Carregado porBeatriz Góes
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O documento descreve os principais conceitos relacionados a matrizes, incluindo: (1) o que é uma matriz e suas representações; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular; (3) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
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- 1.
- 2. Ao final dessaaula você saberá: O que é matriz e suas representações. Igualdade de matrizes. A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa. O que é diagonal principal e diagonal secundária. Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
- 3. O que ématriz? É uma tabela de números que pode ser representada entre chaves ou entre colchetes. São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3. Exemplos: 1 2 3 1 2 3 A= 4 0 1 ou A = 4 0 1
- 4. Como é arepresentação genérica de uma matriz?
- 5. O que éíndice de um elemento? É a representação da posição que o elemento ocupa dentro da matriz. Exemplo: a11 a12 2 3 A = = a a 1 0 21 22 O 3 é o elemento a12, ou seja, está na 1ª linha e na 2ª coluna.
- 6. Quando duas matrizesA e B são iguais? Quando os elementos de mesmo índice são correspondentes. Exemplo: a11 a12 b11 b12 A = a a = B = a b 21 22 21 22 Logo, a11 =b11 , a12 =b12 , a21 = a21 , a22 =b22
- 7. Tente fazer sozinho! (PUC-MG)Amatriz A = (aij)2x3 é tal que: 3i + j , se i ≠ j aij = 2i − 3 j , se i = j É correto afirmar que: −1 − 5 −1 7 a ) A = 6 7 b) − 5 2 2 9 6 −9 −1 7 5 −1 5 6 c) 6 2 9 d ) 7 − 2 9
- 8. Solução 3i + j , se i ≠ j a11 a12 a13 aij = a a a 2i − 3 j , se i = j 21 22 23 a11 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1 a12 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5 a13 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6 a21 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7 a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 a23 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9 Resposta: D
- 9. O que ématriz linha? É uma matriz formada por apenas uma linha. Exemplo: A = ( 2 4 3 0 7 ) O que é matriz coluna? É uma matriz formada por apenas uma coluna. 2 Exemplo: B =0 9
- 10. O que ématriz nula? É uma matriz que apresenta todos os elementos iguais a zero. Exemplos: 0 0 0 0 0 0 0 C = 0 0 0 0 D= 0 0 0 0 0 0 0
- 11. O que ématriz quadrada? É a matriz que apresenta o mesmo número de linhas e colunas. Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é Exemplos: de ordem 2. 2 4 3 0 1 A =0 4 1 B = 9 4 3 0 7 Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2
- 12. O que édiagonal principal? É a diagonal formada pelos elementos aij, sendo i=j de uma matriz quadrada. diagonal secundária diagonal principal
- 13. Tente fazer sozinho! (Ufop-MG)Observe a matriz: 1 2 3 0 x 4 0 0 y Chama-se traço de uma matriz a soma dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima de tal forma que seu traço valha 9 e x seja o triplo de y.
- 14. Solução 1 2 3 x 4 0 0 y 0 x = 3y 1 + 3y + y = 9 4y = 8 y = 2 x = 3.2 x = 6
- 15. O que ématriz diagonal? É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero. A diagonal principal deve apresentar pelo menos um elemento diferente de zero. Exemplos: 2 0 0 A =0 1 0 0 0 7
- 16. O que ématriz triangular? É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: 2 0 0 0 2 2 4 5 1 0 0 2 7 B =0 1 3 C = 0170 D =0 1 0 0 7 9 3 7 6
- 17. O que ématriz oposta? É a matriz cujos elementos são os opostos de uma matriz dada. Exemplos: 0 1 − 4 0 −1 4 A= − A = 2 − 3 − 7 − 2 3 7 −1 8 1 − 8 B= −B= − 2 5 2 − 5
- 18. O que ématriz transposta? É a matriz cujas colunas são iguais às linhas de uma matriz dada. 0 − 2 Exemplo: 0 1 − 4 t A= A = 1 3 − 2 3 7 − 4 7 Note que o número de linhas de A é o número de colunas de At. O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e At=2x3
- 19. Tente fazer sozinho! (UF-AM)Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se, At = A. Se a matriz 2 x2 x A = 1 0 5 − y − 1 y − 3 1 x+ y É simétrica, então o valor de é: 3 a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0
- 20. Solução 2 x2x 2 1 −1 2 1 0 5 − y = x 0 y − 3 − 1 y − 3 1 x 5 − y 1 x 2 = 1 ⇒ x = ±1 x = −1 5 − y = y − 3 ⇒ −2 y = −8 ⇒ y = 4 x + y −1+ 4 3 = = =1 3 3 3 Resposta: letra c
- 21. O que ématriz identidade? É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero. Exemplo: 1 0 0 1 0 I 3 = 0 1 0 I 2 = 0 1 0 0 1
- 22. Como somamos ou subtraímos matrizes? Basta somar ou subtrair os elementos correspondentes. As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n). Exemplos: 1 5 4 − 4 0 − 1 − 3 5 3 a ) 3 0 − 1 + 2 − 3 6 = 5 − 3 5 9 − 1 10 b) 8 − 5 = 3 7 3 4
- 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real? Basta multiplicar todos os elementos da matriz por esse número real. Exemplo: 2 5 − 6 −15 − 3 1 −1 = − 3 3 − 2 0 6 0
- 24. Como o tipoda matriz influencia na multiplicação de duas matrizes? Matriz A Matriz B 4x3 3x2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
- 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes? Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp, onde o elemento cij é calculado multiplicando ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando os produtos obtidos.
