最长对称子串c++ptaa

<think>好的，用户想查找使用C++实现最长对称子串（回文子串）的算法或代码，特别是提到PTA相关的问题。首先，我需要回顾一下常见的回文子串算法，并参考提供的引用资料中的代码示例。 根据用户提供的引用，有三个不同的实现方法： 1. 动态规划方法（引用[1]） 2. 中心扩展法（引用[2]） 3. Manacher算法（引用[3]） 首先，动态规划方法的思路是利用二维数组dp[i][j]记录子串s[i..j]是否为回文。初始化单个字符和相邻字符的情况，然后逐步扩展长度。这种方法的时间复杂度是$O(n^2)$，空间复杂度也是$O(n^2)$，适合较短字符串。 接着是中心扩展法，枚举每个可能的中心点，向两边扩展直到字符不匹配。这种方法同样时间复杂度$O(n^2)$，但空间复杂度优化到$O(1)$。引用[2]中的代码处理了奇偶长度的回文，分别以单个字符和相邻字符为中心扩展。 第三个是Manacher算法，时间复杂度$O(n)$，适合处理较长字符串。引用[3]中的代码通过预处理字符串，插入特殊字符（如#）来统一处理奇偶长度的情况，并利用对称性减少重复计算。 用户可能需要的是在PTA题目中的解决方案，PTA的测试用例可能有不同的时间和空间限制。动态规划和中心扩展法在n较小时都可以通过，而Manacher算法在n较大时更优。需要比较这三种方法的适用场景。 接下来需要组织回答的结构，按照用户要求分点解释每种方法，给出代码示例，并说明优缺点。同时根据引用资料中的代码，确保示例代码正确，并符合C++标准。 还需要注意用户提到的“最长对称子串”，即最长回文子串，要确保算法正确计算长度。例如，动态规划方法中的maxLength变量是否正确更新，中心扩展法中如何处理奇偶情况，Manacher算法中的p数组处理是否正确。 在生成相关问题的时候，要考虑用户可能进一步询问不同算法的时间复杂度、优化方法、应用场景等，例如动态规划的空间优化，或者Manacher算法的具体步骤。 最后，检查回答是否符合格式要求：行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，正确的中文回答，引用标识添加在引用段落末尾，代码块使用正确的语法高亮，以及生成的相关问题是否符合用户需求。</think>### 最长对称子串（回文子串）的C++实现 #### 1. 动态规划法（时间复杂度$O(n^2)$） 通过二维数组记录子串是否为回文，逐步扩展长度： ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int longestPalindromeLength(const string& s) { int n = s.size(), max_len = 1; vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, false)); // 初始化单字符和双字符回文 for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i][i] = true; for (int i = 0; i < n-1; ++i) { if (s[i] == s[i+1]) { dp[i][i+1] = true; max_len = 2; } } // 扩展长度≥3的子串 for (int len = 3; len <= n; ++len) { for (int i = 0; i <= n-len; ++i) { int j = i + len - 1; if (s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1]) { dp[i][j] = true; max_len = len; } } } return max_len; } ``` **特点**：逻辑直观但空间占用较高，适合输入规模较小的情况[^1]。 --- #### 2. 中心扩展法（时间复杂度$O(n^2)$） 枚举所有可能的中心点，向两侧扩展： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int expand(string s, int left, int right) { while (left >=0 && right < s.size() && s[left] == s[right]) { left--; right++; } return right - left - 1; } int longestPalindrome(string s) { int max_len = 0; for (int i = 0; i < s.size(); ++i) { int len1 = expand(s, i, i); // 奇数长度 int len2 = expand(s, i, i+1); // 偶数长度 max_len = max(max_len, max(len1, len2)); } return max_len; } ``` **特点**：空间复杂度优化到$O(1)$，实现简洁且性能较好[^2]。 --- #### 3. Manacher算法（时间复杂度$O(n)$） 通过预处理和对称性加速计算： ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int Manacher(string s) { string t = "#"; for (char c : s) t += c + string("#"); vector<int> p(t.size(), 0); int center = 0, right = 0, max_len = 0; for (int i = 1; i < t.size(); ++i) { int mirror = 2*center - i; if (i < right) p[i] = min(p[mirror], right - i); // 中心扩展 while (i-p[i]-1 >=0 && i+p[i]+1 < t.size() && t[i-p[i]-1] == t[i+p[i]+1]) { p[i]++; } if (i + p[i] > right) { center = i; right = i + p[i]; } max_len = max(max_len, p[i]); } return max_len; // 返回最长回文子串长度 } ``` **特点**：线性时间复杂度，适合处理大规模输入[^3]。 --- ### 算法对比 | 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |--------------|------------|------------|-------------------| | 动态