Matrizes

Matrizes

• 1.
  matrizes (operações) exercícios Nesseartigo será abordado operações com matrizes, tipos de matrizes e alguns exercicios de vestibulares passados para fixação da matéria e preparação para o vestibular. Matrizes As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações e dispostos em m linhas e n colunas. , matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna). , matriz de ordem 3 x 3. (3 linhas e 3 colunas). , matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas) Transposta de uma matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. Exemplo: A matriz At é a matriz transposta da matriz A . Adição de matrizes Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas (mesma ordem). A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas. Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes. Concluímos que: Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com C de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.
• 2.
  Observe os exemplosseguintes para melhor compreensão. Exemplo: Dadas as matrizes abaixo, efetue A + B. Solução: Temos que: Subtração de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. As matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas. Concluímos que: Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11 Exemplo: Considerando as matrizes abaixo, efetue A – B. Solução: Temos que: Produto das matrizes Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo: Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
• 3.
  Onde L1C1 éo produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma: L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5 L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17 L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4 L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0 L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6 L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50 L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30 L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim: MATRIZ QUADRADA É A MATRIZ CUJO NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO DE COLUNAS. PORTANTO, SE AM×N É QUADRADA, M = N. EXEMPLO: QUANDO A MATRIZ É QUADRADA NELA PODEMOS PERCEBER A PRESENÇA DE UMA DIAGONAL SECUNDÁRIA E UMA DIAGONAL PRINCIPAL. MATRIZ IDENTIDADE
• 4.
  Para que sejauma matriz identidade uma matriz tem que ser quadrada do tipo: 2x2 , 3x3, 4x4, etc. e os elementos da diagonal principal devem ser iguais a 1 e os outros elementos iguais a 0. Exemplo: Matriz diagonal Para que seja uma matriz diagonal uma matriz tem que ser quadrada do tipo: 2x2, 3x3, 4x4, etc. e os elementos que não são da digonal principal devem ser iguais a zero. Matriz inversa Considere uma matriz quadrada A de ordem n. Se existir uma matriz quadrada B, da mesma ordem, tal que: AB = In sendo In a matriz identidade, ou seja, uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras. Então a matriz B será chamada inversa da matriz A, sendo indicada por A (-1). Nesse caso dizemos que a matriz é inversível. Se não existir a matriz B, dizemos que a matriz A não tem inversa, ou seja, não é inversível. Se a matriz inversa existir, ela é única. Exemplo: Determinar, se existir, a inversa da matriz A = e B= são inversas entre si. Para que seja verdade o produto de G . K = I3
• 5.
  Portanto, concluímos queas matrizes A e B são inversas entre si. Exercícios Matrizes 1) Multiplicando-se uma matriz 3 x 4 por uma matriz 4 x 5 obtém-se uma matriz de que tipo? a a 2) (UNICAMP) Supondo a ≠ 0, determine x tal que A² = 0, onde A é a matriz A = (x x ). 3) Na matriz B = (bij)3x3, onde bij = -2, se i < j , calcule a12*a22*a32. 5i, se i = j 3ij, se i > j 4) Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas. 5) (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então: a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3; b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3; c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3; d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B; e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B. 6) (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é: a) (A = B) . C = A . C + B . C b) (A + B)t = At + Bt c) (A . B)t = At . Bt d) (A - B)C = AC - BC e) (At )t = A
• 6.
  7) Caso exista,encontre a inversa da matriz Gabarito: 1) 3 x 5 2) x = - a ou x = 0 3) - 360 4) x = 5 y = - 4 t = 1 z = 6 5) C 6) C 7)