线性规划强对偶定理证明
时间: 2023-12-09 11:34:29 浏览: 300
根据线性规划的弱对偶定理,原问题的最优值大于等于对偶问题的最优值。现在我们来证明线性规划的强对偶性。
假设原问题的最优解为 x∗,对偶问题的最优解为 y∗,则有:
cTx∗≥bTy∗
同时,根据对偶问题的定义,有:
bTy≤cTx
将 y 替换为 y∗,得到:
bTy∗≤cTx
将 x 替换为 x∗,得到:
bT y∗ ≤ cT x∗
因此,对偶问题的最优解 y∗ 也是不等式约束条件下的最优解,即 y∗ 也是对偶问题的最优解。因此,原问题和对偶问题的最优解相等,即:
cTx∗=bTy∗
这就是线性规划的强对偶性。
相关问题
运筹学对偶规划与对偶定理
运筹学中的对偶规划是指对于给定的一个线性规划问题(称为原问题),存在另一个相关的线性规划问题(称为对偶问题)。这两个问题之间有着密切的关系,而且可以通过其中一个来研究另外一个。
### 对偶规划的基本概念
- 原问题通常表示为最大化或最小化目标函数,在一系列约束条件下。
- 对应地构建一个对偶问题,它会以不同的方式表述同样的优化挑战,通常是转换了最大值和最小值的目标以及改变了约束条件的形式。
- 每一对原问题和对偶问题都共享相同的最优解价值,即当一方达到最优时,另一方也同时到达最优状态,并且两者的最优解相等。
### 对偶定理的应用
- **弱对偶性**:任何可行的对偶解给出的是原问题最优解的一个界限。例如,若原问题是极小化,则任意可行的对偶极大化解提供了一个下限。
- **强对偶性**:如果原问题有一个有限的最优解,那么它的对偶也有一个有限的最优解,两者具有相同的价值。
- **互补松弛性**:在最优情况下,原问题中某个不等式的约束越紧,对应的对偶变量就越松;反之亦然。这有助于识别哪些资源是在最优配置下的关键限制因素。
这些特性使得对偶理论成为分析和解决问题的强大工具,尤其是在经济、工程等领域用于决策支持系统的设计上。此外,对偶理论还被用来开发有效的算法和技术,比如单纯形法的一种变体——对偶单纯形法,它可以更有效地处理某些类型的线性规划问题。
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