小杨想要计算由 m 个小写字母组成的字符串的得分。 小杨设置了一个包含 n 个正整数的计分序列 A=[a 1 ​ ,a 2 ​ ,…,a n ​ ]，如果字符串的一个子串由 k(1≤k≤n) 个 abc 首尾相接组成，那么能够得到分数 a k ​ ，并且字符串包含的字符不能够重复计算得分，整个字符串的得分是计分子串的总和。 例如，假设 ，字符串 dabcabcabcabzabc 的所有可能计分方式如下： d+abc+abcabc+abz+abc 或者 d+abcabc+abc+abz+abc，其中 d 和 abz 不计算得分，总得分为 a 1 ​ +a 2 ​ +a 1 ​ 。 d+abc+abc+abc+abz+abc，总得分为 a 1 ​ +a 1 ​ +a 1 ​ +a 1 ​ 。 d+abcabcabc+abz+abc，总得分为 a 3 ​ +a 1 ​ 。 小杨想知道对于给定的字符串，最大总得分是多少。 输入格式 第一行包含一个正整数 n，代表计分序列 A 的长度。 第二行包含 n 个正整数，代表计分序列 A。 第三行包含一个正整数 m，代表字符串的长度。 第四行包含一个由 m 个小写字母组成的字符串

<think>嗯，我现在得帮小杨解决这个问题。题目是说，给定一个字符串，要找出其中由多个"abc"首尾相连组成的子串，并且这些子串不能重叠。每个这样的子串如果由k个"abc"组成（k不超过n），就能得到分数a_k。目标是找到所有可能的子串组合，使得总得分最大。那要怎么处理呢？ 首先，我得理解问题。比如例子中的字符串是dabcabcabcabzabc。可能的计分方式有很多种，比如拆分不同的abc组合。例如，如果有一个子串是abcabc（也就是两个abc连接），那对应的得分是a_2。但要注意这些子串不能重叠使用字符，所以需要找到不重叠的子串组合，使得总和最大。 那如何动态规划呢？可能的状态应该是以字符串的某个位置结尾时的最大得分。比如，用dp[i]表示前i个字符的最大得分。然后，对于每个位置i，检查前面是否有可能的子串，比如从j到i的位置是否是k个abc组成的，这样就能加上对应的a_k，然后dp[i] = max(dp[i], dp[j-1] + a_k)。 那关键在于如何高效地判断从某个位置j到i是否由k个abc组成。比如，每个abc的长度是3，所以k个的话就是3k长度。所以可能的子串长度必须是3的倍数，且等于3k。例如，当检查i位置时，我们需要看是否有可能的j，使得子串s[j..i]是k个abc的连接，并且k<=n。 那可以这样设计：对于每个i，我们遍历可能的k值，看看前面是否有足够的长度。比如，假设当前处理到i，那么可能的k的取值范围是1到n，对应的子串长度是3k。所以，对于每个k，检查是否i -3k >=-1（假设字符串从0开始），然后检查子串是否由k个abc组成。如果是的话，那么可以考虑dp[i] = max(dp[i], dp[i-3k] + a_{k}）。 但这里需要考虑的是，每个可能的k对应的3k长度的子串。比如，当i=5时，如果k=1，那么子串是位置3-5是否是abc；如果k=2，则是位置0-5是否是abcabc？ 另外，计分序列的长度是n，所以k的最大值不能超过n。比如，如果n=3，那么k最多取3，对应的子串长度是9。 所以动态规划的状态转移方程大概是这样的： dp[i] = max(dp[i-1], 对于所有可能的k（1<=k<=n），如果s[i-3k+1 ... i]是k个abc的连接，那么dp[i-3k] + a_k) 然后，初始条件是dp[0] =0，表示前0个字符的得分是0。然后逐步计算到dp[m]。 那如何高效判断子串是否是k个abc的连接呢？比如，对于位置i，以及k，我们需要检查从i-3k+1到i的字符串是否由k个abc组成。这可能比较耗时，如果直接每个位置都遍历所有可能的k的话，时间复杂度可能很高。假设m是字符串长度，n是计分序列长度，那么每个位置最多检查n次，每次检查需要O(3k)的时间。那总的时间复杂度是O(m*n*3k_max)。其中k_max是n，所以总的时间复杂度是O(m*n^2)。当m较大时，比如1e5的话，这样的时间复杂度可能无法通过。