Matemática - Ciências e Aplicações - Ensino Médio

MATEMÁTICA
CIÊNCIA E APLICAÇÕES
Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce,
David Degenszajn, Roberto Périgo,
Nilze De Almeida – 1º ano Ensino Médio

1º Bimestre
NESTE BIMESTRE FORAM TRABALHADOS OS TEMAS:
• Neste bimestre foram trabalhados os temas:
• Função quadrática – Definição e gráfico
• Raízes da equação do 2° grau
• Coordenadas do vértice e conjunto imagem
• Sinais da parábola
• Módulo de um número real
• Função modular
• Equações e inequações modulares
• Função exponencial
• Gráficos da função exponencial
• Equação exponencial
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA
DEFINIÇÃO E GRÁFICO
Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de ℝ em ℝ dada por uma lei da
forma f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Função quadrática
f(x) = 3x² − x + 4 é uma função quadrática,
onde a = 3; b = −1 e c = 4
Gráfico da função quadrática
Exemplo:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é
uma parábola:
• de concavidade voltada para cima, se a > 0
• de concavidade voltada para baixo, se a < 0

Chamam-se raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau, dada por f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, os números
reais x tais que f(x) = 0.
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas, ou seja, a parábola intersecta o eixo Ox em dois pontos
distintos.
Se Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais, ou seja, a parábola intersecta o eixo Ox em um único ponto.
Se Δ < 0, a função não possui raízes reais, ou seja, a parábola não intersecta o eixo Ox.
A parábola intersecta o eixo Oy no ponto (0, c).
Raízes ou zeros da função quadrática
As raízes de uma equação do 2º grau são dadas por: x=
− b± √∆
2a
,onde ∆=b
2
− 4ac

O ponto mais baixo da parábola (ponto mínimo), quando a > 0, ou o ponto mais alto da parábola (ponto máximo),
quando a < 0, é denominado de vértice da parábola.
VÉRTICE DA PARÁBOLA
Vértice da parábola
A > 0 A < 0
ponto mínimo
ponto máximo
Coordenadas do vértice
𝑉 =(
−𝑏
2𝑎
,
−∆
4𝑎
)

GRÁFICOS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
a > 0 e Δ > 0 a > 0 e Δ = 0 a > 0 e Δ < 0
a < 0 e Δ > 0 a > 0 e Δ = 0 a < 0 e Δ < 0

Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, temos:
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES E CONJUNTO IMAGEM
O conjunto imagem Im da função definida por y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir.
Há duas possibilidades:
Soma e produto das raízes
Conjunto imagem
+ = . =
Im = {y R / y = - Im = {y R / y = -

Considere a função quadrática f(x) = ax² + bx + c.
Conforme o sinal do discriminante Δ, podem ocorrer os seguintes casos:
SINAL DA PARÁBOLA
a > 0 e Δ > 0 a > 0 e Δ = 0 a > 0 e Δ < 0
a < 0 e Δ > 0 a < 0 e Δ = 0 a < 0 e Δ < 0
Entender o quadro
de sinais para uma
equação quadrática
é de suma
importância na
resolução de
inequações do 2º
grau.

CAPÍTULO 6 – FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS
O módulo de um número real x representa a distância, na reta real, entre x e 0 (origem).
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
|4,5| = 4,5 |−2| = 2
Módulo de um número real
Dado o número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e se indica por |x|, o número real não negativo
tal que:
|x|={ x , se x ≥ 0
− x , se x <0
Interpretação geométrica

FUNÇÃO MODULAR
Gráfico
Observe que o conjunto imagem de f é Im = {y | y ≥0}, pois ∀ x ∈ ℝ , |x| ≥
ℝ ℝ
0.
Chama-se função modular a função f de ℝ em que associa cada número real x ao seu módulo (valor absoluto),
ℝ
isto é, f é definida pela lei f(x) = |x|.
Função modular
Usando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser assim definida:
𝑓 (𝑥)={ x , se x ≥ 0
− x , se x<0

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
Sendo k um número real positivo, temos:
|x| = k x = k ou x = −k
⇒
S = {−k, k}
Inequações modulares
Para a e a > 0, temos:
∈ ℝ
|x| < a −a < x < a |x| > a x < −a ou x > a
⇔ ⇔
Considerações:
Para a < 0, temos:
1. |x| = a
S = ∅
2. |x| < a
S = ∅
3. |x| > a
S = ℝ
Inequações modulares

EXEMPLOS
4. Resolva a inequação |x + 1| < −3, em .
ℝ
S = ∅
2. Resolva a inequação |x + 1| > −3, em .
ℝ
S = ℝ
2x − 3 > 7 ou 2x − 3 < − 7 ⟹
⟹2x > 10 ou 2x < − 4 ⟹
⟹ x > 5 ou x < − 2.
3. Resolva a inequação |2x − 3| > 7
Solução:
3. Resolva a inequação |2x + 3| = x + 2, em .
ℝ
Solução:
Condição de existência: x + 2 0 x -2
|2x + 3| = x + 2 2x + 3 = x + 2 ou 2x + 3 = -x - 2
Para: 2x + 3 = x + 2, temos x = -1 (satisfaz).
Para: 2x + 3 = -x - 2, temos x = (satisfaz).
S = {-1, }

