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![Base
Definição (Base)
Seja W ⊆ R
n
um subespaço não nulo. Um subconjunto C = {⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vk} ⊂
W é uma base de W se
(i) C é LI e
(ii) C gera W, isto é, todo vetor de W é combinação linear de ⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vk
(W = [⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vk]).
Exemplo 16
Seja A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 2 −1
2 3 6 −2
−2 1 2 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Encontre uma base para o conjunto solução
do sistema homogêneo AX = 0̄.
Solução:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 2 −1 0
2 3 6 −2 0
−2 1 2 2 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
escalonando...
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 −1 0
0 1 2 0 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
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![Exemplo 16 (cont.)
O sistema AX = 0̄ é equivalente a {
x − w = 0
y + 2z = 0
, cujo conjunto solução
é X =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
w
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
β
−2α
α
β
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, α, β ∈ R, ou
W = {(β, −2α, α, β) ∣ α, β ∈ R} , que é um subespaço do R
4
.
Precisamos de um candidato à base de W. Podemos escrever
(β, −2α, α, β) = (0, −2α, α, 0) + (β, 0, 0, β)
= α (0, −2, 1, 0) + β (1, 0, 0, 1) = α ⃗
v1 + β ⃗
v2,
em que ⃗
v1 = (0, −2, 1, 0) e ⃗
v2 = (1, 0, 0, 1). Ou seja, todo vetor de W
é combinação linear de ⃗
v1 e ⃗
v2. Além disso, ⃗
v1 ∈ W (α = 1, β = 0) e
⃗
v2 ∈ W (α = 0, β = 1). Ou seja, S = {⃗
v1, ⃗
v2} é um subconjunto de W que
gera W (W = [⃗
v1, ⃗
v2]).
Ademais S = {⃗
v1, ⃗
v2} é LI, posto que ⃗
v1 e ⃗
v2 não são múltiplos esca-
lares entre si. Logo, S é uma base de W.
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![Exemplo 17
{⃗
i = (1, 0), ⃗
j = (0, 1)} é uma base (base canônica) do R
2
, pois
(i) {⃗
i, ⃗
j} é LI, dado que ⃗
i e ⃗
j não são paralelos, e
(ii) R
2
= [⃗
i, ⃗
j], visto que (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a⃗
i + b ⃗
j.
Exemplo 18
{⃗
v1 = (1, 1), ⃗
v2 = (−1, 0)} é uma base do R
2
. De fato,
(i) {⃗
v1, ⃗
v2} é LI, uma vez que ⃗
v1 e ⃗
v2 não são paralelos, e
(ii) R
2
= [⃗
v1, ⃗
v2], já que, para ⃗
v = (a, b), vale
⃗
v = α1 ⃗
v1 + α2 ⃗
v2 ⇔ (a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 0) ⇔
(a, b) = (α1 − α2, α1) ⇔ {
α1 − α2 = a
α1 = b
⇔ {
α1 = b
α2 = b − a
,
ou seja, ⃗
v = b ⃗
v1 + (b − a) ⃗
v2. Em outras palavras, qualquer vetor do R
2
é combinação linear de ⃗
v1 e ⃗
v2.
Logo, {⃗
v1, ⃗
v2} é uma base do R
2
.
Bases de subespaços não são únicas.
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![Exemplo 19
{⃗
i = (1, 0, 0), ⃗
j = (0, 1, 0), ⃗
k = (0, 0, 1)} é uma base (base canônica) do R
3
,
pois, como vimos anteriomente,
(i) {⃗
i, ⃗
j, ⃗
k} é LI, e
(ii) (a, b, c) = a⃗
i + b ⃗
j + c ⃗
k, isto é, R
3
= [⃗
i, ⃗
j, ⃗
k].
Exemplo 20
{⃗
v1 = (1, 2, 3), ⃗
v2 = (0, 1, 2), ⃗
v3 = (0, 0, 1)} é uma base do R
3
. Com efeito,
(i) {⃗
v1, ⃗
v2, ⃗
v3} é LI, pois det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
2 1 0
3 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 0, e
(ii) R
3
= [⃗
v1, ⃗
v2, ⃗
v3], visto que ⃗
v = (a, b, c) = α1 ⃗
v1 + α2 ⃗
v2 + α3 ⃗
v3 ⇔
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α1 = a
2 α1 + α2 = b
3 α1 + 2 α2 + α3 = c
⇔
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α1 = a
α2 = b − 2 a
α3 = a − 2 b + c
,
ou seja, ⃗
v = a ⃗
v1 + (b − 2 a) ⃗
v2 + (a − 2 b + c) ⃗
v3. Em outros termos, todo
vetor do R
3
é combinação linear de ⃗
v1, ⃗
v2 e ⃗
v3.
Portanto, {⃗
v1, ⃗
v2, ⃗
v3} é uma base do R
3
.
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![28/35
Os espaços R
n
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Exemplo 25
{(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} é uma base do R
3
, pois dim R
3
= 3 e o conjunto
contém 3 elementos do R
3
que são lineamente independentes, já que
det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3
1 3 1
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= −3 ≠ 0.
O conjunto {⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vn} ⊂ R
n
é uma base do R
n
se e somente se
det [ ⃗
v1 ∣ ⃗
v2 ∣ ⋯ ∣ ⃗
vn ] ≠ 0 .](https://image.slidesharecdn.com/slidesespacosrn2021-2sempause-251024123710-e0ce9b70/85/Espacos-Euclidianos-Rn-in-dependencia-linear-subespacos-base-e-dimensao-28-320.jpg)
![Base
Definição (Base)
Seja W ⊆ R
n
um subespaço não nulo. Um subconjunto C = {⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vk} ⊂
W é uma base de W se
(i) C é LI e
(ii) C gera W, isto é, todo vetor de W é combinação linear de ⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vk
(W = [⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vk]).
Exemplo 16
Seja A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 2 −1
2 3 6 −2
−2 1 2 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Encontre uma base para o conjunto solução
do sistema homogêneo AX = 0̄.
