Mat geometria plana 001

Mat geometria plana 001

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  Matemática Geometria Plana uuu r uuu r O segmento AB = AB ∩ BA . ANOTAÇÕES Geometria plana 1.1. Introdução 1.1.1. Noções Primitivas:Ponto – A medida do segmento será Reta – Plano indicada por Representação 1.1.4. Pontos Alinhados ou Colinea- Ponto res São pontos que pertencem a uma mesma reta. Reta A ∈ r, B ∈ r e C ∈ r são colineares 1.1.5. Conjunto Convexo Plano ∀ A ∈ α, ∀ B ∈ α; ⊂α • O ponto não possui dimensão • A reta possui uma só dimensão • O plano possui exatamente duas 1.1.6. Conjunto não Convexo dimensões • Não confundir os conceitos de me- dida e dimensão 1.1.2. Semi-reta ∃ A ∈ β, ∃ B ∈ β; ⊄β Qualquer ponto de uma reta a di- vida em duas semi-retas ditas opos- 1.1.7. Ângulo Geométrico tas. É a união de duas semi-retas de mesma origem O ponto O divide a reta r nas se- uuuu r uuur mi-retas O A e O B . 1.1.3. Segmento de Reta COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 1 PÁGINA 1
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  MATEMÁTICA – JorgeOliveira GEOMETRIA PLANA O .. vértice 1 ANOTAÇÕES de 1º = 1 ( 1 minuto) ..e . lados 60 α = A B . ângulo 1 de 1’ = 1” (1 segundo) 60 1.1.8. Congruência Assim: Duas figuras geométricas (conjun- 1º = 60’ e 1’ = 60”, logo 1º = 3600” to de pontos) serão ditas congruentes, se e somente se, coincidirem por su- 1.1.14. ângulo Agudo perposição. ≅ ou AB = CD α é agudo ⇔ 0º < α < 90º 1.1.9. Ângulo Convexo 1.1.15. Ângulo Obtuso É o ângulo que determina no pla- no uma região convexa β é obtuso ⇔ 90º < β < 180º 1.1.16. ângulo Raso α é convexo θ é raso ⇔ θ = 180º 1.1.17. Ângulo de uma volta 1.1.10. Ângulo não Convexo É o ângulo que determina no pla- no uma região não convexa γ é de uma volta ⇔ γ = 360º 1.1.18. Bissetriz É a semi-reta que partindo do vértice divide o ângulo em 2 ângulos congruentes. β é não convexo 1.1.11. Ângulo Reto Se duas retas que têm um só pon- to em comum e determinarem 4 ân- gulos congruentes, cada um deles se- rá chamado de ângulo reto 1.1.19. Ângulos Consecutivos Têm o mesmo vértice e um lado comum α é ângulo reto 1.1.12. Medida de ângulo Vamos admitir o ângulo reto, com um ângulo que mede noventa graus. 1.1.20. Ângulos Adjacentes Indicaremos 90º. São ângulos consecutivos em que os lados não comuns estão em semi- 1.1.13. Submúltiplos do grau planos opostos. Na figura anterior vemos que α e β são adjacentes e γ e 1 do ângulo reto = 1º θ não são. 90 PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
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  GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 1.1.21. Ângulos Opostos Pelo Vérti- 5.Dois ângulos são suplementares e a ra- ANOTAÇÕES ce São ângulos em que o lado de um zão das medidas é . Quais são as é o prologamento do lado do outro. medidas dos ângulos? 6.O ângulo igual a do seu suplemento mede: a) 100º c) 36º e) 72º b) 144º d) 80º 7.Um ângulo mede a metade do seu com- 1.1.22. Complemento, Suplemento e plemento. Então esse ângulo mede: Replemento a) 30º c) 45º e) 75º b) 60º d) 90º • e β são complementares ⇔ α e β = 90º 8.O triplo do complemento de um ângulo • e β são suplementares ⇔ α e β = é igual a terça parte do suplemento 180º desse ângulo. Esse ângulo, em radia- nos, mede • e β são replementares ⇔ α e β = 360º 7π 7π 5π a) c) e) Indicamos: 8 4 8 − complemento de x = 90º – x 5π 7π b) d) − suplemento de x = 180º - x 16 16 − replemento de x = 360º - x 9.Provar que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. EXERCÍCIOS 10.Achar o valor de x nas figuras seguin- tes: 1. Verifique se são convexos ou não con- a) vexos, cada um dos conjuntos seguin- tes: a) reta b) o segmento da reta c) a semi-reta d) a reta menos um ponto e) a circunferência f) o