不过题目中的m可能不是特别大，或者需要优化？ 或者，有没有办法预处理所有可能的abc子串的位置？比如，记录每个位置是否是某个k的起始点？ 例如，可以预先处理所有可能的连续abc的位置。比如，找到所有连续出现的abc，比如像abcabc这样的，那么可以记录它们的起始位置和长度（比如每个abc的长度是3，所以连续k个的话就是3k长度）。 或者，可以用滑动窗口的方式，预处理每个位置的最大可能的连续k值。比如，对于每个i，找到最大的k，使得以i结尾的位置有k个连续的abc。这可能更高效。 比如，可以维护一个数组cnt，其中cnt[i]表示以i结尾的位置，最多有多少个连续的abc。比如，当i的位置是字符'c'，并且前面的i-2到i的位置是abc的话，那么cnt[i] = cnt[i-3] +1。否则，cnt[i]=0。这样，当处理到i时，可以知道有多少个连续的abc组成的子串结束于i。这可能吗？ 举个例子，字符串abcabcabc： 对于i=2（第三个字符），字符是c，那么i-2到i是abc，所以cnt[2] =1。然后，i=5，假设前面的i-2到i也是abc的话，那么cnt[5] = cnt[2] +1=2。同理，i=8的话，cnt[8]=3。这样，每个位置i的cnt[i]表示有多少个连续的abc结束于i。那么，当处理到i时，可以知道最大的k是cnt[i]。但需要注意k不能超过n的值，所以实际可取的k是min(cnt[i],n)。 这样的话，当动态规划到i的时候，可以知道，以i结尾的最长的连续abc子串的长度是k_max = min(cnt[i],n)。然后，对于每个可能的k（从1到k_max），对应的得分是a_k。那么，我们可以取最大的那个得分，或者是否有其他情况？ 比如，假设i的位置的cnt[i]=3，n=3，那么可能的k是1、2、3。这时候，对应的得分是a_1，a_2，a_3。这时候，应该选择哪个k呢？比如，是否可能选择k=3，得到a_3，或者选择k=2和k=1的组合？ 但是根据题目中的规则，每个子串必须是连续的k个abc组成的，所以一旦选择了k=3，那么这个子串的长度是3*3=9，那么前面的位置就不能再被使用。而动态规划的状态转移可能需要比较所有可能的k，取最大值。 所以在这种情况下，动态规划的状态转移方程为： dp[i] = max(dp[i], dp[i-3k] + a_k) 对于所有可能的k（1<=k<=min(cnt[i],n)） 同时，如果当前位置i没有形成任何abc的子串，那么dp[i] = dp[i-1] 或者，还有一种情况，比如当前位置i可能属于多个k的情况，比如当k_max=3时，那么需要考虑k=3、2、1的可能。 比如，假设当前位置i的k_max是3，那么可能的情况是，取k=3，那么得分是a3；或者取k=2，此时剩下的一个abc可能被单独取，但这时候要看前面的情况。或者，这可能需要动态规划时，对所有可能的k取最大值。 所以，在动态规划的处理中，对于每个i，如果存在k的可能（即cnt[i]>=1），那么需要遍历所有可能的k（1<=k<=min(cnt[i],n)），然后计算对应的dp[i-3k] + a_k，并取最大的那个值，同时还要比较不取的情况，即dp[i-1]。 这样，动态规划的转移方程可以写为： dp[i] = max(dp[i-1], max{ dp[i-3k] + a_k | 1<=k<=min(cnt[i],n) }) 如果cnt[i]==0的话，那么只能取dp[i-1] 那么，现在的问题是，如何预处理cnt数组？ 预处理cnt数组的逻辑： 初始化cnt数组，长度等于字符串长度。初始全为0。 从i=2开始遍历字符串（因为每个abc的长度是3，所以起始位置是i-2到i）。 对于每个i，如果s[i-2] == 'a'，s[i-1] == 'b'，s[i] == 'c'，那么当前的abc是有效的。此时，如果i-3 >=0，并且cnt[i-3] >0，那么cnt[i] = cnt[i-3] +1。否则，cnt[i] =1。否则，cnt[i]=0. 例如： i=2时，检查0-2是否是abc。如果是，那么cnt[2]=1. i=5时，检查3-5是否是abc。