SlidesFuncaoExponencial(2025-2)semPause.pdf

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  1/8 Função exponencial Referências FUNÇÃO EXPONENCIAL (aconsulta a estas notas de aula não dispensa a leitura da bibliografia de referência) Prof. Ricardo Saldanha de Morais Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Departamento de Matemática (http://www.dm.cefetmg.br) II semestre de 2025
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  2/8 Função exponencial Referências Função exponencial Definição(Função exponencial) Fixado um número real positivo a, a ̸= 1, a função exponencial de base a é definida por f(x) = ax , x ∈ R. O nome da função se deve ao fato de que a variável x está no expoente. A função exponencial não deve ser confundida com a função potência g(x) = xa , que tem a variável x na base. O que é ax ? Se x for um número inteiro, então x = 0, x = n ou x = −n, para algum inteiro positivo n. Desse modo, ax =            a0 = 1 se x = 0 an = a · a · · · · · a | {z } n fatores se x = n a−n = 1/an = (1/a)n se x = −n .
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  O que éax ? (cont.) Se x for um número racional, i.e., x = p/q com p, q ∈ Z e q > 0, então ax = ap/q = q √ ap = q √ a p . Todo número irracional pode ser aproximado por uma sequência de números racionais (completude dos números reais). Usando esse fato, pode-se demonstrar que a potência ax está bem definida para x irracional. Propriedades da potenciação (exponenciação) Sejam a e b números reais positivos. Sejam x e y números reais quaisquer. Então, P1 ax 0. P2 ax ay = ax+y e ax ay = ax−y . P3 (ax )y = axy . P4 (ab)x = ax bx . P5 Se a 1 e x y, então ax ay . P6 Se 0 a 1 e x y, então ax ay . 3/8
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  4/8 Função exponencial Referências Exemplo 1 Reescrevae simplifique as expressões: (a) 4−3 2−8 (b) 84/3 (c) b8 (2b)4 (d) x2n · x3n−1 xn+2 (e) p a √ b 3 √ ab Segue das propriedades P5 e P6 que a função exponencial f(x) = ax é crescente se a 1, e é decrescente se 0 a 1. Consequentemente, a função exponencial é injetora, isto é, f(x1) = f(x2) ⇐⇒ ax1 = ax2 ⇐⇒ x1 = x2 .
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  Gráfico de f(x)= ax , 0 a ̸= 1 Figura 1: f(x) = ax , a 1. Figura 2: f(x) = ax , 0 a 1. f(0) = 1, isto é, a curva y = ax passa pelo ponto (0, 1). O domı́nio de f é R. A imagem de f é (0, ∞) : f(x) ̸= 0, ∀x ∈ R, f(x) 0, ∀x ∈ R. 5/8
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  Para a 1, f(x) → ∞ quando x → ∞, f(x) → 0 quando x → −∞. Para 0 a 1, f(x) → 0 quando x → ∞, f(x) → ∞ quando x → −∞. Entre todas as bases a possı́veis, há uma que é mais conveniente para os propósitos do Cálculo, a saber: o número irracional e = 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369... (número de Euler ou constante de Napier). f(x) = ex é chamada função exponencial natural. Exemplo 2 Resolva as seguintes equações exponenciais : (a) 52x−7 = 125 (b) s 1 2 3x−2 = 1 2 −4x · 2−x+4 (c) 22x+1 − 3 · 2x+2 = 32 6/8
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  7/8 Função exponencial Referências Exemplo 3 Resolvaas seguintes inequações exponenciais : (a) 1 ≤ 1 2 x ≤ 8 (b) ex2 −5 ≥ e4x Exemplo 4 Determine o domı́nio da função g(x) = r 9 (32x−1) − 1 27 .
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  8/8 Função exponencial Referências Referências THOMAS, G.Cálculo. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2012. v. 1. STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. https://www.geogebra.org/ L A TEX https://www.latex-project.org/