Radiciação

1
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da potenciação.
Sabemos que: a)
b)
c)
Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior que 1, temos, por definição:
sinal do radical
n  índice Quando o índice é 2, normalmente não se escreve.
a  radicando
b  raiz
Raiz de um número real
ÍNDICE PAR
Se n é par, todo número real positivo tem duas raízes.
Exemplo:
Como o resultado de uma operação deve ser único, determinaremos que:
Exemplos:
a) c)
b) d) 4
16−
O B S E R V A Ç Ã O

2
NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.
ÍNDICE ÍMPAR
Se n é impar, cada número real tem apenas uma única raiz.
EXERCÍCIOS
1- Complete a tabela:
radical
índice 2 3
radicando 5 9
2- Determine as raízes:
a) f) l)
b) g) m)
c) h) n)
d) i) o)
e) j) p)
3- Calcule, caso exista em
a) e) i)
b) f) j)
c) g) l)

3
d) h) m)
4- Calcule:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIO
Se a é um número real positivo e é um número racional, com m e n inteiros e n > 0, definimos:
EXEMPLOS:
a) b)
Exercícios
5- Escreva em forma de potência com expoente fracionário.
=
6- Escreva em forma de radical.
c) =
b) d) f)
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

3 9
124
5 15
3 15
) 5
) 7
) 9
) 4
b
c
d
e
=
=
=
=
20
2
4
6
) 9
)
)
)
g
h x
i x
j a
=
=
=
=
84
4 2
6 6
8 4
)
)
)
) a
m a
n a x
o a x
p x
=
=
=
=
4
Simplificar um radical significa reescrevê-lo sob uma forma mais simples e equivalente ao que foi
dado.
Veja a seguir alguns casos de simplificação:
1º caso: O índice do radical e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número
(diferente de zero).
Exemplo: a) = b)
c) d)
7- Simplifique os radicais
a) = b) c) d)
e) f) g) h)
i) j) l) m)
2º caso: O expoente do radicando é um múltiplo do índice.
Divide-se o expoente do radicando pelo índice do radical, extraindo o radicando.
Exemplos: a) = 75
b) = 74
c) = 75
d) a³
e) = x5
8- Simplifique os radicais.
a) = f) = l) =
3º caso: O expoente do radicando é maior que o índice.

5
Nesse caso, decompomos o expoente do radicando em fatores de modo que se tenha expoentes
múltiplos do índice.
Exemplos:
Ex.: a) 3 3 5
x a =
2 3 2 7
4 5 6
) c) a
) d)
a a m m
b a x a
= =
= 3 7
m =
11-Simplifique os radicais.
3
5
3 4
54
) 49
) 9x
) 8a
) 16
a m
b
c
d m
=
=
=
=
3 8
3 10
5
4
) 27a
) 8m
) 4
) 25
e
f
g a
h a x
=
=
=
=
12- Calcule.
11
74
3 5
)
)
)
a x
b a
c m
=
=
=
7
3 7
74
5 6
7 9
)
)
)
) x
)
a a
b m
c m
d
e a
=
=
=
=
=
5
9
3 10
94
5 8
) 7
) 2
) 5
) 7
) 6
f
g
h
i
j
=
=
=
=
=

6
3
3
33
5 3
5 6
7 54
5 5
) 36 49
) 8 64
) 100 64
) 125 1
) 1 9 8
) 100 32 0
) 16 1 1
) 2. 49 3. 1 0
a
b
c
d
e
f
g
h
− =
+ =
− − =
− − − =
+ − =
+ − + =
+ − − =
− + =
13- Determine as raízes.
3
49
)
25
121
)
100
1
)
8
a
b
c
=
− =
− =
3
4
5
27
)
1000
16
)
81
32
)
243
d
e
f
=
=
=
14- Qual o valor da expressão
1
5,5
2 ?
9
+

7
( )
2
6
2
2 6
) 121x
) 225
)
) 16m
a
b x
c x y
d y
=
=
+ =
=
6 4
3 6
3 4
4 10
) 81
) 27
) 8
) 49
e x y
f x
g m
h a x
=
=
=
=
16- Qual o valor de expressão
( )
2 3
0
2 27
5 2
− − − −
−
?
17- Qual o valor de expressão
3 3
1 8 4
?
9 16
− + +
+
18- Qual o valor de expressão 22 7 2 4 ?+ + +
19- Simplificando o radical 10
1024 , temos:
a) 6 b) 4 c) 2 d) 0
20- Simplifique o radical 3
32
.
4
21- Simplifique o radical
75
12
.
22- Qual o valor numérico da expressão 2
2. . 21.x y x y− − , para x = 12 e y = 3.
23- Use propriedades dos radicais e consulte a tabela para achar um valor aproximado dos radicais:
) 12
) 18
) 63
) 80
) 54
a
b
c
d
e
≅
≅
≅
≅
≅
2 1,41
3 1,73
5 2,23
6 2,44
7 2,64
≅
≅
≅
≅
≅
OPERAÇÕES COM RADICAIS

8
Para adicionar ou subtrair, os radicais precisam ser semelhantes.
Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo indicie e o mesmo radicando.
Exemplos:
 RADICAIS SEMELHANTES
( ) (
 RADICAIS NÃO-SEMELHANTES
 os radicandos são diferentes
(  os índices são diferentes
Exercícios:
24- Responda em quais itens abaixo os radicais são semelhantes.
3 3
4
) 5 2 e 3 2
) 2 7 e 5 7
) 4 3 3
) 5 e 2 5
a
b
c e
d
−
3
) 7 2 e 7 3
) 3 2 e 6 2
) 4 2, 5 2 e 2
) 7 5, 2 5 e 5
e
f
g
h
−
−
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1º caso: Os radicais não são semelhantes.
 Deve-se extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
 Somar ou subtrair os radicais.
Exemplos:
16 9
49 25
2 3
+ =
− =
+ =
25- Calcule:
) 4 9
) 25 16
) 49 16
) 100 36
) 4 1
a
b
c
d
e
+ =
− =
− =
− =
− =
3
3 4
3 3
3
) 25 8
) 27 16
) 125 8
) 25 4 16
) 49 25 64
f
g
h
i
j
− =
+ =
− =
− + =
+ − =

9
26- Coloque = ou ≠ para tornar a sentença verdadeira.
) 2 5.......... 7 c) 9 4..........5
b) 9 4........... 13 d) 16 9..
a + +
+ − ...... 7
2º caso: Os radicais são semelhantes.
Exemplos:
3 3
5 2 3 2
6 7 2 7 7
6 5 2 5
+ =
− + + =
− =
27- Efetue as adições e subtrações.
4 4
3 3 3 3
4 4 4
) 2 7 3 7 7 7
) 8 3 10 3 5 3 2 3 6 3
) 9 5 5 2 5 9 5 5
) 5 2 5
) 10 5 10 2 10
) 3 2 8 2 2 2 2
) 8 8 4 8
) 7 2 3 2 2 2
a
b
c
d
e
f
g
h
+ + + =
− + − − =
− + + + =
+ =
+ − =
− + − =
+ − =
− + =
3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5
3 3
) 4 6 6 6 2 6 7 6
) 25 12 16 12 12 4 12
) 27 2 27 3 27 5 27 15 27
) 8 8 8 12 8
) 6 9 3 9 10 9
) 3 16 2 8 3 10 2
) 8 10 4 8 4 10 8 8
) 6 5 2 6 5 9 6
i
j
l
m
n
o
p
q
− + − =
− + − =
+ + + − =
+ − =
− + =
− + − =
+ − − =
+ − + =
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS
Há duas situações em que se pode multiplicar ou dividir radicais: quando os índices são iguais e quando são
diferentes. Iremos estudar somente os índices iguais.
Exemplos:
44
5. 7
4 2.5 3
10 : 2
15 6 :3 2
=
=
=
=

10
Exercícios
28- Efetue as multiplicações e divisões.
3 3
44
33
3 3
) 2. 7
) 5. 10
) 6. 2
) 15. 2
) 7. 4
) 2 3.5 7
) 3 7.2 5
) 2 5.3 6
) 5 3. 7
a
b
c
d
e
f
g
h
i
=
=
=
=
=
=
=
=
33
4 4
3 3
4 4
3 3
) 15 : 3
) 20 : 2
) 15 : 5
) 40 : 8
) 30 : 10
) 12 25 : 2 5
) 18 14 :6 7
) 10 8 : 2 2
) 20 2 :5 3
j
l
m
n
o
p
q
r
s
=
=
=
=
=
=
=
=
=
29- Multiplique os radicais e simplifique os produtos obtidos.
55
3 3
) 2. 18
) 32. 2
) 8. 4
) 49. 7
a
b
c
d
=
=
=
=
3 3
) 4. 2
) 3. 12
) 3. 75
) 2. 3. 6
e
f
g
h
=
=
=
=
30- Efetue as multiplicações e divisões.

