Matemática - Geometria Espacial - Prisma e Cilindros - www.CentroApoio.com

Relembrando Antes de começar a aula de hoje, precisamosrever alguns pontos de geometria plana eunidades de medidas:Área do retângulo: Área do quadrado:

RelembrandoDiagonal do quadrado: Área do triângulo:

Relembrando Triângulo Equilátero: Altura Área

Relembrando Hexágono: Apótema: Área:

Relembrando Comprimento da circunferência Área do círculo

Relembrando Sendo o metro (m) a unidade de medida,temos:1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm21 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3 Observação: 1 dm3 = 1 litro

Prismas e CilindrosdefiniçãodefiniçãoelementoselementosCaso particularCilindros retosCilindro equiláteroPrismas retosÁrea da baseÁrea da baseáreasÁrea lateraláreasÁrea lateralÁrea totalÁrea totalvolumeVolume

PrismasPrisma é uma sólido geométrico delimitadopor faces planas, no qual as duas bases sesituam em planos paralelos.Exemplos:

sólidodefiniçãoLimitado por faces planasDuas bases paralelasprismas

PrismasPodemos classificar um prisma quanto aonúmero de arestas da base.TriangularQuadrangularPentagonalHexagonal

sólidodefiniçãoLimitado por faces planasDuas bases paralelastriangularesBase é um triânguloprismasquadrangularesBase é um quadriláteroNº de arestas da basepentagonalBase é um pentágonohexagonalBase é um hexágonoclassificação

PrismasPodemos classificar um prisma quanto àinclinação das arestas laterais.Retos: arestas laterais perpendiculares às bases.Oblíquos: arestas laterais oblíquas às bases.

sólidodefiniçãoLimitado por faces planasDuas bases paralelastriangularesBase é um triânguloprismasquadrangularesBase é um quadriláteroNº de arestas da basepentagonalBase é um pentágonohexagonalBase é um hexágonoclassificaçãoArestas laterais oblíquas à baseoblíquosInclinação das arestas lateraisArestas laterais perpendiculares à basedefiniçãoretos

Prismas Os elementos de um prisma reto são:

PrismasNote que todas as faces laterais dos prismas retos são retângulos

sólidodefiniçãoLimitado por faces planasDuas bases paralelastriangularesBase é um triânguloprismasquadrangularesBase é um quadriláteroNº de arestas da basepentagonalBase é um pentágonohexagonalBase é um hexágonoclassificaçãoArestas laterais oblíquas à baseoblíquosInclinação das arestas lateraisArestas laterais perpendiculares à basedefiniçãovérticesretosbasearestaselementoslateralbasefacesLateral = altura

ParalelepípedosParalelepípedos são prismasquadrangulares,cuja base é um paralelogramo. Quando as basessão retângulos, chamamos de paralelepípedoretângulo.

Paralelepípedos Podemos calcular a diagonal do paralelepípedoatravés do Teorema de Pitágoras ou pelafórmula:

ParalelepípedosExemplo: Dado um paralelepípedo retângulode dimensões 5cm, 4 cm e 3 cm. Calcule amedida da sua diagonal.

ExemploPelo Teorema de Pitágoras:

Paralelepípedos Caso particular: CuboO cubo é um paralelepípedo reto retângulo,noqual todas as faces são quadrados, ou sejatodas as arestas apresentam a mesma medida.

Paralelepípedos Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo,cujo perímetro de uma face é 24 cm. Se o perímetro da é 24cm, então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm

Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.

Áreas do PrismaÁrea da base: é a área do polígono queconstitui a base. A) No prisma triangular.

Áreas do PrismaExemplo: Calcule a área da base de um prisma triangular regular, sabendo que a altura dotriângulo da base mede .

Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular.

Áreas do Prisma Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de1,80 m de profundidade, foi instalada em umburaco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.Calcule a área da base da piscina.

Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal.

Áreas do Prisma Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediramuma pizza que veio em uma caixa de basehexagonal, calcule á área da base da caixa,sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.

Arestas laterais perpendiculares à basedefiniçãovérticesbasearestaselementoslateralbasefacesLateral = alturaPrismas retosÁrea da baseÁrea do polígono da baseáreas

Áreas do PrismaÁrea lateral: é a soma das áreas das faceslaterais.No prisma triangular Como temos 3 faces laterais, então .

Áreas do PrismaExemplo: O monumento de uma praça no norteda Croácia tem forma de um prisma triangularregular de altura igual a 7m. Calcule a árealateral do monumento, sabendo que a área dabase mede .

Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular

Áreas do PrismaExemplo: Para reformar o móvel abaixo, umdesigner colocará 2 portas e pintará todasas faces laterais. Calcule toda superfícieque será pintada?

Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal regular.

Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonalregular está sendo testado por uma banda dereagge. Sabendo que as bases desse prismadevem ser vermelhas. Calcule a área, em m2aser pintada de amarelo e verde.