- 26. Exemplo 1: 3 2 3 1 A = 5 0 e B = 6 2 1 4 3.3 + 2.6 3.1 + 2.2 21 7 AB = 5.3 + 0.6 5.1 + 0.2 = 15 5 1.3 + 4.6 1.1 + 4.2 27 9
- 27. Exemplo 2: 2 1 4 2 0 C= e D= 1 3 5 1 3 2.4 + 1.5 2.2 + 1.1 2.0 + 1.3 CD = 1.4 + 3.5 1.2 + 3.1 1.0 + 3.3 13 5 3 CD = 19 5 9
- 28. Tente fazer sozinho! 1)(Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes x 1 0 0 1 − 1 − 1 1 1 0 2 y 1 é a matriz nula, x + y é igual a: a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
- 29. Solução x 1 0 0 1 − 0 1 − 1 1 0 2 y =0 1 1 1 0 0 1 −1 0 1 −1 −1 1 1 0 2 = 1 −1 3
- 30. x 01 −1 0 1 −1 3 y =0 1 0.x +1. y +1.( −1) 0 1.x + ( −1). y + 3.1 = 0 0 + y −1 0 x − y + 3 = 0 y −1 = 0 ⇒ y = 1 x − y + 3 = 0 ⇒ x − 1 + 3 = 0 ⇒ x = −2 x + y = −2 + 1 = −1 Letra C.
- 31. 1 b 2)(Fatec-SP) Seja a matriz A = , tal que a 1 − 19 − 8 A = 2 10 − 19 . É verdade que a+b é igual a: a) 0 b) 1 c) 9 d) -1 e) -9
- 32. Solução 1 b 1 b − 19 − 8 a 1 a 1 = 10 − 19 1 + ab 2b − 19 − 8 2a ab + 1 = 10 − 19 2b = −8 ⇒ b = −4 ab + 1 = −19 ⇒ −4a = −20 ⇒ a = 5 Resposta: Letra B a + b = −4 + 5 = 1
- 33. O que ématriz inversa? É matriz X de ordem n, cujo produto com a matriz A é igual a matriz identidade de ordem n. A matriz inversa de A É indicada por A-1. Ou seja, A.X = X.A = In, onde X = A-1
- 34. Exemplo: 2 1 3 − 1 A= e B= 5 3 − 5 2 2 1 3 − 1 AB = 5 3 − 5 2 2.3 + 1.( − 5) 2.( − 1) + 1.2 AB = 5.3 + 3.( − 5) 5.( − 1) + 3.2 1 0 AB = 0 1 Logo, B = A-1
- 35. Tente fazer sozinho! (Unifor-CE)Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a 0 2 matriz inversa de A = , então: − 1 1 a) b11 = - ½ b) b12 = -1 c) b21 = 1 d) b22 = -1 e) b22 = - ½
- 36. Solução 0 2a b 1 0 − 1 1 c d = 0 1 2c 2d 1 0 − a + c − b + d = 0 1 Resposta: Letra B 1 2c = 1 ⇒ c = 2 2d = 0 ⇒ d = 0 1 1 − a + c = 0 ⇒ −a + = 0 ⇒ a = 2 2 − b + d = 1 ⇒ −b + 0 = 1 ⇒ b = −1
- 37. Bibliografia Dante,Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302. Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.