Polinomios 7 serie_matematica

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POLINÔMIOS,
PRODUTOS NOTÁVEIS
E

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Colégio Trilíngue Inovação 7ª série
1

POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS

O Módulo é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a
relembrar itens como:
- “Colocar em evidência”;
- “Produtos Notáveis”;
- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.

I. POLINÔMIOS

1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.

MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por
uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.

Exemplos:
a) 5m
b) p 2
c) 2 xy
d) my

Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente
numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.

Exemplo:
2mx 2 = 2 mx 2
{
Parte Literal

Coeficiente
Numérico

Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.

Obs. 1: O monômio 4 ay é um polinômio de um termo só.

Obs. 2: 2 x + 4 y é um polinômio de 2 termos: 2 x e 4 y .

Obs. 3: 2 x − ab + 4 é um polinômio de 3 termos: 2 x , − ab e 4.

2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

2.1. Adição Algébrica de Polinômios

Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.

Exemplo:

2

a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:

Como perímetro é a soma dos lados, teremos:
x +1 x2
( )
(x + 1) + x 2 + 3x − 4x 2 + 3 = ( )
3x − 4x 2 + 3 termos semelhantes
x + 1 + x + 3x − 4 x 2 + 3 =
2

termos semelhantes

1 3 + x4 43 + 1 + 3 =
+3 1− 4
2 2
x2x 2x {

4 x − 3x 2 + 4 o resultado é um polinômio.

b) (x 2
− 4 xy − 4 ) − (3x 2
+ xy + 2 ) + (xy) = Primeiro eliminaremos os
parênteses tomando cuidado
x 2 − 4 xy − 4 − 3x 2 − xy − 2 + xy quando houver sinal negativo
fora dos parênteses.
x 2 − 4 xy − 4 − 3x 2 − xy − 2 + xy =

1 24 − 4 xy − xy + 3 − 4 − 2 =
− x2
2
x4 33 xy
144 44 1 3
2 2

− 2 x 2 − 4 xy − 6

EXERCÍCIOS
1) Reduza os termos semelhantes:
a) 4a 2 −10a 2 − 6a 2 − 4a 2 =
b) − a − a + a =
2 3 5

2) Escreva os polinômios na forma fatorada:
a) 4x − 5x 3 + 6x 2 =
4

b) 8a 2 b 2 − 4ab + 12a 3 b 3 =
c) 15a 3b 2x + 3a 2b3 x 4 =
d) 5b + 5c + ab + ac =
e) am + bm + cm + an + bn + cn =
f) x 2 + 2 xy + y 2 =
g) a 2 + 6a + 9 =
h) m 2 − 12m + 36 =
i) 4 x 2 − 16 y 2 =
j) m 2 n 2 −1 =
k) (5x y + x y ) + (− 3xy
2 2 2 2
) ( )
− x 2 y 2 + 2 x 2 y − − 5x 2 y 2 + 6 x 2 y =
l)  5  1 1   1 1 1 
− b + a + c −  c + a − b +  − a + b − c =
 4  3 2   8 6 6 
m) (2,5x2 − x − 3,2) + (− 1,4x + 0,7x2 + 1,8) − (3,1x2 − 1,5x − 0,3) =

3

2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios

A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada
termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos
semelhantes.

Exemplo:

a) (x + 2 y ) ⋅ (x 2 − x ) = x ⋅ x 2 − x ⋅ x + 2y ⋅ x 2 − 2y ⋅ x

= x 3 − x 2 + 2 yx 2 − 2 yx e fica assim.

b) (2a + b) ⋅ (3a − 2b ) = 2a ⋅ 3a − 2a ⋅ 2b + b ⋅ 3a − b ⋅ 2b

= 2⋅3⋅a ⋅a − 2 ⋅ 2⋅ a ⋅ b + 3⋅ b ⋅a − 2⋅ b ⋅ b
= 6a 2 − 4ab + 3ab − 2b2
144 44
2 3
termos semelhante
s

= 6a 2 − ab − 2b 2

c) (2p − 1) ⋅ (p 2 − 3p + 2) =

Conserve a base e
some os expoentes.
68
7
2p ⋅ p 2 − 2p ⋅ 3p + 2p ⋅ 2 − 1 ⋅ p 2 + 1 ⋅ 3p − 1 ⋅ 2 =

2p 3 − 6p 2 + 4p − p 2 + 3p − 2 =

2p 3 − 6p 2 − p 2 + 4p + 3p − 2 =
1 24
4 3 123

2p 3 − 7 p 2 + 7 p − 2

d) (xy − 4x y)⋅ (3x y − y) =
2 2

4

xy ⋅ 3x 2 y − xy ⋅ y − 4x 2 y ⋅ 3x 2 y + 4x 2 y ⋅ y =

3 ⋅ x ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ y − xy 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ y + 4x 2 y 2 =
3x 3 y 2 − xy2 − 12x 4 y 2 + 4 x 2 y 2 não há termos semelhantes

Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.

