forma matricial, qualquer solução é dada
por
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
1
1
0
2
s
0
0
1
1
rx
Portanto, os vetores
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
0
0
1
1
e
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
1
1
0
2
geram o espaço solução.
DEFINIÇÃO: Os vetores k21 v,...,v,v
vvv
em um espaço vetorial V são ditos
linearmente dependentes se existem constantes k21 c,...,c,c nem todas nulas, tais que
0vc...vcvc kk2211
vvvv
=+++
Caso contrário, k21 v,...,v,v
vvv
são linearmente independentes se, sempre que
0vc...vcvc kk2211 =+++
vvv
, temos
0c...cc k21 ====
Em outras palavras, a única combinação linear de k21 v,...,v,v
vvv
que dá o vetor nulo
é a que tem todos os coeficientes iguais a zero. Se os vetores k21 v,...,v,v
vvv
são distintos e
{ }k21 v,...,v,vS
vvv
= , dizemos, também, que o conjunto S é linearmente dependente ou
linearmente independente.

67
O procedimento para verificar se os vetores k21 v,...,v,v
vvv
são linearmente dependentes
ou linearmente independentes é o seguinte:
Etapa 1: Escreva a equação 0vc...vcvc kk2211
vvvv
=+++ , que leva a um sistema
homogêneo.
Etapa 2: Se o sistema homogêneo obtido na Etapa 1 tiver apenas a solução trivial,
então os vetores dados são linearmente independentes; se existir uma solução não-
trivial, os vetores são linearmente dependentes.
Exemplo: Determine se os vetores
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
0
0
1
1
e
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
1
1
0
2
são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Sol: Escrevendo a equação
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
0
0
0
0
1
1
0
2
c
0
0
1
1
c 21
obtemos o sistema homogêneo
0cc0
0cc0
0c0c
0c2c
21
21
21
21
=+
=+
=+
=−−
Cuja única solução é 0cc 21 == . Portanto, os vetores dados são linearmente
independentes.
Exemplo: Os vetores ( )2,1,0,1v1 =
v
, ( )2,1,1,0v2 =
v
e ( )3,1,1,1v3 =
v
em 3
R são
linearmente dependentes ou linearmente independentes?
Escrevendo a equação
0vcvcvc 332211
vvvv
=++
e resolvemos para 1c , 2c e 3c . O sistema homogêneo resultante é

68
0c3c2c2
0ccc
0cc
0cc
321
321
32
31
=++
=++
=+
=+
que tem apenas a solução 0ccc 321 === , mostrando que os vetores são linearmente
independentes.
Exemplo: Os vetores 1e
v
e 2e
v
em 2
R são linearmente independentes, já que
( ) ( ) ( )0,01,0c0,1c 21 =+
é válida se e somente se 0cc 21 == . Analogamente, os vetores 1e
v
, 2e
v
e 3e
v
em 3
R e,
mais geralmente, os vetores 1e
v
, 2e
v
, ..., ne
v
em n
R são linearmente independentes.
Exemplo: Se k21 v,...,v,v
vvv
, são k vetores em qualquer espaço vetorial e iv
v
é o
vetor nulo, então a equação 0vc...vcvc kk2211
vvvv
=+++ é satisfeita fazendo-se 1ci = e
0cj = para ij ≠ . Logo { }k21 v,...,v,vS
vvv
= é linearmente dependente. Portanto, todo
conjunto de vetores contendo o vetor nulo é linearmente dependente.
TEOREMA: Os vetores não-nulos n21 v,...,v,v
vvv
em um espaço vetorial V são
linearmente dependentes se e somente se um dos vetores jv
v
é uma combinação linear
dos j vetores precedentes 1j21 v,...,v,v −
vvv
.
Exemplo:
Se ( )1,2,1v1 −=
v
, ( )1,2,1v2 −=
v
, ( )1,2,3v3 −−=
v
e ( )0,0,2v4 =
v
, podemos escrever,
por exemplo
0v0vv2v 4321
vvvvv
=+++
De modo que 213 v2vv
vvv
−−= .

