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Carregado porAriosvaldo Carvalho
Matrizes ppt
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
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Matrizes ppt
- 1. Matrizes Definição Mat Fis Qui João 7 5 6 Maria 9 4 5 Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elemen- tos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS. 7 5 6 A= 9 4 5 PROF.: LIMA
- 2. Matrizes Notação Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento. A= Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. PROF.: LIMA
- 3. Matrizes Representação de Matrizes A representação de matrizes é feita de três formas diferentes: PROF.: LIMA
- 4. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Linha Toda matriz que possui só uma linha. A = (1 3 7) Matriz Coluna É formada por uma única coluna. PROF.: LIMA
- 5. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Nula Possui todos os elementos iguais a zero. 0 0 0 0= 0 0 0 Matriz Quadrada Possui todos os elementos iguais a zero. 2 − 1 4 0 PROF.: LIMA
- 6. Matrizes Tipos de Matrizes Diagonal Principal Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i = j. Diagonal Secundária Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i + j = n + 1. PROF.: LIMA
- 7. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Diagonal É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero. Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal PROF.: LIMA
- 8. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Identidade ou Matriz Unidade É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero. Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A . I = I . A = A PROF.: LIMA
- 9. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Oposta ( - A) É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada. PROF.: LIMA
- 10. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de At e vice-versa 5 1 5 3 4 3 0 A= A = t 1 0 2 4 2 Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At . PROF.: LIMA
- 11. Matrizes Operações com Matrizes Igualdade de Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais. A = B <=> aij = bij PROF.: LIMA
- 12. Matrizes Operações com Matrizes Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos aij + bij = cij PROF.: LIMA
- 13. Matrizes Operações com Matrizes Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = cij PROF.: LIMA
- 14. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj Observações: 1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é umaPROF.: do tipo m x p. matriz LIMA
- 15. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação PROF.: LIMA
- 16. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação (continuação) PROF.: LIMA
- 17. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação (outra explicação) PROF.: LIMA
- 18. Matrizes Lei de formação de uma matriz PROF.: LIMA
- 19. Matrizes Lei de formação de uma matriz PROF.: LIMA
- 20. Matrizes Lei de formação de uma matriz PROF.: LIMA
- 21. Matrizes Lei de formação de uma matriz Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada. PROF.: LIMA
- 22. Matrizes Lei de formação de uma matriz Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B. 2 3 1 A = e B = 3 0 1 2 4 4 5 2.3 +3.2 2.1 +3.4 12 14 C = A.B = 1.3 +0.2 1.1 +0.4 = 3 1 4.3 +5.2 4.1 +5.4 22 24 PROF.: LIMA
- 23. Matrizes Observações O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam. Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2 Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 PROF.: LIMA
- 24. Matrizes Lei de formação de uma matriz Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que: aij = i − 2 j se i = j bij = 3i + j se i ≠ j a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 1 − 2.1 3.1 + 2 3.1 + 3 − 1 5 6 A= = 7 − 2 9 3.2 + 1 2 − 2.2 3.2 + 3 PROF.: LIMA
- 25. Matrizes Exercício Resolvido Quantas matrizes existem de ordem 2 6 5 com elementos de números naturais X +X = t tais que: 5 8 Solução: a b a c Chamaremos de X = e X = b d t c d a b a c 6 5 Substituíndo temos + b d = 5 8 c d 2 a b + c 6 5 b + c 2d = 5 8 PROF.: LIMA
- 26. Matrizes Operações com matrizes Produto de número por uma Matriz O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada. = = PROF.: LIMA
- 27. Matrizes Matriz Inversa(A-1) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I. −1 A. A = I n Dada a matriz A = e matriz B = , verifique se elas são inversas. . Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si. PROF.: LIMA