2.3. Divisão Algébrica de Polinômio

Divisão de um polinômio por um monômio

A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do
polinômio pelo monômio.

Exemplo:
( )
a) 10 x 4 − 20x 3 + 15x 2 ÷ 5x 3 =
10 x 4 − 20x 3 + 15x 2 10x 4 20x 3 15x 2
= = − +
5x 3 5x 3 5x 3 5x 3
10 4 − 3 20 3− 3 15 2 − 3
= ⋅x − ⋅x + ⋅x
5 5 5
= 2 x1 − 4 x 0 + 3x −1
= 2 x − 4 ⋅ 1 + 3x −1
1
= 2x − 4 ⋅ 1 + 3 ⋅
x1
3
= 2x − 4 +
x

ou

10x 4 − 20x 3 + 15x 2 10x 4 20x 3 15x 2
= − +
5x 3 5x 3 5x 3 5x 3
/
2x 4 4x 3 3x 2
= 3 − /
+
x x3 x3
/ /
2x3 ⋅ x 3⋅ x2
= − 4 ⋅1 + 2
x3 /
x/ ⋅x
3
= 2x − 4 +
x

5

b) (28x y 4 3
)
− 7 x 3y4 ÷ 7 x 2 y2 =

Como 7 x 2 y 2 é mínimo múltiplo da
fração, podemos separar em duas frações.

28x 4 y3 − 7 x 3 y 4 28 x 4 y 3 7x3y4
= = −
7x 2 y2 7x 2 y2 7x 2 y2
= 4 ⋅ x 4 − 2 ⋅ y3− 2 − 1 ⋅ x 3− 2 ⋅ y 4 − 2
= 4 x 2 y − 1 ⋅ x1 ⋅ y 2
= 4 x 2 y − xy 2

ou

28x 4 y3 − 7 x 3 y 4 28 x 4 y 3 7x 3y4
= −
7x 2 y2 7x 2 y2 7 x 2 y2
/ / / /
4 x 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ y1
/ / 1⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y2 ⋅ y2
/ /
= / /
− / /
x 2 ⋅ y2
/ / 1.x 2 ⋅ y 2
/ /
= 4 x 2 y − 1xy2 =
= 4 x 2 y − xy 2

Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.

EXERCÍCIOS
3) Calcule:

g) (10a bc + 25ab c − 50abc ) =
a) 5 x( x − 3)( x + 4) = 2 2 2

b) 3ab(2a + b)(a − b) = (5abc )
c) (a − 1)(a 2 − 1)(a + 1) = 1 2 2 2 2 4 2
 a b − a b + ab 
(35a − 21a ) =
4 2
h)  2 5 7 =
(7a )
d) 2 2ab
2a + 3
( x3 y − xy3 ) i) =
e) = 2
(− xy )
5a 2 + 1
(42 y 7
− 24 y5 − 72 y3
=
) j)
( )
f) a
− 6 y2

4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:

a) (x )(
+ a a − x 2 − 2ax 2 =
2
) c) (a + b − c )(a − b ) − (a − b − c )(b − c ) =
b) (x − y + a )(x − 2 y ) − a(x + y ) = d) (x + y )(x − y )(3x − 2 y ) − (x + y )(3x 2 + 2 y 2 ) =

6

[
e) (a + x )(2a − x )(x + a ) − (2a 2 + x 2 ) = ] h) 2 x. 1 x − 1  =
 
f) − 3x.(2 x 2 − 3x − 1) = 5 4 2

( )
g) x 2 + 5 xy + y 2 .3xy = i)  3a 3 
4a. +  =
 4 2
II. PRODUTOS NOTÁVEIS

No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para
simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são
chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:

1) (x + y ) ⋅ (x − y ) = x 2 − y2
2) (x ± y )2 = x 2 ± 2xy + y 2
3) (x ± y ) 3 = x 3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3

Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais
decorá-los, observemos:

a) (x − y ) ⋅ (x + y ) = x 2 + xy − yx − y 2
/ / = x2 − y2

b) (x + y )2 = ( x + y ) ⋅ (x + y ) = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2 xy + y 2

c) (x − y )2 = (x − y ) ⋅ (x − y ) = x 2 − xy − xy + y 2 = x 2 − 2 xy + y 2

d) (x + y )3 = (x + y ) ⋅ (x + y )2 = (x + y ) ⋅ (x 2 + 2 xy + y 2 ) =

= x 3 + 2 x 2 y + xy 2 + yx 2 + 2 xy 2 + y 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3

Como utilizaremos os produtos notáveis?

