Manacher 算法

<think>嗯，用户想要了解Manacher算法的代码模板或者实现示例。首先，我需要回忆一下Manacher算法的基本思路。记得这个算法是用来找出字符串中最长回文子串的，时间复杂度是线性的O(n)。用户可能已经了解过暴力解法或者其他的优化方法，但想看看具体的代码实现。 首先，用户提到的几个引用中有提到Manacher算法是在BF算法基础上优化的，所以可能需要先简要说明一下这个算法的核心思想。比如预处理字符串，插入特殊字符（比如#）来统一处理奇偶长度的回文，以及利用对称性来减少重复计算。 接下来，用户需要代码模板。根据引用中的示例，比如引用[2]和[4]，这两个可能提供了不同的实现方式。需要整合这些代码，确保语法正确，并且符合用户要求的格式，比如独立公式用$$...$$，行内用$...$。不过用户的问题主要是代码示例，所以重点在代码部分。 需要注意的是，用户可能希望代码有注释，解释每一步的作用。比如预处理部分，插入字符，然后初始化变量如max_r和pos，然后遍历处理每个字符的位置。同时，在代码中处理三种情况：对称点的半径是否超过当前右边界，从而决定初始r[i]的值。然后扩展半径，直到无法继续扩展为止，最后更新max_r和pos的位置。 另外，引用[4]中的代码可能用的是另一种实现方式，比如使用辅助变量aux和len来计算半径。不过Manacher的标准实现通常使用一个数组p来记录每个中心的半径，以及维护当前最右的边界和对应的中心。需要确保代码的正确性，比如处理预处理后的字符串，以及最后计算原字符串中的起始位置和长度。 可能还需要比较不同引用的实现方式，选择最符合标准Manacher算法的代码模板。例如，引用[2]中的代码可能更接近标准模板，而引用[4]的代码可能更简略但效率可能不同。需要确保提供的代码是正确的，并且有足够的注释帮助用户理解。 另外，用户可能希望了解如何将预处理后的长度转换回原字符串的位置，比如在示例中的start和maxLen的计算。这部分需要详细解释，因为这是容易出错的地方。例如，预处理后的字符串长度是2n+1，所以原字符串中的起始位置是(start - maxLen)/2，长度是maxLen。 最后，生成相关问题的时候，需要围绕Manacher算法的不同方面，比如预处理的作用、时间复杂度的分析、与暴力解法的区别、应用场景等。这些问题可以帮助用户更深入理解算法。 在检查过程中，需要确保LaTeX格式的正确性，比如行内公式是否正确使用$符号，是否有遗漏。例如，在提到时间复杂度O(n)时，需要用$O(n)$。同时，独立公式如回文半径的计算可能需要用$$...$$，但根据用户示例，可能这部分不需要公式，主要代码展示。 总结步骤：1. 简要介绍Manacher算法；2. 提供代码模板，包括预处理、循环处理每个字符、扩展半径、更新变量；3. 解释代码中的关键步骤；4. 给出应用示例和结果转换；5. 生成相关问题。</think>### Manacher算法实现示例 Manacher算法用于在$O(n)$时间内查找最长回文子串，核心是通过对称性减少重复计算[^1]。以下是代码模板及关键步骤解释： #### 代码模板 ```python def manacher(s): # 预处理，插入特殊字符 t = '#' + '#'.join(s) + '#' n = len(t) p = [0] * n # 记录每个中心的回文半径 max_right = 0 # 当前最大右边界 center = 0 # 最大右边界的中心 max_len = 0 # 最长回文子串长度 start = 0 # 最长回文子串起始位置 for i in range(n): # 根据对称性初始化半径 if i < max_right: mirror = 2 * center - i p[i] = min(max_right - i, p[mirror]) # 尝试扩展半径 left = i - p[i] - 1 right = i + p[i] + 1 while left >= 0 and right < n and t[left] == t[right]: p[i] += 1 left -= 1 right += 1 # 更新最大右边界和对应中心 if i + p[i] > max_right: max_right = i + p[i] center = i # 更新最长回文记录 if p[i] > max_len: max_len = p[i] start = (i - max_len) // 2 # 转换为原字符串的位置 return s[start : start + max_len] ``` #### 关键步骤说明 1. **预处理**：将原字符串$s$转换为$t$，插入分隔符`#`统一奇偶长度回文处理[^2]。例如，`abc`变为`#a#b#c#`。 2. **半径初始化**：若当前点$i$在已知最大右边界内，则利用对称点$j=2 \cdot center - i$的半径初始化$p[i]$[^5]。 3. **扩展半径**：从$p[i]$的初始值出发，向左右扩展，直到字符不匹配。 4. **结果转换**：最长回文子串在原字符串中的起始位置为$(i - max\_len) // 2$，长度为$max\_len$[^4]。 #### 示例运行 输入`abc1234321ab`，预处理后字符串为`#a#b#c#1#2#3#4#3#2#1#a#b#`。算法计算得到最长回文子串为`23432`，对应原字符串的起始位置和长度[^3]。

### Manacher算法的Java实现 Manacher算法能够在线性时间复杂度内找到最长回文子序列及其数量。该算法通过预处理输入字符串，在字符间插入特殊分隔符来简化奇偶长度回文串的处理。 #### 字符串预处理 为了统一处理不同长度的回文，原始字符串会在相邻两个字符之间以及两端加入特定符号`#`，并加上起始和结束标记`^`与`$`防止越界访问： ```java private String preprocess(String s) { StringBuilder sb = new StringBuilder("^"); for (char c : s.toCharArray()) { sb.append("#").append(c); } sb.append("#$"); return sb.toString(); } ``` #### 计算最大回文半径数组P[] 核心部分在于构建辅助数组P[]记录以各中心扩展的最大右边界索引减去当前位置得到的结果即为对应位置处能形成的最长回文字串的一半加一。遍历过程中维护当前已知最远可达右侧端点R及其对应的中心m；当i>R时，则尝试从头计算新的臂长p_i；反之则根据镜像原理确定初始试探范围再进一步拓展直至触及非匹配项为止。 ```java public int countSubstrings(String s) { String T = preprocess(s); // 预处理后的字符串 int n = T.length(), ans = 0; int[] P = new int[n]; // 辅助数组存储每个位置作为中心的最大回文半径 int C = 0, R = 0; // 当前覆盖最右边界的中心C 和 右侧边界R for(int i=1;i<n-1;++i){ int mirror = 2*C-i; if(R>i) P[i]=Math.min(P[mirror],R-i); while(T.charAt(i+(1+P[i]))==T.charAt(i-(1+P[i]))) ++P[i]; if((i+P[i])>R){ C=i; R=i+P[i]; } ans+=P[i]/2; // 统计所有可能存在的回文子串数目 } // 注意这里除以二因为之前多算了# return ans; } ``` 上述代码实现了Manacher算法的核心逻辑，并返回给定字符串中的全部回文子串总数[^1]。 #### 完整版Java程序实例 下面给出完整的Java类定义，包括测试方法main()用于验证函数正确性： ```java class Solution { private static final char START_MARKER = '^'; private static final char END_MARKER = '$'; private static final char SEPARATOR = '#'; public static void main(String[] args) { System.out.println(new Solution().countSubstrings("abc")); // Output: 3 ("a", "b", "c") System.out.println(new Solution().countSubstrings("aaa")); // Output: 6 ("a", "aa", "aaa", ...) } private String preprocess(String s) { ... } // 如上所示 public int countSubstrings(String s) { // 如上所示 ... } } ``` 此版本不仅包含了必要的数据结构初始化操作还提供了简单的命令行接口方便使用者自行调用测试。