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Carregado porJesrayne Nascimento
Função logarítmica
O documento discute funções logarítmicas, definindo logaritmos, propriedades e exemplos de logaritmos com diferentes bases. Também apresenta gráficos das funções exponencial e logarítmica, equações e desigualdades logarítmicas.
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Função logarítmica
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- 2. INTRODUÇÃO O conceito delogaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.
- 3. LOGARITMO Dados os númerosreais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
- 4. Exemplos: 152 = 225,logo: log15225 = 2 63 = 216, logo: log6216 = 3 54 = 625, logo: log5625 = 4 70 = 1, logo: log71 = 0
- 5. NOTAS 1) Quando abase do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N. Ex: a) log100 = 2 porque 102 = 100. b) log1000 = 3 porque 103 = 1000
- 6. 2) Existe tambémum sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. Ex: a) ln e = 1 b) ln 7 = loge7
- 7. CONSEQÜÊNCIAS 1) logb1= 0 Ex: a) log21 = 0; b) log1ooo1 = 0; 2) logbb = 1 Ex: a) log1o10 = 1, b) log55 = 1 3) logaam = m Ex: a) log225 = 5; b) log100010003 = 3
- 8. 4) alogab =b Ex: a) 5log52 = 2; b)6log63 = 3 5) logab = logac ↔ b = c Ex: a) log2x = log25 ↔ x= 5 b)log23= log2x ↔ x= 3
- 9. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 1)logb(A.B) =logbA+ logbB Ex: log20 =log(2.10) = log2 + log10 2) logb(A/B) = logbA – logbB Ex: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100
- 10. 3)logbAn = n.logbA Ex:log5256 = 6.log525 4) logba= logc a / logc b Ex: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2) b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
- 11. (UPE) Dados log2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, então: a) log 14,4 = 1,1582 b) log 14,4 = 1,1882 c) log 14,4 = 1,4781 d) log 14,4 = 1,3071 e) log 14,4 = 1,1761 (COVEST) Sejam a e b números reias positivos, tais que: log2a – 2log2b = 2 Determine o valor da razão √ a/ b²
- 12. (UNIRIO) O valorde 4log29 é: a) 81 b) 64 c) 48 d) 36 e) 9 (PUC) se log 5 = x e log 3 = y, então log 375 é: a) y + 3x b) y + 5x c) y – x + 3 d) y – 3x + 3 e) 3(y + x) (UNIFOR) Se log52 = a e log35 = b, o valor delog56 é:
- 13. (ITA) Aumentando 16unidades a um número, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Esse número é:
- 14. FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Considere afunção y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos porR+* , poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ≠ 1Esta função é bijetora, pois: a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas. b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
- 15. Vamos determinar afunção inversa da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1. Permutando x por y, vem: x = ay y = logaxPortanto, a função logarítmica é então: f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
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- 18. Para 0 <a < 1
- 19. EQUAÇÕES Equações logarítmicas sãoquaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) dentro de um símbolo log. Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral. Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logarítmica, é a seguinte: Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, a fim de verificar as condições de existência. As soluções que não satisfizerem as condições de existência devem ser DESCARTADAS!
- 20. a) log4(5x2 –14x + 1) = log4(4x2 – 4x – 20) b) log(x – 2)(2x2 – 11x + 16) = 2 c) 2(log2x)2 - 5 log2x + 2 = 0
- 21. (COVEST ) Considerandof(x) = 2x e g(x) = log2x, analise as afirmações: I II 0 0 f(x + y) = f(x) . f(y) para quaisquer x, y reais. 1 1 f(x)y = f(xy) para quaisquer x, y reais. 2 2 g(xy) = g(x) + g(y) se x, y são reais positivos. 3 3 g(x/y) = g(x) – g(y) se x e y são reais positivos. 4 4 g(f(x)) = x para todo x real.
- 22. Sejam as funçõesf(x) = x² – x – 2 e g(x) = ex, sendo e a base do sistema neperiano de logaritmos. Então, se f(g(x)) = 0, podemos afirmar que x é igual a: a) 0 b) e² c) e d) 1 e)ln2 (UFRN) As soluções da equação 3x + 1 + 34 – x – 36 = 0 são a e b, sendo a < b. Encontre o valor da expressão:log3(a + b) + log3(b – a).
- 23. Indique quantos dígitospossuí o número 264 (quando expresso no sistema de numeração decimal). Use a aproximação: log 2 ≈ 0,30. Sejam p, k e m números reais maiores que 1. Se a e b são raízes da equação x² – px + km = 0, então logkaa + logkbb + logkab + logkba é igual a: a) m b) p c) mp d) -mp e) m/p
- 24. INEQUAÇÕES a) log2x2 >log2(x + 2) b) log2 (x +5) > 4 c) 3(log4x2) + 5(log4x) – 2 ≤ 0
- 25. Todos os diasDeus nos dá um momento em que é possível mudar tudo que nos deixa infelizes. O instante mágico é o momento que um SIM ou um NÃO pode mudar toda a nossa existência." (Paulo Coelho)