Aula de Funções - Noções básicas, Inequações

Curso: Engenharias
Disciplina: Cálculo I
Conteúdo: Funções
Fortaleza
2020

Aula 1 – Noções Básicas
Desigualdades, Intervalos
Reais, Módulo ou valor
absoluto de um número
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
UNIFOR

Situação-problema
Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de
pedaços retangulares de papelão com dimensões de 16 por 30 cm. Para
isso, ele pretende retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a
seguir os lados. (a) Se x cm for a medida do lado dos quadrados a serem
cortados, encontre o modelo matemático que expresse o volume V como
uma função de x. (b) Qual o domínio da função V?

Situação-problema
Um estacionamento cobra R$ 2,00 para a primeira hora (ou para
qualquer fração) e R$ 1,00 para cada meia hora subsequente (ou para
qualquer fração) até uma diária máxima de R$ 10,00.
(a) Esboce o gráfico do custo como função do tempo de
estacionamento.
(b) Discuta o significado da descontinuidade no gráfico para um usuário
que utiliza o estacionamento.

Desigualdades
Ordenação para o conjunto IR através de uma relação denotada pelos símbolos <
(menor do que) e > (maior do que)
Definição1:
Definição 2:
Teorema:
Um número x está entre a e b se a < x e x <b , que pode ser escrita assim:
a < x < b

Propriedades das desigualdades

Intervalos
Ache e mostre na reta num rica real o conjunto solu o das desigualdades :
) 2 3 5 8
) 4 3 – 2 10
) 4
3
é çã
a x x
b x
x
c
x
  
 



Módulo ou Valor absoluto (Propriedades)

exercícios
1) Resolver cada uma das equações :
) 3 2 5;
) 2 1 = 4 3
) 5 4 3
a x
b x x
c x
 
 
  
2
2) Ache o conj. Sol. das inequações :
) 5 4;
) 3 2 5;
3) Ache todos os valores de x para os quais
7 12 é real
a x
b x
x x
 
 
 

Equação do 1º grau
É toda equação da forma
Sua solução, também chamada de raiz da
equação, é dada por
0; 0.
ax b a
  
0
ax b
 
ax b
 
b
x
a
 

Exemplo 1
Determine a solução de .
Solução
2 4 0
x  
2 4 0
x  
2 4
x 
4
2
x 
2
x 

Equação do 2º grau
É toda equação da forma
Sua solução é dada por
2
0 ; 0.
ax bx c a
   
1
2
b
x
a
  
 2
e
2
b
x
a
  

2
onde - 4
b ac
 

Exemplo 2
Determine as soluções da equação
2
5 6 0.
x x
  
2
4
b ac
   2
5 4 1 6
     1
 
1
2
b
x
a
  
 1
5 1
2 1
x
 
 

1
4
2
x

  1 2
x
  
2
2
b
x
a
  
 2
5 1
2 1
x
 
 

2
6
2
x

  2 3
x
  

Soma e produto das raízes
Considere a equação
Note que
2
0 ; 0.
ax bx c a
   
2
b
a
  
2
b
a
  

1 2
x x
 
2
2
b
a


b
a
 
2
b
a
  
2
b
a
  

1 2
.
x x 
c
a

2
4
4
ac
a

   
 
2
2
2
2
b
a
  

produto da soma
pela diferença
2
2
4
b
a
 

2 2
2
( 4 )
4
b b ac
a
 


Exemplo 2
Determine as soluções da equação
2
5 6 0.
x x
  
1 2
1 2
/
/
x x b a
x x c a
  


 

1 2
1 2
5/1
6/1
x x
x x
  


 

1 2
1 2
5
6
x x
x x
  


 

1 2
2 e 3
x x
   

Inequações lineares
Uma inequação linear em pode ser escrita
na forma:
Usamos as propriedades da desiguladade de
números reais para resolver inequações
do 1º grau.
x
0,
ax b
  0,
ax b
  0
ax b
  ou 0.
ax b
 

Exemplo 3
Resolva as inequação 3( 1) 2 5 6.
x x
   
3( 1) 2 5 6
x x
   
3 3 2 5 6
x x
   
3 1 5 6
x x
  
3 5 6 1
x x
  
2 7
x
 
1 1
2 7
2 2
x
   
   
   
   
7
2
x  
7
,
2
 
 

 

Exemplo 4
Resolva a inequação e represente
graficamente seu conjunto solução.
1 1
3 2 4 3
x x
  
1 1
12 12
3 2 4 3
x x
   
    
   
   
4 6 3 4
x x
  
6 4
x  
2
x   2


Exemplo 5
Resolva a inequação e represente
graficamente seu conjunto solução.
2 5
3 5
3
x 
  
(1) (2)
2 5
(1) 3
3
x 
 
9 2 5
x
  
14 2x
 
7
x  
2 5
(2) 5
3
x 

2 5 15
x  
5
x 
7

5
5
7

 
/ 7 5
S x x
    

Estudo do sinal
Função do 1º grau
.
y ax b
 
x
y
0
a 
x
y
0
a 
0
x raiz
+ + + +
      
0
x raiz
+ + + +
+ +     
1
x

Inequações quadráticas
Resolva a inequação
2
12 0
x x
  
2
12 0
x x
  
( 4)( 3) 0
x x
  
3

4
3

4+ +
  
+ + + + + +



+ +    + +  
/ 3 ou 4
x x x
   

Estudo do sinal
Função do 2º grau
2
y ax bx c
  
y
x
1
x 2
x
+ +
  
+ + +
y
x
1
x 2
x
+ +
  
0
a 
 
0
a 

Exemplo 6
Resolva graficamente a inequação
2
12 0
x x
  
y
x
3
 4
  
+ + +
0
a 
+ + +
 
/ 3 ou 4
x x x
   

Inequações modulares
Lembremos que:
Portanto, em uma inequação modular usa-
se estas propriedades para encontrar a
solução de tal inequação.
ou
x r x r x r
    
ou
x r x r x r
    
x r r x r
    

Exemplo 7
Resolva 4 8
x  
4 8
x   8 4 8
x
    
4 12
x
   
 
4,12
x
  
y
x
4
 4
( ) 4
f x x
 
8
12

Exemplo 8
Resolva 3 2 5
x  
3 2 5
x   3 2 5 ou 3 2 5
x x
     
3 3 ou 3 7
x x
   
1 ou 7/3
x x
   
y
x
1
 2
3
( ) 3 2
f x x
 
5
7
3

Aula 02 - Funções
Definição de função, representação
de funções, função crescente e
decrescente, função linear ,
polinomial, racionais e algébricas
UNIFOR

Definição de Funções
Dados A e B dois conjuntos de :
uma função é uma relação ou
correspondência que a cada elemento de
A associa um único elemento de B.
As funções servem para descrever o
mundo real em termos matemáticos.
:
f A B


Domínio e Imagem
Seja f uma função.
O conjunto de todos os que satisfazem
a definição da f é chamado domínio da f e
denotado por .
O conjunto de todos os tais que
y = f (x), onde , é chamado
imagem da f e denotado por .
f
x
( )
D f
y
( )
x D f

Im( )
f
x ( )
f x
 
entrada
Domínio  
saída
Imagem

Idéia de função
1
2
4
3 9
x
2
x
2
( )
f x x


Idéia de função
1
2
1
2
3 1
3
1
5
5
1
( )
f x
x

0

Exemplos
1) ( ) 2
f x x
 ( ) Im( )
D f f
  
2
2) ( )
f x x
 ( ) Im( ) [0, )
e
D f f
   
1
3) ( )
f x
x
 *
( ) Im( )
D f f
  
4) ( ) 4
f x x
   
( ) ; 4
D f x x
   
Im( ) [0, )
e f  
2
1
5) ( )
1
f x
x


  *
( ) 1, 1 ,Im( )
D f f
    

Funções
Exercícios
Quais os valores que x deve assumir para que y seja função?
2
) 2 e
) 9
a y x
b y x
 
 

Operações com Funções
Sejam f e g funções que tenham parte de seus domínios (ou os seus
domínios) em comum, então:
(a) A soma/diferença de f e g é a função indicada por
(b) O produto de f por g é a função indicada por f.g e é definida por
(c) O quociente de f por g é a função indicada por f/g e é definida por
( )( ) ( ) ( )
f g x f x g x
  
( )( ) ( ) ( )
f g x f x g x
  
( )
( ) , se ( ) 0
( )
f f x
x g x
g g x
 
 
 
 

Exemplo Proposto 1
Se f(x)= x - 2 e g(x) = x2 - 3x +2 mostrar que:

Função Composta
Suponhamos duas funções:
f(x) = x + 1, essa função soma 1
g(x) = x2, essa função eleva ao quadrado
x f x + 1
x g x²
x f x + 1 g (x + 1) ²
1  f(1) = 1 + 1 = 2  g(f(x)) = g(2) = 2² = 4
2  f(2) = 2 + 1 = 3  g(f(x))= g(3) = 3² = 9
É a composta de g com f ou g(f(x)) ou (g o f) (x)
Suponha uma função que faça essas duas operações ao mesmo tempo,
soma 1 e eleva ao quadrado, podemos representar assim:

Função Composta
A ideia é construir uma função a partir de outras duas.
Contra-domínio de f é igual ao domínio
de g
h(x)=g(f(x))

Função Composta
h(x)=g(f(x)) Resolver exercício do exercitando

Função Injetora
é injetora
Ou equivalentemente,
Esta definição é mais prática para os cálculos.
:
f A B

f
A B
f  1 2 1 2 1 2
, , se ( ) ( )
x x A x x f x f x
    
1 2 1 2
se ( ) = ( ) .
f x f x x x
 
Exemplos
gráficos e
outro
diagrama

Exemplo
y
x
3 3 3 3
2 1 1 2 1 2
( ) ( ) 0
f x f x x x x x
     
2 2
1 2 1 1 2 2
( )( ) 0
x x x x x x
    
é injetora
f

1 2
x x
 
1 2 0
x x
  
3
1) : ; ( )
f IR IR f x x

 

Exemplo
f
y
x
2
2
( ) 2 4
f x  
temos
não é injetora.
f

2
1
4 ( 2) ( )
f x
   
1
2 x
   2 2,
x 
Sendo
Pode-se mostrar a
graficamente . Basta traçar retas
horizontais no plano cartesiano
se uma reta tocar o gráfico em dois
pontos, então f não é injetiva
injetividade de uma função
2
2) : ; ( )
f IR IR f x x
 

Exemplo
y
é injetora
f

1 2
Sejam , e
x x 

1 2
( ) ( )
f x f x
 2 2
1 2
x x
 
1 2
x x
  1 2
já que ,
x x 

2
3) : ; ( )
f IR IR f x x
 
 

Função Sobrejetora
:
f A B

f
A B
é sobrejetora
f  , talque ( )
y B x A f x y
    

Exemplo
f
1

y
x
1
3
Logo, Im( ) CD( )
f f

é sobrejetora
f

Note que o gráfico nos fornece
Im( ) e ( )
f IR CD f IR
 
1) : ; ( ) 3 1
f IR IR f x x
  

Exemplo
f
y
x
Logo, Im( ) CD( )
f f

não é sobrejetora
f

Im( ) e ( )
f IR CD f IR

 
2
2) : ; ( )
f IR IR f x x
 

Exemplo
f
y
x
Logo, Im( ) CD( )
f f

é sobrejetora
f

2
3) : ; ( )
f IR IR f x x

 
Im( ) e ( )
f IR CD f IR
 
 

Função Bijetora
é bijetora é sobrejetora e injetora
Ou ainda:
é bijetora:
f
A B
f 
1 2 1 2 1 2
, , se ( ) ( )
x x A x x f x f x
    
:
f A B
 f
Im ( ) contradomínio
f x B



Exemplo
f
1

y
x
1
3
1 2
Note que , temos:
x x IR
 
Sabemos que é sobrejetora pois
Im( ) CD( ) I
f
f f R
 
1 2
x x

é Bijetora
f

Logo é injetora
f
Como é sobrejetora e injetora
f
1 2
3 3
x x
  1 2
3 1 3 1
x x
   
1 2
( ) ( )
f x f x
 
1) : ; ( ) 3 1
f IR IR f x x
  

Exemplo
f
y
x
E como Im( ) CD( ) temos que
f f IR
 
1 2
Pois , temos
IR
x x
 
2
2 2
( )
f x x

1
x  2
x  2
1 1
( )
x f x
 
Sabemos que é injetora
f
é sobrejetora
f
Como é sobrejetora e injetora
f
é Bijetora
f

2
2) : ; ( )
f IR IR f x x

 

Função Inversa
Se uma função f é injetiva, então f possui inversa com domínio igual a
imagem de f; e mais, a equação que define a inversa de f é obtida resolvendo
a equação y = f (x) para a variável x. Nessa nova função, D(g) = Im(f) e Im(g)
= D(f).
A função inversa de f:AB será indicada por f -1:BA.
1
1
1
-1
) ( ) Im( )
)Im( ) ( )
)( , ) ( , )
d) O gráfico de é simétrico de f em relação a reta
a D f B f
b f A D f
c y x f x y f
f y x



 
 
  

Exercitando

Aula 03 - Funções
Gráficos e exemplos de
Funções, Conceitos e
operações com funções
UNIFOR

