题目描述 （Description） 求 Sn=1! +2! +3! +4! +5! +.......n！之值，其中n是一个数字。 输入格式（Format Input） 输入一个整数 n, n <=12 输出格式（Format Output） 输出 Sn 样例（Sample） 输入样例1 （Sample Input 1） 复制 5 输出样例1 （Sample Output 1） 153 限制（Restrictions） 时间限制:1000 ms 内存限制:65535 KB c++

<think>好的，我需要帮助用户用C++编写一个计算Sn=1!+2!+...+n!的程序，并且满足n<=12的时间和空间限制。首先，我得理解阶乘累加的问题。阶乘的增长非常快，所以当n=12时，12!是479001600，这在int类型的范围内吗？让我先计算一下int的范围。通常，32位int的最大值是2^31-1，即2147483647。所以12!没问题，但13!是6227020800，超过了int的范围，因此题目中n<=12可能是为了避免溢出。 接下来，我需要考虑如何高效计算每个阶乘并累加。最直接的方法是用循环，逐个计算每个i的阶乘，然后加到总和里。比如，对于i从1到n，每次计算i!，然后加到sum中。这样时间复杂度是O(n^2)，不过因为n<=12，这样的时间复杂度完全在可接受范围内，不会有性能问题。 不过，有没有更优化的方法？比如利用阶乘的递推关系。因为i! = i*(i-1)!，所以可以保存前一个阶乘的结果，这样每次只需要乘以i，而不需要重新从头计算。这样时间复杂度就降到了O(n)，更高效。例如，初始化factorial为1，sum为0。然后循环从1到n，每次factorial *= i，sum += factorial。这样只需要一次循环，每次迭代做乘法和加法，非常高效。 然后，我需要考虑数据类型的选择。因为12!是479001600，可以用int吗？在C++中，int通常是4字节，范围是-2147483648到2147483647。所以12!刚好在int范围内，没有问题。但n=13就会溢出，所以题目限制n<=12是正确的。不过为了保险起见，可能应该用unsigned int，或者long long，但用户要求时间和空间限制，可能用int更节省空间，而且足够。 接下来，代码的结构。首先需要读取用户输入的n，并验证n是否在1到12之间。如果输入不符合，要提示重新输入。然后计算累加和，最后输出结果。所以程序的大致步骤是： 1. 输入n，验证有效性。 2. 初始化sum和factorial变量。 3. 循环计算每个阶乘并累加。 4. 输出结果。 编写代码时要注意循环的起始和终止条件。例如，当n=0时如何处理？但根据题目，n应该至少是1，所以在输入验证时要确保n>=1且<=12。 现在，测试一下示例情况。比如n=3，sum=1! + 2! +3! =1+2+6=9。程序应该正确输出这个结果。再比如n=1，sum=1。n=5，sum=1+2+6+24+120=153。 另外，用户提供的引用中有类似的累加代码，比如引用[4]中的1+2+3+…+n的实现，虽然这里是阶乘累加，但结构类似。可以借鉴输入验证和循环结构。 可能的错误点：忘记初始化factorial或sum，或者在循环中错误地计算阶乘。比如，如果每次重新计算阶乘而不是利用前一次的结果，效率会低，但题目允许n<=12，所以可能没问题，不过还是递推更优。 另外，考虑代码的规范性和可读性，比如变量命名，注释等。例如，变量名用factorial代替可能更清晰，sum_total代替sum。 最后，确保代码在C++中正确编译，比如使用正确的头文件，输入输出流等。例如，需要#include <iostream>，using namespace std;或者显式使用std::cout等。 总结步骤： 1. 输入n，验证1<=n<=12。 2. 初始化sum=0，factorial=1。 3. 循环i从1到n： factorial *= i; sum += factorial; 4. 输出sum。 这样代码简洁高效，时间复杂度O(n)，空间O(1)，完全符合要求。</think>要计算阶乘累加和$S_n=1!+2!+...+n!$（$n \leq 12$），可以通过递推优化实现高效计算。以下是分步实现方法： ### 一、C++实现代码 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cout << "请输入n的值（1-12）："; cin >> n; // 输入验证 while (n < 1 || n > 12) { cout << "输入超出范围，请重新输入（1-12）："; cin >> n; } int sum = 0; int factorial = 1; // 保存当前阶乘值 for (int i = 1; i <= n; ++i) { factorial *= i; // 递推计算i! sum += factorial; // 累加到总和 } cout << "S" << n << " = " << sum << endl; return 0; } ``` ### 二、关键设计解析 1. **递推优化** 通过$i! = i \cdot (i-1)!$的递推关系，将时间复杂度从$O(n^2)$优化到$O(n)$，空间复杂度保持$O(1)$[^4] 2. **输入验证** 限制$n \leq 12$是因为$13! = 6227020800$会超出`int`类型范围（最大$2147483647$），确保计算结果不溢出 3. **性能保证** 当$n=12$时，仅需12次乘法和12次加法，在现代计算机上执行时间可忽略不计 ### 三、测试案例验证 | 输入n | 输出结果 | 验证计算过程 | |-------|----------|-------------------| | 3 | 9 | 1+2+6=9 | | 5 | 153 | 1+2+6+24+120=153 | | 10 | 4037913 | 符合公式计算结果 | ### 四、扩展建议 若需要支持更大范围的$n$，可改用`unsigned long long`类型（最大支持$20!$），但需要额外增加溢出检测逻辑