69
Base e Dimensão
Base
DEFINIÇÃO: Os vetores k21 v,...,v,v
vvv
em um espaço vetorial V formam uma
base para V se
(a) k21 v,...,v,v
vvv
geram V
(b) k21 v,...,v,v
vvv
são linearmente independentes.
Obs: Se k21 v,...,v,v
vvv
formarem uma base para V, então eles tem que ser distintos
e não-nulos, logo podemos escrevê-los como um conjunto { }k21 v,...,v,v
vvv
.
Os vetores ( )0,1e1 =
v
e ( )1,0e2 =
v
formam uma base para 2
R , os vetores
( )0,0,1e1 =
v
, ( )0,1,0e2 =
v
e ( )1,0,0e3 =
v
formam uma base para 3
R e, no caso geral, os
vetores n21 e,...,e,e
vvv
formam uma base para n
R . Cada um desses conjuntos de vetores é
chamado de base natural ou base canônica para 2
R , 3
R e n
R , respectivamente.
Exemplo: O conjunto
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
S
é uma base para o espaço vetorial V de todas as matrizes 2×2. Para verificar que S é
linearmente independente, igualamos a zero uma combinação linear de vetores em S:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
00
00
10
00
c
01
00
c
00
10
c
00
01
c 4321
Isto nos dá
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
00
00
cc
cc
43
21
o que implica que 0cccc 4321 ==== . Logo, S é linearmente independente.
Para verificar que S gera V, consideramos um vetor arbitrário
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc
ba
em V e procuramos escalares 1c , 2c , 3c e 4c tais que
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
00
c
01
00
c
00
10
c
00
01
c
dc
ba
4321
Vemos que ac1 = , bc2 = , cc3 = e dc4 = . Portanto, S gera V.

70
TEOREMA: Se { }k21 v,...,v,vS
vvv
= é uma base para um espaço vetorial V, então
todo vetor em V pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear dos
vetores em S.
TEOREMA: Seja { }k21 v,...,v,vS
vvv
= um conjunto de vetores não-nulos em um
espaço vetorial V e seja W = [S]. Então, algum subconjunto de S é uma base para W.
Procedimento para encontrar um subconjunto de um conjunto gerador que é uma
base:
Seja m
RV = e seja { }n21 v,...,v,vS
vvv
= um conjunto de vetores não-nulos em V. O
procedimento para encontrar um subconjunto de S que é uma base de W = [S] é o
seguinte:
Etapa 1. Forme a equação
0vc...vcvc nn2211
vvvv
=+++
Etapa 2. Construa a matriz aumentada associada ao sistema homogêneo da
equação acima e coloque em forma escada reduzida por linhas.
Etapa 3. Os vetores correspondentes às colunas contendo o primeiro elemento
não-nulo de cada linha, que é sempre 1, formam uma base para W = [S]. Então, se
{ }621 v,...,v,vS
vvv
= e os primeiros elementos não-nulos das linhas ocorrem nas colunas 1,
3 e 4, { }431 v,v,v
vvv
é uma base para [S].
Exemplo: Seja { }54321 v,v,v,v,vS
vvvvv
= um conjunto de vetores em 4
R , onde
( )1,2,2,1v1 −=
v
( )3,4,0,3v2 −−=
v
( )1,1,1,2v3 −=
v
( )6,9,3,3v4 −−=
v
( )6,7,3,9v5 −=
v
Encontre um subconjunto de S que seja uma base para W = [S]
Solução
Etapa 1. Forme a equação 0vc...vcvc nn2211
vvvv
=+++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0,06,7,3,9c6,9,3,3c1,1,1,2c3,4,0,3c1,2,2,1c 54321 =−+−−+−+−−+−
Etapa 2. Iguale os componentes correspondentes para obter o sistema
homogêneo.
0c6c6cc3c
0c7c9cc4c2
0c3c3cc2
0c9c3c2c3c
54321
54321
5431
54321
=−+−+
=+−+−−
=+++
=+−+−