Solução:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 2 −1 0
2 3 6 −2 0
−2 1 2 2 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
escalonando...
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 −1 0
0 1 2 0 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
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![Exemplo 16 (cont.)
O sistema AX = 0̄ é equivalente a {
x − w = 0
y + 2z = 0
, cujo conjunto solução
é X =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
w
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
β
−2α
α
β
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, α, β ∈ R, ou
W = {(β, −2α, α, β) ∣ α, β ∈ R} , que é um subespaço do R
4
.
Precisamos de um candidato à base de W. Podemos escrever
(β, −2α, α, β) = (0, −2α, α, 0) + (β, 0, 0, β)
= α (0, −2, 1, 0) + β (1, 0, 0, 1) = α ⃗
v1 + β ⃗
v2,
em que ⃗
v1 = (0, −2, 1, 0) e ⃗
v2 = (1, 0, 0, 1). Ou seja, todo vetor de W
é combinação linear de ⃗
v1 e ⃗
v2. Além disso, ⃗
v1 ∈ W (α = 1, β = 0) e
⃗
v2 ∈ W (α = 0, β = 1). Ou seja, S = {⃗
v1, ⃗
v2} é um subconjunto de W que
gera W (W = [⃗
v1, ⃗
v2]).
Ademais S = {⃗
v1, ⃗
v2} é LI, posto que ⃗
v1 e ⃗
v2 não são múltiplos esca-
lares entre si. Logo, S é uma base de W.
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![Exemplo 17
{⃗
i = (1, 0), ⃗
j = (0, 1)} é uma base (base canônica) do R
2
, pois
(i) {⃗
i, ⃗
j} é LI, dado que ⃗
i e ⃗
j não são paralelos, e
(ii) R
2
= [⃗
i, ⃗
j], visto que (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a⃗
i + b ⃗
j.
Exemplo 18
{⃗
v1 = (1, 1), ⃗
v2 = (−1, 0)} é uma base do R
2
. De fato,
(i) {⃗
v1, ⃗
v2} é LI, uma vez que ⃗
v1 e ⃗
v2 não são paralelos, e
(ii) R
2
= [⃗
v1, ⃗
v2], já que, para ⃗
v = (a, b), vale
⃗
v = α1 ⃗
v1 + α2 ⃗
v2 ⇔ (a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 0) ⇔
(a, b) = (α1 − α2, α1) ⇔ {
α1 − α2 = a
α1 = b
⇔ {
α1 = b
α2 = b − a
,
ou seja, ⃗
v = b ⃗
v1 + (b − a) ⃗
v2. Em outras palavras, qualquer vetor do R
2
é combinação linear de ⃗
v1 e ⃗
v2.
Logo, {⃗
v1, ⃗
v2} é uma base do R
2
.
Bases de subespaços não são únicas.
24/35](https://image.slidesharecdn.com/slidesespacosrn2021-2sempause-251024123710-e0ce9b70/75/Espacos-Euclidianos-Rn-in-dependencia-linear-subespacos-base-e-dimensao-24-2048.jpg)
![Exemplo 19
{⃗
i = (1, 0, 0), ⃗
j = (0, 1, 0), ⃗
k = (0, 0, 1)} é uma base (base canônica) do R
3
,
pois, como vimos anteriomente,
(i) {⃗
i, ⃗
j, ⃗
k} é LI, e
(ii) (a, b, c) = a⃗
i + b ⃗
j + c ⃗
k, isto é, R
3
= [⃗
i, ⃗
j, ⃗
k].
Exemplo 20
{⃗
v1 = (1, 2, 3), ⃗
v2 = (0, 1, 2), ⃗
v3 = (0, 0, 1)} é uma base do R
3
. Com efeito,
(i) {⃗
v1, ⃗
v2, ⃗
v3} é LI, pois det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
2 1 0
3 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 0, e
(ii) R
3
= [⃗
v1, ⃗
v2, ⃗
v3], visto que ⃗
v = (a, b, c) = α1 ⃗
v1 + α2 ⃗
v2 + α3 ⃗
v3 ⇔
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α1 = a
2 α1 + α2 = b
3 α1 + 2 α2 + α3 = c
⇔
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α1 = a
α2 = b − 2 a
α3 = a − 2 b + c
,
ou seja, ⃗
v = a ⃗
v1 + (b − 2 a) ⃗
v2 + (a − 2 b + c) ⃗
v3. Em outros termos, todo
vetor do R
3
é combinação linear de ⃗
v1, ⃗
v2 e ⃗
v3.
Portanto, {⃗
v1, ⃗
v2, ⃗
v3} é uma base do R
3
.
25/35](https://image.slidesharecdn.com/slidesespacosrn2021-2sempause-251024123710-e0ce9b70/75/Espacos-Euclidianos-Rn-in-dependencia-linear-subespacos-base-e-dimensao-25-2048.jpg)
![28/35
Os espaços R
n
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Exemplo 25
{(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} é uma base do R
3
, pois dim R
3
= 3 e o conjunto
contém 3 elementos do R
3
que são lineamente independentes, já que
det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 3
1 3 1
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= −3 ≠ 0.
O conjunto {⃗
v1, ⃗
v2, ⋯, ⃗
vn} ⊂ R
n
é uma base do R
n
se e somente se
det [ ⃗
v1 ∣ ⃗
v2 ∣ ⋯ ∣ ⃗
vn ] ≠ 0 .](https://image.slidesharecdn.com/slidesespacosrn2021-2sempause-251024123710-e0ce9b70/75/Espacos-Euclidianos-Rn-in-dependencia-linear-subespacos-base-e-dimensao-28-2048.jpg)
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- 1. 1/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências ESPAÇOS EUCLIDIANOS R n (combinação linear, (in)dependência linear, subespaço, base e dimensão) (a consulta a estas notas de aula não dispensa a leitura da bibliografia de referência) Prof. Ricardo Saldanha de Morais Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Departamento de Matemática (http://www.dm.cefetmg.br) II semestre de 2021
- 2. 2/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Sumário 1 Os espaços R n 2 Combinação linear 3 (In)dependência linear Equações paramétricas do plano 4 Subespaço, base e dimensão Bases ortogonais e ortonormais 5 Referências
- 3. 3/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Os espaços R n Muito do que sabemos sobre vetores pode ser estendido para além dos espaços R 2 e R 3 . Definição (Espaço euclidiano n-dimensional) O espaço euclidiano R n (n é um inteiro positivo) é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas (x1, x2, ⋯, xn) de números reais. Em sı́mbolos, R n = {(x1, x2, ⋯, xn) ∣ xi ∈ R} . (x1, x2, ⋯, xn) = (y1, y2, ⋯, yn) se e só se x1 = y1, x2 = y2, ⋯, xn = yn. Exemplo 1 A sextúpla ( 1 3 , 0, −4, √ 7, 3 4 , 2) é um elemento do R 6 , que pode ser pensado como um ponto ou como um vetor. Quando realizamos operações com elementos de R n , nos referimos a eles como vetores.