11
5 5
9 95 3
3 3
) .
) a :
) a.
a a am
b a
c a
=
=
=
7 7
4 4
3 3
) 5 : 15
) 25. 5
) 12 : 2
d
e
f
=
=
=
POTENCIAÇÃO
Observe: 
Aplicando a definição de potência, temos:
= =
 =
 =
Conclusão:    conservamos o índice e elevamos o radicando à potência indicada.
Exemplo:
31- Efetue a potenciação de radicais.
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
3 3
23
5 25
5
6
) 7 d) a
) 2 e) m
) 5
a
b
c
= =
= =
= ( )
3
7 2
f) m =
32- Calcule as seguintes situações:
Exemplo:  ( )
4
4 2
3 3 3= =
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 9
3
6 4
3
6
) 5 d) 3
) 3 e) 5
) 5
a
b
c
= =
= =
= ( )
7
5
f) 2 =
( ) ( )
( ) ( )
4 2
7 3
2 3
3 2 7
3 5. 7
2. 2m
= =
= =

12
33- Efetue as potências.
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
3
2 3
35
3
7
) 3 7 d) 3 5
) 4 3 e) 2 2
) 2 5
a
b
c
= =
= =
= ( )
3
f) 5 3 =
RADICIAÇÃO
Vejamos:
3 33 3
6 66
) 64 8 2 2
) 64 2 2
a
b
= = =
= =
Conclusão:  conservamos o radicando e multiplicamos os expoentes.
Simplificando, temos:  .m n m n
a a=
Exemplos: 
3 3.2 6
2.2 4
5 5 5
7 7 7
= =
= =
34- Escreva, usando um único radical.
3
4 3
5 3
) 8
) 5
) 2
) 3
a
b
c
d
=
=
=
=
3
4 5
3
) 5
) 7
)
) 8
e
f
g a
h
=
=
=
=
35- Calcule e simplifique os radicais abaixo.
a)

13
b)
c)
d)
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
FATOR RACIONALIZANTE  é uma expressão com radical, cujo produto com outro radical torna uma
expressão sem radical.
Exemplo  Qual é o fator racionalizante de ?__________________________________________
 Qual é o fator racionalizante de 5 ?_________________________________________
 Qual é o fator racionalizante de ?________________________________________
 Qual é o fator racionalizante de ?_____________________________________
 Qual é o fator racionalizante de 3 - 2?_______________________________________
36- Escreva o fator racionalizante de cada expressão.
) 5 d) 3 7
) 10 e) 8 3
) 12
a
b
c f) 8 11
3 23
5 52 3
4
) 5 d) 8 7
) 6 e) 4 8
) 9
a
b
c 6 5
f) 9 2
) 8 5 d) 3 1
) 6 2 e) 5 2 7
) 7 5 f) 2 3 5
a
b
c
+ +
− +
− −

14
39- Efetue as multiplicações.
3 5 52 2 33
3 6 62 4 23
7 74 3
) 5. 5 d) 6 . 6
) 8 7 . 7 e) 4 8 . 8
) 5 2 . 2
a
b
c 344
f) 9 3. 3
40- Efetue as multiplicações.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
) 6 2 . 6 2 =
) 3 1 . 3 1 =
c) 5+2 7 . 5 2 7 =
a
b
− +
+ −
−
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
RACIONALIZAR o denominador de uma fração é obter uma fração equivalente com denominador sem
radical, ou seja, racional.
 Uma fração não se altera quando numerador e denominador são multiplicados ou divididos por um
mesmo número, diferente de zero.
1º caso:
 O denominador é um radical de índice 2.
3
5
5
3 7
41- Racionalize os denominadores das frações.
4 4
) e)
3 3 2
7 5
) f)
2 2 6
1
)
5
a
b
c
2
g)
7 3
6 7
) h)
5 2 3
d
2º caso:
 O denominador é um radical com índice diferente de 2.

15
5 3
3
7
6
8
5
42- Racionalize os denominadores das frações:
3 3
3 24
5 4
7 2
) f)
7 3 5
5 8
) g)
2 5 3
2
)
3
a
b
c 4
5 72 3
3 6 2
7
h)
3 10
10 1
) i)
4 a
5 9
) j)
6 x
d
e
3º caso:
 O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical.
4
5 2
5
3 2
+
−
43- Racionalize os denominadores das frações.

16
8
)
7 2
1
)
5 3
2
)
7 5
4
)
5 3
1
)
5 1
3
)
5 3
6
)
5 3 2
7
)
3 5 2
4 3
)
4 3
3
)
5 7
5
)
3 2 2
10
)
2 3
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
l
m
−
+
−
−
−
+
−
−
+
−
+
−
−
−

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