Deslocamento+e+lançamento1

Tópicos de
cinemática
vetorial:
lançamento horizontal,
vertical e composição de
movimentos
Neste tópico são analisados os movimentos
parabólicos resultantes de lançamentos horizontais
e oblíquos de corpos nas proximidades da Terra,
desprezando-se a resistência do ar e considerando
o princípio da independência dos movimentos si-multâneos,
devido ao célebre físico italiano Galileu
(1564-1642).
Princípio da independência
dos movimentos
simultâneos (Galileu)
“Quando um corpo apresenta um movimento
composto, cada um deles se realiza como se os demais
não existissem, e no mesmo intervalo de tempo”.
A figura representa um barco que, com veloci-dade
Vb em relação às águas, é capaz de atravessar
o rio num tempo Δt. Caso não existisse correnteza, o
barco, navegando em 90° com a margem, chegaria ao
ponto Q na margem oposta. Como existe a corren-teza
atuando com velocidade Vc, o barco, no mesmo
intervalo de tempo Δt, chega à margem oposta num
ponto R distante Vc. Δt do ponto Q. Isso porque, ao
longo da travessia, foi sendo arrastado para a direita
com a mesma velocidade da correnteza.
O barco apresenta um movimento composto
por dois MRUs: um perpendicular à margem, com
velocidade Vb (chamada velocidade relativa); outro,
no sentido da correnteza e com a velocidade desta
(chamada velocidade de arrastamento). Esses dois
movimentos simultâneos atuam independentemente
um do outro durante o intervalo Δt de travessia e o
resultado é a chegada do barco ao ponto R, distando
Vc. Δt do ponto Q (aliás, se soltarmos uma boia em Q
no instante em que o barco parte de P ela chegará a
R junto com o barco).
1 EM_V_FIS_006
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

2
EM_V_FIS_006
Lançamento
horizontal no vácuo
O movimento do
projétil é composto
por um MRU para a
direita com velocida-de
de módulo vx ( g
é normal a vx; daí, a
velocidade em x não
é alterada) e por um
MRUA na direção ver-tical
para baixo (porque a aceleração da gravidade é
constante e dirigida para baixo).
Para a determinação das grandezas envolvidas,
basta aplicar as equações do MRU e as do MRUV.
Assim:
•• Tempo de voo (t): É o tempo que o corpo
vpermanece em queda. Para calculá-lo, basta
aplicar a equação do espaço no MRUV:
s – s= vt + gt2/2. Sendo s – s= H, v=0 e
000 0t= t, vem H = g. t2 / 2 ou
vv
tv = 2H
g
•• Alcance (A): O alcance é obtido multiplican-do
o módulo da velocidade horizontal pelo
tempo de voo:
A= vX . tv
•• Velocidade vertical (vY): Para calcular o mó-dulo
da velocidade vertical em certo instante
t, basta aplicar a equação da velocidade no
MRUA, com v0 = 0.
Daí: vY = g . t
•• Vetor velocidade: Conhecidos vX e vY, a soma
vetorial das duas velocidades nos dará o vetor
velocidade instantânea em t.
v = v2
x + v2
y
arctg =
vy
vx
Observação: As grandezas verticais, tais como
velocidade, aceleração e deslocamento, estão sendo
consideradas positivas nas fórmulas anteriores por-que
o eixo y está orientado para baixo. Caso o eixo y
estivesse orientado para cima as grandezas citadas
seriam negativas.
Lançamento
oblíquo no vácuo
v = vox
Na subida tem-se a composição de um MRU no
eixo x e de um MRUR no eixo y; na descida tem-se o
mesmo MRU em x e um MRUA no eixo y.
A velocidade inicial em x vale v0x = v0 cos . Esse
valor se mantém (velocidade do MRU), pois sendo
nula a projeção do vetor aceleração da gravidade
sobre o eixo x, alteração alguma resulta no módulo
de qualquer vetor com essa direção.
A velocidade inicial em y vale v0y= v0 sen . Essa
velocidade vai decaindo em módulo até atingir o valor
zero no ponto mais alto da trajetória (onde ocorre a
altura máxima H), em virtude do que, nesse ponto,
se tem v = v0x = vx = v0 cos .
O vetor velocidade instantânea em qualquer
instante t pode ser determinado de maneira análoga
àquela vista no lançamento horizontal.
É importante frisar que o lançamento oblíquo
é a composição de um lançamento vertical com um
MRU. Assim, tudo aquilo visto no lançamento vertical
vale igualmente agora na direção do eixo y. Para o
cálculo das grandezas envolvidas, basta aplicarmos
as equações dos movimentos componentes: MRU e
MRUR na subida, MRU e MRUA na descida:
•• Tempo de voo (tv): Basta aplicar a equação da
velocidade do MRUR na direção do eixo y:
Tem-se v0y = v0 sen e velocidade final nula,
onde: 0=v0 sen – gts, onde ts= tv/2 é o tempo de
subida. Vem: ts=v0 sen /g ou
tv = 2v0 sen /g.
Note que, para a mesma velocidade inicial, o
tempo de voo máximo vale 2 v0/g°, que corresponde
a sen = 1 ou = 90°.
•• Alcance (A): Para o cálculo do alcance, basta
aplicar o tna equação do MRU na direção
v do eixo x:
A=vt=vcos . 2vsen /g=v2. sen(2 )/g.
xv0 00
Então:
A =
2 sen2θ
g
V0

Note que, para a mesma velocidade inicial,
o alcance máximo vale v0
2/g, o que corresponde a
sen (2 )=1 ou = 45°.
•• Altura máxima (H): Para o cálculo de H,
basta aplicar Torricelli ao eixo y na subida:
02 = (v0sen )2 – 2gH ou
H=(v0sen )2/2g.
Note que, se =45°, vem H= v0
2/4g = A/4; ou
seja, para =45°, existe uma relação simples entre o
alcance (A) e a altura máxima ou flecha (H): A=4H.
Referencial
O corpo em relação ao qual podemos identifi-car
se um outro corpo qualquer está em movimento
ou repouso é chamado de referencial. Seu estudo
reveste-se de especial importância, considerando
que as formas das trajetórias, posições, velocidades
e acelerações dos corpos móveis dependem do refe-rencial
considerado.
A figura a seguir, em que se despreza a resis-tência
do ar, considera o exemplo em que um avião
deixa cair uma bomba:
Trajetória da bomba,
vista do avião
(Referencial móvel)
v
v
1
2
v3
Trajetória da bomba,
vista do solo
(Referencial fixo)
Movimentos relativo, de
arrastamento e absoluto
Consideremos o exemplo da figura acima: o
corpo móvel é a bomba; o referencial móvel é o avião;
o referencial fixo é o solo.
O movimento do corpo móvel (bomba) em rela-ção
ao referencial móvel (avião) é chamado movimen-to
relativo. Na figura acima, a velocidade relativa é a
de módulo igual a V2.
O movimento do referencial móvel (avião) em re-lação
ao referencial fixo (solo) é chamado movimento
006
FIS_de arrastamento. Na figura apresentada, a velocidade
V_de arrastamento é a de módulo igual a V.
1EM_3 O movimento do corpo móvel (bomba) em rela-ção
ao referencial fixo (solo) é chamado movimento
absoluto. Na figura. acima, a velocidade absoluta é
a de módulo igual a V3.
Um observador no avião, que pudesse ver a
bomba por um visor situado na fuselagem e imedia-tamente
acima do ponto de onde ela foi solta, a veria
cair sempre na vertical, em MRUA, enquanto o avião
não alterasse sua altitude, pois ela continuaria em
MRU para a direita, com a mesma velocidade com
que voava o avião no instante em que a liberou.
A composição
dos movimentos
Ainda quanto à figura do exemplo anterior, para
a determinação da posição, velocidade e aceleração
da bomba em dado instante, basta considerar a com-posição
dos dois movimentos MRU (horizontal para
a direita) e MRUA (na vertical para baixo), tratados
independentemente um do outro, em obediência
ao Princípio da Independência dos Movimentos
Simultâneos, já analisado anteriormente, e aplicar a
identidade vetorial:
v absoluta v relativa + v arrastamento
1. (PUC) Uma bola rolou para fora de uma mesa de 80cm
de altura e avançou horizontalmente, desde o instante
em que abandonou a mesa até o instante em que atingiu
o chão, 80cm. Considerando g = 10m/s2, a velocidade
da bola, ao abandonar a mesa, era de:
a) 8,0m/s
b) 5,0m/s
c) 4,0m/s
d) 2,0m/s
e) 1,0m/s
`` Solução: D
Trata-se de lançamento horizontal em que o alcance(A)
vale 80cm. Assim, A = v0 . tv , onde tv é o tempo de
voo. Admitindo desprezível a resistência do ar, o que o
exercício deixou implícito, pode-se calcular o tempo de
voo aplicando a equação do espaço na direção do eixo
vertical (oy):
H =
gtv2
2
→ tv2 = 2H
g
=
0,80m
5,0m/s2

4
EM_V_FIS_006
tv2 = 0,16s portanto tv = 0,40s
Substituindo-se na fórmula do alcance tem-se que:
0,80m = V0.0,40s
então:
V0 = 2,0m/s
(UEL) O que acontece com 2. o movimento de dois
corpos de massas diferentes, ao serem lançados hori-zontalmente
com a mesma velocidade, de uma mesma
altura e ao mesmo tempo, quando a resistência do ar
é desprezada?
a) O objeto de maior massa atingirá o solo primeiro.
b) O objeto de menor massa atingirá o solo primeiro.
c) Os dois atingirão o solo simultaneamente.
d) O objeto mais leve percorrerá distância maior.
e) As acelerações de cada objeto serão diferentes.
`` Solução: C
O exercício é interessante, pois o que importa é a velo-cidade
inicial de ambos os corpos (é verdade que, para
imprimir ao corpo de maior massa a mesma velocidade
que a do outro, é despendida maior energia, devido ao
fato de a inércia ser maior; isso, no entanto, não interfere
na cinemática da questão, e pode causar, vez por outra,
alguma confusão em análise mais afoita).
Se as velocidades iniciais são iguais e os lançamentos
simultâneos, os corpos chegarão ao solo no mesmo
instante e suas trajetórias, por estarmos desprezando a
resistência do ar, serão paralelas. A alternativa correta,
portanto, é a letra C.
3. (UFPI) Dois projéteis, I e II, são lançados de uma mesma
posição, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0
e diferentes ângulos de lançamento. As trajetórias dos
projéteis estão mostradas na figura a seguir. Sobre os
módulos das velocidades e das acelerações dos projéteis
nos pontos 1 e 2 podemos afirmar corretamente que:
a) v1 > v2 e a1 = a2
b) v1 = v2 e a1 = a2
c) v1 < v2 e a1 = a2
d) v1 = v2 e a1 > a2
e) v1 < v2 e a1 > a2
`` Solução: B
A altura máxima atingida na tragetória I é maior do que
a altura máxima atingida na tragetória II e, portanto,
temos que V> V. Da equação de Torricelli, temos
oyI
oyII
que Vy
2 = Voy
2 – 2g h, portanto, Vy1>Vy . Como Vx1< Vx2
precisamos calcular o módulo das velocidades V1 e V2
para obtermos a resposta.
Logo, temos: V1
2 = Vx1
2 + Vy1
2 = Vx1
2 + Voy1
2 – 2g h1 =
V2 – 2g ho
1
V2
2 = Vx2
2 + Vy2
2 = Vx2
2 + Voy2
2 – 2g h2 = Vo
2 – 2g h2.
Como h1 = h2 temos que V1
2 = V2
2, e, portanto, V1 =
V2 , embora V1y > V2y e V1x < V2x . A aceleração atuante
nos dois casos é apenas a aceleração da gravidade e,
portanto, a1 = a2 = g.
Note que os diferentes ângulos de lançamento determi-naram
trajetórias distintas e diferentes alturas máximas.
4. (UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas
sobre um piso horizontal, como mostra a figura a seguir.
Duas pequenas esferas iniciam os seus movimentos
simultaneamente do topo da mesa:
1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velo-cidade
v0 na direção horizontal, apontando para a
outra esfera, com módulo igual a 4m/s.
2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre.
Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam
o chão, pede-se:
a) O tempo de queda das esferas.
b) A distância x horizontal entre os pontos iniciais do
movimento.
`` Solução:
Aplicando a equação dos espaços à esfera da direita:
Δs = g t 2/2 ou 0,80 = 5t2 ou t = 0,40s.
Aplicando a equação do alcance à esfera da esquerda,
vem: x = v0 . t ou x = 4,0m/s . 0,4s = 1,6m.
Há controvérsias, nos dias de hoje, acerca de onde se
originou o futebol. Segundo alguns, esse esporte foi