Exemplos para simplificações:
3x + 3 y 3(x + y ) 3
a)     →  =
x −y
2 2 produto notável
(x + y ) ⋅ (x − y ) (x − y )

b) (x + 4)2 = x 2 + 2.x.4 + 42 = x 2 + 8x + 16

Obs.: (x + 4 )2 jamais será igual a x 2 + 16 , basta lembrarmos que:
(x + 4 )2 = (x + 4 ) ⋅ (x + 4 ) = x 2 + x .4 + 4. x + 16 = x 2 + 8 x + 16

26

c) (a − 2)3 jamais será a 3 − 8 , pois:
(a − 2)3 = (a − 2) ⋅ (a − 2)2 = (a − 2) ⋅ (a 2 − 4a + 4) =

a 3 − 4a 2 + 4a − 2a 2 + 8a − 8
{ { = a 3 − 6a 2 + 12a − 8

EXERCÍCIOS
5) Desenvolva os produtos notáveis:

a) (a + b )2 h) (2a + 3)(2a − 3)
b) (2a + 3) 2
i) (4 x + 3 y )(4 x − 3 y )
(3 x + 4 y )2
2
c) j)  y − 1 
 
d) (a − b )2  2
e) (2a − 3)2 k) (d − 2h )2
f) (3 x − 4 y )2 l) ( 5+ 3 )( 5− 3 )
g) (a + b)(a − b) m) ( )(
2 −1 2 +1 )
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.

III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e
para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.

1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência

Exemplos:
Observemos que b é o fator comum,
portanto, deve ser colocado em evidência
a) ab − b 2 com o menor expoente.

ab
ab ÷ b = =a
Então ab − b 2
= b (a − b) b

b2
b2 ÷ b = =b
b
Ao efetuarmos o produto b ⋅ (b − a ) , voltaremos para a expressão inicial ab − b 2 .

b) 2ay + 4by
2y é o fator comum;
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;
Portanto 2y deve ser colocado em evidência.

7

2ay
2ay ÷ 2 y = =a
Assim: 2ay + 4by = 2y (a + 2b ) 2y

4by
4by ÷ 2 y = = 2b
2y

c) 4bx 3 − 16bx 2 − 8b 2 x

Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus
menores expoentes)
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.
Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.

4bx 3 − 16bx 2 − 8b 2 x = (
2bx 2 x 2 − 8x − 4b ) 4bx 3 ÷ 2bx =
4bx 3
2bx
= 2x 2

− 16bx 2
− 16bx 2 ÷ 2bx = = −8x
2bx

− 8b 2 x
− 8b 2 x ÷ 2bx = = −4 b
2bx

(
d) 2m 2 y 2 − m3 y 5 = m 2 y 2 2 − my3 )
2m 2 y 2 ÷ m 2 y 2 = 2

m3 y5
m3 y5 ÷ m 2 y 2 = = my 3
2 2
m y

Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum
sempre com o menor expoente.

EXERCÍCIO
7) Simplifique as expressões:

a) (a + b ) =
2
a +b
e) =
a+b a + 2ab + b 2
2

b) (a + b + c ) ⋅ x =
a −1
f) =
(a + b + c )x a 2 +1

c) (3a + 3b ) =
x2 − 9
g) =
5a + 5b x 2 + 6x + 9
5ab + 5a 9a 2 − 3ab
d) = h) =
15b + 15 6ab − 2b 2

9

IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS

As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.

2 4t 2m
Exemplos: , ,
x y2 t

As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são
exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns
exemplos:

1. Adição e Subtração

Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:
3 1
a) + m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.
2x 4y
xy → todas as variáveis que
4xy aparecem nos denominadores
4xy ÷ 4 y = =x
3 1 6y + x 4y comporão o m.m.c. com seus
+ = maiores expoentes.
2x 4y 4 xy x ⋅1 = x

4xy
4 xy ÷ 2x = = 2y
2x
2y ⋅ 3 = 6y

x2 2 y
b) + 2
− 2
y 3xy 8x
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;

M.m.c. entre y, 3xy 2 e 8x 2 = 24 x 2 y 2 x 2y 2 são as variáveis com
seus maiores expoentes.

