FUNÇÕES - TIPOS E CONCEITOS ESSENCIAIS DOMINIO E CONTRADOMINIO

FUNÇÕES
O conceito de função é considerado um dos mais importantes
e úteis em Matemática, pois, com base nele, o desenvolvimento
tecnológico nas diferentes áreas do conhecimento teve grande avanço.
Por meio de modelagem matemática, o trabalho com funções
possibilita atribuir tratamento matemático a situações da realidade,
permitindo a compreensão de fenômenos e a ação sobre suas
manifestações, tais como, atividades sistêmicas durante um terremoto,
decaimento radioativo, crescimento de bactérias, etc.

A NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO
A noção de função está associada à ideia de correspondência
entre duas variáveis , isto é, a uma relação de dependência dessas
variáveis. Como exemplo, destacamos a correspondência entre
diferentes unidades de medidas.
EXEMPLOS:
Para converter graus Celsius em graus Fahrenheit temos:
°F = °C × 1, 8 + 32
Vamos transformar a temperatura de hoje em graus
Fahrenheit?

PAR ORDENADO
Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por
dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, indicam
que a ordem deve ser considerada.
Dessa forma, o símbolo (x,y) representa um par ordenado, em
que:
( x , y )
abscissa ordenada
ATENÇÃO: Para 𝑥 ≠ 𝑦 , temos (x,y) ≠ (y,x)
EXEMPLOS:
(2,3) (5,2) (2,5) (4,4)

REPRESENTAÇÃO DE UM PAR ORDENADO
NO PLANO CARTESIANO
O nome plano cartesiano é uma homenagem ao seu
idealizador, René Descartes. Na Matemática, a geometria analítica faz
relações diretas entre geometria e álgebra, e foi por meio de avanços
como este que a Matemática tomou novos rumos por volta do século
XVI.

NO PLANO CARTESIANO
A reta horizontal é chamada eixo das
abscissas, e o número x é a abscissa do
ponto de coordenada (x; y).
A reta vertical é chamada eixo das
ordenadas, e o número y é a ordenada
do ponto de coordenada (x; y).
Os dois eixos que determinam o plano
cartesiano se encontram no ponto de
coordenadas (0; 0), chamado de origem
do sistema de coordenadas cartesianas.

Par ordenado na forma (x, y).
Vamos representar no plano cartesiano os pares ordenados (1,2) e (2,-1).
NO PLANO CARTESIANO

PRODUTO CARTESIANO:
Dados dois conjuntos não vazios A e B, ao conjunto cujos elementos
são todos os possíveis pares ordenados, em que a abscissa é elemento
de A e a ordenada elemento de B. PRODUTO CARTESIANO é a
multiplicação entre pares ordenados envolvendo conjuntos distintos.
EIXO DAS ABSCISSAS EIXO “X”
EIXO DAS ORDENADAS EIXO “Y”

FUNÇÃO
FUNÇÃO É UM DOS CONCEITOS MAIS ÚTEIS EM
MATEMÁTICA E EM TODOS OS RAMOS DA
TECNOLOGIA. TAIS COMO A FÍSICA, A MECÂNICA E A
ELETRICIDADE.
DEFINIÇÃO
DADOS DOIS CONJUNTOS NÃO-VAZIOS, FUNÇÃO DE A
EM B É QUALQUER RELAÇÃO DE A EM B EM QUE
CADA ELEMENTO DE A ASSOCIA UM ÚNICO
ELEMENTO DE B.
REPRESENTAÇÃO
POR TABELAS, DIAGRAMAS E GRÁFICOS.

Uma função é uma regra que relaciona cada
elemento de um conjunto a um único
elemento de outro. O primeiro conjunto é
chamado de domínio, e o segundo,
contradomínio da função.
A função determina uma relação entre os
elementos de dois conjuntos. Podemos defini-
la utilizando uma lei de formação, em que,
para cada valor de x, temos um valor de f(x).
Chamamos x de domínio e f(x) ou y de

Exemplo:
OBSERVE A TABELA QUE RELACIONA O
NÚMERO DE LITROS DE COMBUSTÍVEL
CONSUMIDO POR UM VEÍCULO COM OS
PRIMEIROS 40 Km PERCORRIDOS.
A) REPRESENTAÇÃO POR TABELA:
Litros ( X ) Quilômetros rodados (Y)
0 0
1 8
2 16
3 24
4 32
5 40

ESSA RELAÇÃO CARACTERIZA UMA FUNÇÃO DEFINIDA
PELA EQUAÇÃO y = 8X
Litros ( X ) Quilômetros rodados (Y)
0 0
1 8
2 16
3 24
4 32
5 40
• O SEU DOMÍNIO É REPRESENTADO PELOS VALORES
DE X DA TABELA; D ( f ) = {0,1,2,3,4,5}
• O SEU CONJUNTO-IMAGEM REPRESENTADO PELOS
VALORES DE Y, OS QUAIS ESTÃO ASSOCIADOS A
CADA X DO DOMÍNIO: Im ( f ) = {0,8,16,24,32,40}

REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMAS:
X Y
0 0
1 8
2 16
3 24
4 32
5 40
1
2
3
4
5
8
16
24
32
40
A B
f : A → B
0 0

1
0 2 3 4 5
x
8
16
24
32
40
y
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:
X Y
0 0
1 8
2 16
3 24
4 32
5 40

FUNÇÃO:
Dados A = {(1,4),(2,5),(3,4)}, onde A = {1,2,3} e B={4,5}, temos:
Nessa relação, cada elemento de A está em correspondência
com um único elemento de B, por isso definimos como função de A
em B.
1
2
3
4
5

DUAS MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA
FUNÇÃO
Uma relação entre dois conjuntos A e B, representada por meio de
um diagrama de flechas, será uma função, se de cada elemento de A
partir uma única flecha para algum elemento em B.
EXEMPLOS:
Quais representam funções?
DIAGRAMA DE FLECHAS:

ANALISANDO CASOS DE FUNÇÕES
1. Diga quais diagramas abaixo que representam funções:
B
1
2
3
4
8
16
24
A
a)
Não é função,
pois x = 4 não
tem imagem!

