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Números Complexos
- 1.
- 2. Quantas vezes, aocalcularmos o valor de Delta( b² - 4ac) na resolução de equação de 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta <0). Neste caso, sempre dizemos que não existe solução no campo dos números reais. Uma equação que tirou o sono de muitos matemáticos do século XV, foi a equação x² +1 = 0, uma vez que não existe no campo dos reais raiz quadrada de número negativo (x = √-1). Para que as equações sempre fosse possíveis, houve a necessidade de ampliar o universo dos números. Criou-se, então, um número cujo quadrado é -1.
- 3. Esse número, representadopela letra i, denominado unidade imaginária , é definido por: i² = -1 A partir dessa definição, surge um novo conjunto de números, denominado conjunto dos números complexos , que indicamos por C. Mas não se assustem o complexo só está no nome. Vocês verão que esse conjunto é muito fácil de aprender.
- 4. Definição de númeroscomplexos Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + b i , onde i = √-1 é a unidade imaginária . Ex: z = 2 + 3 i ( a = 2 e b = 3) w = -3 -5 i (a = -3 e b = -5) u = 100 i ( a = 0 e b = 100)
- 5. NOTAS: a) diz-se que z = a + b i é a forma binômia ou algébrica do complexo z . b) dado o número complexo z = a + b i , a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) . c) se em z = a + b i tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3 i . d) se em z = a + b i tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0 i . e) Seja z = a + b i , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z. Ex: z= 4 + 5 i -> = 4 – 5 i
- 6. f) do item(c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos . g) um número complexo z = a + b i pode também ser representado como um par ordenado z = ( a , b ) .
- 7. Forma Algébrica Osnúmeros complexos são formados por um par ordenado ( a , b ) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária. Sendo P o ponto de coordenadas ( a , b ), a forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + b i, como a e b Є R. A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos.
- 8. Operações com númeroscomplexos Adição e subtração: Somamos ou subtraímos números complexos, somando ou subtraindo, respectivamente, suas partes reais e imaginárias, separadamente. Isto é: ( a + b i)+( c + d i)=( a + c ) + ( b + d )i ( a + b i) - ( c + d i)=( a - c ) + ( b - d )i Ex: 1) ( 2 + 3 i)+( 6 + 4 i)=( 2 + 6 )+( 3 + 4 )i = 8 + 7 i 2) ( 6 + 5 i)–( 2 + 3 i)=( 6 - 2 )+( 5 - 3 )i = 4 + 2 i
- 9. Multiplicação: Amultiplicação de dois números complexos se dá de acordo com a regra de multiplicação de binômios e lembrando que i²=1,temos: ( a + b i)( c + d i)= ac + a d i+ b c i+ bd i² ( a + b i)( c + d i)= ac + a d i+ b c i – bd ( a + b i)( c + d i)=( ac – bd )+( a d + b c )i Ex: ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)=2+6i+4i+12i² ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)=2+6i+4i - 12 ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)=(2-12)+(6+4)i ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)= - 10 + 10 i
- 10. Divisão: Adivisão de dois números complexos pode ser obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de fração; a seguir, procedendo-se de modo análogo ao utilizado na racionalização do denominador de uma fração, multiplicam-se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do denominador. Ex: = =
- 11. Por:Andréia Caetano da Silva Bibliografia: Matemática Fundamental, 2ºgrau: volume único/José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo:FTD,1994