平均海面高程简化实际计算过程中，请详细列出缔合勒让德多项式的前八阶的解，并列出跨阶数递推公式和跨次数递推公式。

<think>我们首先需要理解用户的问题：用户需要缔合勒让德多项式的前八阶解以及跨阶数和跨次数的递推公式。 缔合勒让德多项式（Associated Legendre Polynomials）通常用于球谐函数，是解决 Laplace 方程在球坐标下的重要工具。 阶数（degree）通常用 n 表示，次数（order）用 m 表示，且满足 |m| <= n。 前八阶解：即 n=0,1,2,...,7 的所有缔合勒让德多项式。注意，对于每个 n，m 的取值范围是 0 到 n（由于对称性，通常我们考虑非负的m，并且对于负的m可以通过公式推导）。 递推公式：用户要求跨阶数和跨次数的递推公式，即递推关系可能涉及相邻阶数和相邻次数的多项式。 常见的递推公式包括： 1. 固定次数 m，阶数 n 的递推（跨阶数递推） 2. 固定阶数 n，次数 m 的递推（跨次数递推） 我们可能需要搜索标准的递推公式，并给出前八阶的表达式。 注意：缔合勒让德多项式的定义有两种常见形式（有无Condon-Shortley相位因子），这里我们采用标准定义。 标准定义： P_{n}^{m}(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_n(x) 其中 P_n(x) 是勒让德多项式。 前八阶的表达式（n=0到7）可以列出，但表达式较长。我们也可以给出递推公式，然后通过递推公式计算前八阶。 常见的递推公式： 跨阶数递推（固定m）： (n-m) P_{n}^{m}(x) = x (2n-1) P_{n-1}^{m}(x) - (n+m-1) P_{n-2}^{m}(x) 跨次数递推（固定n）： P_{n}^{m+2}(x) = \frac{2(m+1)x}{(1-x^2)^{1/2}} P_{n}^{m+1}(x) - (n(n+1)-m(m+1)) P_{n}^{m}(x) 但注意，这个递推可能不稳定，而且有更常见的跨次数递推。 实际上，跨次数递推通常使用： P_{n}^{m}(x) = \frac{2(m-1)x}{\sqrt{1-x^2}} P_{n}^{m-1}(x) - (n(n+1)-(m-1)(m-2)) P_{n}^{m-2}(x) 或者使用导数关系。 另外，还有一个常用的递推关系（同时涉及阶数和次数）： \sqrt{1-x^2} P_{n}^{m}(x) = \frac{1}{2n+1} \left[ -P_{n-1}^{m+1}(x) + P_{n+1}^{m+1}(x) \right] 但用户要求的是跨阶数和跨次数的递推，所以我们需要提供两个递推：一个用于改变阶数，一个用于改变次数。 更标准的递推公式（来自文献）包括： 1. 跨阶数递推（固定m）： (n-m) P_n^m(x) = (2n-1) x P_{n-1}^m(x) - (n+m-1) P_{n-2}^m(x) 2. 跨次数递推（固定n）： (1-x^2)^{1/2} P_n^m(x) = \frac{1}{2n+1} \left[ (n-m+1)(n-m+2) P_{n+1}^{m-1}(x) - (n+m-1)(n+m) P_{n-1}^{m-1}(x) \right] 或者更简单的： P_n^m(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_n^{m-2}(x) 但注意，这个递推可能只在m>=2时成立。 然而，实际上跨次数递推更常用的是： P_n^{m}(x) = (1-x^2)^{-1/2} \left[ (n-m+1)x P_n^{m-1}(x) - (n+m-1) \sqrt{1-x^2} P_{n-1}^{m-1}(x) \right] 或者： P_n^{m}(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_n^{m-2}(x) （当m>=2时） 但是，我们可能还需要一个初始值：即当m=0时，P_n^0(x)就是勒让德多项式P_n(x)，而P_n^1(x)可以通过导数得到。 由于递推公式有多种形式，我们选择最常用且稳定的递推公式。 经过搜索和参考标准文献，我们采用以下递推公式： 递推公式1（跨阶数，固定m）： P_n^m(x) = \frac{(2n-1) x P_{n-1}^m(x) - (n+m-1) P_{n-2}^m(x)}{n-m} （n>=2, |m|<=n） 递推公式2（跨次数，固定n）： P_n^m(x) = \frac{-2(m-1) x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_n^{m-2}(x) （m>=2） 但是，跨次数递推的初始值需要知道P_n^0(x)和P_n^1(x)。其中P_n^0(x)是勒让德多项式，P_n^1(x)可以通过： P_n^1(x) = -\sqrt{1-x^2} \frac{d}{dx} P_n^0(x) 或者使用递推： P_n^1(x) = x (2n-1) P_{n-1}^0(x) - (n-1) P_{n-2}^0(x) （但这是固定m=0的跨阶数递推，然后通过关系得到m=1） 实际上，我们也可以使用另一个递推公式（从m=0和m=1开始）： P_n^m(x) = (2m-1)\sqrt{1-x^2} P_{n}^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_n^{m-2}(x) （这个形式不太常见） 为了避免混淆，我们采用标准且广泛使用的递推公式。 根据《地球物理中的球谐函数》（或类似文献）中，缔合勒让德多项式的递推公式有： 1. 固定m，n的递推（跨阶数）： (n-m) P_{n}^{m}(x) = (2n-1) x P_{n-1}^{m}(x) - (n+m-1) P_{n-2}^{m}(x) （n>=2） 2. 固定n，m的递推（跨次数）： P_{n}^{m}(x) = \frac{ (2m) x }{\sqrt{1-x^2}} P_{n}^{m-1}(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P_{n}^{m-2}(x) （这个公式需要验证） 实际上，跨次数递推更常用的是以下形式（从低次向高次递推）： P_{n}^{m}(x) = -\frac{2(m-1)x}{\sqrt{1-x^2}} P_{n}^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_{n}^{m-2}(x) （m>=2） 或者，使用： P_{n}^{m}(x) = \sqrt{1-x^2} P_{n-1}^{m-1}(x) - (n+m-1) x P_{n-1}^{m}(x) （这个递推同时涉及阶数和次数） 由于用户要求跨阶数和跨次数的递推，我们分别提供两个递推公式。 我们选择以下两个递推公式（因为它们较为常见且稳定）： 跨阶数递推（固定m）： P_{n}^{m}(x) = \frac{ (2n-1) x P_{n-1}^{m}(x) - (n+m-1) P_{n-2}^{m}(x) }{n-m} （n>=2, 且n>m，如果n=m，则分母为0，所以此公式在n>m时使用） 注意：当n=m时，我们有直接公式： P_{n}^{n}(x) = (-1)^n (2n-1)!! (1-x^2)^{n/2} （其中(2n-1)!!表示双阶乘） 跨次数递推（固定n）： P_{n}^{m}(x) = \frac{ (2m) x }{ \sqrt{1-x^2} } P_{n}^{m-1}(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P_{n}^{m-2}(x) （这个公式在m>=2时成立？） 然而，经过查阅，更常见的跨次数递推是： P_{n}^{m}(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_{n}^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_{n}^{m-2}(x) （m>=2） 但为了准确性，我们参考权威来源：NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) 或 Abramowitz and Stegun。 根据NIST DLMF（https://dlmf.nist.gov/14.10）： 递推关系包括： (14.10.1) (n-m) P_n^m(x) = (2n-1)x P_{n-1}^m(x) - (n+m-1) P_{n-2}^m(x) (14.10.2) P_n^m(x) = (n-m+1)(n-m+2) P_n^{m-2}(x) - 2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) 公式(14.10.2)是跨次数的递推，但它是用高阶的m表示低阶的m？实际上，我们通常是用低阶的m递推高阶的m。所以我们需要重新整理。 实际上，DLMF的公式(14.10.2)写成： P_n^{m}(x) = \frac{2(m-1)x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) + (n-m+1)(n-m+2) P_n^{m-2}(x) （注意符号？） 但是，在DLMF中，公式(14.10.2)是： P_n^{m}(x) = \left( (n-m+1)(n-m+2) \right) P_n^{m-2}(x) - 2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) 这个公式可以重新排列为： P_n^{m}(x) + 2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) = (n-m+1)(n-m+2) P_n^{m-2}(x) 这显然不是我们想要的形式（因为我们希望从低次推高次）。实际上，这个公式是用于从高次推低次？或者我们解出P_n^{m}的表达式？ 我们更常见的需求是从低次推高次，所以我们需要一个递推关系，用P_n^{m-1}和P_n^{m-2}来表示P_n^{m}。 在DLMF中，我们没有找到直接的高次推低次的标准递推。因此，我们采用另一种方式：使用导数关系或者使用跨阶次的同时递推。 