Arestas laterais perpendiculares à basedefiniçãovérticesbasearestaselementoslateralbasefacesLateral = alturaPrismas retosÁrea da baseÁrea do polígono da baseáreasÁrea lateralSoma das áreas dos retângulos das faces laterais

Áreas do PrismaÁrea total: é a área de toda a superfíciedo prisma, portanto, é a soma das áreas dasbases com a área lateral.

Arestas laterais perpendiculares à basedefiniçãovérticesbasearestaselementoslateralbasefacesLateral = alturaPrismas retosÁrea da baseÁrea do polígono da baseáreasÁrea lateralSoma das áreas dos retângulos das faces laterais2Ab + AlÁrea total

Áreas do Prisma Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm dealtura, cuja base é um triângulo retângulo comcatetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área totaldo prisma.

Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de umprisma hexagonal regular, sabendo que asua área total é dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.

Tente fazer sozinhoCalcule a medida do lado da base de umprisma hexagonal regular, sabendo que asua área total é dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.

Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,cuja base é um triângulo equilátero de cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo .

Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,cuja base é um triângulo equiláterode cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo .

Áreas do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as faces coma mesma área, então:

Áreas do Prisma Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.Calcule a área total.

Volume do PrismaO volume de todo prisma é o produto entrea área da base e a altura.

Volume do PrismaExemplo: Determine o volume da piscinailustrada abaixo:

Volume do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as arestascom a mesma medida, então:

Volume do PrismaExemplo: Um tanque cúbico sem tampa serárevestido internamente com uma massaimpermeabilizante. Calcule o volume do tanque,sabendo que a área da superfície a serrevestida é 125m2.área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2 125 = 5l2 l = 5 m Logo, V = l3 = 53 = 125m3

Arestas laterais perpendiculares à basedefiniçãovérticesbasearestaselementoslateralbasefacesLateral = alturaPrismas retosÁrea da baseÁrea do polígono da baseáreasÁrea lateralSoma das áreas dos retângulos das faces laterais2Ab + AlÁrea totalV = Ab . hvolume

Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:64 dm340 cm3 96 dm3 160 cm3 55 dm3

Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:64 dm340 cm3 96 dm3 160 cm3 55 dm3

Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

CilindrosCilindros retos são sólidos de revolução,obtidos através do giro de um retângulo.

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retânguloCilindros retos

Cilindros Os elementos do cilindro reto são:

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retângulobaseelementosGeratriz = alturaCilindros retos

Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. O cilindro equiláteroapresenta altura coma mesma medida do diâmetro da base.

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retângulobaseelementosGeratriz = alturaCaso particularCilindros retosCilindro equiláteroh= 2r

Áreas do CilindroÁrea da base: é a área do círculo queconstitui a base.

Áreas do cilindro Exemplo: Determine a área da base deum cilindro cujo raio do círculo da basemede 4cm.

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retângulobaseelementosGeratriz = alturaCaso particularCilindros retosCilindro equiláteroh= 2rAb = πr2Área do círculo da baseÁrea da baseáreas

Áreas do CilindroÁrea lateral: é a área da superfície lateralplanificada.

Áreas do Cilindro Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixotem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde éconstruído, a base cilíndricanão é de madeirae a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 aárea da superfície revestida de madeira.

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retângulobaseelementosGeratriz = alturaCaso particularCilindros retosCilindro equiláteroh= 2rAb = πr2Área do círculo da baseÁrea da baseAl = 2πrháreasÁrea lateral

Áreas do CilindroÁrea total: é a área de toda a superfíciedo prisma, portanto, é a soma das áreas dasbases com a área lateral.

Áreas do CilindroExemplo: Determine a área total de umcilindro reto, cujo perímetro da base mede10π cm, igual a medida da altura.

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retângulobaseelementosGeratriz = alturaCaso particularCilindros retosCilindro equiláteroh= 2rAb = πr2Área do círculo da baseÁrea da baseAl = 2πrháreasÁrea lateralAt = 2Ab + AlÁrea total

Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm dediâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578

Áreas do Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. Como o cilindro equiláteroapresenta alturacom a mesma medida do diâmetro da base,então:

Áreas do Cilindros Exemplo: Calcule a área lateral e a áreatotal de um cilindro reto equilátero, cujoraio da base mede 5 cm.

Volume do CilindroO volume de todo cilindro é o produto entrea área da base e a altura.

Volume do CilindroExemplo: Calcule o volume da piscina abaixo, em litros, sabendo que é um cilindro reto, odiâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm.

Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Como o cilindro equilátero apresenta aaltura com a mesma medida do diâmetro dabase, então:

Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Exemplo: Um cilindro equilátero de volume128π litros, tem diâmetro de quantoscentímetros?

sólidosdefiniçãoGerados pela rotação de um retângulobaseelementosGeratriz = alturaCaso particularCilindros retosCilindro equiláteroh= 2rAb = πr2Área do círculo da baseÁrea da baseAl = 2πrháreasÁrea lateralAt = 2Ab + AlÁrea totalVolumeV = Ab . h

Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o geloderretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm dealtura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm dealtura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da águasobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

Bibliografiahttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htm Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.Figuras: google imagens

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