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NÚMEROS COMPLEXOS Conceito, formas algébrica e trigonométrica e operações. Autor: Daniel Mascarenhas

CONCEITO (PARTE I) Os números complexos surgiram para sanar uma das maiores dúvidas que atormentavam os matemáticos: Qual o resultado da operação X² + 1 = 0 ? X² = -1  X = √-1 Obs: O surgimento dos números complexos está ligado a resoluções de equações algébricas, sobretudo as equações do 3° grau, e não as de grau 2 como é comum dizer. Fonte: http://www.igm.mat.br/cursos/fvc/complexos.pdf

CONCEITO (PARTE II) Por isso, foi criado um número especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematicamente: I² = -1  i = √-1 Esse novo conceito possibilitou a resolução da equação mostrada anteriormente

CONCEITO (PARTE III) Desse modo: X² + 1 = 0 X = √-1 (como i = √-1) X = i

CONCLUSÃO DO CONCEITO Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C. Conjunto dos números complexos = C

RELAÇÃO FUNDAMENTAL O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a relação fundamental onde: I² = -1 Ou i = √-1

EXEMPLOS √ -2 = √2(-1) Aplicando a relação fundamental: √ -2 = i√2 √ -4 = √4(-1) Aplicando a relação fundamental: √ -4 = 2i

FORMA ALGÉBRICA (PARTE I) O número complexo possui uma parte real e outra imaginária. Como a parte imaginária conta com a presença do i, sua forma algébrica é Parte real a + bi Parte imaginária

FORMA ALGÉBRICA (PARTE II) Um número complexo que não possui parte real (a = 0) é denominado número complexo puro. Um número complexo que não possua a parte imaginária (b = 0) é denominado número real e os números imaginários que possui ambas as partes são simplesmente chamados de números complexos.

EXEMPLOS 2 + 4i -> número complexo 8 - i√2 -> número complexo 6i -> número complexo puro 4 -> número real -i -> número complexo puro i² -> número real

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Um número complexo z = a + bi possui um conjugado que é representado por  z, onde:  z = a – bi (lê-se conjugado de z)

EXEMPLOS Dados os números complexos, encontrar seus respectivos conjugados: z = 2 – 4i ->  z = 2 + 4i z = i ->  z = -i z = 1 + 2i ->  z = 1 - 2i z = 2 ->  z = 2 z = -3 – 8i ->  z = -3 + 8i

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA Como os números reais possuem forma real e imaginária separadas, as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação diferem um pouco das habituais com números reais.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA Para somar e subtrair números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e imaginária separadamente. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

EXEMPLOS (2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i (1 + 4i) – ( 2 - 7i) = (1 - 2) + (4 - 7)i = -2 -7i (3 + i) – (4 + i) = (3 - 4) + (i - i) = -1 i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5i

MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA Para efetuar a multiplicação aplica-se simplesmente a distributiva: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²  (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci – bd  (a + bi)(c + di) = a(c + di) + b(-d + ci)

EXEMPLOS (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 3i + 3i + 3i² = 2 + 6i – 3 = -1 + 6i 2 (1 + i) = 2 + 2i (2 - i)(-3 + 2i) = -6 +4i +3i – 2i² = -4 + 7i

DIVISÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA Para se dividir números complexos, deve-se multiplicar ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador.

POTÊNCIAS DE I (PARTE I) Nas potências de i notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente:

POTÊNCIAS DE I (PARTE II) Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potência, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potência utilizando como expoente o resto da divisão.

EXEMPLO i 1047 = i 3 = -i 1047 3 4 261

NÚMERO COMPLEXO NO PLANO DE ARGAND-GAUSS Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas é a reta dos números reais e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denominado plano de Argand-Gauss.

EXEMPLO Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 3 + 2i 1 2 3 4 4 3 2 1 z = 3 + 2i y (reta imaginária) x (reta dos reais)

MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO (PARTE I) No gráfico, o módulo de um número complexo z = a + bi é o segmento de reta que vai do ponto origem O(0,0) até o ponto do P(a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o eixo das abscissas em sentido anti-horário. z = a + bi   = arg(z)

MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO (PARTE II) z = a + bi   =arg(z) a b

FORMA TRIGONOMÉTRICA Utilizando as relações dadas no slide anterior e aplicando-as à forma algébrica, obtemos a forma trigonométrica de um número complexo.

EXEMPLO Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = 1 + i √3

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA - MULTIPLICAÇÃO Para multiplicar números complexos na forma trigonométrica utilizamos a fórmula:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA - DIVISÃO A fórmula para efetuar a divisão entre dois números complexos na forma trigonométrica é a seguinte:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA - POTENCIAÇÃO Para efetuar a potenciação entre números complexos na forma trigonométrica utilizamos esta fórmula:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA – RADICIAÇÃO De forma análoga à potenciação, para efetuar a radiciação com números complexos na forma trigonométrica utilizamos a formula:

DO AUTOR Daniel Mascarenhas E-mail: d_masc@hotmail.com

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