- 4. Definições (Soma devetores e multiplicação de vetor por escalar) (a) A soma de dois vetores ⃗ v = (v1, v2, ⋯, vn) e ⃗ w = (w1, w2, ⋯, wn) do R n é definida por ⃗ v + ⃗ w = (v1 + w1, v2 + w2, ⋯, vn + wn). (b) A multiplicação de um vetor ⃗ v = (v1, v2, ⋯, vn) do R n por um escalar α ∈ R é definida por α ⃗ v = (α v1, α v2, ⋯, α vn). O vetor nulo do R n , denotado por ⃗ 0, é definido como sendo ⃗ 0 = (0, 0, ⋯, 0). Se ⃗ v = (v1, v2, ⋯, vn) ∈ R n , então o simétrico do vetor ⃗ v, representado por −⃗ v, é definido por −⃗ v = (−v1, −v2, ⋯, −vn) (i.e., − ⃗ v = (−1) ⃗ v). A diferença de dois vetores do R n , ⃗ v e ⃗ w, é definida por ⃗ v − ⃗ w = ⃗ v + (− ⃗ w) (i.e., a diferença é um caso particular da soma). Define-se que dois vetores ⃗ v, ⃗ w ∈ R n são paralelos (⃗ v/ / ⃗ w) se ⃗ v = α ⃗ w, ou ⃗ w = α ⃗ v, para algum α ∈ R. 4/35
- 5. Teorema (Propriedades dasoma e da multiplicação por escalar) Se ⃗ u = (u1, u2, ⋯, un), ⃗ v = (v1, v2, ⋯, vn) e ⃗ w = (w1, w2, ⋯, wn) são vetores do R n e α e β são escalares, então: (a) ⃗ u + ⃗ v = ⃗ v + ⃗ u, (b) (⃗ u + ⃗ v) + ⃗ w = ⃗ u + (⃗ v + ⃗ w), (c) ⃗ u + ⃗ 0 = ⃗ u, (d) ⃗ u + (−⃗ u) = ⃗ 0, (e) α (β ⃗ u) = (α β) ⃗ u, (f) α (⃗ u + ⃗ v) = α ⃗ u + α ⃗ v, (g) (α + β) ⃗ u = α ⃗ u + β ⃗ u, (h) 1 ⃗ u = ⃗ u. O teorema acima segue das propriedades da álgebra matricial. Definições (Extensões das noções de produto escalar e ortogonalidade) Sejam ⃗ u = (u1, u2, ⋯, un) e ⃗ v = (v1, v2, ⋯, vn) vetores do R n . O produto escalar entre ⃗ u e ⃗ v é ⃗ u ⋅ ⃗ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + ⋯ + un ⋅ vn . A norma de ⃗ u é ∥ ⃗ u ∥= √ ⃗ u ⋅ ⃗ u = √ u2 1 + u2 2 + ⋯ + u2 n . ⃗ u e ⃗ v são ortogonais (⃗ u ⊥ ⃗ v) se ⃗ u ⋅ ⃗ v = 0 . Se ⃗ u ≠ ⃗ 0, a projeção ortogonal de ⃗ v sobre ⃗ u é proj⃗ u ⃗ v = ( ⃗ v ⋅ ⃗ u ∥ ⃗ u ∥2 ) ⃗ u . 5/35
- 6. 6/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Combinação linear Definição (Combinação linear) Um vetor ⃗ v ∈ R n é combinação linear dos vetores ⃗ v1, ⃗ v2, ⋯ , ⃗ vk ∈ R n se existem escalares α1, α2, ⋯, αk ∈ R tais que α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 + ⋯ + αk ⃗ vk = ⃗ v (1) Exemplo 2 ⃗ v = (1, −4, 6) é combinação linear dos vetores ⃗ v1 = (1, −1, 1) e ⃗ v2 = (2, 1, −3). Com efeito, podemos verificar que (1, −4, 6) = 3 (1, −1, 1) + (−1) (2, 1, −3). Logo, ⃗ v é combinação linear de ⃗ v1 e ⃗ v2. Quando k = 1, a equação vetorial (1) fica α1 ⃗ v1 = ⃗ v, isto é, ⃗ v é combinação linear de ⃗ v1 se e somente se ⃗ v / / ⃗ v1.
