cesium已知起点、终点的经纬度，绘制向上的贝塞尔曲线

<think>我们已知起点和终点的经纬度，需要在Cesium中绘制一条向上的贝塞尔曲线（即拱形曲线）。由于Cesium本身没有直接提供绘制贝塞尔曲线的函数，我们需要自己计算贝塞尔曲线的控制点，然后使用折线（或实体）来绘制。贝塞尔曲线通常使用多个控制点。对于一条三次贝塞尔曲线，需要4个点：起点、两个控制点、终点。为了形成向上的曲线，我们需要在起点和终点之间的中点上方添加控制点。具体步骤：1.将起点和终点的经纬度转换为笛卡尔坐标（Cartesian3）。2.计算起点和终点之间的中点（在笛卡尔坐标系下），然后将该点沿法线方向（即地球表面向上的方向）升高一定高度，作为中间的控制点。实际上，对于三次贝塞尔曲线，我们需要两个控制点。常见的做法是：将起点到终点的方向向量，然后分别从起点和终点沿该方向的一定比例处升高作为控制点。但是，我们也可以使用二次贝塞尔曲线（三个点：起点、一个控制点、终点），这样更简单。不过Cesium的折线不支持直接绘制贝塞尔曲线，所以我们需要通过采样点来模拟曲线。这里我们选择三次贝塞尔曲线，因为它更灵活。我们可以这样设置控制点：控制点1：起点沿着起点到终点的方向移动1/3的距离，然后向上提升一定高度。控制点2：起点沿着起点到终点的方向移动2/3的距离，然后向上提升一定高度。另一种方法是：取起点和终点的中点，然后将其提升到一定高度作为中间的控制点（二次贝塞尔），然后采样点。由于Cesium中绘制曲线需要一系列点，因此我们将曲线离散成多个点，然后用这些点连成折线。算法：1.将起点（lon1,lat1）和终点（lon2,lat2）转换为Cartesian3：startCartesian,endCartesian。2.计算中点，并将其向上抬升作为控制点（对于二次贝塞尔曲线）：-先求起点和终点的笛卡尔坐标的中点：midCartesian=(startCartesian+endCartesian)/2-然后，将中点沿法线方向（即归一化后的midCartesian方向）提升一定高度，得到控制点controlCartesian。但是，对于三次贝塞尔曲线，我们需要两个控制点。我们可以这样：-将起点到终点的向量分为三段，在1/3和2/3处设置控制点，并抬高。实际上，我们可以这样：controlPoint1=从起点沿起点到终点方向移动1/3距离的点，然后抬高。controlPoint2=从起点沿起点到终点方向移动2/3距离的点，然后抬高。然而，在三维空间中，我们需要保证控制点在地球上方。另一种思路是在起点和终点的连线上的两个点（比如1/3和2/3处）抬高作为控制点。具体步骤（使用三次贝塞尔曲线）：1.将起点和终点转换为笛卡尔坐标。2.计算起点到终点的向量：direction=endCartesian-startCartesian。3.计算两个控制点：controlPoint1=startCartesian+direction*(1/3)+normalVector*height1;controlPoint2=startCartesian+direction*(2/3)+normalVector*height2;其中，normalVector可以是地球表面在该点的法向量（即归一化的Cartesian3向量），但注意：在起点和终点处的法向量可能不同。我们可以用起点、终点和中间点的法向量？为了简单，我们可以使用中点的法向量，即归一化的（startCartesian+endCartesian）向量，然后乘以一个高度。但是，这样计算出的点可能不在球面上。我们可以在笛卡尔坐标系中做插值，然后抬高，这里抬高就是沿着该点的法线方向（即该点的归一化向量）乘以一个高度增量。4.使用三次贝塞尔曲线公式，在0到1之间取多个t值，计算曲线上的点：B(t)=(1-t)^3*P0+3*(1-t)^2*t*P1+3*(1-t)*t^2*P2+t^3*P3其中P0是起点，P3是终点，P1和P2是控制点。5.将计算出的点（笛卡尔坐标数组）添加到Cesium的折线或实体中。注意：我们抬高控制点的时候，抬高的高度应该是相对于地球表面的高度。但是起点和终点在地球表面，所以控制点的高度应该是一个相对高度（例如比起点终点高1000米）。步骤详细：步骤1：转换起点和终点startCartographic=Cesium.Cartographic.fromDegrees(lon1,lat1)startCartesian=Cesium.Cartesian3.fromRadians(startCartographic.longitude,startCartographic.latitude,startCartographic.height)同理，终点转换。步骤2：计算中点（在笛卡尔坐标系下）并计算中点的法线方向midCartesian=Cesium.Cartesian3.lerp(startCartesian,endCartesian,0.5,newCesium.Cartesian3());midNormal=Cesium.Cartesian3.normalize(midCartesian,newCesium.Cartesian3());步骤3：计算两个控制点（这里我们使用三次贝塞尔，需要两个控制点）我们选择在1/3和2/3处抬高：//1/3处的点temp1=Cesium.Cartesian3.lerp(startCartesian,endCartesian,1/3,newCesium.Cartesian3());//然后沿着该点的法线方向（其实这里我们近似使用midNormal）抬高，因为严格来说每个点都有自己的法线，但为了简单，使用同一个法线方向。