旋转矩阵推导

### 三维与二维旋转矩阵的数学推导过程 旋转矩阵是描述空间中物体旋转的一种数学工具，广泛应用于计算机图形学、机器人学以及游戏开发等领域。旋转矩阵的推导可以从二维空间开始，再扩展到三维空间。 #### 二维坐标系的旋转 在二维空间中，一个点 $ P = (x, y) $ 绕原点逆时针旋转角度 $ \theta $ 后的新坐标 $ P' = (x', y') $ 可以通过三角函数关系得出： $$ \begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned} $$ 将上述变换写成矩阵形式，可以得到二维旋转矩阵： $$ P' = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} P $$ 这一矩阵形式便于进行连续旋转操作和与其他变换矩阵的组合[^4]。 #### 三维坐标系的旋转 在三维空间中，旋转可以围绕任意轴进行，但为了简化分析，通常考虑绕坐标轴（X、Y、Z）的旋转。 ##### 绕Z轴旋转 在三维空间中，绕Z轴旋转与二维旋转相同，Z坐标保持不变。设点 $ P = (x, y, z) $ 绕Z轴旋转角度 $ \theta $，其变换公式为： $$ \begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \\ z' &= z \end{aligned} $$ 对应的旋转矩阵为： $$ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ ##### 绕X轴旋转（俯仰角 Pitch） 绕X轴旋转时，Y和Z坐标发生变化，X保持不变。设旋转角度为 $ \theta $，则： $$ \begin{aligned} y' &= y\cos\theta - z\sin\theta \\ z' &= y\sin\theta + z\cos\theta \\ x' &= x \end{aligned} $$ 对应的旋转矩阵为： $$ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$ ##### 绕Y轴旋转（偏航角 Yaw） 绕Y轴旋转时，X和Z坐标发生变化，Y保持不变。设旋转角度为 $ \theta $，则： $$ \begin{aligned} x' &= x\cos\theta + z\sin\theta \\ z' &= -x\sin\theta + z\cos\theta \\ y' &= y \end{aligned} $$ 对应的旋转矩阵为： $$ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} $$ #### 任意点的旋转 在实际应用中，旋转中心可能不在原点。此时需要先将物体平移到原点，执行旋转后再平移回原位置。设旋转中心为点 $ (x, y) $，则变换过程为： $$ v' = T(x, y) \cdot R \cdot T(-x, -y) \cdot v $$ 其中 $ T(x, y) $ 为平移矩阵，$ R $ 为旋转矩阵[^3]。 #### 示例代码：二维旋转矩阵计算 ```python import numpy as np def rotation_matrix_2d(theta): theta = np.radians(theta) return np.array([ [np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)] ]) # 示例：绕原点旋转30度 R = rotation_matrix_2d(30) print("二维旋转矩阵：") print(R) ``` #### 示例代码：三维绕Z轴旋转矩阵计算 ```python def rotation_matrix_z(theta): theta = np.radians(theta) return np.array([ [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0], [np.sin(theta), np.cos(theta), 0], [0, 0, 1] ]) # 示例：绕Z轴旋转45度 R_z = rotation_matrix_z(45) print("绕Z轴旋转矩阵：") print(R_z) ``` ---