如果是，那么i-3=2的位置的cnt是1，所以cnt[5]=1+1=2. 这样，cnt数组就能记录每个位置作为结尾的连续abc的个数。 这样，在动态规划时，可以快速获取每个i的可能k值。 那现在，动态规划的步骤大致如下： 初始化dp数组，其中dp[0]=0，表示前0个字符的得分。然后，对于每个i从1到m： 如果i <3，那么无法构成任何abc子串，所以dp[i] = dp[i-1] 否则： 检查是否以i-1结尾的位置（因为字符串的索引可能是从0到m-1）的cnt是否>=1。例如，在代码中，字符串的索引可能从0开始，所以i的范围是0到m-1。那假设在代码中，i是字符串的索引，那么当i >=2时，检查是否有abc。例如，对于位置i（字符串中的第i个字符），如果s[i-2] =a，s[i-1]=b，s[i]=c，那么可能构成一个abc。 此时，cnt[i]的计算方式如前所述。 然后，对于每个i，在动态规划的处理中，我们可能需要处理到i+1的位置？或者，这里可能需要注意索引的问题。例如，假设字符串长度为m，索引从0到m-1。dp数组的长度是m+1，其中dp[i]表示前i个字符的得分。例如，i=0对应空字符串，i=3对应前3个字符。 所以，假设我们处理到第i个字符（原字符串中的第i-1个字符），那么当i >=3时，才可能有子串。例如，原字符串的前三个字符是位置0-2，对应i=3时的处理。 所以，在动态规划的循环中，i从1到m（对应处理到前i个字符），那么当i>=3时，才有可能存在子串。 这可能更容易处理。 那么，具体来说： 初始化dp[0] =0. 对于i从1到m： dp[i] = dp[i-1] （不选择任何子串的情况） 然后，检查是否可以形成以i-1结尾的k个abc的子串。例如，当前的字符是第i-1个字符（因为前i个字符对应到索引0~i-1）。 对于每个可能的k（1<=k<=n），如果i >=3k，并且从i-3k到i-1的位置构成k个连续的abc，那么可以取dp[i] = max(dp[i], dp[i-3k] +a_{k}) 但这样每次都需要检查所有k的情况，可能比较耗时。此时，预处理好的cnt数组就能发挥作用了。例如，对于位置i-1，假设原字符串的位置是i-1，那么cnt[i-1]的值是连续多少个abc的结尾。 例如，如果cnt[i-1]>=k，那么说明至少连续k个abc结尾于i-1的位置。因此，对于每个可能的k（<=min(cnt[i-1],n)），我们可以检查i-3k是否>=0，然后dp[i] = max(dp[i], dp[i-3k] +a_k) 这样，对于每个i，我们只需要遍历k从1到k_max=min(cnt[i-1],n)，并且对于每个k，判断i-3k是否>=0。然后在这些k中取最大的那个值。 这样，时间复杂度是O(m*n)，因为对于每个i，最多遍历n次k的情况。如果n比较小的话，这应该是可行的。 那具体步骤： 1.预处理cnt数组，记录每个位置i的连续abc数。 例如，原字符串s的长度为m。cnt数组的长度为m。初始化cnt[0]=0，cnt[1]=0，因为无法组成完整的abc。从i=2开始，检查s[i-2]到s[i]是否是abc。如果是的话，如果i-3 >=0且cnt[i-3] >0，那么cnt[i] = cnt[i-3]+1，否则cnt[i]=1。否则，cnt[i]=0. 但这里可能要考虑，连续的abc必须严格相连。例如，abcabc的cnt数组在i=2是1，i=5是2，因为两个连续的abc。所以，当i的位置是5，那么前三个字符是3-5是否是abc？ 或者，可能我的预处理方式有问题。例如，比如在字符串abcabc中，每个abc的位置： i=2（第三个字符）是第一个abc，cnt[2]=1. i=5（第六个字符）是第二个abc。此时，i-3=2，cnt[2]=1，所以cnt[5] =1+1=2. 所以，cnt[i]的值是连续的abc的数量。例如，i=5的位置对应的连续abc的数量是2，那么对应的子串是abcabc，即两个abc连接。这样，当k=2时，对应的得分是a_2. 所以在动态规划的时候，当处理到i=6（前6个字符，即原字符串的位置0~5），对应的k_max是min(cnt[5],n)=2，假设n>=2，那么可以取k=1或k=2。