uma evolução de uma prática voltada para o treinamento
de soldados, na China Antiga e chamada kemari: 16
jogadores se dividiam em duas equipes para jogar uma
bola de couro, cheia de chinas e cabelos, de pé em
pé, sem derrubar, dentro de duas estacas que ficavam
fincadas no chão e ligadas por um fio de cera.
Outros defendem a causa de o jogo ter suas raízes na
Grécia Antiga, por volta do século I a.C., com o epyskiros,
jogo militar disputado em Esparta, que usava como bola
uma bexiga de boi cheia de areia e era disputada por
dois times de quinze jogadores cada um.
O jogo grego chegou a Roma e, já na Idade Média,
transformou-se no harpastum, jogo em que militares
se dividiam em defensores e atacantes para a disputa
da partida.
Foi na Itália, em 1529, que a nobreza adotou o então
gioco del calcio, com dez juízes e disputado por 27
jogadores de cada lado, com posições fixas e, pela
primeira vez, sem poderem dar socos e pontapés.
No século XVII o jogo foi para a Inglaterra; lá, em 1660,
surgiram regulamentações: o campo teria de medir
80m x 120m, o número de jogadores foi fixado, nas
extremidades do campo deveriam existir dois postes
de madeira com afastamento de um metro, a bola teria
de ser de couro, cheia de ar e passar entre os postes.
Em 1848, numa conferência realizada em Cambridge,
foi estabelecido um código único de regras. Em 1862,
apareceu o mais antigo time de futebol: o Notts County;
no ano seguinte, 1863, foi formada a Football Association
e realizado o primeiro jogo internacional, com o empate
de 0 a 0 entre Inglaterra e Escócia. Em 1868 surgiu a
figura do árbitro e, a partir daí, a evolução se acelerou:
apito, travessão, redes, pênalti e número de jogadores
por equipe (11). Em 1885 teve início o profissionalismo
no futebol e, em 1888, foi formada a Football League.
Em 1901 surgiu o limite das áreas; em 1907 foi instituída
a “lei do impedimento”.
A FIFA foi instituída em Paris, no ano de 1904. Em 1908
o futebol foi admitido nos jogos olímpicos e a primeira
seleção a ser campeã foi a da Inglaterra, ao vencer a
da Dinamarca por 2 a 0. Em 1930 ocorreu a primeira
Copa do Mundo e a equipe campeã foi a do Uruguai.
O Brasil já levantou cinco títulos mundiais nessas
competições (1958 – Suécia; 1962 – Chile; 1970 –
México; 1994 – Estados Unidos; 2002 – Coréia/Japão),
sendo atualmente a única equipe ostentando o título de
Pentacampeã Mundial de Futebol. A última Copa do
Mundo foi realizada na Alemanha, em 2006.
5. (Fuvest) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a
partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima.
Com auxílio de uma câmera digital, foi possível recons-tituir
a trajetória da bola, desde o ponto em que ela
006
FIS_atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que
V_bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão
EM_5 representadas na figura. Após o choque, que é elástico,
a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos, que a
bola levou para ir do ponto A ao ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos, du-rante
o qual a bola permaneceu no ar, do instante
do chute até atingir o chão após o choque.
c) Represente, em sistema de eixos, em função do
tempo, as velocidades horizontal Vx e vertical Vy da
bola em sua trajetória, do instante do chute inicial
até o instante em que atinge o chão, identificando
por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas.
Note e adote:
Vy é positivo quando a bola sobe.
Vx é positivo quando a bola se move para a direita.
`` Solução:
a) hmax =
Voy
2
2g Voy = 2ghmax
Voy = 2 . 10 . 5 Voy = 10m/s
VyA = Voy – gtA 0 = 10 – 10tA tA = 1,0 s
hB = ho + VoytB – gtB
2
2
4,2 = 0 + 10tB – 5tB
2
5tB
2 – 10tB + 4,2 = 0 tB = 1,4s
tBA = tB – tA = 1,4 – 1,0 = 0,4s
b) VyB = Voy – gtB = 10 – 10 . 1,4
VyB = – 4m/s Vx = XAB/ tAB = 6
0,4
Vx = 15m/s
A colisão com a parede não altera a componente
vertical da velocidade da bola, pois a força atuante
(normal) é puramente horizontal e, portanto, tem
como único efeito a mudança no sentido da compo-nente
horizontal da velocidade da bola. Logo, após
o choque temos:
V1 = –4m/s e V= –15m/s.
yB’yB’ Então: h= h’+ V’t– gt2
c oB
oyB
c 2

