Ufba12mat2

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  Vestibular 2012 —2a fase Gabarito — Matemática Questão 01 (Valor: 15 pontos) Como S é ponto da parábola, então o par de coordenadas cartesianas de S é da forma (x, 2x2). 2 O coeficiente angular da reta SP é igual a 2 − 2x e o coeficiente angular da reta SQ é igual a − 1− x 2 − 2x 2 . 1− x Como as retas SP e SQ são perpendiculares, então o produto dos coeficientes angulares dessas retas é igual a – 1, ou seja,  2 − 2x 2  2 − 2x 2  = −1  − 1 − x  1 − x     Como x ≠ −1 e x ≠ 1, tem-se que 4(1 − x 2 )2 = 1 − x 2 4(1 − x 2 ) = 1 3 x 2 = 1 − 1 = 3 , logo x = ± . 4 4 2 3  3 3  3  3 3  Assim, para x = − , tem-se S −     2 , 2  e para x = + 2 , tem-se S 2 , 2  2     Questão 02 (Valor: 15 pontos) Fazendo 2x−1 = t, tem-se x = t + 1 , portanto 2 t +1 f(t) = 2 = t +1 = t +1 . 3 t + 1 − 6 3t + 3 − 12 3t − 9 2 Logo, f(x) = x + 1 , ou seja, y = x + 1 . 3x − 9 3x − 9 Assim, 3xy – 9y = x + 1 x(3y – 1) = 9y + 1 9y + 1 x= , sendo x a imagem de y pela função f −1, tem-se 3y − 1 9y + 1 f −1(y) = ou 3y − 1 f −1(x) = 9x + 1. 3x − 1
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  Questão 03 (Valor:20 pontos) 1. b = 6 + 2 + 2 + 2 + ... , soma dos termos da progressão geométrica  6, 2,  2 , 2 , ...   3 9  3 9  em que 6.q = 2, portanto a razão da P.G. é q = 1. 3 Como a1 b= , tem-se 1− q b= 6 = 6 =9 1− 1 2 3 3 logo, b = 9. 2. Como a 5 , a 9 , a 1 0 e a 1 4 são as abscissas dos pontos de interseção das curvas de equações x2 + y2 = 82 e y = 9 , então deve-se resolver o sistema x x 2 + y 2 = 82 x 2 + 81 = 82 x 4 + 81 − 82x 2 = 0   x 2   9 ⇔ ⇔ 9 9 y = x  y = y = x   x Fazendo x2 = u, tem-se u 2 − 82u + 81 = 0 em que u = 81 ou u = 1, portanto x2 = 81 com x = ±9 ou x2 = 1 com x = ±1, assim a5 = 9, a9 = 1, a10 = −1 e a14 = −9. Calculando-se a razão r da P.A., tem-se r = a10 − a9 = −1−(1) = −2, logo r = −2, como an = am + (n − m)r, tem-se a 50 = a 5 + (50 − 5)r = 9 + 45.( −2) = −81 logo, d = −81. 3. Sabe-se que p(x) = h(x)(x + 1) + 40 e que p(x) = 9x4 + cx3 – 81x, portanto p(−1) = 0 + 40 e p(−1) = 9 − c + 81, logo 9 − c + 81 = 40 c = 50 logo p(x) = 9x4 + 50x3 − 81x. Questão 04 (Valor: 15 pontos) Sabe-se que det(AB) = detA.detB sen3x cos3x detA = x = x (sen 2 3x + cos 2 3x) = x 3 − x − cos3x sen3x 3 − x 3−x 3x detB = ( −1) 2 4 x ( ) ( = − 2 6 x − 36 = 2 6 2 − 6 x ) 9 2 detA .detB = ( 2 . x . 6 2 − 6 x ≤ 0. 3−x ) Para determinar o conjunto solução da inequação, deve-se analisar o sinal da expressão ( ) 2 x 6 2 − 6 x , isto é o sinal de x, 3 – x e de 62 – 6x. 3−x
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  Assim, tem-se 0 2 3 x – • + + + 3−x + + + o – 2 6 −6 x + + • – – det(AB) – • + • – o + O conjunto solução da inequação é ]−∞, 0]∪[2, 3[ ou {x∈R; x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3}. Questão 05 (Valor: 20 pontos) Cálculo das coordenadas do centro da circunferência x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 (x2 + 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 4 + 1 + 4 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 Centro da circunferência: (–1, 2). Aplicando a rotação de π rd ao ponto (–1, 2), obtém-se P’(–2, –1). 2 Cálculo do ângulo α Como tg 2α + π  = 0, tem-se    3  2α + π = kπ , k ∈ Z , 3 α = − π +k π . 6 2 Considerando que α ∈  π , π , então 2    π ≤ − π + k π < π, 2 6 2 π + π ≤k π <π+ π 2 6 2 6 2π ≤ k π < 7 π 3 2 6 4 ≤ k < 7 , k∈Ζ. 3 3 Logo, k = 2 e α = − π + π = 5 π . 6 6 3 O coeficiente angular de r é igual a tgα = tg 5π = − . 6 3 3 Uma equação da reta que passa pelo ponto P(–2, –1) e tem coeficiente angular − é 3
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  3 y + 1=− (x + 2), 3 ou seja, 3 2 3 y=− x− − 1. 3 3 Questão 06 (Valor: 15 pontos) Sejam V o vértice da pirâmide, A, B, C, D, E e F os vértices da base, P o centro da base e Q o centro da esfera. Para calcular o volume da pirâmide precisa-se encontrar a medida do lado l da base e a da altura h da pirâmide. A base da pirâmide é um hexágono regular, então l = PA e a altura h = VP . Considerando que a pirâmide é reta, o segmento VP é perpendicular ao segmento PA. Por outro lado, como a reta VA é tangente à superfície esférica em A, tem-se que o ângulo VAQ é reto. Logo, ∆AQV ~ ∆PQA e, consequentemente, AQ = QV ( I ). PQ QA Sabe-se que AQ = 5cm , pois A é um ponto da superfície esférica, e que a distância do vértice da pirâmide ao centro da esfera é VQ = 25 cm. 4 25 De (I) tem-se 5 = 4 ⇒ PQ = 4cm. PQ 5 No triângulo retângulo APQ, a hipotenusa AQ mede 5cm e o cateto PQ mede 4cm. Logo, l = PA = 3cm. A altura h da pirâmide é dada por h = VP = VQ − PQ = 25 − 4 ⇒ h = 9 cm. 4 4 Cálculo do volume da pirâmide V = 1S h 3 B l2 3 27 3 S B = 6. = 3 .9 3 = 4 2 2 27 3 SB = cm 2 2 27 3 9 81 3 V= 1. . = 3 2 4 8 81 3 V= cm3 8 Obs.: Outras abordagens poderão ser aceitas, desde que sejam pertinentes. Salvador, 18 de dezembro de 2011 Antonia Elisa Caló Oliveira Lopes Diretora do SSOA/UFBA