- 7. Exemplo 3 ⃗ v =(1, 1, 1) é combinação linear dos vetores ⃗ v1 = (1, −1, 1) e ⃗ v2 = (2, 1, −3)? Solução: Temos que α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 = ⃗ v ⇔ α1 (1, −1, 1) + α2 (2, 1, −3) = (1, 1, 1) ⇔ (α1 + 2α2, −α1 + α2, α1 − 3α2) = (1, 1, 1) ⇔ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α1 + 2 α2 = 1 −α1 + 2 α2 = 1 α1 − 3 α2 = 1 . Precisamos verificar se o sistema linear acima possui solução: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 1 −1 1 1 1 −3 1 ⃗ v 1 → ⃗ v 2 → ⃗ v → ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ escalonando... − − − − − − − − − − → ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 1 0 1 0 0 0 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Como o sistema linear não possui solução, ⃗ v não é combinação linear de ⃗ v1 e ⃗ v2. 7/35
- 8. Exemplo 4 O vetor⃗ v = (0, 0, 4, 2) é combinação linear dos vetores ⃗ v1 = (1, −1, 0, 0), ⃗ v2 = (−2, 2, 2, 1) e ⃗ v3 = (−1, 1, 2, 1)? Solução: Devemos verificar se a equação vetorial α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 + α3 ⃗ v3 = ⃗ v admite solução. Essa equação é equivalente ao sistema linear ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α1 − 2 α2 − α3 = 0 −α1 + 2 α2 + α3 = 0 2 α2 + 2 α3 = 4 α2 + α3 = 2 ⟺ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −2 −1 −1 2 1 0 2 2 0 1 1 ⃗ v 1 → ⃗ v 2 → ⃗ v 3 → ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ α1 α2 α3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 4 2 ⃗ v → ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −2 −1 0 −1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ escalonando... − − − − − − − − − − → ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −2 −1 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Uma vez que o sistema possui solução, ⃗ v é combinação linear de ⃗ v1, ⃗ v2 e ⃗ v3. Cabe notar que, como esse sistema admite infinitas soluções, ⃗ v pode ser expresso como combinação de linear de ⃗ v1, ⃗ v2 e ⃗ v3 de infinitas maneiras. Em particular, temos ⃗ v = 4 ⃗ v1 + 2 ⃗ v2 + 0 ⃗ v3 e ⃗ v = 5 ⃗ v1 + 3 ⃗ v2 − ⃗ v3 (confira!). 8/35
- 9. Exemplo 5 O vetornulo ⃗ 0 ∈ R n é combinação linear de quaisquer vetores ⃗ v1, ⃗ v2, ⋯ , ⃗ vk ∈ R n pois podemos escrever ⃗ 0 = 0 ⃗ v1 + 0 ⃗ v2 + ⋯ + 0 ⃗ vk (i.e., a equação vetorial α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 + ⋯ + αk ⃗ vk = ⃗ 0 possui solução). Exemplo 6 Sejam ⃗ i = (1, 0, 0), ⃗ j = (0, 1, 0) e ⃗ k = (0, 0, 1) (vetores unitários canônicos do R 3 ). Todo vetor ⃗ v = (a, b, c) do R 3 é com- binação linear de ⃗ i, ⃗ j e ⃗ k. De fato, (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) +c (0, 0, 1) = a⃗ i + b ⃗ j + c ⃗ k . 9/35
- 10. 10/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Equações paramétricas do plano (In)dependência linear Definição ((In)dependência linear) Um conjunto C = {⃗ v1, ⃗ v2, ⋯, ⃗ vk} de vetores do R n é linearmente independente (LI) se a equação vetorial α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 + ⋯ + αk ⃗ vk = ⃗ 0 possui somente a solução trivial, isto é, α1 = α2 = ⋯ = αk = 0. Caso contrário, dizemos que C é linearmente dependente (LD). Exemplo 7 O conjunto C = {⃗ v}, ⃗ v ∈ R n , ⃗ v ≠ ⃗ 0, é LI, já que α ⃗ v = ⃗ 0 se e somente se α = 0. Exemplo 8 ⃗ i = (1, 0, 0), ⃗ j = (0, 1, 0) e ⃗ k = (0, 0, 1) formam um conjunto LI. Com efeito, α1 ⃗ i + α2 ⃗ j + α3 ⃗ k = ⃗ 0 ⇔ α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0) ⇔ (α1, α2, α3) = (0, 0, 0) ⇔ α1 = α2 = α3 = 0 .
- 11. Exemplo 9 Os vetores⃗ v1 = (1, 0, 1, 2), ⃗ v2 = (0, 1, 1, 2) e ⃗ v3 = (1, 1, 1, 3) são LI? Solução: A equação vetorial α1(1, 0, 1, 2) + α2(0, 1, 1, 2) + α3 (1, 1, 1, 3) = (0, 0, 0, 0) é equivalente ao sistema linear homogêneo ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α1 + α3 = 0 α2 + α3 = 0 α1 + α2 + α3 = 0 2 α1 + 2 α2 + 3 α3 = 0 ⟺ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 2 3 ⃗ v 1 → ⃗ v 2 → ⃗ v 3 → ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ α1 α2 α3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 ⃗ 0 → ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Devemos verificar se esse sistema possui somente a solução trivial: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ escalonando... − − − − − − − − − − → ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Como o sistema possui somente a solução trivial, {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3} é LI. 11/35
- 12. 12/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Equações paramétricas do plano Exemplo 10 Sejam ⃗ v1 = (1, 2, −1), ⃗ v2 = (1, −2, 1), ⃗ v3 = (−3, 2, −1) e ⃗ v4 = (2, 0, 0) vetores do R 3 . O conjunto {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3, ⃗ v4} é LI? Solução: A equação vetorial α1 (1, 2, −1) + α2 (1, −2, 1) + α3(−3, 2, −1) + α4(2, 0, 0) = (0, 0, 0) é equivalente a ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α1 + α2 − 3α3 + 2α4 = 0 2α1 − 2α2 + 2α3 = 0 −α1 + α2 − α3 = 0 , que é um sistema linear homogêneo com menos equações do que incógnitas e que possui, portanto, solução não trivial (infinitas soluções). Logo, {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3, ⃗ v4} é LD. Um conjunto com mais do que n vetores do R n é sempre LD.