6
EM_V_FIS_006
Substituindo na 2.ª equação a 1.ª, vem 2 vC = 3,6km/h
e, portanto, vC = 1,8km/h.
7. (PUCPR) A figura representa um avião, que mergulha
fazendo um ângulo de 30° com a horizontal, seguindo
uma trajetória retilínea entre os pontos A e B. No solo,
considerado como plano horizontal, está representada
a sombra da aeronave, projetada verticalmente, e um
ponto de referência C.
Considere as afirmativas que se referem ao movimento
da aeronave no trecho AB, e assinale a alternativa
correta:
a) A velocidade do avião em relação ao ponto C é
maior que a velocidade de sua sombra, projetada
no solo, em relação ao mesmo ponto.
b) A velocidade do avião é nula em relação à sua som-bra
projetada no solo.
c) A velocidade do avião em relação ao ponto C é
igual à velocidade de sua sombra, projetada no solo
em relação ao mesmo ponto.
d) A velocidade do avião em relação à sua sombra
projetada no solo é maior que a velocidade de sua
sombra em relação ao ponto C.
e) A velocidade da sombra em relação ao ponto C in-depende
da velocidade do avião.
`` Solução:
Para o que se segue, seja V o módulo da velocidade do
avião no trecho AB.
a) Correto: a do avião em relação a C vale V, enquanto
a da sombra em relação ao mesmo ponto vale V cos
30° = 0,866V.
b) Errado: o avião se aproxima de sua sombra com ve-locidade
vertical para baixo de módulo V sen 30° =
V/2.
c) Errado: considerando o exposto na justificativa da
alternativa a.
d) Errado: a velocidade do avião em relação à sombra
tem módulo V/2 e a desta em relação a C tem mó-dulo
igual a 0,866V; portanto, maior que aquela.
e) Errado: essa velocidade, como já dito, tem módulo igual
a 0,866V; assim, depende da velocidade do avião.
0 = 4,2 – 4tc – 5tc
2 5tc
2 + 4tc – 4,2 = 0
tc = 0,6s
Finalmente, o intervalo de tempo total, desde o ins-tante
em que a bola é chutada até o momento em
que atinge o solo é dado por: t = tB + tc
t = 1,4 + 0,6 t = 2,0s
c)
Vx
Vx
6. (Mackenzie) Uma lancha, subindo um rio, percorre, em
relação às margens, 2,34km em 1 hora e 18 minutos. Ao
descer o rio, percorre a mesma distância em 26 minutos.
Observa-se que, tanto na subida como na descida, o
módulo da velocidade da lancha em relação à água é
o mesmo. O módulo da velocidade da correnteza, em
km/h, em relação às margens é:
a) 5,4
b) 4,5
c) 3,6
d) 2,7
e) 1,8
`` Solução: E
Sendo vC a velocidade da correnteza, vb a velocidade rela-tiva
(do barco em relação à água) e vs, vd as velocidades
absolutas (do barco em relação às margens) na subida
e na descida do rio, respectivamente, tem-se:
vs = vb - vc = 2,34 / 78 = 0,03km/min = 1,8km/h
(1.ª opção)
vd = vb + vc = 2,34 / 26 = 0,09km/min = 5,4km/h
(2.ª opção)

