树状数组求解逆序对的原理
时间: 2024-08-15 19:09:15 浏览: 84
树状数组（也称为段树或fenwick树），用于高效地处理区间查询和更新操作，对于求解逆序对问题非常有效。逆序对是指在一个序列中，如果a[i] > a[j]，则(a[i], a[j])视为一个逆序对。
在解决逆序对问题时，利用树状数组的主要原理如下：
1. **区间更新**：当我们增加一个元素的值时，实际上会改变它所在区间的逆序对数量。例如，如果我们将第i个元素增大，那么之前的i到n-1区间可能会因为这个元素的变化而增加新的逆序对。
2. **区间查询**：查询某个区间内的逆序对数量，实际上是对每个区间内部和跨越区间两端的所有元素之间逆序对的计数。树状数组可以快速地进行区间询问，通过递归计算包含每个节点的区间的逆序对贡献。
3. **线性时间复杂度**：由于树状数组支持O(log n)时间的区间更新和查询操作，所以整个算法的时间复杂度可以达到O(n log n)，其中n是序列的长度。
具体操作步骤通常是先预处理原始数组得到树状数组，然后对于每个查询，从最后一个元素开始往左维护一个累计逆序对的数量，每遇到比当前值大的元素，就增加累计值。
相关问题
树状数组求逆序对c语言
以下是使用树状数组求解逆序对的C语言代码：
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXN 100005
int n;
int a[MAXN];
int c[MAXN];
struct Node {
int val, index;
} b[MAXN];
int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
int cmp(const void *a, const void *b) {
return ((Node *)a)->val - ((Node *)b)->val;
}
int sum(int x) {
int ans = 0;
while (x > 0) {
ans += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
void update(int x) {
while (x <= n) {
c[x]++;
x += lowbit(x);
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
b[i].val = a[i];
b[i].index = i;
}
qsort(b + 1, n + 1, sizeof(b[0]), cmp);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[b[i].index] = i;
}
long long ans = 0;
for (int i = n; i >= 1; i--) {
ans += sum(a[i] - 1);
update(a[i]);
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
```
其中，我们使用了一个辅助数组b来存储每个数的值和它在原数组中的下标，然后将b按照值的大小排序，得到一个新的数组a，其中a[i]表示原数组中第i个数的排名。接着，我们从后往前遍历a，每次将a[i]-1（即比a[i]小的数的个数）加入答案中，并更新a[i]的位置。具体来说，我们可以使用树状数组来维护前缀和，用sum(a[i]-1)来查询比a[i]小的数的个数，用update(a[i])来更新a[i]的位置。最终，答案就是所有查询结果的和。
请使用树状数组求逆序对
树状数组（Fenwick tree）是一种用于高效求解数列前缀和（Prefix Sum）问题的数据结构，而求逆序对也是一种经典的问题。
假设有个长度为 n 的数组 a，我们要求其中逆序对的数量，即所有 i < j 且 a[i] > a[j] 的 (i,j) 对数。这个问题可以用归并排序的思想求解，但是这里我们介绍一种使用树状数组的解法。
思路如下：
1. 将原数组 a 复制一份并排序，得到新数组 b，将 b 中的每个元素在原数组 a 中的下标记录在数组 c 中。
2. 从右往左遍历 a，对于每个元素 a[i]，在树状数组中查询前缀和 sum(c[i]-1)，即小于 a[i] 的元素个数，将结果累加到逆序对计数器 ans 中。
3. 将 a[i] 在数组 c 中对应的位置在树状数组中更新为 1。
下面是使用 Python 实现的代码：
```python
def lowbit(x):
return x & -x
def update(bit, x, val):
n = len(bit)
while x <= n:
bit[x] += val
x += lowbit(x)
def query(bit, x):
res = 0
while x > 0:
res += bit[x]
x -= lowbit(x)
return res
def count_inversions(a):
n = len(a)
b = sorted(a)
c = {v: i+1 for i, v in enumerate(b)}
bit = [0] * (n+1)
ans = 0
for i in range(n-1, -1, -1):
ans += query(bit, c[a[i]]-1)
update(bit, c[a[i]], 1)
return ans
```
其中，lowbit 函数是计算 x 的最低位 1 所代表的值；update 函数是树状数组的更新操作；query 函数是树状数组的查询操作；count_inversions 函数是主函数，用于计算逆序对数量。
时间复杂度为 O(nlogn)。
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- 引用[2]：描述冒烟测试后的验证阶段，包括回归测试、覆盖率分析等。
- 引用[3]：解释RTL使用Verilog或VHDL描述，模