Determinantes Sistemas Lineares

DETERMINANTES Definição : Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a 11 ), o seu determinante será o próprio elemento a 11 . det A = a 11 = a 11 Exemplo.: A = ( 120 )  det A = 120 B = (– 29 )  det A = – 29

Matriz quadrada de ordem 2  det A = = a 11  a 22 – a 12  a 21  Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. det A = = (–3)  (–5) – (2)  (1) det A = 15 – 2 = 13 det A = 13 A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 A = – 3 2 1 –5 – 3 2 1 –5

Matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus : Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = SDP – SDI a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 ou SDP = ( a 11  a 22  a 33 + a 21  a 32  a 13 + a 31  a 12  a 23 ) SDS = ( a 13  a 22  a 31 + a 23  a 32  a 11 + a 33  a 12  a 21 )

Propriedades dos determinantes 1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais det A = = (0)  (5) – (0)  (3) 0 – 0 = = 0 det A = – det A = 0  0 0 3 5 1 3 5 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 45 – 15 ) ( 0 + 45 – 15 )

2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal. det A = – det A = –28  det A = – = – det A = 28  – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ( 0 – 5 + 18 ) (– 15 ) ( 13 ) 2 1 2 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 18 – 5 ) ( 0 – 30 + 15 ) ( 13 ) ( –15 )

3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número k , o seu determinante ficará multiplicado por k . det A = = (10) – (12) = –2 det B = = (30) – (36) = –6 k = 3 det B = k  det A det B = 3  (–2) = –6 2 4 3 5 6 12 3 5

4. Da propriedade 3, decorre que: det ( k  A n ) = k n  det A n .  3  A 2 = det ( 3  A 2 ) = = (90) – (108) = –18 det ( 3  A 2 ) = 3 2  det A 2 = 9  (–2) = –18 k = 3 A 2 = 2 4 3 5 6 12 9 15 6 12 9 15

5. det A = det A T . det A = – det A = –28  det A = – det A T = – det A T = –28  det A T = – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ( 0 – 5 + 18 ) (– 15 ) ( 13 ) 1 3 2 3 0 1 5 –5 2 det A T = ( 0 – 30 + 15 ) ( 0 – 5 + 18 ) (– 15 ) ( 13 )

6. det ( A n  B n ) = det A  det B B 2 = ; = det ( A n  B n ) = 400 – 392 = 8 det A  det B = (–2)  (–4) = 8 A 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2 A 2  B 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2  10 28 14 40

7. det I n = 1 det I 3 = 1  8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. det A = 5  (–2)  3 = –30 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det I 3 = 5 3 2 0 –2 1 0 0 3 det A =

Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A –1 ) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. A –1  A = A  A –1 = I  det A  0. 3. Se A possuir inversa, essa será única. 1. Se A 2x2 = a b c d , então : A –1 = d –b – c a det A det A det A det A 2. det A –1 = 1 det A , det A  0

01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que satisfaz A 2 = 2A, então o determinante de A será: 0. 1. 2. 3. 4. det A  det A = 2 2  det A det A = 4 det A 2 = det (2A) E

x x 1 2 x –x 1 x 1 P(x) = x x 1 2 x –x P(x) = x 2 + 2x – x 2 – x + x 3 – 2x P(x) = x 3 – x Grau 3 3. 2. 1. 0. 4. 02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz A = x x 1 2 x –x 1 x 1 A

03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s) . (01) Se K = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por k ij = 2 2i + j para i < j e k ij = i 2 + 1 para i > j, então k é uma matriz inversível. k 11 = 1 2 + 1 = 2 k 12 = 2 2(1) + 2 = 2 4 = 16 k 21 = 2 2 + 1 = 5 k 22 = 2 2 + 1 = 5 Det K = 10 – 80 = –70  0  é inversível (01) - correta K = k 11 k 12 k 21 k 22 K = 2 16 5 5