Plano Cartesiano
O plano cartesiano é o conjunto de todos
os pares ordenados de números reais
tal que:
( , )
x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
O plano cartesiano é
representado por
duas retas
numéricas reais que
se interceptam a um
ângulo de 900.
90º
 
 
, / ,
IR IR x y x y IR
  

Plano Cartesiano
O plano cartesiano é utilizado
como sistema de referência
para localizar pontos em um
plano.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3
Origem
x (Eixo das abscissas)
(Eixo das ordenadas)
y
o
1 quadrante
(I)
o
2 quadrante
(II)
o
3 quadrante
(III)
o
4 quadrante
(IV)

Plano Cartesiano
A forma geral de um
par ordenado é:
(abscissa,ordenada)
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
A (2, 3)
B (-2, 4)
C (-3, -2)
D (1, -3)
E (2, 0)
F (0, -1)
A (2, 3)
B (-2, 4)
C (-3, -2)
D (1, -3)
E (2, 0)
F (0, -1)

Gráfico de uma função
O gráfico de uma função y = f (x) é o
seguinte subconjunto do plano x0y
 
 
( ) , ( ) ; ( )
G f x f x x D f
 
variável
independente
variável
dependente

Gráficos de funções
1)
x ( )
f x
0 0
1 2
0
1
2
y
x
2
y x


Os exemplos
2)
x
y 2
y x
 x ( )
f x
0
1
1
2
0
1

1
4
1
2
4
1

1
0

Função do 1º grau ou Afim
Esta função é definida por:
onde . Notemos que:
1)
2) é chamado coeficiente angular
3) é o coeficiente linear
( ) .
f x a x b
 
,
a b
( ) Im( )
D f f
 
a
b

Gráfico da função afim
4) Uma função afim pode ser
determinada se dois de seus valores são
conhecidos.
Exemplo: Dados temos
Logo .
(1) 12 e (2) 14
f f
 
( ) .
f x a x b
 
(1) 12
2. (2) 14
a b f
a b f
  


  

( ) 2. 10
f x x
 
2 e 10
a b
  

Gráfico de uma função afim
5) O gráfico é uma reta que passa pelos
pontos
ou seja, . Logo, se temos
P (0, ) e Q ( / )
b b a
  
0 e 0
a b
 
Q
P
y
x
. ( 0, 0)
y a x b a b
   
(0) , ( / ) 0
f b f b a
  

Função do 1º grau ou Afim
6) Além disso como vale
De um modo geral para
(1) .1
f a b a b
   
(1) (0)
1 0
f f
a b b a

   

1 2
1 2
( ) ( )
f x f x
x x


1 2 1 2
, com
x x x x
 
1 2
1 2
. ( . )
a x b a x b
x x
  


1 2
1 2
.( )
a x x
x x



a

taxa de variação

Casos especiais
Seja
1. Se então (constante)
2. Se e então (linear)
Para temos a função identidade.
( ) .
f x a x b
 
0
a  ( )
f x b

1
a 
0
b  ( ) .
f x a x

0
a 

Gráficos dos casos especiais
1. Função afim Constante:
0
y b
 
0
y b
 
0
y b
 
( )
y f x b
 

2. Função linear: ( ) .
y f x a x
 
y
x
. ( 0)
y a x a
 
. ( 0)
y a x a
 

Função Identidade:
1 e 0
a b
 
( )
y f x x
 
y x

x
y

Gráficos
Se f for uma função, então o gráfico de f será o conjunto dos pontos (x, y) em
IR² para os quais (x,y) é um par ordenado de f., para isso, construímos um
quadro (x, f(x)), atribuindo a x valores convinientes.
Ex.: Esboce o gráfico das equações:
2
2 e 9
y x y x
   
Obs.: O gráfico de uma função pode ser interceptado por uma reta vertical em,
no máximo, um ponto, pois cada elemento x no domínio de f deve estar
associado a um único y no contra-domínio. Ex.:

Gráficos
a.Translação Vertical
g(x) = f(x) + a
b. Translação Horizontal
g(x) = f(x-a)
c. reflexão em relação ao eixo X
g(x) = -f(x)
d. reflexão em relação ao eixo Y
g(x) = f(-x)
1
1
y x
y x
y x

 
 
2
2
y x
 

Gráficos
e. reflexão em relação a origem
g(x) = -f(-x)
f. reflexão do gráfico de f em relação à reta y = x
3
y x
 2
, 0
y x x
y x
 
