Determinantes: definição e algumas propriedades

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Definição do determinante
Propriedades do determinante
Determinante e matriz inversa
Referências
DETERMINANTES
(a consulta a estas notas de aula não dispensa a leitura da bibliografia de referência)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Departamento de Matemática (http://www.dm.cefetmg.br)
II semestre de 2021

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Referências
Sumário
1 Definição do determinante
2 Propriedades do determinante
3 Determinante e matriz inversa
4 Referências

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Referências
Determinantes são úteis na resolução de sistemas lineares, na caracte-
rização de matrizes invertı́veis e no processo de mudança de variáveis
em integrais, entre outras aplicações.
O determinante pode ser visto como uma função cuja entrada é uma
matriz quadrada e cuja saı́da é um número real.
Denotamos o determinante de uma matriz quadrada A = (aij)n×n
por
det A, ou por det(A).
Definição (Determinante de matrizes 1 × 1 e 2 × 2)
(i) det [ a11 ] = a11 ,
(ii) det [
a11 a12
a21 a22
] = a11a22 − a21a12.
Exemplo 1
Se M = [
−5 −2
3 8
], então det(M) = (−5) ⋅ 8 − 3 ⋅ (−2) = −40 + 6 = −34.

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Referências
Dada uma matriz A = (aij)n×n
, o menor do elemento do elemento aij,
denotado por Ãij, é a submatriz (n−1)×(n−1) de A obtida eliminando-
se a i-ésima linha e j-ésima coluna de A:
̃
Aij =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a11 ⋯ a1j ⋯ a1n
⋮ ⋮ ⋮
aij ⋯ aij ⋯ ain
⋮ ⋮ ⋮
an1 ⋯ anj ⋯ ann
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Exemplo 2
Seja B =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3 1
3 2 1 2
0 0 −3 −4
0 5 0 −6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Os menores associados a b11, b21 e b43 são
̃
B11 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 1 2
0 −3 −4
5 0 −6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, ̃
B21 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 3 1
0 −3 −4
5 0 −6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e ̃
B43 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 1
3 2 2
0 0 −4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.

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Referências
Seja A = (aij)3×3
. O cofator do elemento aij é definido por
ãij = (−1)
i+j
det( ̃
Aij).
Cabe observar que ̃
Aij é uma matriz 2 × 2.
Exemplo 3
Seja E =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3 0 −3
1 −2 2
0 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
O cofator do elemento e22 é
ẽ22 = (−1)
2+2
det [
3 −3
0 1
] = 1 ⋅ (3 ⋅ 1 − 0 ⋅ (−3)) = 3.
O cofator de e32 é
ẽ32 = (−1)
3+2
det [
3 −3
1 2
] = (−1) ⋅ (3 ⋅ 2 − 1 ⋅ (−3)) = −9.

Definição (Determinante de matrizes 3 × 3)
Seja A = (aij)3×3
. O determinante de A é
det(A) = ai1 ⋅ ãi1 + ai2 ⋅ ãi2 + ai3 ⋅ ãi3 , (1)
em que i é o ı́ndice de uma linha qualquer de A, i = 1, 2, 3.
Pode-se provar que o determinante está bem definido, isto é, o resultado
da fórmula (1) não depende da escolha da linha.
Exemplo 4
Calcule det(G), em que G =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3
0 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solução: Escolhendo a 2
a
¯ linha, obtemos
det(G) = 0 ⋅ g̃21 + 1 ⋅ g̃22 + 2 ⋅ g̃23
= 1 ⋅ {(−1)
2+2
det [
1 3
1 2
]} + 2 ⋅ {(−1)
2+3
det [
1 2
1 1
]}
= 1 ⋅ 1 ⋅ (1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3) + 2 ⋅ (−1)(1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2) = −1 + 2 = 1.
Pela 1
a
¯ ou 3
a
¯ linha, chegarı́amos ao mesmo resultado (confira!).
6/23

7/23
Referências
Suponhamos que sabemos calcular o determinante de matrizes de di-
mensões (n − 1) × (n − 1).
Definição (Determinante de matrizes n × n)
Seja A = (aij)n×n
. O cofator do elemento aij é definido por
ãij = (−1)
i+j
det(Ãij).
O determinante de A é definido por
det(A) = ai1 ⋅ ãi1 + ai2 ⋅ ãi2 + ⋯ + ain ⋅ ãin , (2)
em que i é o ı́ndice de uma linha qualquer de A, i = 1, ⋯, n.
Convém observar que Ãij é uma matriz (n − 1) × (n − 1).
É possı́vel demonstrar que o determinante está bem definido, isto é, o
resultado da expressão (2) independe da escolha da linha.
A fórmula (2) é chamada desenvolvimento em cofatores do deter-
minante de A em termos da i-ésima linha.