24x 2 y 2
24x 2 y 2 ÷ y = = 24x 2 y
y
24x 2 y 2 • x 2 = 24x 4 y 2

Colégio Trilíngue Inovação 24x 2 y 2
7ª série
24x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = = 8x
9 3xy 2
8x • 2 = 16x

x2 2 y 24 x 4 y 2 + 16 x − 3y3
+ − 2 =
y 3xy 2 8x 24 x 2 y 2

VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?

Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?
m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em
todos os termos) para colocar em evidência.
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.
b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.

m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.

Qual é o mmc de 2,4 e 6 ?
Observe:
múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)
múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)
múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)

O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).
No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra
prática de a decomposição simultânea em fatores primos..

2, 4,6 2
1, 2,3 2
1, 1, 3 3
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12. 1, 1, 1 2.2.3 = 12

b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60. 10,15, 20 2
5, 15,10 2
5, 15, 5 3
5, 5, 5 5
1, 1, 1 2.2.3.5 = 60

Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que
escrevê-los na forma fatorada.
3 x
c) −
3x − x 2
9 − 3x

Fatorando os denominadores:

10

3x − x 2 = x (3 − x )
9 − 3x = 3(3 − x )

M.m.c. dos denominadores fatorados x (3 − x ) e 3(3 − x ) será: 3x (3 − x )

3x (3 − x )
3 x 3 x 9 − x2 3x (3 − x ) ÷ x (3 − x ) = =3
Assim − = − = x (3 − x )
3x − x 2
9 − 3x x (3 − x ) 3(3 − x ) 3x (3 − x ) e temos que 3 • 3 = 9
m.m.c.
produto de todos os 3x (3 − x )
Denominadores 3x (3 − x ) ÷ 3(3 − x ) = =x
fatorados termos que aparecem 3(3 − x )
nos denominadores
e temos que x • x = x 2

Mas ainda podemos melhorar o resultado:
9 − x2
produto  →
  notável

(3 − x )(3 + x ) = 3 + x
3x (3 − x ) 3x (3 − x ) 3x

a a−y 1
d) + 2 +
a−y a −y 2
a+y

Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:
a 2 − y 2 = (a − y )(a + y ) → produto notável

Assim teremos:
a a−y 1 a 1 1
+ + = + + =
a − y (a − y )(a + y ) a + y a−y a+y a+y

a (a + y ) + a − y + a − y a 2 + ay + 2a − 2 y m.m.c dos
=
(a + y )(a − y ) (a + y )(a − y ) denominadores será
(a + y )(a − y )

2. Multiplicação e divisão de frações algébricas

A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas,
ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por
numerador e denominador por denominador.

Exemplos:

11

2 2y 1 4y 4
a) ⋅ ⋅ 2 = =
x 3 y 3xy2 3xy
4
4 3 12 12
b) x = ⋅ 2 = 1+ 2 = 3
2
x y x x y x ⋅y x y
3

EXERCÍCIOS
8. Calcule:

a) 3a + 2a − a = p) 2 x ⋅ 5 =
y y y 3 y
x − 3 x − 2 x +1 a +b a−b
b) − + = q) ⋅ =
x+ y x+ y x+ y x y
a 2a 3a 3a 2a
c) + − = r) ⋅ =
b 3b 2b a+3 a+2
a 2a 3a a − 5 2a
d) + − = s) ⋅ =
3x 2 x 4 x 3 a−5
2 3 3x 2 2a 2 y 3
e)
2
− = t) ⋅ ⋅ =
x 4x 8a y x
3 a+2 m+ n a −b
f) + = u) ⋅ =
a a−2 2( a − b ) m − n
3x + 1 x + 1
g) − = v) m − n ⋅ 3 =
2 2
2x − 2 x −1
6 m−n
1 1
h) + =
w) x + x ⋅ 3 x + 6 =
2
a+b a−b
b + 2a 2 2a x + 1 x2 − 4
i) − =
ab + a b + 1 a 2 −1 2x
x−2 4 x − 12
x) ⋅ =
j) +
2
+ x a +1
x + 2 x − 2 x2 − 4
a 2b 2 b a
k) + 2 +
a −b a −b 2
a+b y) 3 =
a2
l) a + b − a + b + a + b
2 2

x
b a ab
m) x − x 2 − 12 + 2 =
2
a 2 − x2
x−2 x −4 x+2
z) xy
=
n) y − 1 + y + 1 − 4 y = a−x
y +1 y −1 y 2 −1
x
2
o) 3 − x + x =
3+ x