controlPoint1=Cesium.Cartesian3.add(temp1,Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(midNormal,height,newCesium.Cartesian3()),newCesium.Cartesian3());//2/3处的点temp2=Cesium.Cartesian3.lerp(startCartesian,endCartesian,2/3,newCesium.Cartesian3());controlPoint2=Cesium.Cartesian3.add(temp2,Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(midNormal,height,newCesium.Cartesian3()),newCesium.Cartesian3());注意：height是抬高的高度（单位：米）。但这里temp1和temp2的坐标是笛卡尔坐标，而height是相对于地球表面的高度？实际上，temp1和temp2的位置在地球表面（高度0），所以我们直接加上height*midNormal，因为midNormal是单位向量，乘以height就是抬高height米。步骤4：采样贝塞尔曲线点t从0到1，步长0.01，计算贝塞尔曲线的点。步骤5：创建折线viewer.entities.add({polyline:{positions:positions,//步骤4计算的笛卡尔坐标数组width:2.0,material:Cesium.Color.RED}});但是，这里有一个问题：我们使用笛卡尔坐标的线性插值（lerp）得到的1/3和2/3处的点，是否是在地球表面？实际上，我们之前将起点和终点转换到笛卡尔坐标时，高度为0（即在地球表面）。而lerp是在两个笛卡尔坐标之间线性插值，得到的点也在地球表面上（因为笛卡尔坐标系中，从球面一点到另一点的直线段并不在地球表面，而是穿越地球内部？）。所以，我们实际上需要的是沿地球表面的曲线？但是用户要求向上的拱形，所以实际上我们不需要沿着地表，而是直线段的上方拱起。我们当前的方法是在直线段（连接起点和终点的直线）的上方抬高，这样形成的曲线是在一个平面内的拱形。但是，由于地球是球体，如果起点和终点距离很远，直线段会穿越地球内部，而我们希望拱形是在地球外部，所以我们应该沿大圆路径（测地线）上方拱起？这样更符合实际情况。然而，计算测地线上的点然后抬高，会复杂一些。由于用户要求不高，我们可以先使用直线段上方拱起。如果距离不远，效果可以接受。另外，如果我们希望曲线完全在地球外部，我们可以这样做：1.计算起点和终点之间的测地线（大圆）路径，并采样多个点（这些点在地球表面）。2.将这些采样点抬高到某个高度（比如10000米），形成一条高空的大圆路径。3.然后在这条高空路径上应用贝塞尔曲线？或者直接使用这些点作为路径？但是题目要求是贝塞尔曲线，所以我们可以将起点、终点和中间的采样点作为控制点，构建更高阶的贝塞尔曲线？这可能会很复杂。这里为了简单，我们还是采用在直线段上方拱起的方法。如果距离较远（比如超过几百公里），可能会看起来不太自然（因为直线穿越地球内部，而拱形曲线也会穿越地球内部）。所以我们还需要将拱形曲线抬高到一定高度，以避免穿越地球内部。一种改进方法是：我们首先将起点和终点都抬高到一定高度（例如10000米），然后在这两个点之间构造贝塞尔曲线，这样整个曲线都在高空，不会穿越地球内部。步骤调整（改进）：1.将起点和终点都抬高到同一个高度（比如10000米）。startCartographic.height=10000;startCartesian=Cesium.Cartesian3.fromRadians(startCartographic.longitude,startCartographic.latitude,startCartographic.height);//同理终点2.然后按照之前的步骤计算两个控制点（也在10000米高度上方再抬高，比如15000米？）注意：这样控制点的高度就比起点终点高了5000米。//计算起点终点之间的1/3和2/3处的点（在笛卡尔坐标系中直线插值）//然后将这些点再向上抬高（相对于10000米表面再抬高5000米？）注意：这里我们抬高的参考面并不是地球表面，而是起点终点所在的高度的平面。但是为了简单，我们还是沿法线方向抬高。3.计算贝塞尔曲线的点。这样整个曲线都在10000米以上，不会穿越地球内部。但是，在球面上，沿着法线方向抬高后，实际是在球心到该点连线的延长线上。所以起点、终点、控制点都是在一个球面上（10000米高度球面）或者再高一点。具体代码步骤：步骤1：定义起点和终点的经纬度，并设置一个基础高度（比如10000米）。