círculo b) 2. Efetuar as operações indicadas a) (2º 20’ 30º) + (10º 10 10”) c) b) (20º 40’) + (19º 20’) c) (40º 40’) + (20º 25’) d) (10º 42’ 50”) + (30º 20’ 20”) e) (20º 20’ 20”) + (10º 39” 40”) f) (10º 20’) – (8º 12’) g) 40º (12º 20’) h) (30] 30’) – (10º 40’) i) 15º (10º 20’ 25”) d) j) (22º 18’ 10”) – (4º 20’ 2”) k) (32º 42’ 42”) – (10º 50’ 50”) l) (20º 20’) x 4 e) m) (10º 22’ 32”) x 5 n) (12° 24’ 36”) ÷ 3 o) (12º 21” 12”) ÷ 5 3. Encontre o complemento e o suplemen- 1.2. Ângulos entre duas retas to de: a) 12º paralelas e uma transversal b) 20º 12’ c) 35º 43’ 42” 1.2.1. Retas Paralelas d) Duas retas de um mesmo plano 4. Dois ângulos são complementares e a são paralelas, se e somente se, não medida de um excede a do outro tiverem ponto em comum. em 20º. Achar a medida desses ân- gulos. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3
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  MATEMÁTICA – JorgeOliveira GEOMETRIA PLANA f) ANOTAÇÕES r//s ⇔ r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ 1.2.2. Ângulos entre duas retas pa- ralelas cortadas por uma re- ta transversal Na figura abaixo as retas r e s são parale- las. A medida do ângulo b é: 1.3. Triângulos I ˆ e 7, 2 e 8 → alternos, externos 1 ˆ ˆ ˆ 1.3.1. Definição (congruentes) ˆ e 5, 4 e 6 → alternos, internos 3 ˆ ˆ ˆ Dados 3 pontos A, B e C não coli- (congruentes) neares, chama-se retângulo a união →correspondentes dos 3 segmentos , e (congruentes) ˆ e 8, 2 e 7 → colaterais, exter- 1 ˆ ˆ ˆ nos (suplementares) ˆ e ˆ 3 e 6 → colaterais internos 4 5, ˆ ˆ (suplementares) EXERCÍCIOS ∆ ABC = ∪ ∪ Determine x nas figuras seguintes a) 1.3.2. Elementos do Triângulo b) , , → lados m, n, p → medidas dos ângulos intei- ros , , , respectivamen- te c) BC = a → medida do lado AC = b → medida do lado d) AB = C → medida do lado 1.3.3. Lei Angular de Tales e) m+n+p = 180º PÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA
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  GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira “A soma das medidas dos ângulos c) ANOTAÇÕES internos de um triângulo é igual a 180.” 1.3.4. Soma dos ângulos Externos “Em qualquer triângulo a medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas de 2 ângulos internos não adjacentes.” d) 2. Na figura AB = AC = CD. Determine α. x+y=z = 360º 120o A 1.3.5. Classificação quanto aos la- dos 1. Escaleno: não possui lados con- gruentes α Isósceles: possui 2 lados congruentes B C D Equilátero: possui 3 lados congruentes 3.Demonstre que num triângulo a soma das medidas dos ângulos externos é Todo triângulo equilátero é isósce- igual a 360º. les 4.Demonstre o Teorema do ângulo Exter- 1.3.6. Classificação quanto aos ân- no. gulos internos 5.No retângulo a seguir, o valor, em graus 1. Retângulo: Possui 1 ângulo. de α + β é: Obtusângulo: Possui 1 ângulo obtuso. Acutângulo: Possui 3 ângulos agudos. 40o 1.3.7. Propriedades dos Triângulos 1. Em um triângulo, se houver lados β congruentes, a eles estarão se opondo ângulos congruentes, e α reciprocamente. a) 50 c) 120 e) 220 Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o b) 90 d) 130 maior ângulo, ao menor lado opõe-se o menor ângulo e reciprocamente. 6.Na figura a seguir ABCD indica um qua- drado de lado unitário e ABE um tri- ângulo eqüilátero. Prove que 13. EXERCÍCIOS D C α E 1. Determine o valor de x nas figuras: a) A B b) 2tg x Sugestão: tg(2x) = x − tg 2 x a) α = 15º b) α=2– COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5