- 13. (In)dependência linear nocaso de três vetores do R 3 Sejam ⃗ u = (u1, u2, u3), ⃗ v = (v1, v2, v3) e ⃗ w = (w1, w2, w3) vetores do R 3 . A equação vetorial α1 (u1, u2, u3) + α2 (v1, v2, v3) + α3(w1, w2, w3) = (0, 0, 0) é equivalente ao sistema linear homogêneo (nas incógnitas α1, α2 e α3) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ u1 α1 + v1 α2 + w1 α3 = 0 u2 α1 + v2 α2 + w2 α3 = 0 u3 α1 + v3 α2 + w3 α3 = 0 ou ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ α1 α2 α3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . O sistema admite solução não trivial se e somente se det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 0 ⇔ det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 0 ⇔ ⃗ u ⋅ (⃗ v × ⃗ w) ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ produto misto = 0. 13/35
- 14. (In)dependência linear nocaso de três vetores do R 3 Três vetores do R 3 são LD se e somente se eles são coplanares. Três vetores do R 3 são LI se e somente se eles não são coplanares. Figura: Três vetores do R 3 LD Figura: Três vetores do R 3 LI 14/35
- 15. (In)dependência linear versuscombinação linear Exemplo 11 Sejam ⃗ v1 = (−2, −2, 2), ⃗ v2 = (−3, 3/2, 0) e ⃗ v3 = (−2, 1, 0) vetores do R 3 . O conjunto {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3} é LI? Solução: Como det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2 −3 −2 −2 3/2 1 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 0 (confira!), o sistema ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2 −3 −2 −2 3/2 1 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ α1 α2 α3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (e a eq. vetorial α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 + α3 ⃗ v3 = ⃗ 0) possui solução não trivial. Consequentemente, {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3} é LD. Note que, neste caso, ⃗ v2 = 0 ⃗ v1 + 3 2 ⃗ v3, ou seja, ⃗ v2 é combinação linear de ⃗ v1 e ⃗ v3 (⃗ v1 não é combinação linear de ⃗ v2 e ⃗ v3). Teorema O conjunto {⃗ v1, ⃗ v2, ⋯, ⃗ vk} ⊂ R n (k > 1) é linearmente dependente se, e somente se, um dos vetores ⃗ vi é combinação linear dos demais vetores. Em particular, {⃗ v1, ⃗ v2} ⊂ R n é LD se e somente se um vetor é com- binação linear do outro, isto é, um vetor é múltiplo escalar do outro. 15/35
- 16. Equações paramétricas doplano Seja π o plano que passa pelo ponto P0 = (x0, y0, z0) e é para- lelo aos vetores ⃗ v = (v1, v2, v3) e ⃗ w = (w1, w2, w3), não paralelos entre si. P = (x, y, z) ∈ π se e somente se os vetores − − − → P0P, ⃗ v e ⃗ w são co- planares, isto é, são LD. Assim, P = (x, y, z) ∈ π se e somente se um dos três vetores pode ser ex- presso como combinação linear dos outros dois. Em outros termos, como ⃗ v e ⃗ w não são paralelos, P = (x, y, z) ∈ π se e somente se existem s, t ∈ R tais que − − − → P0P = s ⃗ v + t ⃗ w (veja o Exercı́cio 8, da Parte II, da Lista de Exercı́cios 9). A igualdade − − − → P0P = s ⃗ v + t ⃗ w, s, t ∈ R — ou (x − x0, y − y0, z − z0) = s (v1, v2, v3) + t (w1, w2, w3), s, t ∈ R — pode ser escrita como 16/35
- 17. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = x0+ v1 s + w1 t y = y0 + v2 s + w2 t z = z0 + v3 s + w3 t , s, t ∈ R (2) As equações (2), chamadas equações paramétricas, descrevem o plano π que passa por P0 = (x0, y0, z0) e é paralelo aos vetores ⃗ v = (v1, v2, v3) e ⃗ w = (w1, w2, w3) (não paralelos entre si). O conjunto de equações (2) é equivalente à equação (x, y, z) = (x0, y0, z0) + s (v1, v2, v3) + t (w1, w2, w3), s, t ∈ R — ou − − → OP = − − − → OP0 + s ⃗ v + t ⃗ w, s, t ∈ R — denominada equação vetorial do plano π. Exemplo 12 Encontre equações paramétricas do plano que contém os pontos A = (0, 1, 0), B = (1, 0, 1) e C = (0, 0, 1). Solução: Temos que − − → AB = (1, −1, 1) e − − → AC = (0, −1, 1) são LI (por quê?). Logo, tomando A como ponto particular, o plano tem equações paramétricas ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = s y = 1 − s − t z = s + t , s, t ∈ R . 17/35
- 18. 18/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Equações paramétricas do plano As equações paramétricas e vetorial de um plano não são únicas. Exemplo 13 Um plano π tem equação geral x + 2 y − z − 1 = 0. Obtenha uma equação vetorial de π. Solução: Da equação geral, segue que x = 1 − 2 y + z. Fazendo y = s e z = t, s, t ∈ R, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = 1 − 2 s + t y = s z = t são equações paramétricas de π. Podemos ver então que o plano passa por P0 = (1, 0, 0) e é paralelo aos vetores ⃗ v = (−2, 1, 0) e ⃗ w = (1, 0, 1). Resulta também das equações paramétricas que (x, y, z) = (1, 0, 0) + s (−2, 1, 0) + t (1, 0, 1), s, t ∈ R, é uma equação vetorial do plano π.
- 19. 19/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Bases ortogonais e ortonormais Subespaço Definição (Subespaço) Um subconjunto W ⊆ R n , W ≠ ∅, é um subespaço se satisfaz as duas condições a seguir: (i) se ⃗ u, ⃗ v ∈ W, então ⃗ u + ⃗ v ∈ W, (ii) se ⃗ u ∈ W e α ∈ R, então α ⃗ u ∈ W. Exemplo 14 Seja W = {(x, y) ∈ R 2 ∣x ≥ 0, y ≥ 0}. Temos que W ≠ ∅, pois (0, 0) ∈ W. O subconjunto W não é subespaço do R 2 , já que ⃗ u = (1, 1) ∈ W, mas (−1) ⃗ u = (−1, −1) ∉ W, ou seja, a condição (ii) da definição não é satisfeita. Contudo, W é fechado em relação à soma, isto é, a condição (i) é satisfeita (confira!).