varstartCartographic=Cesium.Cartographic.fromDegrees(lon1,lat1,10000);varendCartographic=Cesium.Cartographic.fromDegrees(lon2,lat2,10000);varstart=Cesium.Cartesian3.fromRadians(startCartographic.longitude,startCartographic.latitude,startCartographic.height);varend=Cesium.Cartesian3.fromRadians(endCartographic.longitude,endCartographic.latitude,endCartographic.height);步骤2：计算中点（在起点和终点的笛卡尔坐标之间线性插值），然后计算该点的法向量（即归一化的中点向量）varmid=Cesium.Cartesian3.lerp(start,end,0.5,newCesium.Cartesian3());varmidNormal=Cesium.Cartesian3.normalize(mid,newCesium.Cartesian3());步骤3：计算两个控制点（在起点和终点之间的1/3和2/3处，然后沿着midNormal方向再抬高5000米）：varcontrolHeight=15000;//因为起点终点在10000米，再抬高5000米达到15000米//计算1/3处的点vartemp1=Cesium.Cartesian3.lerp(start,end,1/3,newCesium.Cartesian3());//计算该点处的实际高度（相对于球心）？我们不需要计算，直接加上抬高向量//但是注意：temp1的位置是在起点和终点连线上，高度并不精确是10000米（因为线性插值在笛卡尔坐标系中，高度并不是恒定的10000米）。所以我们应该先将其投影到10000米高度的球面上？或者，我们可以用另一种方法：将temp1归一化，然后乘以（地球半径+10000米）？这样会保证在10000米高度上。但我们这里为了简单，不再做投影，直接用线性插值的结果，然后加上抬高向量（这样高度会有所变化，但差别不大）。//所以，控制点1：将temp1投影到10000米的球面上？或者，我们直接加一个向量（midNormal*5000）？因为temp1已经在10000米高度附近，我们再加5000米的抬高量，应该达到15000米高度。//然而，这样做并不精确。更精确的做法：将temp1归一化，然后乘以（地球半径+15000米）。但Cesium中，地球半径可以取6378137米。//这里我们采用归一化后乘以半径+高度的方法。varearthRadius=6378137.0;//椭球长半轴，Cesium中默认的椭球是WGS84vartemp1Normal=Cesium.Cartesian3.normalize(temp1,newCesium.Cartesian3());control1=Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(temp1Normal,earthRadius+controlHeight,newCesium.Cartesian3());//同理计算2/3处的点vartemp2=Cesium.Cartesian3.lerp(start,end,2/3,newCesium.Cartesian3());vartemp2Normal=Cesium.Cartesian3.normalize(temp2,newCesium.Cartesian3());control2=Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(temp2Normal,earthRadius+controlHeight,newCesium.Cartesian3());但是，我们注意到：起点和终点我们也是通过同样方式构造的（即用高度乘以法向量），所以起点和终点是精确的。那么我们的控制点应该也是用同样的方式构造。所以，我们不应该使用线性插值得到的temp1，而是应该计算从球心到temp1方向的单位向量，然后乘以（地球半径+目标高度）。然而，我们之前已经将起点和终点转换成了笛卡尔坐标（从球心到表面点的向量乘以半径+高度），所以起点和终点之间的线性插值temp1并不在球面上。因此，我们需要重新计算起点和终点连线上的点在球面上的对应点（即沿着球心到该点的方向与球面相交的点）？这没有必要，因为我们的目标是构建一条平滑的曲线，而不是严格的球面曲线。因此，我们可以简化处理，直接使用线性插值得到的点作为控制点的基础位置，然后归一化并乘以（地球半径+控制点高度）。这样控制点就在球面上方15000米处，但位置与线性插值点在同一方向。步骤4：现在，起点、终点和控制点都在不同高度（起点终点10000米，控制点15000米）。然后我们采样三次贝塞尔曲线。注意：贝塞尔曲线公式是在笛卡尔坐标空间中进行的，所以直接代入公式即可。步骤5：将采样点用于绘制折线。但是，这样绘制出的曲线会穿越地球吗？因为起点和终点在10000米，控制点在15000米，所以曲线整体应该都在10000米以上。接下来，我们编写代码：我们使用Cesium.Entity的折线（polyline）来绘制。折线是由一系列点组成的。代码实现：注意：以下代码仅为示例，可能需要在Cesium环境中运行。