对应的子串长度是3和6。对应的得分是a_1和a_2。此时，需要比较这两种情况加上对应的dp[i-3k]的值，然后取最大的。 那现在，如何预处理cnt数组？ 例如，处理每个i（原字符串的索引）： 如果 s[i-2] == 'a'， s[i-1] == 'b'， s[i] == 'c'，那么当前位置i可以形成一个abc。此时，检查前一个abc是否连续。例如，如果i-3 >=0，并且在i-3的位置是否也是一个abc的结尾。例如，假设i-3的位置是否也是一个abc的结尾，那么连续的次数是cnt[i-3]+1。否则，次数是1。 所以，代码可能类似于： for i in range(len(s)): if i < 2: cnt[i] =0 else: if s[i-2] == 'a' and s[i-1] == 'b' and s[i] == 'c': if i-3 >=0 and cnt[i-3] >0: cnt[i] = cnt[i-3] +1 else: cnt[i] =1 else: cnt[i] =0 这样，得到的cnt数组中的每个元素表示以该位置结尾的连续abc的数量。 例如，对于字符串abcabcabc： i=2: 是abc，i-3=-1，所以cnt[2]=1. i=5:检查i-3=2，cnt[2]=1。所以cnt[5]=1+1=2. i=8:检查i-3=5，cnt[5]=2 → cnt[8]=3. 这样，每个位置i的cnt[i]就是连续的abc的数量。 这样，当处理到某个i时，最大的k是cnt[i]，但不超过n。所以，在动态规划时，对于每个i对应的原字符串的位置i-1（因为dp数组是前i个字符），需要遍历k从1到k_max=min(cnt[i-1],n)，然后对应的子串长度是3k。此时，前i个字符中的后3k个字符形成k个连续的abc，那么对应的dp值应该是dp[i-3k] + a_k. 例如，假设原字符串长度m=6（字符0~5），那么dp[6]对应前6个字符。此时，如果i=6，那么3k可以是3*2=6，所以i-3k=0。此时，判断原字符串的0~5是否是两个连续的abc，即cnt[5]>=2吗？如果是的话，那么可以取k=2，得分a_2，dp[0]+a_2. 或者，这里可能需要更仔细的索引处理。 现在，具体的动态规划步骤： 假设原字符串是s，长度m。dp数组长度为m+1，dp[0]=0。 对于i从1到m： dp[i] = dp[i-1] （默认情况，不取任何子串） 然后，检查原字符串的位置i-1是否构成连续的abc的结尾。即，cnt[i-1]是否>=1。如果cnt[i-1]>=1： 那么k_max = min(cnt[i-1],n) 对于k in 1..k_max: 需要确保i >=3k （因为要取前i个字符中的最后3k个字符，即原字符串的i-3k到i-1的位置） 如果i >=3k: 则，可能的得分是 dp[i-3k] + a[k-1] （因为a数组是0-based） 然后，将这些k的情况比较，取最大值，和当前的dp[i]比较，取较大的。 例如，在代码中： for k in range(1, k_max+1): if i >=3*k: dp[i] = max(dp[i], dp[i -3*k] + a[k-1]) 这样，每个可能的k都会被检查。 这样，时间复杂度是O(m*n)，因为每个i最多遍历n次k的情况。 例如，假设n=3，那么每个i最多处理3次k的情况。 现在，如何预处理cnt数组？ 是的，之前的预处理方法可以得到每个位置i的连续abc的数量。 现在，如何处理示例中的情况？ 比如示例中的字符串是dabcabcabcabzabc。原字符串长度可能较长。例如，拆分后的各个可能的子串。 假设输入中的计分序列是例如n=3，a1, a2, a3。那么，当某个子串的长度是3k，并且由k个abc组成，那么得分是a_k。例如，如果子串是3个abc组成的（k=3），则得分是a3。 现在，如何应用动态规划？ 例如，在字符串dabcabcabcabzabc中，假设某个位置i的cnt是3，对应的k_max是3（如果n>=3）。