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Referências
Exemplo 5
Calcule det(F), em que F =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3 4
0 1 2 0
0 0 0 3
1 1 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solução: Como o determinante independe da escolha da linha, escolhemos
a linha com mais zeros. Pela 3
a
¯ linha, temos
det(F) = 0 ⋅ ˜
f31 + 0 ⋅ ˜
f32 + 0 ⋅ ˜
f33 + 3 ⋅ ˜
f34 = 3 ⋅ ˜
f34
= 3 ⋅ {(−1)
3+4
det(F̃34)} ,
em que F̃34 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3
0 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. A matriz F̃34 coincide com a matriz G do
exemplo anterior. Vimos que det(G) = 1. Logo,
det(F) = 3 ⋅ (−1) ⋅ 1 = −3.
Quando uma matriz tem poucos zeros, o cálculo do determinante pela
definição pode ser bastante trabalhoso.

9/23
Referências
Regra de Sarrus
Se A = (aij)3×3
, repetimos as duas primeiras colunas de A, à direita da
disposição original dos elementos, conforme a figura
O determinante é a soma dos produtos ao longo das diagonais indicadas por
linhas cheias menos a soma dos produtos ao longo das diagonais tracejadas:
det(A) = (a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32)
− (a31 ⋅ a22 ⋅ a13 + a32 ⋅ a23 ⋅ a11 + a33 ⋅ a21 ⋅ a12).
O resultado acima é válido somente para o cálculo do determinante de
matrizes 3 × 3.

Definição (Matriz triangular)
Uma matriz triangular é uma matriz quadrada tal que os elementos situ-
ados acima, ou abaixo, da diagonal principal são todos nulos.
Exemplo 6 (Matrizes triangulares)
C =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 −1 0
0 −1
√
2
0 0 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ
triangular superior
, K =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 0 0 0
1 −1 0 0
π 2 2 0
1 0 5 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ
triangular inferior
, I3 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Teorema (Determinantes de matrizes triangulares)
O determinante de uma matriz triangular coincide com o produto dos ele-
mentos da diagonal principal.
Exemplo 7
Em relação às matrizes do exemplo anterior, temos
det(C) = 2⋅(−1)⋅3 = −6, det(K) = 2⋅(−1)⋅2⋅4 = −16 e det(I3) = 1⋅1⋅1 = 1.
10/23

Dada uma matriz com nenhum ou poucos elementos nulos, é possı́vel re-
lacionar o cálculo de seu determinante com o determinante duma matriz
triangular?
Propriedades do determinante (Parte I)
Sejam A e B matrizes n × n. Então,
P1 Se A tem uma linha nula, det(A) = 0;
P2 det(A) = det(A
t
);
P3 det(AB) = det(A) det(B).
Exemplo 8
Calcule o determinante de E =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 5 4
1 3 2
0 9 −8
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solução: Como det(E) = det(E
t
), podemos escolher colunas também para
calcular o determinante. Entre todas as linhas e colunas, a 1
a
¯ coluna possui
mais zero. Daı́, pela 1
a
¯ coluna, encontramos
det(E) = 0 ⋅ ẽ11 + 1 ⋅ ẽ21 + 0 ⋅ ẽ31 = 1 ⋅ {(−1)
2+1
det [
5 4
9 −8
]} = 76.
11/23

A propriedade P2 implica que todos os resultados que se referem a linhas
são válidos com relação a colunas.
Exemplo 9
Sejam M e N matrizes n × n tais que det(M) = −2 e det(N) = 3. Calcule
det(NM
t
).
Solução:
Temos que det(NM
t
)
P3
= det(N) det(M
t
)
P2
= det(N) det(M) = 3 ⋅ (−2) = −6.
Propriedades do determinante (Parte II)
P4 Sejam A e B matrizes n × n. Se B é obtida de A multiplicando-se uma
linha por um escalar α então det(B) = α det(A);
Exemplo 10
Seja A = [
−2 5
1 2
]. Assim, det(A) = (−2) ⋅ 2 − 1 ⋅ 5 = −9.
Seja B a matriz obtida de A por meio da operação elementar 3L2 → L2,
isto é, B = [
−2 5
3 6
].
Temos que det(B) = (−2) ⋅ 6 − 3 ⋅ 5 = −27. Ou seja, det(B) = 3 det(A).
12/23