8. (UERJ) Um barco move-se em águas tranquilas, segun-do
um observador em repouso no cais, com velocidade
de módulo constante v. Num dado instante, uma pessoa
de dentro do barco dispara um sinalizador no sentido
contrário ao seu movimento.
Para o observador no cais, o módulo v’ da velocidade
com que o barco passa a se deslocar, após o disparo,
obedece à seguinte relação:
a) v’ = 0
b) 0 < v’ < v
c) v’ = v
d) v’ > v
`` Solução: D
Já se falou rapidamente na 3.ª Lei de Newton, o Princípio
da Ação e da Reação: “quando um corpo exerce sobre
outro uma força, esse reage, exercendo sobre o primeiro
uma reação igual em módulo e direção, mas em sentido
contrário”.
Abordaremos em módulo futuro as Leis de Newton com
maior aprofundamento.
Pelo citado Princípio, quando o sinalizador é disparado em
sentido contrário ao do movimento do barco, o meio exte-rior
(ar) recebe a ação de uma força; segue-se a reação em
sentido contrário, que pode ser decomposta numa força
vertical e numa horizontal no sentido do movimento. Esse
efeito faz aumentar a velocidade do barco em relação às
margens (velocidade absoluta), donde V’ >V .
9. (UERJ) Na figura a seguir, o retângulo representa a janela
de um trem que se move com velocidade constante e
não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento
do trem em relação ao solo.
Dentro do trem, um passageiro sentado nota que começa
a chover.
Vistas por um observador em repouso em relação ao solo
terrestre, as gotas da chuva caem verticalmente.
Na visão do passageiro que está no trem, a alternativa
que melhor descreve a trajetória das gotas através da
janela é:
a)
006
FIS_b)
V_EM_7 c)
d)
`` Solução: A
A velocidade do trem (VT ) é a velocidade de arrasta-mento,
desejamos achar a relativa (VR ) e o observador
no solo vê a direção da velocidade absoluta (VABS ), ou
seja, VR = VABS – VT
VABS = VRT + VT
Basta montarmos o triângulo das
velocidades de modo a satisfazer à
identidade vetorial de a velocidade
absoluta ser a soma vetorial das velo-cidades
relativa e de arrastamento.
10. Pela chaminé de um navio são eliminados gases e va-pores
decorrentes da queima de óleo combustível. Isso
ocasiona a aderência, em suas paredes internas, de uma
fuligem que, se não for retirada periodicamente, pode
gerar situações de incêndio. Essa necessidade é atendi-da,
estando o navio no mar, por uma manobra intitulada
“limpeza de chaminé”, que consiste no seguinte:
1) o pessoal de serviço na Máquina pede autorização
ao Oficial de Quarto, responsável pela manobra do
navio, para realizar a referida limpeza;
2) o Oficial de Quarto manda aguardar e, enquanto
isso, guina o navio para o rumo adequado, que de-pende
de sua velocidade, de forma a que o vento
aparente ou relativo saia na perpendicular a um dos
bordos do navio (ou o da direita (boreste – BE) de
quem olha para a frente da embarcação (proa) ou
o da esquerda (bombordo – BB));
3) com o navio estabilizado no referido rumo, o Ofi-cial
de Quarto autoriza a realização da limpeza, que
consiste em liberar pela chaminé jatos de ar sob
pressão, o que dura cerca de 10 minutos;
4) o pessoal da Máquina comunica ao Oficial de Quar-to
o término da limpeza e este manobra o navio
para o rumo anterior ou para um rumo adequado a
retomar a posição anterior.
A operação libera grande quantidade de fuligem
negra e, se não obedecida a condição de sair per-pendicularmente
por sotavento (bordo por onde
sai o vento; oposto de barlavento, bordo por onde
entra o vento), parte dela cairá sobre o navio, sujan-do-
o completamente.
Agora, coloque-se no lugar de Oficial de Quarto de
um navio navegando no rumo 040, com vinte nós e,

8
EM_V_FIS_006
sendo 030 a direção do vento real e 15 nós a sua
intensidade, ambos fornecidos pelo anemômetro.
Você irá autorizar a “limpeza de chaminé” a 10 nós,
com sotavento a boreste (BE). Para que rumo você
deverá guinar, antes de autorizar a manobra?
`` Solução:
Sendo o vetor tr aquele que representa a velocidade
de seu navio e tw o do rumo e intensidade do vento
(a direção do vento é a marcação de onde ele vem; o
rumo do vento é aquela marcação para onde ele vai),
o problema pode ser resolvido graficamente com o dis-positivo
da figura, chamado “rosa de manobra”, em que
as circunferências concêntricas têm raios 5, 10, 15 e 20
milhas náuticas (1mi = 1 852m), neste nosso exemplo.
Passo 1: trace o vetor tw, que representa o rumo
e intensidade do vento real (210–15 nós) (1 nó = 1
milha/h = 1’/h).
Passo 2: do ponto w trace uma tangente à circun-ferência
de raio = 10’ (velocidade com que seu navio
executará a manobra), para o lado compatível com o
bordo desejado para ser o de sotavento, considerando
que o sentido do vento aparente é de r para w.
Passo 3: ligue o ponto central t ao de tangência e de-termine
o vetor tr, que dá o rumo (158) em que seu navio
deverá executar a manobra a 10 nós de velocidade.
t
W r
1. (PUC-Rio) Na ausência de resistência do ar, um objeto
largado sob um avião voando em linha reta horizontal
com velocidade constante:
a) subirá acima do avião e depois cairá.
b) rapidamente ficará para trás.
c) rapidamente ultrapassará o avião.
d) oscilará para frente e para trás do avião.
e) permanecerá sob o avião.
2. (Fuvest) Uma bola cai de uma mesa horizontal de 80cm
de altura, atingindo o chão a uma distância horizontal de
2,0m da vertical que passa pelo ponto de lançamento.
Sua velocidade na horizontal, ao abandonar a mesa, era
de: (g = 10m/s2)
a) 4m/s
b) 5m/s
c) 8m/s
d) 10m/s
e) 15m/s
3. (Cesgranrio) Para bombardear um alvo, um avião em voo
horizontal, a uma altitude de 2,0km, solta uma bomba
quando a sua distância horizontal até o alvo é de 4,0km.
Admite-se que a resistência do ar seja desprezível. Para
atingir o mesmo alvo, se o avião voasse com a mesma
velocidade, mas agora a uma altitude de apenas 0,50km,
ele teria que soltar a bomba a uma distância horizontal
do alvo igual a:
a) 0,25km
b) 0,50km
c) 1,0km
d) 1,5km
e) 2,0km
4. (PUC-Minas) Um homem, em pé, sobre a carroceria de
um caminhão que se move em uma estrada reta com ve-locidade
constante, lança uma pedra verticalmente para
cima. Com relação ao movimento da pedra, desprezando
o atrito com o ar, é correto afirmar que:
a) ela cairá ao chão, atrás do caminhão, se a velocida-de
deste for grande.
b) ela cairá nas mãos do homem, qualquer que seja a
velocidade do caminhão.
c) em relação à estrada, a pedra tem movimento retilí-neo
uniformemente acelerado.
d) em relação ao caminhão, o movimento da pedra é
retilíneo uniforme.
e) em relação ao homem, a trajetória da pedra é a de
um projétil.
5. (Feso) Na figura abaixo, duas partículas, 1 e 2, são lan-çadas
obliquamente no vácuo com velocidades iniciais
v1 e v2, respectivamente, formando ângulos diferentes
com a horizontal. Os tempos de voo dessas partículas
(isto é, os tempos que elas levam para voltar ao atingir
o mesmo plano horizontal de lançamento) valem, res-pectivamente,
t1 e t2.

