Equações exponenciais

Equações exponenciais

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  EQUAÇÕES EXPONENCIAIS As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe os exemplos: 2x = 256 3x+1 = 9 4x = 1024 2x+2 = 512 De acordo com Paiva uma equação exponencial baseia-se na seguinte propriedade: onde a > 0 e a 1. As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação: 5x = 625 (fatorando 625 temos: 54) 5x = 54 x=4 A solução da equação exponencial será x = 4. Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação. Acompanhe outro exemplo: Vamos determinar a solução da equação 2x + 8 = 512. Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 29. Então: 2x + 8 = 29 x+8=9 x=9–8 x=1
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  A solução daequação exponencial 2x + 8 = 512 é x = 1. Exemplo 3 Resolva a equação . Transforme a raiz quinta em potência: 2x = 1281/5 Pela fatoração do número 128 temos 27, então: 2x = (27)1/5 x = 7 . 1/5 x = 7/5 Portanto, a solução da equação exponencial é x = 7/5. Exemplo 4 Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1. Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: “todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.” Com base na regra, podemos dizer que 1 = 20, então: 2x² - 7x + 12 = 20 x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo teorema de Bháskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores: x’ = 3 e x” = 4. Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1 é x = 3 e x = 4. Exemplo 5 A técnica utilizada será semelhante a do exemplo anterior, só que ao invés de chegarmos a uma equação afim, iremos obter uma equação quadrática:
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  Note que oprimeiro termo pode ser escrito como , ou como nos convém, escrevê-lo como . Então a equação ficará assim: Agora vamos ao artifício de substituir temporariamente 5x por y: Já que temos uma equação do segundo grau, vamos obter as suas raízes. Para isto podemos recorrer à fórmula geral de resolução, mas neste caso é mais conveniente recorrermos às relações de Albert Girard. Quais são os dois números reais que somados totalizam 6 e que multiplicados produzem 5? Obviamente são os números 1 e 5. Estes números são as raízes desta equação. Se você estiver interessado neste método de resolução de equações quadráticas, por favor, acesse a página equação do segundo grau - calculando facilmente suas raízes para maiores esclarecimentos. Voltando à vaca fria, como 5x = y temos: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MATEMÁTICA Didática. Disponivel em: <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoExponencial.aspx>. Acesso em: 05 mar. 2012. PAIVA, M. R. Matemática 1. 1ª Edição. ed. São Paulo: Moderna, v. I, 1995. SILVA, M. N. P. D. Mundo Educação. Disponivel em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm>. Acesso em: 05 mar. 2012.