12

9. Calcule:

x+5 − 3a 
−3
f) 
  =
a) 2x =  m 
x − 25
2
3 2

3x g)  2a  =
 2 
 b 
−1
4x2 − 9
h)  5 x  =
2
 
b) a2 =  3
 4y 
4 x 2 + 12 x + 9 −3
a i)  2a2  =
 
 5b 
0
j)  2ab  =
 
a−2  c 
c) ab 2 = 2
k)  3a b  =
2
(a − 2)2 



a 2b  4c 
x− y
2
l)  − a  =
 
d) 2 = a −b
x2 − y 2 −2
4 m)  2 x 
  =
 3x − 4 
2
a−b
n) 
2
e)  5a  =
    =
 7b   a +b

13

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1ª Questão:
a) 16 a 2 b) 19a
−
30

2ª Questão:
(
a) x 2 4x 2 - 5x + 6 ) d) (5 + a)(b + c) g) (a + 3) 2 j) (mn - 1).(mn + 1)
b) 4ab(2ab - 1 + 3a b )
2 2 e) (m + n)(a + b + c) h) (m - 6) 2 k) x 2 y + 5x 2 y 2 - 3xy 2
c) 3a b x (5a + bx )
2 2 3 f) (x + y) 2 i) (2x - 4y).(2x + 4y) l) (3a - 8b + 12c )
24
m) 2
0,1x - 0,9x - 1,1

3ª Questão:
a) 5x3 + 5x 2 - 60x d) 5a 2 - 3 g) 2a + 5b - 10c j) 1
5a +
a
b) 6a 3 b - 3a 2 b 2 - 3ab 3 e) - x2 + y2 h) (35ab - 28a + 40b )
140
c) a - 2a + 1
4 2 f) - 7y + 4y + 12y
5 3 i) 3
a+
2

4ª Questão:
a) a 2 - x 4 - 2ax 2 c) a 2 + bc - ab - c 2 e) - ax 2 + a 2 x - 2x 3 g) 3x 3 y + 15x 2 y 2 + 3xy 3
b) x 2 - 3xy + 2y 2 - 3ay d) - 5xy 2 - 5x 2 y f) - 6x 3 + 9x 2 + 3x h) x2 x
-
10 5
i) 3a 2 + 6a

5ª Questão:
a) a 2 + 2ab + b 2 d) a 2 - 2ab + b 2 g) a2 -b2 j) y 2 - y +1 4
b) 4a 2 + 12a + 9 e) 4a 2 - 12a + 9 h) 4a 2 - 9 k) d 2 - 4hd + 4h 2
c) 9x 2 + 24xy + 16y 2 f) 9x 2 - 24xy + 16y 2 i) 16x 2 - 9y 2 l) 2
m) 1

6ª Questão:
100

7ª Questão:
a) a + b c) 3 e) 1 g) x-3
5 (a + b) x+3
b) d d) a f) 1 h) 3a
3 (a + 1) 2b

15

8ª Questão:
a) 4a h) 2a o) 9 v) m+n
y (a 2
-b 2
) (3 + x ) 2
b) x i) b p) 10x w) 3x
(x + y ) a(b + 1) 3y (x - 2)
c) a j) x 2 + 2x - 4 q) a 2 - b2 x) 2a-2
6b 2
x -4 xy
d) 7a k) (a + b ) r) 6a 2 y) x
12x (a - b ) a 2 + 5a + 6 3a
e) (8 - 3x ) l) 2a s) 2a z) (a + x )
2
4x b 3 y
f) a 2 + 5a − 6 m) 4 t) 3xy 2
a (a − 2 ) (x - 2) 2
g) 1 n) (2y - 2 ) u) m+n
2 ( y + 1) 2(m - n )

9ª Questão:
a) 3 d) 2 g) 4a 6 k) 9a 4 b 2
2 x − 10 x+ y
b4 16c 2
b) 2x − 3 e) 25a 2 h) 4 y3 l) a2
a(2 x + 3)
49b 2 5x2 a 2 − 2ab + b 2
c) a f) m3 i) 125b6/8 a3 m) 9 x 2 − 24 x + 16
b(a − 2 ) −
27a 3 4x2
j) 1 n) a 2 − 2ab + b 2
a 2 + 2ab + b 2

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Bibliografia
ANDRINI, Álvaro. Matemática. São Paulo: Brasil, 1984.
CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora
Movimento, 1981.
CILLI, Ariodante M. e outros. Matemática Funcional. São Paulo: Brasil,1983.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
MALVEIRA, Linaldo. Matemática Fácil. São Paulo: Ática, 1987.
SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.

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