- 20. Exemplo 15 Seja W= {(x, y) ∈ R 2 ∣ y = 2 x}. O subconjunto W é um subespaço do R 2 . De fato, W ≠ ∅, uma vez que (0, 0) ∈ W. Sejam ⃗ u = (u1, u2) e ⃗ v = (v1, v2) elementos arbitrários de W e α ∈ R. Então, u2 = 2 u1 e v2 = 2 v1. ⃗ u + ⃗ v ∈ W? Sim, já que ⃗ u + ⃗ v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) e u2 + v2 = (2 u1) + (2 v1) = 2 (u1 + v1), ou seja, a condição que define os elementos de W é atendida. α ⃗ u ∈ W? Sim, pois α ⃗ u = (α u1, α u2) e α u2 = α (2 u1) = 2 (α u1). Portanto, W é um subespaço do R 2 . Vale observar que, se ⃗ w = (x, y) ∈ W, então ⃗ w = (x, 2 x) = x (1, 2). Ou seja, todo elemento de W é múltiplo escalar do vetor ⃗ v = (1, 2) ∈ W. Desse modo, W pode ser geometricamente representado pela reta que passa pela origem e é paralela ao vetor ⃗ v. Alternativamente, um subconjunto W ⊆ R n , W ≠ ∅, é um subespaço se, e somente se, α ⃗ u + ⃗ v ∈ W, ∀α ∈ R e ∀⃗ u, ⃗ v ∈ W. 20/35
- 21. Se o subconjuntoW ⊆ R n é um subespaço, então ⃗ 0 ∈ W. Com efeito, se ⃗ w ∈ W, segue que ⃗ 0 = 0 ⃗ w ∈ W. A recı́proca não é verdadeira (veja o Exemplo 12). R n admite pelo menos dois subespaços: o conjunto { ⃗ 0 } (⃗ 0 ∈ R n ), cha- mado subespaço nulo, e o próprio R n . Subespaços do R 2 : { (0, 0) }. Retas pela origem. R 2 . Subespaços do R 3 : { (0, 0, 0) }. Retas pela origem. Planos pela origem. R 3 . Teorema Seja A uma matriz m×n. O conjunto solução do sistema homogêneo AX = 0̄ é um subespaço do R n . Prova: AX = 0̄ admite pelo menos a solução trivial. Portanto, seu conjunto solução, W, é não vazio. Sejam X1, X2 ∈ W e α ∈ R. Então, A(αX1 + X2) = A(αX1) + A X2 = α A X1 + A X2 = α 0̄ + 0̄ = 0̄ , ou seja, α X1 + X2 ∈ W. Assim, W é um subespaço do R n (M(n, 1) ≅ R n ). 21/35
- 22. Base Definição (Base) Seja W⊆ R n um subespaço não nulo. Um subconjunto C = {⃗ v1, ⃗ v2, ⋯, ⃗ vk} ⊂ W é uma base de W se (i) C é LI e (ii) C gera W, isto é, todo vetor de W é combinação linear de ⃗ v1, ⃗ v2, ⋯, ⃗ vk (W = [⃗ v1, ⃗ v2, ⋯, ⃗ vk]). Exemplo 16 Seja A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 2 −1 2 3 6 −2 −2 1 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Encontre uma base para o conjunto solução do sistema homogêneo AX = 0̄. Solução: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 2 −1 0 2 3 6 −2 0 −2 1 2 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ escalonando... − − − − − − − − − − → ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 −1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . 22/35
- 23. Exemplo 16 (cont.) Osistema AX = 0̄ é equivalente a { x − w = 0 y + 2z = 0 , cujo conjunto solução é X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x y z w ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ β −2α α β ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , α, β ∈ R, ou W = {(β, −2α, α, β) ∣ α, β ∈ R} , que é um subespaço do R 4 . Precisamos de um candidato à base de W. Podemos escrever (β, −2α, α, β) = (0, −2α, α, 0) + (β, 0, 0, β) = α (0, −2, 1, 0) + β (1, 0, 0, 1) = α ⃗ v1 + β ⃗ v2, em que ⃗ v1 = (0, −2, 1, 0) e ⃗ v2 = (1, 0, 0, 1). Ou seja, todo vetor de W é combinação linear de ⃗ v1 e ⃗ v2. Além disso, ⃗ v1 ∈ W (α = 1, β = 0) e ⃗ v2 ∈ W (α = 0, β = 1). Ou seja, S = {⃗ v1, ⃗ v2} é um subconjunto de W que gera W (W = [⃗ v1, ⃗ v2]). Ademais S = {⃗ v1, ⃗ v2} é LI, posto que ⃗ v1 e ⃗ v2 não são múltiplos esca- lares entre si. Logo, S é uma base de W. 23/35
- 24. Exemplo 17 {⃗ i =(1, 0), ⃗ j = (0, 1)} é uma base (base canônica) do R 2 , pois (i) {⃗ i, ⃗ j} é LI, dado que ⃗ i e ⃗ j não são paralelos, e (ii) R 2 = [⃗ i, ⃗ j], visto que (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a⃗ i + b ⃗ j. Exemplo 18 {⃗ v1 = (1, 1), ⃗ v2 = (−1, 0)} é uma base do R 2 . De fato, (i) {⃗ v1, ⃗ v2} é LI, uma vez que ⃗ v1 e ⃗ v2 não são paralelos, e (ii) R 2 = [⃗ v1, ⃗ v2], já que, para ⃗ v = (a, b), vale ⃗ v = α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 ⇔ (a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 0) ⇔ (a, b) = (α1 − α2, α1) ⇔ { α1 − α2 = a α1 = b ⇔ { α1 = b α2 = b − a , ou seja, ⃗ v = b ⃗ v1 + (b − a) ⃗ v2. Em outras palavras, qualquer vetor do R 2 é combinação linear de ⃗ v1 e ⃗ v2. Logo, {⃗ v1, ⃗ v2} é uma base do R 2 . Bases de subespaços não são únicas. 24/35