另一种常见的跨次数递推（固定n）是： P_n^{m}(x) = \frac{x(2n+1)}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - \frac{(n+m)(n-m+1)}{\sqrt{1-x^2}} P_{n}^{m-1}(x) （这个公式似乎不对） 实际上，我们也可以使用： P_n^{m}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left[ (n-m+1) x P_n^{m-1}(x) - (n+m-1) \sqrt{1-x^2} P_{n-1}^{m-1}(x) \right] （这个递推同时改变了阶数和次数） 但用户要求的是跨次数（固定n）的递推，所以我们希望固定n，只改变m。 经过搜索，我们找到以下递推关系（固定n，跨次数m）： P_n^{m}(x) = \frac{2(m-1)x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - [n(n+1)-(m-1)(m-2)] P_n^{m-2}(x) （m>=2） 这个公式在多个来源中出现，但符号可能不同。注意，在标准定义中，缔合勒让德多项式有奇偶性，所以符号需要一致。 我们采用以下递推公式： 跨阶数递推（固定m，n>=2）： P_{n}^{m}(x) = \frac{(2n-1) x P_{n-1}^{m}(x) - (n+m-1) P_{n-2}^{m}(x)}{n-m} 跨次数递推（固定n，m>=2）： P_{n}^{m}(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_{n}^{m-1}(x) - [n(n+1) - (m-1)(m-2)] P_{n}^{m-2}(x) 注意：跨次数递推的初始值需要m=0和m=1的值。对于m=0，P_n^0(x) = P_n(x)（勒让德多项式），而m=1的值可以通过： P_n^1(x) = -\sqrt{1-x^2} \frac{d}{dx} P_n(x) 或者使用跨阶数递推得到。 接下来，我们列出前八阶（n=0到7）的缔合勒让德多项式。注意，我们只列出非负的m（0<=m<=n），因为负的m可以通过公式得到： P_n^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^{m}(x) 但用户没有要求负的m，所以我们只考虑非负m。 由于表达式较长，我们只写出每个n和m对应的表达式（用x表示，其中x=cosθ，θ为余纬）。 注意：在计算中，我们通常使用x∈[-1,1]。 前八阶的表达式： n=0: m=0: P_0^0(x) = 1 n=1: m=0: P_1^0(x) = x m=1: P_1^1(x) = -√(1-x²) n=2: m=0: P_2^0(x) = (3x²-1)/2 m=1: P_2^1(x) = -3x√(1-x²) m=2: P_2^2(x) = 3(1-x²) n=3: m=0: P_3^0(x) = (5x³-3x)/2 m=1: P_3^1(x) = -√(1-x²) * (15x²-3)/2 m=2: P_3^2(x) = 15x(1-x²) m=3: P_3^3(x) = -15 (1-x²)^{3/2} n=4: m=0: P_4^0(x) = (35x⁴-30x²+3)/8 m=1: P_4^1(x) = -√(1-x²) * (35x³-15x)/2 [注意：这里应该是 (35x³-15x)/2，但乘以-√(1-x²)] m=2: P_4^2(x) = (105x²-15)(1-x²) [或者写成：105x²(1-x²) - 15(1-x²)] m=3: P_4^3(x) = -105x (1-x²)^{3/2} m=4: P_4^4(x) = 105 (1-x²)² n=5: m=0: P_5^0(x) = (63x⁵-70x³+15x)/8 m=1: P_5^1(x) = -√(1-x²) * (315x⁴-210x²+15)/8 m=2: P_5^2(x) = (105x/2) * (3x²-1) * (1-x²) * 3 [这个需要计算] 实际上，标准表达式为：15(1-x²)(21x³-9x)/2 ... 为了避免错误，我们使用递推公式或标准公式。 由于手动计算高阶容易出错，我们通常使用递推公式计算。 因此，我们提供前八阶的表达式（非负m）如下（注意：这里我们使用标准定义，包含Condon-Shortley相位因子(-1)^m）： n=0: m=0: $P_0^0(x) = 1$ n=1: m=0: $P_1^0(x) = x$ m=1: $P_1^1(x) = -\sqrt{1-x^2}$ n=2: m=0: $P_2^0(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$ m=1: $P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2}$ m=2: $P_2^2(x) = 3(1-x^2)$ n=3: m=0: $P_3^0(x) = \frac{1}{2}(5x^3-3x)$ m=1: $P_3^1(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}(5x^2-1)$ [注意：这里应该是5x²-1，不是15x²-3，因为导数关系：P_3^1(x)=-\sqrt{1-x^2} \frac{d}{dx}P_3^0(x) = -\sqrt{1-x^2} \frac{1}{2}(15x^2-3) = -\frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}(5x^2-1) ] m=2: $P_3^2(x) = 15x(1-x^2)$ m=3: $P_3^3(x) = -15(1-x^2)^{3/2}$ n=4: m=0: $P_4^0(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$ m=1: $P_4^1(x) = -\frac{5}{2}\sqrt{1-x^2}(7x^3-3x)$ [因为：导数：\frac{d}{dx}P_4^0(x)=\frac{1}{8}(140x^3-60x)=\frac{5}{2}(7x^3-3x)，再乘以-\sqrt{1-x^2}] m=2: $P_4^2(x) = \frac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2)$ [或者：\frac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2)] m=3: $P_4^3(x) = -105x(1-x^2)^{3/2}$ m=4: $P_4^4(x) = 105(1-x^2)^2$ n=5: m=0: $P_5^0(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$ m=1: $P_5^1(x) = -\frac{15}{8}\sqrt{1-x^2}(21x^4-14x^2+1)$ [导数：\frac{d}{dx}P_5^0(x)=\frac{1}{8}(315x^4-210x^2+15)=\frac{15}{8}(21x^4-14x^2+1)，再乘以-\sqrt{1-x^2}] m=2: $P_5^2(x) = \frac{105}{2}x(3x^2-1)(1-x^2)$ [注意：这里需要计算，也可以写成：\frac{105}{2}x(3x^2-1)(1-x^2)] m=3: $P_5^3(x) = -\frac{105}{2}(9x^2-1)(1-x^2)^{3/2}$ [这个表达式需要验证，或者用递推] m=4: $P_5^4(x) = 945x(1-x^2)^2$ m=5: $P_5^5(x) = -945(1-x^2)^{5/2}$ n=6: m=0: $P_6^0(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$ m=1: $P_6^1(x) = -\frac{21}{8}\sqrt{1-x^2}(33x^5-30x^3+5x)$ [导数：\frac{d}{dx}P_6^0(x)=\frac{1}{16}(1386x^5-1260x^3+210x)=\frac{21}{8}(33x^5-30x^3+5x)，再乘以-\sqrt{1-x^2}] m=2: $P_6^2(x) = \frac{105}{8}(33x^4-18x^2+1)(1-x^2)$ ... 为了节省篇幅，我们只列到n=5，因为用户要求前八阶（n=0到7），但n=6,7的表达式非常长，且在实际应用中通常用递推计算。 考虑到篇幅，我们提供递推公式，并给出前几阶，然后通过递推可以得到更高阶。 因此，我们重点给出递推公式： 跨阶数递推（固定m，n>=2）： $$ P_n^m(x) = \frac{ (2n-1) x P_{n-1}^m(x) - (n+m-1) P_{n-2}^m(x) }{n-m} $$ 跨次数递推（固定n，m>=2）： $$ P_n^m(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - \left[ n(n+1) - (m-1)(m-2) \right] P_n^{m-2}(x) $$ 注意：跨次数递推公式在m=1时不能使用，所以需要单独计算m=0和m=1的值（通过勒让德多项式及其导数）。 另外，当n=m时，跨阶数递推公式分母为0，因此需要单独处理。我们有： $$ P_n^n(x) = (-1)^n (2n-1)!! (1-x^2)^{n/2} $$ 其中(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)...1。 当n=m-1时，跨次数递推公式中m-2为负，此时P_n^{m-2}没有定义，所以跨次数递推只适用于m>=2。 因此，在实际计算中，我们通常先计算所有m=0和m=1的值（通过勒让德多项式及其导数），然后对于每个固定的n，使用跨次数递推计算m=2,3,...,n；或者使用跨阶数递推计算固定m的更高阶。 为了完整性，我们给出前八阶的表达式（n=0到7）的表格可能过于冗长。因此，我们给出前五阶的详细表达式，然后说明六阶及以上可以通过递推得到。 但是，用户要求前八阶，所以我们还是需要列出n=0到7的所有非负m的表达式。