CAPÍTULO 7 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dados um número real a e um número natural n, com n ≥ 2, chama-se potência de base a e expoente n o número an
que é o produto de n fatores iguais a a.
POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
Propriedades
Sendo a e b números reais e m e n naturais, valem as seguintes propriedades:
Estas propriedades
podem ser usadas para
simplificar expressões.
𝑎𝑛
=𝑎.𝑎 .𝑎 .𝑎.….𝑎
n fatores
Potência de expoente natural
I ¿am
.an
=am.n
II ¿
am
a
n
=a
m−n
(a ≠ 0 e m≥ n)
III ¿(a.b)n
=an
.bn
IV ¿ (a
b )
n
=
an
b
n
(b ≠ 0)
=

Dados um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a e expoente −n o número
a−n
, que é o inverso de an
.
POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO E RAIZ ENÉSIMA
As cinco propriedades enunciadas para potência de
expoente natural são válidas para potência de
expoente inteiro negativo, quaisquer que sejam os
valores dos expoentes m e n inteiros.
Potencia de expoente inteiro negativo
𝑎
−𝑛
=
1
𝑎
𝑛
I ¿am
.an
=am.n
II ¿
am
a
n
=a
m−n
(a ≠ 0 e m≥ n)
III ¿(a.b)n
=an
.bn
IV ¿ (a
b )
n
=
an
b
n
(b ≠ 0)
=

Propriedades
Sendo a e b reais não negativos, m inteiro e n e p naturais não nulos, valem as seguintes propriedades:
RAIZ N-ÉSIMA (ENÉSIMA) ARITMÉTICA
=
Dados um número real não negativo a e um número natural n, n ≥ 1, chama-se raiz enésima aritmética de a o
número real e não negativo b tal que bn
= a.
Raiz n-ésima (enésima) aritmética
n
√a=b
⇔
b ≥ 0 e bn
=a

RAIZ N-ÉSIMA (ENÉSIMA) ARITMÉTICA
Propriedades
Potência de expoente racional
𝑎
𝑚
𝑛
=
𝑛
√𝑎𝑚
Dados um número real positivo a, um número inteiro m e um número natural n (n 1), chama-se potência da base a e
expoente a raiz enésima aritmética de .
Exemplo:
9
1
2
=2
√9=3
Para a , a > 0 e n ℕ*, temos
Sendo a e b e e racionais, valem as seguintes propriedades:
IV ¿(𝑎:𝑏)
𝑝
𝑞
=𝑎
𝑝
𝑞
: 𝑏
𝑝
𝑞
II ¿𝑎
𝑝
𝑞
:𝑎
𝑟
𝑠
=𝑎
𝑝
𝑞
−
𝑟
𝑠
Se > 0, define=se = 0

POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL E FUNÇÃO EXPONENCIAL
Seja a , a > 0.
∈ ℝ
Para essas potências, continuam válidas todas as propriedades apresentadas nos itens anteriores deste capítulo.
Chama-se função exponencial qualquer função f de em *
ℝ ℝ + dada por uma lei da forma f(x) = ax
, em
que a é um número real dado, a > 0 e a ≠ 1.
Para a construção de gráficos, em seguida, temos de levar em conta que:
• sendo a > 1, temos que f(x) é crescente
• sendo 0 < a < 1, temos que f(x) é decrescente.
Condições:
Potência de expoente real
Função exponencial

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
a > 1 0 < a < 1
Dados e reais, temos: Dados e reais, temos:
Gráfico da função exponencial
Para os dois casos, temos:
Domínio da função:
Df(x) = ℝ
Conjunto imagem da função:
Imf(x) =

Sejam f e g funções de em definidas por f(x) = 2
ℝ ℝ x
e g(x) = 2x
+ 2, respectivamente.
O gráfico de g pode ser obtido a partir do gráfico de f "deslocando-o" duas unidades para cima.
Veja a figura seguinte.
GRÁFICOS COM TRANSLAÇÃO
De modo geral, o gráfico de y = ax
+ k,
sendo 0 < a ≠ 1 e k uma constante real,
pode ser obtido a partir do gráfico y = ax
,
deslocando-o k unidades para cima ou |k|
unidades para baixo, conforme k seja
positivo ou negativo, respectivamente.
Gráficos com translação

Uma equação é denominada de exponencial, quando apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma de suas
potências.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Propriedade:
Exemplo:
Resolva em a seguinte equação
ℝ
exponencial:
3x + 1
− 3x
− 3x − 1
= 45
Resolução:
Equação exponencial
Para a > 0 e a 1, temos
3x + 1
− 3x
− 3x − 1
= 45
3
𝑥
. 3 − 3
𝑥
−
3𝑥
3
=45
= 45
3
𝑥
.
5
3
=45
3𝑥
=27
3𝑥
=33
X = 3
S = {3}

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