那么在该位置i，可以考虑k=1、2、3的情况，并取最大的情况。 这样，动态规划会遍历这些k的可能，并找到最大的得分。 现在，回到问题中的输入格式： 输入： n a1 a2 ... an m string 所以，需要处理这些输入，并按照上述方法计算最大得分。 那么，总结算法步骤： 1. 预处理cnt数组，记录每个位置i（原字符串的索引）的连续abc的数量。 2. 初始化dp数组，dp[0]=0. 3. 对于i从1到m： a. dp[i] = dp[i-1] b. 检查原字符串的i-1位置是否是某个连续abc的结尾，即cnt[i-1]是否>=1. c. 如果是的话，k_max = min(cnt[i-1], n) d. 遍历k=1到k_max： i. 需要确保i >=3k → 前i个字符的长度是3k. ii. 如果满足，计算候选值dp[i-3k] +a[k-1] iii. 如果候选值大于当前dp[i]，则更新dp[i] 4. 最终，dp[m]就是所求的最大得分。 这样，就能得到正确的结果。 现在，如何处理示例中的情况？ 例如，示例中的字符串是dabcabcabcabzabc。假设计分序列是n=3，a1,a2,a3。可能的计分方式有很多种，但最大得分是取最大的组合，比如a3 +a1，或者a2 +a1等。根据给出的例子，不同的拆分方式对应不同的得分总和。动态规划应该能自动找到最大的情况。 现在，编写代码的大致步骤： 读取n，读取数组a，读取m，读取字符串s. 预处理cnt数组： 初始化一个长度为m的数组cnt，初始为0. 对于i从2到m-1: 检查s[i-2], s[i-1], s[i]是否为'abc' → 如果是的话： 如果i-3 >=0且cnt[i-3]>0 → cnt[i] = cnt[i-3]+1 否则 → cnt[i]=1 否则: cnt[i]=0 然后，初始化dp数组长度为m+1，dp[0]=0. 对于i从1到m: dp[i] = dp[i-1] if i-1 >=0 and cnt[i-1] >=1: k_max = min(cnt[i-1], n) for k in 1..k_max: if i >=3*k: score = a[k-1] if k-1 < len(a) else 0 #假设a数组的长度是n，所以k<=n的情况下，k-1是有效的索引 dp[i] = max(dp[i], dp[i -3*k] + score) 这样，最后输出dp[m] 测试示例中的情况： 例如，假设输入是： 3 a1 a2 a3 假设字符串是dabcabcabcabzabc，对应的长度为例如16个字符。那么，动态规划会计算每个位置的dp值。 例如，在位置i=3（原字符串的前3个字符是dab，不是abc，所以dp[3] =0.） 在位置i=6（原字符串的前6个字符是dabcab？或者需要具体分析。可能这个示例中的字符串实际是： 比如，原字符串是d a b c a b c a b c a b z a b c → 分解的话，可能存在多个连续的abc子串。 例如，在位置i=3（原字符串的前三个字符是d a b → 不是abc，所以cnt[3-1=2]可能为0。而原字符串的索引为2的位置是b，所以无法形成abc。可能这个例子中的实际位置需要重新分析。 或者，可能用户给出的例子中的字符串是dabcabcabcabzabc，那么分解后的各个abc的位置： 原字符串的各个字符索引： 0: d 1: a 2: b 3: c 4: a 5: b 6: c 7: a 8: b 9: c 10: a 11: b 12: z 13: a 14: b 15: c 那么，在索引3的位置，s[1],s[2],s[3]是a,b,c → 构成abc，所以cnt[3] =1. 索引6的位置：s[4],s[5],s[6] → a,b,c → 构成abc。此时，i=6，i-3=3 → cnt[3]=1，所以 cnt[6] =1+1=2. 索引9的位置：s[7],s[8],s[9] → a,b,c → 构成abc。i=9, i-3=6 → cnt[6]=2 → cnt[9]=3. 索引15的位置：s[13],s[14],s[15] → a,b,c →构成abc。