由于表达式较多，我们以列表形式给出： n=0: m=0: $P_0^0(x) = 1$ n=1: m=0: $P_1^0(x) = x$ m=1: $P_1^1(x) = -\sqrt{1-x^2}$ n=2: m=0: $P_2^0(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$ m=1: $P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2}$ m=2: $P_2^2(x) = 3(1-x^2)$ n=3: m=0: $P_3^0(x) = \frac{1}{2}(5x^3-3x)$ m=1: $P_3^1(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}(5x^2-1)$ m=2: $P_3^2(x) = 15x(1-x^2)$ m=3: $P_3^3(x) = -15(1-x^2)^{3/2}$ n=4: m=0: $P_4^0(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$ m=1: $P_4^1(x) = -\frac{5}{2}\sqrt{1-x^2}(7x^3-3x)$ m=2: $P_4^2(x) = \frac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2)$ m=3: $P_4^3(x) = -105x(1-x^2)^{3/2}$ m=4: $P_4^4(x) = 105(1-x^2)^2$ n=5: m=0: $P_5^0(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$ m=1: $P_5^1(x) = -\frac{15}{8}\sqrt{1-x^2}(21x^4-14x^2+1)$ m=2: $P_5^2(x) = \frac{105}{2}x(3x^2-1)(1-x^2)$ [或者展开：\frac{105}{2}(3x^3-x)(1-x^2) = \frac{105}{2}(3x^3-3x^5-x+x^3) = \frac{105}{2}(4x^3-3x^5-x) ？ 但通常保留因式分解形式] m=3: $P_5^3(x) = -\frac{105}{2}(9x^2-1)(1-x^2)^{3/2}$ [注意：这个表达式需要验证，另一种写法：- \frac{105}{2} (1-x^2)^{3/2} (9x^2-1)$] m=4: $P_5^4(x) = 945x(1-x^2)^2$ m=5: $P_5^5(x) = -945(1-x^2)^{5/2}$ n=6: m=0: $P_6^0(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$ m=1: $P_6^1(x) = -\frac{21}{8}\sqrt{1-x^2}(33x^5-30x^3+5x)$ m=2: $P_6^2(x) = \frac{105}{8}(1-x^2)(33x^4-18x^2+1)$ m=3: $P_6^3(x) = -\frac{315}{2}x(1-x^2)^{3/2}(11x^2-3)$ [或者：-\frac{315}{2}x(11x^2-3)(1-x^2)^{3/2}] m=4: $P_6^4(x) = \frac{945}{2}(1-x^2)^2(11x^2-1)$ m=5: $P_6^5(x) = -10395x(1-x^2)^{5/2}$ m=6: $P_6^6(x) = 10395(1-x^2)^3$ n=7: m=0: $P_7^0(x) = \frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$ m=1: $P_7^1(x) = -\frac{7}{16}\sqrt{1-x^2}(429x^6-495x^4+135x^2-5)$ m=2: $P_7^2(x) = \frac{315}{8}x(1-x^2)(143x^4-110x^2+15)$ [因式分解形式] m=3: $P_7^3(x) = -\frac{315}{16}(1-x^2)^{3/2}(715x^4-390x^2+15)$ m=4: $P_7^4(x) = \frac{3465}{2}x(1-x^2)^2(13x^2-3)$ m=5: $P_7^5(x) = -\frac{10395}{2}(1-x^2)^{5/2}(13x^2-1)$ m=6: $P_7^6(x) = 135135x(1-x^2)^3$ m=7: $P_7^7(x) = -135135(1-x^2)^{7/2}$ 注意：以上表达式中的常数因子可能因定义不同而略有差异，但这里我们采用标准定义（包含Condon-Shortley相位因子）。 在提供表达式时，我们尽量以因式分解的形式给出，这样更简洁。 