É função! Pois cada x tem um único y.
D(f) = { 4, 5, 6 }
CD(f) = { 6, 7, 8, 9 }
Im(f) = { 6, 7, 8 }
Observe que y = 9 é contra-domínio, porém não é imagem,
pois não recebe relação de x.
B
4
5
6
9
6
7
8
A
b)
f : A → B

Não é função!
Pois pela definição de função, cada x deve ter um único valor
relacionado a y. E para x = 3, temos dois valores:
y = 9 e y =12. Ou seja, x tem 2 valores, portanto, a relação
acima não é função.
B
1
2
3
12
0
4
9
A
c)

DUAS MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA
FUNÇÃO
Estabelecer fórmulas que expressem funções ampliou o uso da
Matemática como linguagem da ciência Assim, ao definirmos uma
função f: A → B por uma fórmula, temos:
y = f(x) e (x, f(x))
EXEMPLOS:
Para f(x) = 3x + 2, calcule:
f(1) = f(-2) =
LEI DE CORRESPONDÊNCIA OU FORMAÇÃO:

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
DA FUNÇÃO
Considere a função ilustrada a seguir:
f(x) = 2x + 1
D(f) =
CD(f)=
Im =
• DOMÍNIO [D(f)]= ponto de partida
• CONTRADOMÍNIO [CD(f)]= conjunto de chegada
• IMAGEM [Im] = é o conjunto dos valores resultantes da aplicação
da função f(x).

EXEMPLO:
Dada a função f: {-1,0,1} → {-2,-1,0,1,2}, definida pela sentença
matemática f(x) = x + 1. Determine:
a) f(-1)
b) x, tal que f(x) = 1
c) O conjunto imagem.

FUNÇÃO SOBREJETORA
Seja f uma função de A em B (f:A → B). Dizemos que f é uma função
sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B.
Im(f) = B ou Im(f) = CD(f)
EXEMPLO:
Dados os conjuntos A= {–1, 1, 2} e B= {1, 7}, determinar a função
f:A→B definida pela lei y= 2x 2 –1.
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES
OBS: Cada elemento de B é imagem de
pelo menos um elemento de A.
Em outras palavras, não pode sobrar
elementos no conjunto B sem receber
flechas.

FUNÇÃO INJETORA
Seja f uma função de A em B (f: A → B). Se para quaisquer
elementos distintos do conjunto A (x1 ≠ x2 ) correspondem elementos
diferentes do conjunto B (y1 ≠ y2 ), dizemos que a função é injetora.
EXEMPLO:
Dados os conjuntos A= {–1, 0, 1} e B= {–1, 1, 2, 3}, determinar a
função f:A→B definida pela lei y = 2x +1.
OBS: Cada elemento de A
corresponde apenas a um elemento
em B.
Portanto, não pode haver nenhum
elemento no conjunto B que receba
duas flechas.

FUNÇÃO BIJETORA
Seja f uma função de A em B (f: A →B). Dizemos que f é uma função
bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Neste caso, cada
elemento distinto de A corresponde a um elemento distinto em B
(injetora) e Im(f) = B (sobrejetora).
EXEMPLO:
Dados os conjuntos A= {0, 2, 4} e B= {–1, 3, 7}, determinar a função
f:A → B definida pela lei y= 2x –1.
OBS: Cada elemento de B é imagem de
pelo menos um elemento de A e cada
elemento de A possui uma imagem distinta
em B.

GRÁFICO E TABELAS DE UMA FUNÇÃO
Apresentam-se os dados da função em uma tabela com
duas colunas, na primeira, colocam-se os elementos do
domínio e na segunda, as respectivas imagens.
EXEMPLOS:
Dada a função f: {1, 2, 3, 4} → 𝑅 definida por f(x) = x + 1,
represente numa tabela e esboce o seu gráfico.
x f(x) = x + 1 y (x, y)

CALCULANDO f(x)
Lembrete: f(x) = y
Exemplo: Sendo f(x) = 3x +1. Determine:
a) f(1) = ?
f(x) = 3x +1
f(1) = 3 . 1 + 1
f(1) = 3 + 1
f(1) = 4
b) f(-2) = ?
f(x) = 3x +1
f(-2) = 3 . (-2) + 1
f(-2) = - 6 + 1
f(-2) = -5

AGORA É A SUA VEZ DE
PRATICAR!
FAÇA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM
ATENÇÃO!

FUNÇÕES - TIPOS E CONCEITOS ESSENCIAIS DOMINIO E CONTRADOMINIO

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a FUNÇÕES - TIPOS E CONCEITOS ESSENCIAIS DOMINIO E CONTRADOMINIO

Mais de JUCI11

Último

FUNÇÕES - TIPOS E CONCEITOS ESSENCIAIS DOMINIO E CONTRADOMINIO