此时i=15，i-3=12。检查s[12]是否是z，所以之前的cnt[12]是0。所以 cnt[15]=1. 所以，cnt数组在索引3=1，6=2，9=3，15=1. 那么，在处理动态规划的时候，例如当处理到i=9+1=10（对应原字符串的前10个字符，索引0~9）： 此时，i=10，原字符串的索引9的cnt是3。所以k_max = min(3, n=3) →3. 那么，遍历k=1,2,3: 当k=3时，需要i >=3*3=9 →i=10 >=9 →满足。所以3k=9 →i-3k =1 → dp[1]的值是？ 假设原字符串的前9个字符（i=9）对应的子串是abcabcabc，也就是三个连续的abc。所以，当k=3时，得分是a3，加上dp[10-9=1]的值。dp[1]是前1个字符的得分，也就是d，无法形成任何子串，所以dp[1]=0.所以候选得分为0+a3. 但此时，之前的dp[9]可能已经被设置为某个较大的值。 这可能需要更仔细的推导，但整体来看，动态规划的处理是正确的。 因此，这样的算法应该可以正确计算最大得分。</think>要解决这个问题，我们需要计算由多个“abc”首尾相连组成的子串的最大得分，且这些子串不能重叠。以下是解决该问题的分步方法： ### 方法思路 1. **预处理连续“abc”子串**：首先，我们需要预处理字符串，找到每个位置结尾的连续“abc”子串的数量。例如，字符串“abcabc”在位置5（索引从0开始）处有2个连续的“abc”。 2. **动态规划（DP）**：使用动态规划数组`dp`，其中`dp[i]`表示前`i`个字符的最大得分。对于每个位置`i`，我们有两种选择：不选取当前字符作为子串结尾，或选取当前字符作为若干个连续“abc”的结尾，并更新得分。 ### 解决代码 ```python n = int(input()) a = list(map(int, input().split())) m = int(input()) s = input().strip() if m < 3: print(0) exit() # 预处理cnt数组，记录每个位置结尾的连续abc的个数 cnt = [0] * m for i in range(2, m): if s[i-2] == 'a' and s[i-1] == 'b' and s[i] == 'c': if i >= 3 and cnt[i-3] > 0: cnt[i] = cnt[i-3] + 1 else: cnt[i] = 1 else: cnt[i] = 0 dp = [0] * (m + 1) for i in range(1, m + 1): dp[i] = dp[i-1] # 默认不取当前字符作为子串结尾 # 检查原字符串的第i-1位置（当前处理的前i个字符的最后一个字符是s[i-1]） if i-1 >= 0 and cnt[i-1] >= 1: k_max = min(cnt[i-1], n) for k in range(1, k_max + 1): if i >= 3 * k: # 注意a的索引是k-1，因为a从0开始 current_score = a[k-1] if k-1 < len(a) else 0 dp[i] = max(dp[i], dp[i - 3 * k] + current_score) print(dp[m]) ``` ### 代码解释 1. **输入处理**：读取计分序列长度`n`、计分序列`a`、字符串长度`m`和字符串`s`。 2. **预处理连续“abc”子串**：通过遍历字符串，记录每个位置结尾的连续“abc”子串数量到`cnt`数组。 3. **动态规划计算最大得分**： - 初始化`dp`数组，`dp[i]`表示前`i`个字符的最大得分。 - 对于每个位置`i`，首先默认不选取当前字符作为子串结尾，继承前一个位置的最大得分。 - 检查当前位置是否可以形成连续“abc”子串，遍历所有可能的连续次数`k`，更新最大得分。 该方法通过预处理和动态规划高效地计算出最大得分，时间复杂度为$O(m \cdot n)$，适用于较大的输入规模。