- 25. Exemplo 19 {⃗ i =(1, 0, 0), ⃗ j = (0, 1, 0), ⃗ k = (0, 0, 1)} é uma base (base canônica) do R 3 , pois, como vimos anteriomente, (i) {⃗ i, ⃗ j, ⃗ k} é LI, e (ii) (a, b, c) = a⃗ i + b ⃗ j + c ⃗ k, isto é, R 3 = [⃗ i, ⃗ j, ⃗ k]. Exemplo 20 {⃗ v1 = (1, 2, 3), ⃗ v2 = (0, 1, 2), ⃗ v3 = (0, 0, 1)} é uma base do R 3 . Com efeito, (i) {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3} é LI, pois det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 1 0 3 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 0, e (ii) R 3 = [⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3], visto que ⃗ v = (a, b, c) = α1 ⃗ v1 + α2 ⃗ v2 + α3 ⃗ v3 ⇔ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α1 = a 2 α1 + α2 = b 3 α1 + 2 α2 + α3 = c ⇔ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α1 = a α2 = b − 2 a α3 = a − 2 b + c , ou seja, ⃗ v = a ⃗ v1 + (b − 2 a) ⃗ v2 + (a − 2 b + c) ⃗ v3. Em outros termos, todo vetor do R 3 é combinação linear de ⃗ v1, ⃗ v2 e ⃗ v3. Portanto, {⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3} é uma base do R 3 . 25/35
- 26. Dimensão Já observamos quebases de subespaços do R n não são únicas. Teorema Qualquer base de um subespaço W ⊆ R n não nulo tem o mesmo n o ¯ de elementos. Esse n o ¯ é chamado dimensão de W e é denotado por dim W. Exemplo 21 {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases do R 2 e {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} são bases do R 3 . Daı́, dim R 2 = 2 e dim R 3 = 3. Exemplo 22 {⃗ e1 = (1, 0, 0, ⋯, 0, 0), ⃗ e2 = (0, 1, 0, ⋯, 0, 0), ⋯, ⃗ en = (0, 0, 0, ⋯, 0, 1)} é uma base (base canônica) do R n . Portanto, dim R n = n. Exemplo 23 Vimos, no Exemplo 16, que {⃗ v1 = (0, −2, 1, 0), ⃗ v2 = (1, 0, 0, 1)} é uma base do subespaço W = {(β, −2α, α, β) ∣ α, β ∈ R} ⊆ R 4 . Logo, dim W = 2. Se W ⊆ R n é um subespaço não nulo, então 1 ≤ dim W ≤ n. 26/35
- 27. 27/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Bases ortogonais e ortonormais Convencionamos que o subespaço nulo { ⃗ 0 }, ⃗ 0 ∈ R n , tem dimensão 0. Teorema Seja W ⊆ R n um subespaço não nulo. Se dim W = k, então k vetores de W, linearmente independentes, formam uma base de W. Ou seja, quando as hipóteses do teorema são satisfeitas, não é necessário verificar que os k vetores geram W para concluir que estes constituem uma base. Exemplo 24 Consideremos o subespaço W = {(β, −2α, α, β) ∣ α, β ∈ R} do exemplo ante- rior. Temos que ⃗ w1 = (5, 2, −1, 5) (α = −1, β = 5) e ⃗ w2 = (−1, −4, 2, −1) (α = 2, β = −1) são elementos de W. Sabemos que dim W = 2. Portanto, de acordo com o teorema acima, como os vetores ⃗ w1 e ⃗ w2 formam um conjunto LI (por quê?), podemos inferir que o conjunto { ⃗ w1, ⃗ w2} é uma (outra) base de W.
- 28. 28/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Bases ortogonais e ortonormais Exemplo 25 {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} é uma base do R 3 , pois dim R 3 = 3 e o conjunto contém 3 elementos do R 3 que são lineamente independentes, já que det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 1 3 1 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = −3 ≠ 0. O conjunto {⃗ v1, ⃗ v2, ⋯, ⃗ vn} ⊂ R n é uma base do R n se e somente se det [ ⃗ v1 ∣ ⃗ v2 ∣ ⋯ ∣ ⃗ vn ] ≠ 0 .
- 29. Bases ortogonais eortonormais Definição (Bases ortogonais e ortonormais) Seja {⃗ v1, ..., ⃗ vk} uma base de um subespaço do R n . (a) {⃗ v1, ..., ⃗ vk} é uma base ortogonal se os vetores são mutuamente orto- gonais, isto é, ⃗ vi ⋅ ⃗ vj = 0 para i ≠ j. (b) {⃗ v1, ..., ⃗ vk} é uma base ortonormal, se além de ser uma base ortogonal, todos os vetores são unitários, isto é, ∥ ⃗ vi ∥= 1 para i = 1, ⋯, k. Exemplo 26 Temos que β = {⃗ v1 = ( √ 2 2 , √ 2 2 ) , ⃗ v2 = (− √ 2 2 , √ 2 2 )} é uma base do R 2 (ve- rifique!). O conjunto β é uma base ortogonal, uma vez que ⃗ v1 ⋅ ⃗ v2 = ( √ 2 2 , √ 2 2 ) ⋅ (− √ 2 2 , √ 2 2 ) = √ 2 2 ⋅ (− √ 2 2 ) + √ 2 2 ⋅ √ 2 2 = − 1 2 + 1 2 = 0. Ademais, β é uma base ortonormal, pois ∥ ⃗ v1 ∥=∥ ⃗ v2 ∥= √ √ √ √ √ √ √ ⎷( √ 2 2 ) 2 + ( √ 2 2 ) 2 = 1. 29/35