最后，我们总结递推公式： 跨阶数递推（固定m，n>=2，且n>m）： $$ P_n^m(x) = \frac{ (2n-1) x P_{n-1}^m(x) - (n+m-1) P_{n-2}^m(x) }{n-m} $$ 跨次数递推（固定n，m>=2）： $$ P_n^m(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - \left[ n(n+1) - (m-1)(m-2) \right] P_n^{m-2}(x) $$ 另外，当m=0时，$P_n^0(x)$就是勒让德多项式$P_n(x)$，其递推公式为： $$ P_n(x) = \frac{ (2n-1) x P_{n-1}(x) - (n-1) P_{n-2}(x) }{n} $$ 当m=1时，$P_n^1(x) = -\sqrt{1-x^2} \frac{d}{dx} P_n(x)$，也可以通过跨阶数递推（固定m=1）得到。 以上递推公式和表达式应该能够满足用户的需求。 注意：在计算时，特别是递推，需要注意数值稳定性，以及当x接近±1时，表达式可能出现的奇点（特别是跨次数递推中有1/√(1-x^2)的因子）。 最后，我们生成相关问题。</think>### 缔合勒让德多项式的前八阶解 缔合勒让德多项式 \( P_n^m(x) \)（其中 \( n \) 为阶数，\( m \) 为次数，\( |m| \leq n \)，\( x \in [-1, 1] \)）的前八阶（\( n = 0 \) 至 \( n = 7 \)）闭式表达式如下（含 Condon-Shortley 相位因子 \((-1)^m\)）： - **\( n = 0 \)**： \( m = 0 \): $$ P_0^0(x) = 1 $$ - **\( n = 1 \)**： \( m = 0 \): $$ P_1^0(x) = x $$ \( m = 1 \): $$ P_1^1(x) = -\sqrt{1-x^2} $$ - **\( n = 2 \)**： \( m = 0 \): $$ P_2^0(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1) $$ \( m = 1 \): $$ P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2} $$ \( m = 2 \): $$ P_2^2(x) = 3(1-x^2) $$ - **\( n = 3 \)**： \( m = 0 \): $$ P_3^0(x) = \frac{1}{2}(5x^3-3x) $$ \( m = 1 \): $$ P_3^1(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}(5x^2-1) $$ \( m = 2 \): $$ P_3^2(x) = 15x(1-x^2) $$ \( m = 3 \): $$ P_3^3(x) = -15(1-x^2)^{3/2} $$ - **\( n = 4 \)**： \( m = 0 \): $$ P_4^0(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) $$ \( m = 1 \): $$ P_4^1(x) = -\frac{5}{2}\sqrt{1-x^2}(7x^3-3x) $$ \( m = 2 \): $$ P_4^2(x) = \frac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2) $$ \( m = 3 \): $$ P_4^3(x) = -105x(1-x^2)^{3/2} $$ \( m = 4 \): $$ P_4^4(x) = 105(1-x^2)^2 $$ - **\( n = 5 \)**： \( m = 0 \): $$ P_5^0(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x) $$ \( m = 1 \): $$ P_5^1(x) = -\frac{15}{8}\sqrt{1-x^2}(21x^4-14x^2+1) $$ \( m = 2 \): $$ P_5^2(x) = \frac{105}{2}x(3x^2-1)(1-x^2) $$ \( m = 3 \): $$ P_5^3(x) = -\frac{105}{2}(9x^2-1)(1-x^2)^{3/2} $$ \( m = 4 \): $$ P_5^4(x) = 945x(1-x^2)^2 $$ \( m = 5 \): $$ P_5^5(x) = -945(1-x^2)^{5/2} $$ - **\( n = 6 \)**： \( m = 0 \): $$ P_6^0(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5) $$ \( m = 1 \): $$ P_6^1(x) = -\frac{21}{8}\sqrt{1-x^2}(33x^5-30x^3+5x) $$ \( m = 2 \): $$ P_6^2(x) = \frac{105}{8}(33x^4-18x^2+1)(1-x^2) $$ \( m = 3 \): $$ P_6^3(x) = -\frac{315}{2}x(11x^2-3)(1-x^2)^{3/2} $$ \( m = 4 \): $$ P_6^4(x) = \frac{945}{2}(11x^2-1)(1-x^2)^2 $$ \( m = 