Sistemas lineares

Sistemas lineares

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  SISTEMAS LINEARES PROFESSORA ROSANAQUIRINO
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  EQUAÇÃO LINEAR  Para queuma equação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da seguinte forma geral: a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a1, a2, a3, ... an são coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, ... , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear). O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear será HOMOGENEA . Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b deve ser verdadeira.
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  EXEMPLO:  Dado o conjuntosolução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.
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  NOTAÇÕES IMPORTANTES SOBREA EQUAÇÃO LINEAR:  • Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução. (SOLUÇÃO IMPOSSÍVEL) • Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução. (SOLUÇÃO INDETERMINADA) Exemplo: Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação 3x + 5y – mz + t = 0 Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação: 3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0 ∴ m = -6 Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá assumir valor igual a -6.
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  SISTEMA DE EQUAÇÕESLINEARES  Um sistema (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.  O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear, não há potência diferente de um ou zero tampouco pode haver multiplicação entre incógnitas.
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  EXEMPLO: 3𝑥 + 5𝑦− 𝑧 = −2 3𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑧 = 6 O Sistema linear apresentado está na forma escalonada.
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  MÉTODO DO ESCALONAMENTO  Ométodo do escalonamento consiste em, por meio de operações de adição ( subtração ) e multiplicação ( divisão ) , diminuir a quantidade de incógnitas nas equações. 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1 −3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −2 4𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 0
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  CLASSIICAÇÃO DE UMSISTEMA LINEAR
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  Número de soluções  Dadoum sistema linear, apenas uma das situações abaixo pode ocorrer: O sistema tem solução única  O sistema tem infinitas soluções  O sistema não admite solução 
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  NÚMERO DE SOLUÇÕES x2 2x1  x2  3   x1  3x2  2 4 3 2 1 -0.5 0.5 -1 -2 Solução única 1 1.5 2 2.5 x1
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  NÚMERO DE SOLUÇÕES x2 2x1  x2  3  4 x1  2 x2  6 6 4 2 -2 -1 1 2 -2 Infinitas soluções -4 -6 3 4 5 x1
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  NÚMERO DE SOLUÇÕES x2 2x1  x2  3  4 x1  2 x2  2 4 2 -1 -0.5 0.5 -2 Não admite solução 1 1.5 2 x1
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  NÚMERO DE SOLUÇÕES  Graficamente...  Soluçãoúnica:   Infinitas soluções:   Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam. Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções do sistema. O sistema não admite solução:  Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.
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   Em geral, umsistema linear com três equações em três incógnitas pode ou não representar uma reta no espaço. Isso vai depender do tipo de solução do sistema. Por exemplo, as equações do sistema podem representar três planos paralelos que não se interceptam, o que significa que o sistema não possui solução (isso também vai ocorrer se as equações representarem dois planos paralelos, isto é, duas das três equações são proporcionais e representam o mesmo plano, enquanto que a terceira tem apenas os coeficientes das variáveis proporcionais às outras duas e representa um plano paralelo).
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  PODE ACONTECER QUEO SISTEMA TENHA UMA ÚNICA SOLUÇÃO, ISTO É, OS TRÊS PLANOS SE INTERCEPTEM EM UM ÚNICO PONTO.
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  SOMENTE SE OCONJUNTO SOLUÇÃO DO SISTEMA FOR UM CONJUNTO INFINITO A UM PARÂMETRO, ENTÃO OS TRÊS PLANOS SE INTERCEPTAM AO LONGO DE UMA RETA.
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  Discussão e análisedo Sistema Linear Discutir um sistema linear consiste em analisá-lo de forma a determinar os valores dos coeficientes das equações que fazem com que o sistema possa ser Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI) e Impossível (SI). Impondo condições sobre um dos coeficientes já é possível discutir esse sistema e relacionar quais valores esse coeficiente pode assumir, relacionando-os com as classificações dos sistemas, como vimos anteriormente.
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  1- Na lojade artesanato Local um turista se interessou por uma determinada peça de cerâmica e um certo modelo de toalha. Se ele comprar 3 dessas peças e 2 dessas toalhas, deverá pagar o total de R$ 225,00. Se comprar 2 dessas peças e 3 dessas toalhas deverá pagar o total de R$ 300,00. Com base nessas informações, assinale o que for correto. (01) Na loja Local, cada uma dessas peças de cerâmica custa R$ 18,00. (02) Cada uma dessas toalhas custa, na loja Local, R$ 90,00. (04) Na compra de uma dessas toalhas e uma dessas peças na loja Local, deve-se pagar o total de R$ 110,00. (08) Com a quantia de R$ 250,00 é possível comprar no máximo 16 dessas peças de cerâmica na loja Local. (16) Se na loja Modal o preço dessa toalha corresponde a do preço na loja Local, então o preço de duas dessas toalhas na loja Modal é R$ 250,00. (32) Todos os itens acima estão incorretos.
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  2- Para quea tripla ordenada (2, 5, 3) seja solução da equação linear kx + y + 2z = 19, devemos ter k igual a ... a) 4 b)8 c)9 d)3 e)2 3- O sistema : a) é impossível se a=4 e b = -2 b) é possível e determinado se a = 4 e b = -2 c) é impossível se a 4 e b -2 d) é determinado se a = 4 e) é indeterminado se a = 4 e b = -2
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  4- Num escritóriohá 3 impressoras: A, B e C. Em um período de 1 hora:  A e B juntas imprimem 130 folhas;  A e C juntas imprimem 140 folhas;  B e C juntas imprimem 150 folhas. Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha: (equacione e resolva o problema) 5- Escalone, resolva e classifique o sistema.