71
A forma escada reduzida por linhas da matriz aumentada é
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
000000
000000
0
2
5
2
3
2
1
10
0
2
3
2
3
2
1
01
M
M
M
M
Etapa 3. Os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1 e
2, logo { }21 v,v
vv
é uma base para W = [S].
TEOREMA: Se { }n21 v,...,v,vS
vvv
= é uma base para o espaço vetorial V e se
{ }r21 w,...,w,wT
vvv
= é um conjunto linearmente independente de vetores em V, então
r ≤ n.
Corolário: Se { }n21 v,...,v,vS
vvv
= e { }m21 w,...,w,wT
vvv
= são bases para um espaço
vetorial, então n = m.
Embora um espaço vetorial tenha infinitas bases, para um determinado espaço
vetorial V, todas as bases têm o mesmo número de vetores.
Dimensão
DEFINIÇÃO: A dimensão de um espaço vetorial V não-nulo é o número de
vetores em uma base para V. Escrevemos, frequentemente, dim V no lugar de dimensão
de V. Como o conjunto { }0
v
é linearmente dependente, é natural dizer que o espaço
vetorial { }0
v
tem dimensão zero.
TEOREMA: Se S é um conjunto linearmente independente de vetores em um
espaço vetorial de dimensões finita V, então existe uma base T para V que contém S.
Este teorema diz que um conjunto linearmente independente de vetores em um
espaço vetorial V pode ser estendido para uma base de V.

72
Exemplo: Suponha que queremos encontrar uma base para 4
R que contém os
vetores ( )0,1,0,1v1 =
v
e ( )0,1,1,1v2 −−=
v
.
Seja { }4321 e,e,e,e
vvvv
a base canônica de 4
R , onde ( )0,0,0,1e1 =
v
, ( )0,0,1,0e2 =
v
,
( )0,1,0,0e3 =
v
e ( )1,0,0,0e4 =
v
.
Considere o conjunto { }432121 e,e,e,e,v,vS
vvvvvv
= . Como { }4321 e,e,e,e
vvvv
gera 4
R , S
também gera 4
R . Vamos agora encontrar um subconjunto de S que é uma base para
4
R . Formamos a equação
0ececececvcvc 463524132211
vvvvvvv
=+++++
que nos leva ao sistema homogêneo
0c
0ccc
0cc
0ccc
6
521
42
321
=
=+−
=+−
=+−
Colocando a matriz aumentada em sua forma escada reduzida por linhas, obtemos
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0100000
0010100
0001010
0011001
M
M
M
M
Como os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1, 2, 3 e
6, concluímos que { }4121 e,e,v,v
vvvv
é a base para 4
R contendo 1v
v
e 2v
v
.
Pela definição de base, um conjunto de vetores em um espaço vetorial V é uma
base para V se gera V e é linearmente independente. No entanto, se tivermos a
informação adicional de que a dimensão de V é n, precisamos verificar apenar uma
dessas condições. Este é o resultado do próximo teorema.
TEOREMA: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja { }n21 v,...,v,vS
vvv
=
um subconjunto de n vetores em V.
a) Se S é linearmente independente, então é uma base para V.
b) Se S gera V, então é uma base para V.

73
Sistemas Homogêneos
Considere o sistema homogêneo
0xA
vv
=
onde A é uma matriz m×n. O conjunto de todas as soluções desse sistema homogêneo é
um subespaço de n
R . Um problema extremamente importante é encontrar a base para
este espaço solução.
O procedimento para encontrar uma base para o espaço solução de 0xA
vv
= , ou o
núcleo de A, onde A é m×n, é o seguinte:
Etapa 1. Resolva o sistema homogêneo dado pelo método de redução de Gauss-
Jordan. Se a solução não contém constantes arbitrárias, então o espaço solução é { }0
v
,
que não tem base; a dimensão do espaço solução é zero.
Etapa 2. Se a solução x
v
contém constantes arbitrárias, escreva x
v
como uma
combinação linear dos vetores p21 x,...,x,x
vvv
tendo p21 s,...,s,s como coeficientes:
pp2211 xs...xsxsx
vvvv
+++=
Etapa 3. O conjunto de vetores { }p21 x,...,x,x
vvv
é uma base para o espaço solução
de 0xA
vv
= ; a dimensão desse espaço solução é p.
Observação: Suponha que, na Etapa 1, a matriz em forma escada reduzida por
linhas na qual foi transformada [ ]0A
v
M tem r linhas não-nulas (todas com o primeiro
elemento diferente de zero igual a 1). Então, p = n – r, isto é, a dimensão do espaço
solução é n – r. Além disso, a solução x
v
de 0xA
vv
= tem n – r constantes arbitrárias.
Se A é uma matriz m×n, chamamos a dimensão do núcleo de A de nulidade de A.
Exemplo: Encontre uma base e a dimensão do espaço solução W do sistema
homogêneo.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
10612
20011
21000
11210
21411
5
4
3
2
1