13/23
Referências
Propriedades do determinante (Parte III)
P5 Sejam A e B matrizes n × n. Se B resulta de A pela troca da posição
relativa de duas linhas então det(B) = − det(A).
Exemplo 11
Seja a matriz A = [
−2 5
1 2
] do exemplo anterior. Sabemos que
det(A) = −9.
Consideremos agora a matriz B obtida de A através da operação ele-
mentar L1 ↔ L2, isto é, B = [
1 2
−2 5
].
Daı́, det(B) = 1 ⋅ 5 − (−2) ⋅ 2 = 9. Ou seja, det(B) = − det(A).
Propriedades do determinante (Parte IV)
P6 Sejam A e B matrizes n × n. Se B é obtida de A substituindo a linha
i por ela somada a um múltiplo escalar de uma linha j, i ≠ j, então
det(B) = det(A).

Exemplo 12
Seja A = [
−2 5
1 2
] (mesma matriz do último exemplo). Já vimos que
det(A) = −9.
Seja B obtida de A por meio da operação elementar (−5) L2 + L1 → L1,
isto é, B = [
−7 −5
1 2
].
Logo, det(B) = (−7) ⋅ 2 − 1 ⋅ (−5) = −9. Ou seja, det(B) = det(A).
Exemplo 13
Seja A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 2 −4 5
3 0 −3 6
2 4 5 7
5 −1 −3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Calcule o determinante da matriz A usando
operações elementares para “transformá-la” em uma matriz triangular.
Solução:
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 2 −4 5
3 0 −3 6
2 4 5 7
5 −1 −3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
L1 ↔ L2
B =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3 0 −3 6
0 2 −4 5
2 4 5 7
5 −1 −3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(1/3) L1 → L1
14/23

15/23
Referências
Exemplo 13 (cont.)
C =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0 2 −4 5
2 4 5 7
5 −1 −3 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(−2) L1 + L3 → L3
(−5) L1 + L4 → L4
D =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0 2 −4 5
0 4 7 3
0 −1 2 −9
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
L2 ↔ L4
E =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0 −1 2 −9
0 4 7 3
0 2 −4 5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
4 L2 + L3 → L3
2 L2 + L4 → L4
F =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 −1 2
0 −1 2 −9
0 0 15 −33
0 0 0 −13
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ
matriz triangular
Temos que det(F) = 1 ⋅ (−1) ⋅ 15 ⋅ (−13) = 195. Além disso,
(i) det(F)
P6
= det(E),
(ii) det(E)
P5
= − det(D),
(iii) det(D)
P6
= det(C),
(iv) det(C)
P4
=
1
3
det(B) e
(v) det(B)
P5
= − det(A) .

16/23
Referências
Exemplo 13 (cont.)
Logo,
det(A) = − det(B) = −3 det(C) = −3 det(D) = 3 det(E) = 3 det(F)
e portanto det(A) = 3 ⋅ 195 = 585.
Corolário 1
Se A = (aij)n×n
é invertı́vel, então
det (A
−1
) =
1
det(A)
.
Prova: Temos que A A
−1
= In. Assim, pela propriedade P3,
det (A A
−1
) = det(In) ⟺ det(A) det (A
−1
) = 1.
Portanto, det (A
−1
) =
1
det(A)
.

Corolário 2
Sejam A uma matriz n × n e α ∈ R. Então det (α A) = α
n
det(A) .
Prova:
det (α A) = det (α In A)
P3
= det (α In) det (A)
= det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
α 0 ⋯ 0
0 α ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ α
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
det(A)
= α
n
det(A) .
Corolário 3
Se A = (aij)n×n
tem duas linhas iguais, então det(A) = 0.
Prova: Sejam i e j as linhas iguais de A. Seja B a matriz obtida de A pela
aplicação da operação elementar Li ↔ Lj. Pela propriedade P5,
det(B) = − det(A).
Mas A = B. Portanto, det(A) = − det(A) ⇔ 2 det(A) = 0 ⇔ det(A) = 0.
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Exemplo 14
A matriz E =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0 0
2 −2 0 0
0 3 2 0
−1 5 4 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
foi obtida de A = (aij)4×4
através da
sequência de operações elementares:
troca da linha L2 pela linha L4,
multiplicação da linha L3 por 3,
substituição da linha L2 por (−1) L4 + L2,
substituição da linha L1 por 2 L4 + L1.
Calcule det (
√
2 A
t
A
−2
).
Solução:
Como não conhecemos os elementos da matriz A, de imediato, e o determi-
nante de E é fácil de ser calculado, vamos expressar o determinante de A
em termos do determinante de E.
Sejam B, C e D as matrizes resultantes das aplicações das três pri-
meiras operações relacionadas acima no seguinte sentido:
A
L2↔L4
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→ B
3 L3→L3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→ C
(−1) L4+L2→L2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→ D
2 L4+L1→L1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→ E.
18/23