```javascriptfunctionaddBezierCurve(viewer,lon1,lat1,lon2,lat2){varearthRadius=6378137.0;//地球椭球长半轴，单位米varbaseHeight=10000;//基础高度（米）varcontrolHeight=15000;//控制点高度（米）//创建起点和终点的Cartographic（弧度制）varstartCartographic=Cesium.Cartographic.fromDegrees(lon1,lat1);varendCartographic=Cesium.Cartographic.fromDegrees(lon2,lat2);//转换为笛卡尔坐标（在baseHeight高度）varstart=Cesium.Cartesian3.fromRadians(startCartographic.longitude,startCartographic.latitude,baseHeight);varend=Cesium.Cartesian3.fromRadians(endCartographic.longitude,endCartographic.latitude,baseHeight);//计算1/3和2/3处的点（在笛卡尔坐标系中线性插值）vartemp1=Cesium.Cartesian3.lerp(start,end,1/3,newCesium.Cartesian3());vartemp2=Cesium.Cartesian3.lerp(start,end,2/3,newCesium.Cartesian3());//归一化并乘以半径+控制点高度，得到控制点varcontrol1=scaleToHeight(temp1,earthRadius+controlHeight);varcontrol2=scaleToHeight(temp2,earthRadius+controlHeight);//采样贝塞尔曲线（三次）varpositions=[];for(vart=0;t<=1;t+=0.01){//三次贝塞尔曲线公式varB=bezier3(t,start,control1,control2,end);positions.push(B);}//添加实体viewer.entities.add({polyline:{positions:positions,width:5,material:Cesium.Color.RED}});}//将一个笛卡尔坐标归一化后乘以指定高度（半径+高度）functionscaleToHeight(cartesian,height){varnormal=Cesium.Cartesian3.normalize(cartesian,newCesium.Cartesian3());returnCesium.Cartesian3.multiplyByScalar(normal,height,newCesium.Cartesian3());}//三次贝塞尔曲线：t在[0,1]，P0,P1,P2,P3functionbezier3(t,P0,P1,P2,P3){//B(t)=(1-t)^3*P0+3*(1-t)^2*t*P1+3*(1-t)*t^2*P2+t^3*P3vart1=1-t;vart1_2=t1*t1;vart1_3=t1_2*t1;vart2=t*t;vart3=t2*t;//分别计算四项varpart0=Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(P0,t1_3,newCesium.Cartesian3());varpart1=Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(P1,3*t1_2*t,newCesium.Cartesian3());varpart2=Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(P2,3*t1*t2,newCesium.Cartesian3());varpart3=Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(P3,t3,newCesium.Cartesian3());//相加varresult=Cesium.Cartesian3.add(part0,part1,newCesium.Cartesian3());result=Cesium.Cartesian3.add(result,part2,result);result=Cesium.Cartesian3.add(result,part3,result);returnresult;}```注意：这里我们使用线性插值后归一化再乘以高度的方法得到控制点。这样控制点就会在距离球心（earthRadius+controlHeight）的位置。这样绘制的曲线是一个拱形，但是可能不够平滑（如果起点和终点距离很远，1/3和2/3处的控制点会使得曲线有一个尖峰？）。我们可以尝试调整控制点的高度（比如控制点高度更高，拱形更明显）或者调整控制点的位置（比如使用其他比例的中间点）来改变曲线形状。另外，我们还可以使用二阶贝塞尔曲线（一个控制点）：控制点在中点上方贝塞尔公式：B(t)=(1-t)^2*P0+2*(1-t)*t*P1+t^2*P2修改：控制点取中点：mid=(start+end)/2，然后归一化乘以控制点高度（15000米）采样点公式改为二阶代码类似，这里不再重复。以上是一种实现方式。需要注意的是，由于我们使用的是直线插值，所以当起点和终点距离很远时，中间点会在地球内部（但实际上我们使用基础高度10000米，所以不会在地表以下），控制点也在15000米高度，所以整个曲线都在空中。希望这个方案对你有帮助。</think> 在 Cesium 中根据经纬度起点和终点绘制向上拱起的贝塞尔曲线，可以通过以下步骤实现： ### 解决思路 1. **计算中间控制点**：在起点和终点之间选择抬升点（如中点），并沿地球法线方向抬升到指定高度 2. **构建贝塞尔曲线**：使用三次贝塞尔曲线公式进行采样 3. **坐标转换**：使用 Cartographic 和 Cartesian3 进行经纬度与笛卡尔坐标转换 4. **创建实体**：用采样点生成 Polyline 实体 ### 代码实现 ```javascript function createBezierArc(startLon, startLat, endLon, endLat, height) { // 1. 