74
Sol
Etapa 1. Para resolver o sistema dado pelo método de redução de Gauss-Jordan,
transformamos a matriz aumentada em sua forma escada reduzida por linhas, obtendo
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
000000
000000
021000
010210
010201
M
M
M
M
M
Toda solução é da forma:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+−
−−
=
t
t2
s
ts2
ts2
x
v
onde s e t são números reais arbitrários.
Etapa 2. Todo vetor em W é uma solução, logo podemos escrever qualquer vetor
em W como
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1
2
0
1
1
t
0
0
1
2
2
sx
v
Como s e t podem assumir quaisquer valores, fazemos primeiro s = 1 e t = 0 e,
depois, s = 0 e t = 1, obtendo como soluções
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
0
0
1
2
2
x1
v
e
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1
2
0
1
1
x2
v
Etapa 3. O conjunto { }21 x,x
vv
é uma base para W e dim W = 2.

75
Exemplo: Encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo
( ) 0xAI3
vv
=−λ para λ = –2 e
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
200
012
103
A
Sol
Formamos –2I3 –A:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
000
032
101
200
012
103
100
010
001
2
Esta última matriz é a matriz dos coeficientes do sistema homogêneo, logo a
transformamos na matriz aumentada
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
0000
0032
0101
M
M
M
e a colocamos na forma escada reduzida por linhas
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0000
0
3
2
10
0101
M
M
M
Então, todo solução é da forma
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
s
s
3
2
s
x
v
onde s é um número real qualquer.
Logo, todo vetor no espaço solução pode ser escrito como
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
1
3
2
1
sx
v
de modo que
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
1
3
2
1
é uma base para o espaço solução.

76
Exemplo: Encontre todos os números reais λ tais que o sistema homogêneo
( ) 0xAI2
vv
=−λ tem uma solução não-trivial, onde
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
13
51
A
Sol
Formamos λI2 –A:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+λ−
−−λ
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ
13
51
13
51
10
01
O sistema homogêneo ( ) 0xAI2
vv
=−λ é, então
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+λ−
−−λ
0
0
x
x
13
51
2
1
Este sistema homogêneo tem uma solução não trivial se e somente se o
determinante da matriz dos coeficientes é nulo (Apostila 2), isto é, se e somente se
0
13
51
det =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+λ−
−−λ
ou se e somente se
( )( ) 01511 =−+λ−λ
0162
=−λ
4=λ ou 4−=λ
Portanto, quando 4=λ ou 4−=λ , o sistema homogêneo ( ) 0xAI2
vv
=−λ para a
matriz dada A tem uma solução não-trivial.

77
O Posto de uma Matriz
DEFINIÇÃO: Seja
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mn2m1m
n12221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
MMM
L
L
uma matriz m×n. As linhas de A,
{ }n112111 a,...,a,av =
v
{ }n222212 a,...,a,av =
v
M
{ }mn2m1mm a,...,a,av =
v
consideradas vetores em n
R , geram um subespaço de n
R chamado espaço linha de A.
Analogamente, as colunas de A,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1m
21
11
1
a
a
a
w
M
v
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2m
22
12
2
a
a
a
w
M
v
, ...... ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mn
n2
n1
n
a
a
a
w
M
v
considerados vetores em m
R , geram um subespaço de m
R chamado espaço coluna de
A.
TEOREMA: Se A e B são duas matrizes m×n equivalentes por linhas, então os
espaços linha de A e B são iguais.
O procedimento para encontrar uma base para o subespaço V de n
R dado por
V = [S], onde { }k21 v,...,v,vS
vvv
= é um conjunto de vetores em n
R dados em forma de
linhas, é o seguinte:
Etapa 1. Forma a matriz
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
k
2
1
v
v
v
A
v
M
v
v
cujas linhas são os vetores dados em S.
Etapa 2. Transforme A em sua forma escada reduzida por linhas, obtendo a
matriz B.
Etapa 3. As linhas não-nulas de B formam uma base para V.