Exemplo 14 (cont.)
Então,
(i) det(B)
P5
= − det(A),
(ii) det(C)
P4
= 3 det(B),
(iii) det(D)
P6
= det(C) e
(iv) det(E)
P6
= det(D) .
Assim,
det(A) = − det(B) = −
1
3
det(C) = −
1
3
det(D) = −
1
3
det(E)
= (−
1
3
) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ 2 ⋅ 3 = −8
e, por isso,
det (
√
2 A
t
A
−2
)
P3
= det (
√
2 A
t
) det ((A
−1
)
2
)
Cor. 2
= (
√
2)
4
det (A
t
) (det (A
−1
))
2
Cor. 1
= 4 det(A) (
1
det(A)
)
2
= 4
1
det(A)
= 4 (−
1
8
) = −
1
2
.
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Referências
Exemplo 15
Utilize operações elementares para simplificar e calcular o determinante de
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
11 12 −19 18
18 19 −47 46
5 6 −96 95
3 4 −21 20
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solução:
Neste caso, aplicando operações elementares às colunas, é possı́vel chegar a
uma matriz com duas colunas iguais:
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
11 12 −19 18
18 19 −47 46
5 6 −96 95
3 4 −21 20
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(−1) C2 + C1 → C1
C4 + C3 → C3
Q =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−1 12 −1 18
−1 19 −1 46
−1 6 −1 95
−1 4 −1 20
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Pelas propriedades P2 e P6, det(P) = det(Q). Como Q tem duas colunas
iguais, det(Q) = 0 (Cor. 3 + P2). Logo, det(P) = 0.

Teorema (Determinante e matriz inversa)
Seja A uma matriz n × n. Então, A é invertı́vel se, e somente se, det(A) ≠ 0.
Prova:
Seja R a forma escalonada reduzida de A. Então,
(i) R = In ou R tem uma linha nula e
(ii) A é invertı́vel se e somente se R = In.
Como R pode ser obtida de A por meio de uma sequência de operações
elementares,
det(A) = α det(R) para algum α ∈ R não nulo.
Daı́,
(iii) det(A) ≠ 0 se e somente se det(R) ≠ 0.
Segue dos fatos (i), (ii) e (iii) que A é invertı́vel se, e somente se, det(A) ≠ 0.
Equivalentemente, A não é invertı́vel se, e somente se, det(A) = 0.
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Corolário
Seja A uma matriz n × n. O sistema homogêneo AX = 0̄ admite somente a
solução trivial se se somente se det(A) ≠ 0.
Equivalentemente, o sistema homogêneo AX = 0̄ possui solução não
trivial (i.e., infinitas soluções) se, e somente se, det(A) = 0.
Exemplo 16
Determine os valores de λ ∈ R para os quais o sistema linear homogêneo
(K − λI3)X = 0̄ admite solução não trivial, em que K =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0
−1 3 0
√
5 2 −2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solução:
De acordo com o corolário acima, (K − λI3)X = 0̄ tem infinitas soluções se
e somente se det(K − λI3) = 0. Temos que
K − λI3 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0
−1 3 0
√
5 2 −2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
− λ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 − λ 0 0
−1 3 − λ 0
√
5 2 −2 − λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ
matriz triangular
.
Assim, det (K − λIn) = (−2−λ)(3−λ)(−2−λ) = (2+λ)
2
(3−λ) e, portanto,
det (K − λIn) = 0 ⟺ λ = −2 ou λ = 3.
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Referências
Referências
SANTOS, R.J. Geometria Analı́tica e Álgebra Linear. Belo Hori-
zonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2014. Acesso em 24/08/2020.
BOLDRINI, J.L. [et. al.]. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Editora
Harper Row do Brasil Ltda, 1980.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2004.
L
A
TEX https://www.latex-project.org/

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