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  MATEMÁTICA – JorgeOliveira GEOMETRIA PLANA 7.Observe a figura ORTOCENTRO ANOTAÇÕES A A E D F E H 140o B C F Nessa figura , = bisse- D C triz de é 140º. A medida do B AD ângulo é 140º. A medida do BE alturas ângulo , em graus, é: CF a) 20 c) 40 e) 60 H: ortocentro b) 30 d) 50 1.4.2. TRIÂGULO RETÂNGULO 1.4. Triângulos II Propriedade A medida relativa à hipotenusa de 1.4.1. Pontos Notáveis de um Tri- um triângulo retângulo é igual à me- ângulo tade da hipotenusa. BARICENTRO A A N F E R G B R O R C B D C AD BE medianas CF G: baricentro 1 INCENTRO AO = .BC A 2 EXERCÍCIOS R T G 1.O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta su- porte do lado oposto é denominado: a) mediana B S C AS b) mediatriz BR bissetrizes internas CT c) bissetriz I: Incentro d) altura CIRCUNCENTRO A e) base mp mc P 2.Na figura, ABC é um triângulo retângulo N em A, é mediana e é bisse- O triz interna. Se o ângulo = 20º, C então o ângulo MDB mede: B M A ma N D ma mb mediatrizes O: circuncentro B C mc M PÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA
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  GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira a) 90º c) 100º e) 110º a) 30º c) 60º e) 120º ANOTAÇÕES b) 95º d) 105º b) 45º d) 90º 3.Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, M é o ponto médio de e 1.5. Triângulos III é paralelo do lado . Se BC = 1.5.1. Existência do triângulo 24, então AP vale: C 1.5.2. Condição de Existência do Triângulo A b c N M P C B a A B a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8 EXERCÍCIOS 4.Na figura a seguir, ABCD é um retângu- 1.Se dois lados de um triângulo medem lo, M é ponto médio de e o tri- respectivamente 3 cm e 4 cm, pode- ângulo BMC é equilátero. Sendo = mos afirmar que a mediada do tercei- 18 cm, calcule a medida do segmento ro lado é: a) igual a 5 cm . b) igual a 1 cm A D c) igual a cm d) menor que 7 cm e) maior que 2 cm P 2.Mostre que em qualquer quadrilátero convexo o quociente do perímetro pe- la soma das diagonais é maior que 1 e menor que 2. B C 3.O semiperímetro de um triângulo é dado 5.Na figura abaixo, a circunferência de por 12,5 m. Dois lados medem res- centro O está inscrita no triângulo pectivamente 7,6m e 8,4 m. Calcular ABC. Sendo DOE paralelo ao lado a medida do terceiro lado. ; =20; = 25 e = 22: a) mostre que o triângulo BOD é i- 4.Num triângulo isósceles e semi- perímetro é dado por 19,6m. A base sósceles; mede 5,2m. Determinar a medida dos lados congruentes. b) calcule o perímetro do triângulo ADE. EXERCÍCIOS A 1. Efetuar as operações seguintes: a) (12º 22’) + (10º 40’) b) (15º 6’) + (10º 58’) D E c) (10º 40’ 40”) + (20] 19’ 20”) O d) (32º 43’ 42”) + (10º 20’ 42”) e) 10º - (9º 30’) B C 2.Na figura, calcular a medida “x” 6.Um triângulo ABC tem ângulos = 40º e = 50º. Qual é o ângulo formado pe- las alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo? COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7
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  MATEMÁTICA – JorgeOliveira GEOMETRIA PLANA 3.Na figura, calcular ma medida x. a) 90º c) 110º e) nda ANOTAÇÕES b) 100º d) 120º 10.Determine x nas figuras a) 4.Na figura, r é paralela a s; determine a b) medida a. c) 5.Na figura, x vale: d) 6.Se r // s, α vale: 11.Os ângulos de um triângulo medem res- pectivamente: 3x, 4x e 5x. Então, va- le em graus: a) 125º c) 35º e) 15º b) 55º d) 65º 12.Num triângulo isósceles, um ângulo ex- a) 100º c) 130º e) 120º terno vale 30º 10’. Os valores possí- veis para os ângulos côgruos são: b) 110º d) 150º a) somente 15º5’ b) 15º5’ e 140º50’ 7.Se r // s, determine na figura c) impossível d) 20º e 140º e) nda 13.Num triângulo isósceles o ângulo do vértice mede 58º. Calcular a medida dos ângulos externos da base. 14.Um ângulo externo da base de um tri- ângulo isósceles mede 108. Calcular a medida do ângulo interno do vértice. 8.Se r // s, então vale: 15.Num triângulo isósceles a soma dos ân- gulos da base é oito vezes o ângulo do vértice. Calcular as medidas dos ân- gulos internos do triângulo. 16.Na figura, N é ponto médio AB, é paralelo a , Sendo = 60 cm, a) 90º c) 110º e) 22º40’ calcule . b) 100º d) 120º 9.Na figura r // s então vale: PÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA
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  GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 17.Em um triângulo retângulo ABC, tra- 26.Se o triângulo é equilatero, o que a- ANOTAÇÕES contece com seus pontos notáveis? çam-se as bissetriz e dos ângulos agudos e . Calcule a me- 27.Na figura, ABCD é um paralelogramo, em que M é o ponto médio do lado dida do ângulo B C. . Sendo DP=24 cm, determine o 18.Na figura abaixo, temos: valor de x. = 30 cm = 30 cm BE é bissetriz do ângulo CE é bissetriz do ângulo e DF//BC. Calcule o perímetro do triângulo ADF. 28.Num triângulo ABC, o incentro é o pon- to I. Sendo B C = 125º, determine a medida do ângulo Â. 29.No triângulo ABC da figura, o ponto G é o baricentro. Sendo CG = x + 2; GE = y ; AG = x e GD = 7 – y, calcule o valor de x + y. 19.Na figura, r é a bissetriz do ângulo A C. Se α 40º e β = 30º, calcule . 30.Determine o valor de x na figura se- guinte 20.Num triângulo ABC, retângulo em B, BD é mediana. Traçam-se BE perpendicu- lar a AC. Se = 70º, então o ângulo E D mede: a) 20º c) 40º e) 50º b) 25º d) 45º 21. Na figura, o triângulo ABC é eqüiláte- 31.Em um triângulo, dois lados medem, ro, é bissetriz do ângulo A C e respectivamente, 5 e 8. O menor va- é bissetriz do ângulo A D. O ân- lor possível para a medida do terceiro lado é: gulo B C mede: a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 12 32.Se x ∈ N e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são os lados de um triângulo, en- tão o número de possibilidades de x é: a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 6 a) 20º c) 30º e) 40º b) 25º d) 35º 33.Seja ABC um triângulo retângulo, onde 22.Se um triângulo é retângulo, o que po- Â = 90º. Se a altura forma com a demos concluir a respeito do circun- mediana um ângulo de 20º, en- centro e do ortocentro? tão os ângulos agudos desse triângulo são: 23.Se um triângulo é obtusângulo, o que a) 40º e 50º d) 25 e 65º podemos concluir a respeito do cir- b) 35º e 55º e) 45º e 45º cuncentro e do ortocentro? c) 30º e 60º 24.Quais pontos notáveis do triângulo, são 34.A mediana de um triângulo retângulo sempre internos a ele? relativa à hipotenusa forma com a COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9
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  MATEMÁTICA – JorgeOliveira GEOMETRIA PLANA bissetriz de um dos ângulos agudos em ân- ANOTAÇÕES gulo de 120º. Calcular os ângulos agu- dos do triângulo. 35.Num triângulo retângulo, a altura rela- tiva à hipotenusa forma com a bisse- triz do ângulo reto um ângulo de 15º. Calcular os ângulos agudos. 36.As medidas dos três lados de um triân- gulo formam uma PA de primeiro termo e a razão r tal que r > 0. Então: a) r = 3a d) r < a b) r = 2a e) nada podemos c) r = a afirmar sobre os valores de a e r. 37.Em um triângulo acutângulo, se a me- dida α de um ângulo é menor que a de seu complemento. Pode-se afirmar que: a) α > 80º b) 75º < c) 60º < α < 75º d) 45º < α < 60º e) α < 45º GABARITO 1) a) 21º 2’ b) 26º 4’ c) 31 º d) 43º 4” 24” e) 30’ 2) 41º 42’ 43’’ 3) 96º 18’ 4) 120º 5) 30º 6) E 7) 90º 8) E 9) 9 10) a) 30º b) 100º c) 100º d) 60º 11) E 12) A 13) 119º 14) 36º 15) 45º, 50º, 85º 16) 20º, 80º, 80º 17) OM = 10cm 18) 135º 19) 66 cm 20) 5º 21) 50º 22) 30º 23) ponto médio da hipotenusa e vértice , respectivamente 24) ambos são externos 25) baricentro e incentro 26) coincidem 27) 12 cm 28) 70º 29) 10 30) 1/16 31) B 32) B 33) E 34) B 35) 40º e 50º ou 10º e 80º 36) 30º e 60º 37) E PÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA