Transformacoes geometricas.

Transformacoes geometricas.

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  3 Universidade Pedagógica -Quelimane Joao Raimundo Feniasse Licenciatura em ensino de Matematica Geometria Não Euclidiana, 2014. Introdução Neste trabalho que tem como título “Transformações Geométricas” vai se abordar das transformações como movimento que acontecem com pontos, rectas e figuras no plano. A composição do trabalho segue todas as transformações em seguinte ordem: simetria axial, simetria central, translação, rotação, e da homotetia. Para cada transformação apresenta-se o conceito, pequena descrição e exemplo; em algumas situações vai se tratar as transformações e as características comuns que são as propriedades. O objectivo é apresentar as transformações geométricas e fazer estudo da aplicação de uma transformação.
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  4 Transformação geométrica Definição. Seja𝜋 um plano, definimos uma transformação geométrica no plano 𝜋 como sendo uma função de 𝜋 em 𝜋 que associa cada ponto M do plano 𝜋 um ponto M′ de 𝜋 , denotado por M′ = T (M); onde 𝑀′ é imagem de 𝑀 por meio de 𝑇. Se F e uma figura no plano, a imagem de F por T e o conjunto de pontos imagens de F, denotado por F′ = T (F). Simetria Axial ou Ortogonal ou Reflexão Definição. Seja d uma recta. Definimos simetria axial em relação a d como sendo a transformação geométrica definida como segue: i) Se M é um ponto do plano que não pertence a recta d, a imagem de M por esta transformação é um ponto M′ tal que d seja a mediatriz do segmento MM′; ii) Se M pertence a recta d, a imagem de M, M′ e o próprio ponto 𝑀. O ponto M′ assim associado ao ponto M é chamado imagem de M pela reflexão do eixo d. 𝑀′ 𝑑 𝑀
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  5 Procedimentos para construçãoda imagem por simetria axial Seja d uma recta e M um ponto do plano. Para construirmos a imagem de um ponto M que não pertence a d, por simetria axial, procedemos da seguinte maneira:  Construímos uma recta r perpendicular a recta d passando por M;  Com centro em P = d ∩ r e raio PM, traçamos uma circunferência (C). Temos os pontos M e M′, pontos de intersecção de (C) ∩ r. O ponto M′ assim construído é o ponto simétrico do ponto M em relação a d. Se M pertence a d, o seu simétrico em relação a d e ele próprio, ou seja, a imagem de M, M′ = M. Notação: em geral anotamos a simetria axial de eixo d por Sd e escrevemos: 𝑀′= Sd (M) ou 𝑀 𝑆𝑑 → 𝑀′. Exemplo: Seja d uma recta e Δ ABC um triângulo. Construir a imagem do triângulo Δ ABC por meio de uma simetria axial em relação a recta d. Para obter a imagem do Δ ABC por uma simetria axial, basta construir as imagens dos seus vértices. Construamos A′ = Sd (A), B′ = Sd (B) e C′ = Sd (C). 𝐵′ 𝐴′ 𝐶′ 𝑑 𝐶 𝐵 𝐴 Do exemplo anterior temos: ΔA′B′C′ = Sd ΔABC; podemos ver que d é a mediatriz dos segmentos BB′, CC′ e AA′.
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  6 Propriedade 1. Sejamr e r′ duas rectas concorrentes em um ponto P e simétricas em relação a uma recta d. Então P o ponto de intersecção de r e r′ esta sobre d. Teorema: Seja d uma recta, A e B dois pontos não situados sobre d e tais que as rectas (AB) e d, não são paralelas. Sejam A′ e B′ os pontos tais que d seja a mediatriz dos segmentos AA′ e BB′ então as rectas AB e 𝐴′𝐵′ se interceptam sobre d. 𝐴 𝐵 𝐼 𝐵′ 𝑑 𝐴′ Para demonstrar que duas rectas AB e A′B′ não paralelas se cortam sobre uma recta d, é suficiente demonstrar que elas se correspondem por uma reflexão de eixo d (pela propriedade 1). Demonstração: Seja d a mediatriz do segmento 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅. Então A' é imagem de A pela simetria axial Sd de eixo d. Analogamente, d é mediatriz do segmento 𝐵𝐵′̅̅̅̅̅. Então B' é imagem de B por Sd . Assim, a imagem da recta 𝐴𝐵⃡ pela simetria axial Sd é, então, a recta 𝐴′𝐵′⃡ . Consideremos I o ponto de intersecção das rectas 𝐴𝐵⃡ e d. I está sobre d. Então, Sd (I) = I. Mas a recta 𝐴′𝐵′⃡ , imagem de 𝐴𝐵⃡ , passa pela imagem de I, isto é, por I. Portanto, as rectas AB e A′B′ se interceptam em I, logo, sobre d. Simetria Central
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  7 Definição. Seja Oum ponto fixo. A imagem de um ponto M diferente de O pela simetria de centro O denotado por 𝑀′ = So(M); ou M 𝑆 𝑜 → 𝑀′ e o ponto 𝑀′, tal que O é o ponto médio do segmento 𝑀𝑀′̅̅̅̅̅̅ . Se M = O, a imagem de M é ele mesmo. 𝑀′ O M Exemplo: Construir a imagem do polígono ABCDE por simetria de centro O. 𝐶 𝐷 𝐵 𝐸 𝑂 𝐴′ 𝐴 𝐵′ 𝐸′ 𝐷′ 𝐶′ Translação
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  8 Definição. Translação éuma operação do plano que através do vector 𝑢 associamos a cada ponto P do plano um ponto P′, tal que PP′ = | 𝑢 |. 𝑃′ |𝑢| 𝑃 Seja 𝐴 um ponto do plano, denotamos a sua translação através do vector 𝑢 da seguinte maneira: A′ = 𝑡 𝑢 (A). Quando o vector 𝑢 esta determinado por dois pontos, por exemplo, AB, a translação e denotada por 𝑡(𝐴,𝐵) ou por 𝑡𝐴𝐵 e lê-se translação do vector 𝐴𝐵. Propriedade. Se r e s são ortogonais as imagens 𝑡 𝑢 também são ortogonais. Exemplo: Construir a imagem de uma circunferência usando a translação de vector 𝑢.  Tracemos uma recta s paralela ao vector 𝑢 passando por P;  Abrir o compasso de tamanho |𝑢|, centrar em P e traçar uma circunferência C′′;  Marcar P′ = C′′∩s, analogamente construímos a imagem do ponto O, centro de (C). Temos: 𝑡 𝑢 (O) = O′, 𝑡 𝑢 (P) = P′, e 𝑡 𝑢 (C) = C′. C′ é a circunferência de centro em O′ e raio 𝑂′𝑃′. 𝑃′ 𝑃 (𝐶′) (𝐶) 𝑢 Rotação
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  9 Seja O umponto fixo. A imagem de um ponto P, distinto de O pela rotação de centro O e de ângulo a no sentido anti-horário, é o ponto P′, tal que OP′ = OP e o ângulo P𝑂̂P′ = 𝛼 . Se P = O, sua imagem é ele próprio. Denotamos a transformação pela rotação por 𝑅 𝑜,𝛼( 𝑃) = 𝑃′. 𝑃′ 𝑂 𝛼 𝑃 Exemplo: Construir a imagem de um paralelogramo ABCD usando a rotação de centro O e de ângulo 𝛼 = 90°. Resolução: Seja 𝐴′ = 𝑅 𝑂,90° ( 𝐴), 𝐵′ = 𝑅 𝑂,90° ( 𝐵), 𝐶′ = 𝑅 𝑂,90° ( 𝐶) 𝑒 𝐷′ = 𝑅 𝑂,90° (𝐷). Então: 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′ = 𝑅 𝑂,90° ( 𝐴𝐵𝐶𝐷). 𝐴 𝐵 𝐵′ 𝐶′ 𝐷 𝐶 𝐴′ 𝐷′ Propriedades das Transformações Geométricas “Isometrias”
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  10 Propriedades comuns àssimetrias axiais, centrais, translações e rotações  Propriedade 1. Conservação do alinhamento A imagem de uma recta e uma recta. Logo, se três pontos A, B, C estão alinhados, suas imagens respectivas A′, B′, C′ também são alinhadas.  Propriedade 2. Conservação do paralelismo Quando s e r são duas rectas paralelas, suas imagens s′ e r′ também são paralelas. Disto resulta que a imagem de um paralelogramo, por exemplo, é um paralelogramo.  Propriedade 3. Conservação de distâncias e áreas A imagem de um segmento é um segmento de mesmo comprimento. Se uma figura D tem uma área x, sua imagem D′ também tem área x.  Propriedade 4. Conservação do ponto médio Seja M o ponto médio do segmento PQ. Seja P’ Q′ a imagem de PQ. A imagem de M será M′, e M′ será o ponto médio do segmento P'Q'.  Propriedade 5. Conservação da medida dos ângulos, logo da ortogonalidade Sendo ∠A′M′B′ a imagem do ângulo ∠AMB, então: A′M ′B′ = A𝑀̂B. Como consequência, quando duas rectas r e s são perpendiculares, suas imagens também são. Simetria axial de eixo d Rotação de centro O e de ângulo 45º 𝑃′ 𝐶′ 𝐶 𝐵′ 𝐶′ 𝐴 𝐵 𝑀′ 𝑄′ 𝐵′ 𝐵 𝑃 𝑀 𝑄 𝐴′ 45o 𝐶 𝐴 𝐴′ 𝑑
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  11  Propriedade 6.As translações e as simetrias centrais transformam uma recta em uma recta paralela. Utilização de Transformações para o Estudo de Figuras Conhecendo bem as transformações associadas as figuras usuais, estaremos atentos na resolução dos exercícios, pois elas podem nos dar pistas de como usar as transformações e que transformação podemos usar. A escolha da boa transformação na resolução dos exercícios passa pelo conhecimento de algumas figuras chaves as quais podemos associar uma ou varias transformações. As principais figuras chaves e respectivas transformações associadas são: Paralelogramo Transformações 𝐷 𝐸 • Simetria de centro O; • Translação dos vectores 𝐴𝐵 𝑒 𝐵𝐶. 𝐴 𝐵 Triângulo isósceles 𝐴 𝛼 • Simetria axial de eixo d; • Rotação de centro A e de ângulo 𝛼, 𝐵 𝐶 (ela leva o ponto 𝐵 sobre 𝐶). d Triângulo rectângulo isósceles C d • Simetria axial de eixo d; • Rotação de um quarto de volta de centro A. A B
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  12 Triângulo equilátero A •Simetria axial de eixo 𝑑, 𝑑′ 𝑒 𝑑′′; 𝑑 𝑑′′ • Rotação de ângulo de 60°, de centros A, B e C. B C 𝑑′ Quadrado 𝑟 D C • Simetria axial de eixo d, r, s, 𝑑′; 𝑑′ • Simetria centralde centro O; • Rotação de centros A, B, C e D de um quarto de A 𝑑 B 𝑠 volta. Exemplo: Dado um terreno em forma de um polígono que representamos por ABCDE. Nas extremidades A, C e D, foram plantadas palmeiras. Nos vértices B e E foram plantadas buganvílias. Sabendo que Δ ABC e Δ ADE formam dois triângulos equiláteros, qual é a menor distância entre uma palmeira e uma buganvília: BD ou CE? Resolução Como a configuração apresenta dois triângulos equiláteros, ΔABC e Δ ADE, que têm um vértice comum (o vértice A), somos chamados a perceber que podemos usar uma rotação de centro A e de ângulo 60° no sentido anti-horário.
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  13 𝐸 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Seja ra rotação de centro A e ângulo 60° no sentido anti-horário.75 Como os triângulos Δ ABC e Δ ADE são equiláteros, a rotação r transforma B em C e D em E. Isto é, r (B) = C e r (D) = E. Então, dos triângulos Δ ABD e Δ ACE temos: AB ≡ AC, DA ≡ AE ⇒BD ≡ CE Logo as distâncias entre palmeira e buganvília BD e CE são iguais. Composição de duas transformações Sejam t e f duas transformações isométricas. Seja F uma figura dada. Transformar uma figura F por uma transformação t obtendo uma figura 𝐹1 . Transformar 𝐹1 por uma transformação f, obtendo 𝐹2. Assim, 𝐹1 é imagem de F por t e 𝐹2 é imagem de 𝐹1 por f. 𝐹 𝑡 → 𝐹1 𝑓 → 𝐹2 . Isto é 𝑓𝑜 𝑡( 𝐹) = 𝐹2 . Exemplo: Traçar um triangulo Δ ABC rectângulo em A. Construir sua imagem por uma simetria axial de eixo AB, seguido da simetria axial de eixo AC. Por qual transformação se pode passar directamente da figura inicial a figura final? 𝐶" 𝐵" 𝐹" 𝐹 𝐴 = 𝐴" 𝐵 𝐶
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  14 Resolução:  𝐹1 éimagem de F, por simetria axial de eixo𝐴𝐵̅̅̅̅: Sd (F) = 𝐹1.  𝐹2 é imagem de 𝐹1 por simetria axial de eixo 𝐴𝐶̅̅̅̅. Pode se passar directamente da figura F para a 𝐹2 por uma simetria de centro em A, pois 𝑆( 𝐴)( 𝐵) = 𝐵", 𝑆( 𝐴)( 𝐶) = 𝐶" 𝑒 𝑆( 𝐴)( 𝐴) = 𝐴. Homotetia Definição. Seja O um ponto do plano e k um numero real e k ≠0. Homotetia de centro O e de razão k e uma transformação geométrica que, a cada ponto A do plano, associa um ponto A′ sobre a recta 𝑂𝐴⃡ , tal que OA′ = kOA, e a esta transformação denotamos por ℎ 𝑜,𝑘 𝑜𝑢 𝐴 ℎ → 𝐴′.  Se 𝑘 > 0, o vetor 𝑂𝐴 está no sentido positivo, a imagem é directa;  Se 𝑘 < 0, o vector 𝑂𝐴 está no sentido negativo e a imagem é reversa. Uma homotetia está determinada se conhecemos seu centro O e a razão k. 𝐾 = 2 𝐴′ 𝐴 𝐴 𝐾 = 1 2 𝐴′ 𝑂 𝑂 Da configuração acima podemos tirar as seguintes notas:  Se |𝑘| > 1, teremos aumento;  Se |𝑘| < 1, teremos diminuição.
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  15 Propriedades da homotetia 1.Numa homotetia, um ponto, sua imagem e o centro da homotetia estão sobre a mesma recta. De facto, a relação OP′ = k OP mostra em particular que os vectores 𝑂𝑃′e 𝑂𝑃 são colineares. Consequentemente, o ponto P e sua imagem P′ pela homotetia de centro O estão alinhados. 2. Seja h uma homotetia de razão k.Sejam M e N dois pontos quaisquer e M′ e N′ suas imagens respectivas por h de razão k. Então: M′N′ = k MN. Temos, por definição, que OM′ = k OM e ON′ = k ON. Fazendo a subtracção em ambos os membros, temos: ON′ −OM′ = k (ON −OM), isto é, pela relação de Charles, M′N′ = k MN . A relação M′N′ = k MN indica que as rectas M 'N ' e MN são paralelas. Isto nos leva a perceber que a homotetia nos fornece a configuração do Teorema de Thales. Exemplo: Para 𝑘 = 1 2⁄ . 𝑁 𝑁′ 𝑂 𝑀′ 𝑀 De maneira geral, podemos dizer que, em uma homotetia, dois pontos, suas imagens e o centro formam uma configuração de Thales excepto quando M, N e o centro são alinhados. 3. Em uma configuração de Thales, os dois triângulos são imagens um do outro por uma homotetia em que o centro é o vértice comum aos triângulos. Por exemplo: A homotetia de centro O que leva M em M′, leva também N sobre N′. Logo os triângulos ΔOMN e ΔOM′N′ são uma imagem do outro pela homotetia de centro O.
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  16 4. Por umahomotetia a imagem de uma recta é uma recta paralela. A imagem de um segmento 𝐴𝐵 e o segmento 𝐴′𝐵′, onde A′ é a imagem de A, B′ é imagem de B e o ponto médio 𝐴𝐵 é o ponto médio de 𝐴′𝐵′ . Como consequência, a homotetia conserva o paralelismo e a ortogonalidade. 5. Seja h uma homotetia de razão 𝑘 ∙ ℎ conserva os ângulos, multiplica as distâncias pelo módulo de k e as áreas pelo módulo de k ao quadrado. Exemplos: a) Quando três pontos são alinhados suas imagens também são colineares. A′, B′, C′ imagens respectivas de A, B, e C, colineares. 𝐴′ 𝐴 𝑂 𝐵 𝐵′ 𝐶 𝐶′ b) A relação fundamental A′B′ = k AB leva 𝐴′𝐵′̅̅̅̅̅̅ em | k | AB. Assim as distâncias ficam multiplicadas por |𝑘| e, portanto, as áreas ficam multiplicadas por 𝑘2 . 𝐷′ 𝐷 3cm 1,5cm 𝐶 𝐶′ 𝐴 𝐴′ 𝐵 𝐵
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  17 6. Existe umaproporcionalidade directa entre comprimento de segmento de rectas e os dos seus transformados através da homotetia. Hipótese: 𝐴′𝐵′̅̅̅̅̅̅ = ℎ 𝑂,𝑘( 𝐴𝐵̅̅̅̅) ∧ 𝐶′𝐷′̅̅̅̅̅̅ = ℎ 𝑂,𝑘( 𝐶𝐷̅̅̅̅) Tese: |𝑨′𝑩′| |𝑨𝑩| = |𝑪′𝑫′| |𝑪𝑫| Demonstração: Sendo: 𝐴′𝐵′̅̅̅̅̅̅ = ℎ 𝑂,𝑘( 𝐴𝐵̅̅̅̅)então, 𝐴′𝐵′̅̅̅̅̅̅ = 𝑘 ∙ 𝐴𝐵̅̅̅̅, logo,| 𝐴′ 𝐵′| = |𝑘| ∙ |𝐴𝐵| ou seja, 𝑘 = |𝐴′𝐵′| |𝐴𝐵| , da mesma maneira 𝑘 = |𝐶′𝐷′| |𝐶𝐷| . Daí teremos: |𝐴′𝐵′| |𝐴𝐵| = |𝐶′𝐷′| |𝐶𝐷| = 𝑘
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  18 Conclusão Depois de umestudo sobre as transformações podemos chegar a conclusão de que elas são ferramentas para estudar as figuras geométricas. Percebe-se também que para o estudo de translações é preciso ter a noção de vector, conhecer suas relações visto que nesta transformação segue-se um determinado sentido, uma direcção e a uma determinada distância. Da relação, aspecto ou características de algumas transformações, daí que gozam de propriedades comuns. É pois, importante o estudo das transformações porque como se sabe que as figuras resultam das transformações de outras semelhantes e ou mais simples.
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  19 Bibliografia 1. PINHO, JoséLuiz Rosas; Geometria I; 2ª ed; Brasil; Florianópolis; 2010. 2. JOÃO, Rafael & NHÊNZE, Ismael Cassamo; Matemática 9ª Classe; Diname; Maputo; 1999.