 

Função Quadrática
Sejam , com . A função
tal que , para
todo , é chamada função quadrática ou
função polinomial do segundo grau.
  2
f x ax bx c
  
0
a 
, ,
a b c IR

:
f IR IR

x IR


Atividade 1
Em cada uma das funções quadráticas
definidas abaixo, determine seus
coeficientes.
a) b)
c) d)
e) f)
  2
2 4 5
f x x x
  
  2
4 3
f x x x

     2
4 2
f x x x
  
  2
2 5
f x x
  
  2
2 5 4
f x x x
   
  2
3
4
f x x


quadrática
Sendo uma função quadrática
definida por , esboce o seu gráfico.
  2
f x x

:
f IR IR


Para resolver este problema, vamos,
inicialmente, construir uma tabela,
escolhendo alguns valores para e
encontrando os correspondentes para .
Desta forma, determinaremos pares
ordenados .
 
,
x y
x
y
quadrática

quadrática
x 2
y x
  
,
x y
4

3

2

3
4
16  
4,16

16  
4,16
9
9
 
3,9

 
3,9
4  
2,4

2 4  
2,4
1
 1
1
1  
1,1
 
1,1

0
0  
0,0

 
 
 
 

definida por , esboce o seu
gráfico.
  2
1
f x x
 
quadrática
:
f IR IR


quadrática
x 2
1
y x
   
,
x y
4

3

2

3
4
17  
4,17

17  
4,17
10
10
 
3,10

 
3,10
5  
2,5

2 5  
2,5
1
 2
2
1  
1,2
 
1,2

1
0  
0,1

 
 
 



definida por , esboce o seu
gráfico.
  2
1
f x x
 
quadrática
:
f IR IR


quadrática
x 2
1
y x
   
,
x y
4

3

2

3
4
15  
4,15

15  
4,15
8
8
 
3,8

 
3,8
3  
2,3

2 3  
2,3
1
 0
0
1  
1,0
 
1,0

1

0  
0, 1


 
 
 
 

quadrática
definida por , esboce o seu gráfico.
  2
f x x
 
:
f IR IR


quadrática
x 2
y x
   
,
x y
4

3

2

3
4
16
  
4, 16
 
16
  
4, 16

9

9

 
3, 9
 
 
3, 9

4
  
2, 4
 
2 4
  
2, 4

1
 1

1

1  
1, 1

 
1, 1
 
0
0  
0,0

 
 
 
 

Ponto Importante do Gráfico
• O vértice ( , )
v v
V x y

2
v
b
x
a


4
v
y
a


( , )
v v
V x y


v
x
v
y

Funções Crescentes e
Decrescentes
Uma função é dita crescente, se
Uma função é dita decrescente,
se
:
f 
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
  
:
f 
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
  

Exemplo
Função afim: ( )
f x ax b
 
x
y
0
a 
1
x
2
x
1
( )
f x
2
( )
f x
crescente
x
y
0
a 
1
x
2
x
1
( )
f x
2
( )
f x
decrescente

Função Par
:
f A B

Exemplos
f
y
x
( )
f x

talque ( ) ( )
f x f x x A
   
( )
f x
 x
  x 
Obs.: O gráfico de é simétrico
em relação ao eixo .
f
y
1) : ; ( ) é par pois
f f x x
® =
¡ ¡
x
" Î¡

f
y
x
em relação ao eixo .
f
y
( )
f x
  ( )
f x x
 
2
( ) 1
x
   2
1
x  
2
2) : ; ( ) 1 é par pois,
f IR IR f x x
  

Função Ímpar
Exemplos
y
x
:
f A B
 talque ( ) ( )
f x f x x A
    
em relação à origem.
f
0
( )
f x
 ( )
f x x
  

3
( )
x
 
3
x
 
f
3
1) : ; ( ) é ímpar pois,
f IR IR f x x
 

em relação à origem.
f
( )
f x x
  
( )
f x x
  
Logo,
( ) ( )
f x f x x
    
y
x
0
f
2) : ; ( ) ímpar, pois
f IR IR f x x é
 

Função que não é nem par e
nem Ímpar
2
x x x
   
2
( )
x x
  
( ) ( ) e
f x f x
  
f
y
x
Obs.: O gráfico de não é simétrico
nem em relação à origem,
nem em relação ao eixo .
f
y
0
2
( ) ( )
x x
   
( )
f x

( )
f x
 2
x x x
    
( ) ( )
f x f x x
    
2
: ; ( )
f IR IR f x x x
  

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