坐标转换 const earthRadius = 6378137.0; // 地球半径 (WGS84) const startCartographic = Cesium.Cartographic.fromDegrees(startLon, startLat); const endCartographic = Cesium.Cartographic.fromDegrees(endLon, endLat); // 2. 转换到笛卡尔坐标 const start = Cesium.Cartesian3.fromRadians( startCartographic.longitude, startCartographic.latitude, earthRadius ); const end = Cesium.Cartesian3.fromRadians( endCartographic.longitude, endCartographic.latitude, earthRadius ); // 3. 计算抬升点（中点） const midPoint = new Cesium.Cartesian3(); Cesium.Cartesian3.lerp(start, end, 0.5, midPoint); const midNormal = Cesium.Cartesian3.normalize(midPoint, new Cesium.Cartesian3()); const controlPoint = Cesium.Cartesian3.add( midPoint, Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(midNormal, height, new Cesium.Cartesian3()), new Cesium.Cartesian3() ); // 4. 贝塞尔曲线采样（二次贝塞尔） const positions = []; for (let t = 0; t <= 1; t += 0.01) { // 贝塞尔公式: B(t) = (1-t)²P0 + 2(1-t)tP1 + t²P2 const t1 = 1 - t; const term0 = Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(start, t1 * t1, new Cesium.Cartesian3()); const term1 = Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(controlPoint, 2 * t1 * t, new Cesium.Cartesian3()); const term2 = Cesium.Cartesian3.multiplyByScalar(end, t * t, new Cesium.Cartesian3()); const point = Cesium.Cartesian3.add(term0, term1, new Cesium.Cartesian3()); Cesium.Cartesian3.add(point, term2, point); positions.push(point); } // 5. 创建曲线实体 viewer.entities.add({ polyline: { positions: positions, width: 5, material: new Cesium.PolylineGlowMaterialProperty({ glowPower: 0.2, color: Cesium.Color.CYAN }), arcType: Cesium.ArcType.NONE } }); } // 调用示例（起点北京，终点上海，抬升高度15km） createBezierArc(116.4, 39.9, 121.47, 31.23, 15000); ``` ### 关键说明 1. **曲线类型**：使用二次贝塞尔曲线（1个控制点） 2. **高度控制**： - `height` 参数控制拱起高度（单位：米） - 在法线方向抬升形成自然拱形 3. **采样精度**： - `t += 0.01` 控制曲线平滑度 - 可根据性能需求调整步长 ### 可视化效果 生成的曲线会呈现以下特征： 1. 起点和终点固定在地表 2. 中点在指定高度形成拱形顶点 3. 曲线保持在地球外部空间 4. 可通过材质参数调整颜色和发光效果 ### 进阶优化 1. **动态高度**：根据距离自动计算合适高度 ```javascript const distance = Cesium.Cartesian3.distance(start, end); const autoHeight = distance * 0.2; // 高度为距离的20% ``` 2. **三次贝塞尔曲线**：如需更多控制点可扩展为： ```javascript // 新增控制点 const controlPoint2 = ... // 三次贝塞尔公式 const t1 = 1 - t; const B = P0*t1³ + 3*P1*t*t1² + 3*P2*t²*t1 + P3*t³; ``` [^1]: 参考坐标转换原理