- 30. Exemplo 27 γ ={⃗ v1 = (1, 1, 1), ⃗ v2 = (0, 1, 1), ⃗ v3 = (0, 0, 1)} é uma base do R 3 (verifique!). O conjunto γ não é uma base ortogonal porque ⃗ v1 ⋅ ⃗ v2 = (1, 1, 1) ⋅ (0, 1, 1) = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2 ≠ 0. É possı́vel obter uma base ortogonal ou ortonormal a partir de uma base conhecida? Seja W ⊆ R n um subespaço com base β = {⃗ v1, ⃗ v2} . Sejam ⃗ w1 = ⃗ v1 e ⃗ w2 = ⃗ v2 − c ⃗ w1 (ou ⃗ w2 = ⃗ v2 − c ⃗ v1) , em que c ∈ R é tal que ⃗ w1 ⊥ ⃗ w2, isto é, ⃗ w1 ⋅ ⃗ w2 = 0 . Os vetores ⃗ w1 e ⃗ w2 pertencem a W pois são combinações lineares de ⃗ v1 e ⃗ v2. Também, como β é LI, ⃗ w1 e ⃗ w2 são não nulos, qualquer que seja c. ⃗ w1 ⋅ ⃗ w2 = 0 ⟺ ⃗ w1 ⋅ (⃗ v2 − c ⃗ w1) = 0 ⟺ ⃗ w1 ⋅ ⃗ v2 − c ⃗ w1 ⋅ ⃗ w1 = 0 ⟺ ⃗ v2 ⋅ ⃗ w1 − c ∥ ⃗ w1 ∥ 2 = 0 ⟺ c = ⃗ v2 ⋅ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 ∥2 . 30/35
- 31. Assim, ⃗ w2 =⃗ v2 − ( ⃗ v2 ⋅ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 ∥2 ) ⃗ w1 = ⃗ v2 − proj ⃗ w1 ⃗ v2 . Visto que dim W = 2 e { ⃗ w1, ⃗ w2} ⊆ W é LI (por quê?), segue que { ⃗ w1, ⃗ w2} é uma base ortogonal de W obtida a partir da base β. Por exemplo, seja W ⊆ R 3 o subespaço de base {⃗ v1 = (−2, 4, 2), ⃗ v2 = (2, 4, 0)} . Figura: {⃗ v1, ⃗ v2} é base de W. Figura: { ⃗ w1, ⃗ w2} é base ortogonal de W. Sejam ⃗ w1 = ⃗ v1 e ⃗ w2 = ⃗ v2 − ( ⃗ v2 ⋅ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 ∥2 ) ⃗ w1 = (2, 4, 0) − 12 24 (−2, 4, 2) = (3, 2, −1) . 31/35
- 32. O conjunto {⃗ w1 = (−2, 4, 2), ⃗ w2 = (3, 2, −1)} é uma base ortogonal do subespaço W. De modo geral, vale o seguinte resultado: Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Seja β = {⃗ v1, ..., ⃗ vk} uma base de um subespaço não nulo W do R n . Sejam ⃗ w1 = ⃗ v1 , ⃗ w2 = ⃗ v2 − proj ⃗ w1 ⃗ v2 , ⃗ w3 = ⃗ v3 − proj ⃗ w1 ⃗ v3 − proj ⃗ w2 ⃗ v3 , ⋮ ⃗ wk = ⃗ vk − proj ⃗ w1 ⃗ vk − proj ⃗ w2 ⃗ vk − ⋯ − proj ⃗ wk−1 ⃗ vk. Então o conjunto { ⃗ w1, ..., ⃗ wk} é uma base ortogonal de W. Se ⃗ u1 = 1 ∥ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 , ⃗ u2 = 1 ∥ ⃗ w2 ∥ ⃗ w2, ⋯ , ⃗ uk = 1 ∥ ⃗ wk ∥ ⃗ wk , a coleção {⃗ u1, ⃗ u2, ⋯, ⃗ uk} é uma base ortonormal do subespaço W. 32/35
- 33. 33/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Bases ortogonais e ortonormais Exemplo 28 Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de R 3 a partir da base γ = {⃗ v1 = (1, 1, 1), ⃗ v2 = (0, 1, 1), ⃗ v3 = (0, 0, 1)}. Solução: Passo 1: ⃗ w1 = ⃗ v1 = (1, 1, 1), ⃗ w2 = ⃗ v2 − proj ⃗ w1 ⃗ v2 = ⃗ v2 − ( ⃗ v2 ⋅ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 ∥2 ) ⃗ w1 = (0, 1, 1) − 2 3 (1, 1, 1) = (− 2 3 , 1 3 , 1 3 ) , ⃗ w3 = ⃗ v3 − proj ⃗ w1 ⃗ v3 − proj ⃗ w2 ⃗ v3 = ⃗ v3 − ( ⃗ v3 ⋅ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 ∥2 ) ⃗ w1 − ( ⃗ v3 ⋅ ⃗ w2 ∥ ⃗ w2 ∥2 ) ⃗ w2 = (0, 0, 1) − 1 3 (1, 1, 1) − 1/3 2/3 (− 2 3 , 1 3 , 1 3 ) = (0, − 1 2 , 1 2 ) . { ⃗ w1, ⃗ w2, ⃗ w3} é uma base ortogonal do R 3 obtida a partir da base γ.
- 34. 34/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Bases ortogonais e ortonormais Exemplo 28 (cont.) Passo 2: As normas dos vetores ⃗ w1, ⃗ w2 e ⃗ w3 são ∥ ⃗ w1 ∥= √ 3, ∥ ⃗ w2 ∥= √ 6 3 e ∥ ⃗ w3 ∥= 1 √ 2 . Então, ⃗ u1 = 1 ∥ ⃗ w1 ∥ ⃗ w1 = 1 √ 3 (1, 1, 1) = ( 1 √ 3 , 1 √ 3 , 1 √ 3 ), ⃗ u2 = 1 ∥ ⃗ w2 ∥ ⃗ w2 = 3 √ 6 (− 2 3 , 1 3 , 1 3 ) = (− 2 √ 6 , 1 √ 6 , 1 √ 6 ) e ⃗ u3 = 1 ∥ ⃗ w3 ∥ ⃗ w3 = √ 2 (0, − 1 2 , 1 2 ) = (0, − √ 2 2 , √ 2 2 ) formam uma base ortonormal do R 3 obtida a partir de γ.
- 35. 35/35 Os espaços R n Combinaçãolinear (In)dependência linear Subespaço, base e dimensão Referências Referências SANTOS, R.J. Geometria Analı́tica e Álgebra Linear. Belo Hori- zonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2014. ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analı́tica: um tratamento vetorial. 3 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. https://www.geogebra.org/ L A TEX https://www.latex-project.org/