(02) Se A e B são matrizes tais que A  B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A  B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R 2 tem 625 elementos. M 5x7  P 7x5 = R 5x5 (A matriz R possui 25 elementos) Logo, a matriz R 2 tem 25 elementos. c.e.p Ordem n (04) - incorreta

(08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(L T ). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09

SISTEMAS LINEARES Equação Linear é uma equação de forma: a 1  x 1 + a 2  x 2 + a 3  x 3 + ... + a n  x n = b Portanto, um sistema será linear quando for composto de equações lineares. linear não-linear 2x + 3y = 5 x – y = 2 2x 2 + 3y = 5 x – y = 2 2x + 3y – z = 5 x – y + z = 2 – 5x – 3y + 4z = 10 2xy + 3y = 5 x – y = 2

Observações:  1. Forma matricial Forma matricial completa 2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é denominanda matriz principal . 3x + 2y + z = 1 x – y + 3z = 2 5x + 2y + z = 7 3 2 1 1 –1 3 5 2 1 x y z 1 2 7 = . 3 2 1 1 1 –1 3 2 5 2 1 7

3. Se o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz principal (  ) for diferente de zero,o sistema recebe o nome de normal . 4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o sistem é chamado de homogêneo . 2x + 3y = 0 x – y = 0

Método de Cramer a 11  x 1 + a 12  x 2 + a 13  x 3 + ... + a 1n  x n = b 1 a 21  x 1 + a 22  x 2 + a 23  x 3 + ... + a 2n  x n = b 2 a n1  x 1 + a n2  x 2 + a n3  x 3 + ... + a nn  x n = b n . . . a 11 a 12 a 13 ... a 1n a 21 a 22 a 23 ... a 2n . . . . . . a n1 a n2 a n3 ... a nn  =

b 1 a 12 a 13 ... a 1n b 2 a 22 a 23 ... a 2n . . . . . . b n a n2 a n3 ... a nn  x 1 = a 11 b 1 a 13 ... a 1n a 21 b 2 a 23 ... a 2n . . . . . . a n1 b n a n3 ... a nn  x 2 = a 11 a 12 b 1 ... a 1n a 21 a 22 b 2 ... a 2n . . . . . . a n1 a n2 b n ... a nn  x 3 = . . .

Se   0 temos: a 11 a 12 a 13 ... b 1 a 21 a 22 a 23 ... b 2 . . . . . . a n1 a n2 a n3 ... b n  x n = . . .  x 1 x 1 =   x 2 x 2 =   x 3 x 3 =   x n x n =  , , , ... ,

S = {(x, y)} S = {(2, 1)} Exemplo:  = 3 2 1 -1 = – 3 – 2 = – 5  x = 8 2 1 -1 = – 8 – 2 = – 10  y = 3 8 1 1 = 3 – 8 = – 5 3x + 2y = 8 x – y = 1 x =  x  = – 10 – 5 = 2 y =  y  = – 5 – 5 = 1

DISCUSSÃO DE SISTEMAS Solução única   0 Infinitas soluções  =  x =  y =  z = 0 Infinitas soluções  = 0 e  x  0 ou  y  0 ou  z  0. Sistema linear Possível Impossível (sem solução) determinado indeterminado

Se o sistema linear for homogêneo: Possível e determinado (   0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} ) Solução trivial Possível e indeterminado (  = 0 ) (Além da trivial, admitirá soluções próprias)

04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg. Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg. Quanto pesa Beatriz? (–) 2B = 24 B = 12 Beatriz tem 12 kg. A + B = 30 B + C = 28 A + C = 34 A + B = 30 -A + B = –6 +

05. (UFSM – RS) Considere o sistema . Então, pode-se afirmar que o sistema é: possível e indeterminado. Impossível para qualquer valor de m. Possível e determinado. Possível para m  2. Impossível apenas quando m  2. x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4

 (2)  (3) Impossível para qualquer valor de m. x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4 x + y + z = 1 x + y + z = 4 3 x + y + z = m 2 x + y + z = 1 x + y + z = 4 3 B

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