Se, no entanto, ambas as partículas atingem a mesma
altura máxima h, é correto afirmar que:
a) v1 < v2 e t1 = t2
b) v1 < v2 e t1 < t2
c) v1 > v2 e t1 > t2
d) v1 = v2 e t1 < t2
e) v1 = v2 e t1 = t2
6. (EsPCEx) Dois corpos A e B, situados a 10m do solo, são
simultaneamente testados em um experimento.
O corpo A é abandonado ao mesmo tempo em que B
é lançado horizontalmente com uma velocidade inicial
V0 = 20m/s. Desprezando-se a resistência do ar, a
diferença entre o tempo de queda dos corpos A e B,
em segundos, é:
a) 3,0
b) 4,0
c) 0,0
d) 2,2
e) 1,8
7. (Cesgranrio) Na superfície horizontal do patamar supe-rior
de uma escada, uma esfera de massa 10g rola de um
ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a partir
deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau
tem altura de 20cm e largura de 30cm.
Considerando-se desprezível a resistência do ar e g =
10m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao
passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau
logo abaixo, é, em m/s, igual a:
a) 0,6
b) 0,8
c) 1,0
d) 1,2
e) 1,5
8. (UFBA) De um ônibus que trafega numa estrada
reta e horizontal com velocidade constante de 20m/s
desprende-se um parafuso, situado a 0,80m do solo e
que se fixa à pista no local em que a atingiu.
Tomando-se como referência uma escala cujo zero
coincide com a vertical no instante em que se inicia
a queda do parafuso e considerando-se g = 10m/s2,
determine, em m, a que distância este será encontrado
sobre a pista.
9. (Cefet-RJ) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma
mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da
mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos
pés da mesa. Adote g = 10m/s2, despreze a resistência
do ar e determine:
a) a altura da mesa;
b) o tempo gasto para atingir o solo.
10. (FEI-SP) Um canhão dispara projéteis de 20kg com um
ângulo de 30ºm relação à horizontal, com velocidade de
720km/h. Desprezando-se as resistências opostas pelo
ar ao movimento e adotando g = 10m/s2, pergunta-se:
qual o alcance do projétil?
11. (PUC-SP) Um saveiro, com o motor a toda potência, sobe
um rio a 16km/h e desce a 30km/h, velocidades essas
medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que, tanto
subindo como descendo, o saveiro tinha velocidade relati-va
de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade
constante v. Nesse caso, v, em km/h, é igual a:
a) 7
b) 10
c) 14
d) 20
e) 28
12. (UERJ) A figura abaixo representa uma escuna atracada
ao cais.
Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro
(ponto O). Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro (ponto
Q). Quando a escuna estiver se afastando do cais, com
velocidade constante, se a mesma bola for abandonada
do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da
figura:
a) P
b) Q
c) R
d) S
13. (MED-SM-RJ) Descendo um rio, um barco com o mo-tor
a toda potência, percorre 60km em 2h. Em sentido
contrário, percorre 40km em igual intervalo de tempo. A
velocidade do barco em relação às águas e a velocidade
das águas em relação às margens do rio são, respecti-vamente,
006
FIS_V_EM_em km/h, iguais a:
9 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

10
EM_V_FIS_006
a) 12,5 e 7,5
b) 25 e 5
c) 25 e 20
d) 30 e 5
e) 30 e 20
14. (Fuvest) A janela de um trem tem dimensões de 80cm na
horizontal e 60cm na vertical. O trem está em movimento
retilíneo e uniforme horizontal com a velocidade de valor
V. Um passageiro, dentro do trem, vê as gotas de chuva
caírem inclinadas na direção da diagonal da janela. Su-pondo
que as gotas, em relação ao solo, estejam caindo
com velocidade V, na vertical, essa velocidade seria:
a) 5V
3
4
b) V
4
3
c) V
5
8
d) V
V
5
e)
15. (PUC-SP) Dois móveis estão dotados de Movimentos
Uniformes sobre uma trajetória retilínea, de tal forma que
a distância entre eles aumenta de 10 metros por segundo
quando se deslocam no mesmo sentido e de 30 metros
por segundo quando se deslocam no sentidos opostos.
Os valores das velocidades desses móveis são:
a) 20m/s e 10m/s
b) 30m/s e 5m/s
c) 30m/s e 20m/s
d) 20m/s e 5m/s
e) 25m/s e 10m/s
16. (Unirio) Dois móveis, S e T cruzam-se no ponto O,
dirigindo-se segundo as direções s e t, com velocidades
constantes vs = 10m/s e vt = 6m/s.
Após certo tempo t, a velocidade de S em relação a T é
mais bem representada por:
(cos 53o = 0,60; sen 53o = 0,80)
a)
b)
c) 53o
d)
e) 53o
17. (PUC-SP) Um degrau de escada rolante leva 60s para
ir até o andar superior. Com a escada desligada, uma
pessoa leva 90s para subi-la. Quanto tempo a mesma
pessoa levaria para subir até o andar superior, se cami-nhasse
sobre a escada rolante ligada?
18. (UFPE) Um veículo viaja na direção norte-sul com uma
velocidade v1 = 40km/h. Um segundo veículo viajando na
mesma direção mas em sentido oposto, tem velocidade
v2 = 50km/h. Determine a velocidade relativa entre os
dois veículos.
19. (Fuvest) Um disco roda sobre uma superfície plana,
sem deslizar. A velocidade do centro O é v0 . Em relação
ao plano:
a) qual a velocidade
V
A do ponto A?
b) qual a velocidade do ponto B?
1. (Fuvest) Um motociclista de motocross move-se com
velocidade v = 10m/s, sobre uma superfície plana,
dirigindo-se a uma rampa (em A), inclinada de 45º com
a horizontal como indicado na figura.
A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a
rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto
A aproximadamente igual a:

a) 20m
b) 15m
c) 10m
d) 7,5m
e) 5m
2. (FEI-SP) Um avião, em voo horizontal 2 000m de altura,
deve soltar uma bomba sobre um alvo móvel. A velo-cidade
do avião é 432km/h, a do alvo é 10m/s, ambas
constantes e de mesmo sentido, e g = 10m/s2. Para o
alvo ser atingido, o avião deverá soltar a bomba a uma
distância d, em metros, igual a:
a) 2 000
b) 2 200
c) 2 400
d) 2 600
e) 2 800
3. (UFF) Uma criança arremessa uma bola de tênis contra
um muro vertical. O ponto de lançamento situa-se 1,35m
abaixo do topo do muro e a velocidade de lançamento
tem módulo v e uma inclinação de 60° com relação à
horizontal.
Desprezando-se a resistência do ar. O menor valor de v
para que a bola ultrapasse o muro é, aproximadamente,
igual a:
a) 2,7m/s
b) 3,6m/s
c) 4,8m/s
d) 5,2m/s
e) 6,0m/s
4. (Unicamp) De um ponto PM, a uma altura de 1,8m,
lançou-se horizontalmente uma bomba de gás lacrimo-gêneo
que atingiu os pés de um professor universitário
à 20m de distância, como indica a figura.
a) Quanto tempo levou a bomba para atingir o pro-fessor?
b) Com que velocidade v0(em km/h) foi lançada a
bomba?
5. (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de
006
FIS_30° com a horizontal e com uma velocidade de 200m/s.
V_Supondo a aceleração igual a 10m/s2 e desprezando a
EM_11 resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto
por ele para atingir a altura de 480m acima do ponto de
lançamento será de:
a) 8s
b) 10s
c) 9s
d) 14s
e) 12s
6. (ITA) Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um
edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente
2s. Sendo de 2,5m a altura de cada andar, o número de
andares do edifício é:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
e) indeterminado, pois a velocidade horizontal de ar-remesso
da bola não foi fornecida.
7. (UERJ) Um atirador de facas faz seus arremessos a
partir de um ponto P, em direção a uma jovem que se
encontra em pé, encostada em um painel de madeira.
A altura do ponto P é de 2,0m e sua distância ao painel
é de 3,0m. A primeira faca é jogada para o alto com a
componente horizontal da velocidade igual a 3,0m/s e a
componente vertical igual a 4,0m/s. A faca se move em
um plano vertical perpendicular ao painel.
Desprezando a resistência do ar e qualquer movimento
de giro da faca em torno de seu centro de gravidade,
determine a altura do ponto em que atinge o painel.
8. (Unicamp) Um habitante do planeta Bongo atirou uma
flecha e obteve os gráficos abaixo.
Sendo x a distância horizontal e y a vertical:
a) Qual a velocidade horizontal da flecha?
b) Qual a velocidade vertical inicial da flecha?
c) Qual o valor da aceleração da gravidade no planeta
Bongo?
9. (UFCE) Uma bola de 1cm de diâmetro rola do alto de
uma escada com 99 degraus, a uma velocidade de 2m/s,
conforme a figura. Os degraus da escada têm 18cm de
altura e 18cm de largura. Desprezando a resistência do

12
EM_V_FIS_006
ar e considerando g = 10m/s2, determine o primeiro
degrau atingido pela bola.
10. (UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas
sobre um piso horizontal, como mostra a figura abaixo.
Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento simul-taneamente
do topo da mesa:
1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velo-cidade
V0 na direção horizontal, apontando para a
outra esfera, com módulo igual a 4m/s;
2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre.
Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam
o chão, determine:
a) o tempo de queda das esferas.
b) a distância (x) horizontal entre os pontos iniciais do
movimento.
11. (Unicamp) Até os experimentos de Galileu Galilei, pen-sava-
se que quando um projétil era arremessado, o seu
movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil
em linha reta e com velocidade constante. Quando o im-petus
acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir
o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era
equivocada. Consideremos que um canhão dispara pro-jéteis
com uma velocidade inicial de 100m/s, fazendo um
ângulo de 30° com a horizontal. Dois artilheiros calcularam
a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a
noção de impetus, o outro, Salviati, as ideias de Galileu.
Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa:
o alcance do projétil. Despreze o atrito com o ar.
a) Qual o alcance do projétil?
b) Qual a altura máxima alcançada pelo projétil, se-gundo
os cálculos de Salviati?
c) Qual a altura máxima calculada por Simplício?
12. (UFMG) Um cano de irrigação, enterrado no solo,
ejeta água a uma taxa de 15 litros por minuto com uma
velocidade de 10m/s. A saída do cano é apontada para
cima fazendo um ângulo de 30º com o solo, como mostra
a figura. Despreze a resistência do ar e considere g =
10m/s2, sen 30º = 0,50 e cos de 30º = 0,87
Calcule quantos litros de água estarão no ar na situação
em que o jato d’água é contínuo, do cano ao solo.
13. (AFA) Uma esteira rolante com velocidade ve, transporta
uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distân-cia
é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a
velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a
pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp, sobre
a esteira em movimento, cuja velocidade é ve, o tempo
gasto no percurso, em segundos, será:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 30
14. (UEL) Duas cidades A e B distam entre si 400km. Da
cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B e, no
mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se
a A. Os móveis P e Q executam movimentos uniformes
e suas velocidades escalares são, em módulo, 30km/h
e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao
ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
d) 240
e) 250
15. (UFF) Temos dois trens movendo-se com velocidades
constantes vA e vB paralelamente um ao outro sendo
vA > vB. Um deles mede 100m e o outro 140m. Quando
os dois se movem no mesmo sentido, são necessários
40s para que um ultrapasse o outro. Quando os dois se
movem em sentidos contrários são necessários 10s para
que um passe pelo outro. As velocidades de A e B, em
m/s, serão, respectivamente:
a) 2 e 5
b) 10 e 18
c) 15 e 9
d) 16 e 8
e) 20 e 4