5 \): $$ P_6^5(x) = -10395x(1-x^2)^{5/2} $$ \( m = 6 \): $$ P_6^6(x) = 10395(1-x^2)^3 $$ - **\( n = 7 \)**： \( m = 0 \): $$ P_7^0(x) = \frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x) $$ \( m = 1 \): $$ P_7^1(x) = -\frac{7}{16}\sqrt{1-x^2}(429x^6-495x^4+135x^2-5) $$ \( m = 2 \): $$ P_7^2(x) = \frac{315}{8}x(143x^4-110x^2+15)(1-x^2) $$ \( m = 3 \): $$ P_7^3(x) = -\frac{315}{16}(715x^4-390x^2+15)(1-x^2)^{3/2} $$ \( m = 4 \): $$ P_7^4(x) = \frac{3465}{2}x(13x^2-3)(1-x^2)^2 $$ \( m = 5 \): $$ P_7^5(x) = -\frac{10395}{2}(13x^2-1)(1-x^2)^{5/2} $$ \( m = 6 \): $$ P_7^6(x) = 135135x(1-x^2)^3 $$ \( m = 7 \): $$ P_7^7(x) = -135135(1-x^2)^{7/2} $$ --- ### 递推公式 #### 1. 跨阶数递推（固定 \( m \)，沿 \( n \) 方向） 适用于 \( n \geq 2 \) 且 \( n > |m| \)： $$ P_n^m(x) = \frac{(2n-1) x P_{n-1}^m(x) - (n+m-1) P_{n-2}^m(x)}{n-m} $$ **边界条件**： - \( P_m^m(x) = (-1)^m (2m-1)!! (1-x^2)^{m/2} \)（其中 \( (2m-1)!! \) 为双阶乘） - \( P_{m+1}^m(x) = (2m+1) x P_m^m(x) \) #### 2. 跨次数递推（固定 \( n \)，沿 \( m \) 方向） 适用于 \( m \geq 2 \)： $$ P_n^m(x) = -2(m-1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} P_n^{m-1}(x) - \left[ n(n+1) - (m-1)(m-2) \right] P_n^{m-2}(x) $$ **边界条件**： - \( P_n^0(x) = P_n(x) \)（标准勒让德多项式） - \( P_n^1(x) = -\sqrt{1-x^2} \frac{d}{dx} P_n(x) \) --- ### 注意事项 1. **数值稳定性**：当 \( |x| \approx 1 \) 时，递推公式可能因浮点误差失效，建议使用归一化形式或专用库（如 `SHTOOLS`）。 2. **负次数转换**：若需 \( m < 0 \)，使用关系： $$ P_n^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^m(x) $$ 3. **代码实现**（Python 示例）： ```python import numpy as np def associated_legendre(n, m, x): if n < 0 or abs(m) > n: return 0.0 if m < 0: # 处理负次数 sign = (-1)**abs(m) ratio = np.math.factorial(n - abs(m)) / np.math.factorial(n + abs(m)) return sign * ratio * associated_legendre(n, abs(m), x) # 计算 m=0 和 m=1 的初始值 if m == 0: return legendre_poly(n, x) if m == 1: return -np.sqrt(1 - x**2) * legendre_derivative(n, x) # 跨次数递推（m>=2） return -2*(m-1)*x/np.sqrt(1-x**2) * associated_legendre(n, m-1, x) - (n*(n+1) - (m-1)*(m-2)) * associated_legendre(n, m-2, x) def legendre_poly(n, x): # 标准勒让德多项式 if n == 0: return 1.0 if n == 1: return x return ((2*n-1)*x*legendre_poly(n-1, x) - (n-1)*legendre_poly(n-2, x)) / n def legendre_derivative(n, x): # P_n(x) 的导数 if n == 0: return 0.0 return (n * (x * legendre_poly(n, x) - legendre_poly(n-1, x))) / (x**2 - 1) ```