78
Exemplo: Seja { }4321 v,v,v,vS
vvvv
= , onde ( )4,3,0,2,1v1 −−=
v
, ( )4,1,8,2,3v2 =
v
,
( )3,2,7,3,2v3 =
v
e ( )3,4,0,2,1v4 −−=
v
.
V é o espaço linha da matriz A cujas linhas são os vetores dados:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
34021
32732
41823
43021
A
A é equivalente por linhas a
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
00000
11000
10110
10201
B
que está em forma escada reduzida por linhas. Os espaços linhas de A e B são idênticos,
e uma base para o espaço linha de B consiste nas linhas não-nulas de B. Portanto,
( )1,0,2,0,1w1 =
v
, ( )1,0,1,1,0w2 =
v
e ( )1,1,0,0,0w3 −=
v
formam uma base para V.
DEFINIÇÃO: A dimensão do espaço linha de A é chamada de posto linha de A,
e a dimensão do espaço coluna de A é chamada de posto coluna de A.
TEOREMA: Os postos linha e coluna de uma matriz [ ]ijaA = m×n são iguais.
DEFINIÇÃO: Como posto linha de A = posto coluna de A, vamos nos referir
simplesmente ao posto de uma matriz m×n e escrever posto de A.
O procedimento para calcular o posto de uma matriz é o seguinte:
Etapa 1. Usando operações elementares nas linhas, transforme A em uma matriz
B em forma escada reduzida por linhas.
Etapa 2. Posto de A = número de linhas não-nulas de B.
TEOREMA: Se A é uma matriz m×n, então posto de A + nulidade de A = n.

79
Exemplo: Seja
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
10612
20011
21000
11210
21411
A
colocando A em sua forma escada reduzida por linhas:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
00000
00000
21000
10210
10201
A
Logo, posto de A = 3 e nulidade de A = 2.

80
Posto e Singularidade
TEOREMA: Uma matriz A n×n é invertível se e somente se posto de A = n.
Corolário: Se A é uma matriz n×n, então posto de A = n se e somente se
det(A) ≠ 0.
Corolário: Seja A uma matriz n×n. O sistema linear bxA
vv
= tem uma única
solução para toda matriz b n×1 se e somente se posto de A = n.
Corolário: Seja { }n21 v,...,v,vS
vvv
= um conjunto de vetores em n
R e seja A a
matriz cujas linhas (respectivamente, colunas) são vetores em S. Então S é linearmente
independente se e somente se det(A) ≠ 0.
Corolário: O sistema homogêneo 0xA
vv
= com n equações lineares e n incógnitas
tem uma solução não-trivial se e somente se posto de A < n.
Exemplo: Seja
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
312
310
021
A
Transformando A em sua forma escada reduzida por linhas B, encontramos
B = I3. Logo, posto de A = 3 e a matriz não é singular. Além disso, o sistema
homogêneo 0xA
vv
= tem apenas a solução trivial.
Exemplo: Seja
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
331
311
021
A
Então A é equivalente por linhas a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
000
310
601
uma matriz em forma escada reduzida por linhas. Logo, posto de A < 3 e A é singular.
Além disso, 0xA
vv
= tem apenas a solução não-trivial.

81
Aplicação do Posto para um Sistema Linear Ax = b
TEOREMA: O sistema linear bxA
vv
= tem solução se e somente se posto de A =
posto de [ ]bA
v
M , isto é, se e somente se os postos da matriz de coeficientes e da matriz
aumentada são iguais.
Exemplo: Considere o sistema linear
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
3
2
1
x
x
x
310
221
312
3
2
1
Como posto de A = posto de [ ]bA
v
M = 3, o sistema linear tem uma solução.
Exemplo: O sistema linear
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
6
5
4
x
x
x
712
431
321
3
2
1
não tem solução, pois posto de A = 2 e posto de [ ]bA
v
M = 3.
Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis
As seguintes afirmações são equivalentes para uma matriz A n×n:
1. A é invertível.
2. 0xA
vv
= tem apenas a solução trivial.
3. A é equivalente por linhas a In.
4. O sistema linear bxA
vv
= tem uma única solução qualquer que seja a matriz b
v
n×1.
5. det(A) ≠ 0
6. A tem posto n.
7. A tem nulidade 0.
8. As linhas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em n
R .
9. As colunas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em n
R .

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