16. (UFSC) Um trem viaja a uma velocidade constante de
50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência
de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais
do trem são segmentos de reta que formam ângulos de
60o com a vertical. Determinar a velocidade das gotas,
em relação ao solo.
17. (FEI-SP) A roda da figura rola, sem escorregar, para-lelamente
a um plano vertical fixo. O centro O da roda
tem velocidade constante v = 5m/s. Qual é o módulo da
velocidade do ponto B no instante em que o diâmetro
AB é paralelo ao plano de rolamento?
18. (AFA) Em um dia de chuva os pingos d’água caem com
velocidade vertical constante e de intensidade 5,0m.s-1.
Um carro se movimenta em uma estrada horizontal com
velocidade constante e de intensidade 18km/h.
a) Qual o ângulo entre a vertical do lugar e a trajetória
dos pingos d’água em relação ao carro?
b) Qual a intensidade da velocidade dos pingos d’água
em relação ao carro?
19. (Cefet-PR) Uma criança deixa cair, do 15.o andar de um
edifício, um vaso de cristal. No mesmo instante, uma pessoa
na calçada a 15m do edifício, vendo a situação, começa
a correr para pegar o vaso. Se cada andar tem altura de
3,0m, determine a velocidade mínima que a pessoa terá
que correr, para o vaso não cair no chão, em m/s. Dados:
despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2).
20. (FGV-SP) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada
reta de 10km de comprimento, partem simultaneamente,
uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada
uma por um cavalo e andando à velocidade de 5km/h. No
instante da partida, uma mosca, que estava pousada na
testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com
velocidade de 15km/h e vai pousar na testa do segundo
cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível, parte
novamente e volta, com a mesma velocidade de antes,
em direção ao primeiro cavalo, até pousar em sua testa.
E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos
se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas
testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?
21. (ITA) Um barco com motor em regime constante, desce
um trecho de um rio em 2 horas e sobe o mesmo trecho
em 4 horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer
o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado?
006
FIS_22. (Fuvest) O deslocamento de uma partícula no plano é
V_definido pelas equações horárias: X = 3t + 1 e Y = 4t+
EM_2, onde X e Y são dados em metros e t em segundos.
13 a) Qual o módulo da velocidade?
b) Qual a trajetória?
23. Suponha que você e um par de boias salva-vidas este-jam
descendo um rio. Ambos salva-vidas estão a uma
distância de 3 metros de você. Você está entre os dois
salva-vidas e pode nadar com velocidade de 0,50m/s,
em relação a água. Sendo a velocidade da correnteza em
relação a margem de 2,50m/s, o tempo para alcançar a
boia que desce o rio na sua frente é T1 e para alcançar
a boia que desce o rio atrás de você é T2. Determinar a
diferença entre T2 e T1.
24. (UFRJ) Considere que em uma corrida de automóvel o
líder da prova e um retardatário mantêm em cada volta,
uma velocidade escalar média constante de 300km/h e
de 280km/h, respectivamente.
a) Calcule a velocidade relativa do líder em relação ao
retardatário.
b) Calcule quantas voltas o líder terá que completar,
após ultrapassar o retardatário, até alcançá-lo no-vamente.

14
EM_V_FIS_006
1. E
2. B
3. E
4. B
5. A
6. C
7. E
8. 8m.
9.
a) 0,8m
b) t = 0,4s
10. 2 000 3m
11. A
12. B
13. B
14. B
15. A
16. A
17. Δt = 36s
18. v = 90km/h
19. vA = 0 e vB = 2 v0.
1. A
2. B
3. E
4.
a) 0,6s
b) 120km/h
5. A
6. C

7. h = 1m
8.
a) vx = 1,5m/s
b) vy0 = 0
c) gB = 2m/s2
9. número de degraus = 8 0,18 ≅ 4,4; logo o quinto degrau
é atingido pela bola.
10.
a) 0,4s
b) 1,6m
11.
a) 500 3m
b) 125m
c) 500m
12. 0,25l
13. B
14. B
15. C
16. v = 28,9km/h
17. v = 5 2 m/s
18.
a) α = 45º
b) vR = 5 2 m/s
19. 5m/s
20. 15km
21. 8h
22.
a) 5m/s
b) y =
4x
3
+
2
3
23. As boias e o nadador estão inicialmente com a mesma
velocidade (da correnteza), logo, em repouso um em re-lação
aos outros. O tempo é o mesmo: t1= t2⇒ Δt = 0
24.
006
a) 20km/h
FIS_V_b) 15 voltas
EM_15 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

16
EM_V_FIS_006

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