本关任务：爱因斯坦曾出过这样一道有趣的数学题：有一个长阶梯，若每步上2阶，最后剩1阶；若每步上3阶，最后剩2阶；若每步上5阶，最后剩4阶；若每步上6阶，最后剩5阶；只有每步上7阶，最后刚好一阶也不剩。请编程求解该阶梯至少有多少阶

<think>好的，我现在要解决这个数学问题：寻找最小的数，满足对2取余1、对3取余2、对5取余4、对6取余5，并且能被7整除。首先，我需要理清楚这些条件之间的关系，然后找到合适的方法来求解。 首先，分析各个余数条件。题目给出的条件是： 1. 数对2取余1，即这个数可以表示为2k + 1，其中k是整数。 2. 对3取余2，即这个数为3m + 2。 3. 对5取余4，即这个数是5n + 4。 4. 对6取余5，即这个数是6p + 5。 5. 同时，这个数必须能被7整除，即这个数是7q。 接下来，我需要看看这些条件之间是否有重叠或者可以合并的地方。比如，观察前四个条件，是否可以通过同余方程组来合并简化。 首先，考虑前四个条件： x ≡1 mod 2 x ≡2 mod 3 x ≡4 mod 5 x ≡5 mod 6 我发现第四个条件x ≡5 mod6，可以拆解为x ≡5 mod2和x ≡5 mod3。因为6是2和3的乘积，且2和3互质。但这里x≡5 mod2的话，5 mod2等于1，所以x≡1 mod2，这其实和第一个条件是相同的。而x≡5 mod3的话，5 mod3等于2，所以x≡2 mod3，这和第二个条件一致。所以第四个条件实际上是前两个条件的组合。也就是说，满足x≡1 mod2和x≡3 mod2的条件，即x≡5 mod6，是前两个条件的合并。因此，前四个条件可以简化为： x ≡5 mod6 x ≡4 mod5 这样是不是更简单呢？接下来我需要解这两个同余方程，然后再结合能被7整除的条件。 接下来，解方程组： x ≡5 mod6 x ≡4 mod5 设x=6a +5，带入第二个方程： 6a +5 ≡4 mod5 即6a ≡-1 mod5 →6a ≡4 mod5 因为6≡1 mod5，所以左边变为a ≡4 mod5 所以a=5b +4，其中b是整数。 因此，x=6*(5b+4)+5=30b +24 +5=30b +29 因此，满足前四个条件的数可以表示为x=30b +29，其中b是非负整数。 接下来，需要满足这个数能被7整除，即x=7q。所以： 30b +29 ≡0 mod7 计算30 mod7等于2，29 mod7等于1，所以方程变为： 2b +1 ≡0 mod7 →2b ≡-1 mod7 →2b ≡6 mod7 两边同时乘以2的模7逆元，即4（因为2*4=8≡1 mod7），所以b≡6*4 mod7 →24 mod7=3 所以b≡3 mod7 →b=7k +3，其中k是非负整数。 代入x=30b +29，得到： x=30*(7k +3)+29=210k +90 +29=210k +119 当k=0时，x=119，此时是否满足所有条件？ 检查： 119 ÷2=59余1 →满足第一个条件 119 ÷3=39余2 →满足第二个条件 119 ÷5=23余4 →满足第三个条件 119 ÷6=19余5 →满足第四个条件 119 ÷7=17，整除 →满足第五个条件 所以119是最小的满足条件的数。 不过，我需要确认是否还有更小的数。因为当k=-1时，x=119-210=-91，但题目要求的是正整数，所以k必须≥0，所以最小的解是119。 但让我再仔细检查一遍计算是否有误。比如，在解同余方程时，是否正确处理了模运算？ 首先，在解x≡5 mod6和x≡4 mod5时，得到x=30b +29是否正确？ 假设x=30b +29，当b=0时，x=29。检查是否满足前四个条件： 29 ÷2=14余1 →是 29 ÷3=9余2 →是 29 ÷5=5余4 →是 29 ÷6=4余5 →是 但29不是7的倍数，所以下一个可能的数是当k=0时的解，即b=3对应的x=30*(3)+29=119，这里可能计算时有误。 或者，可能我在解同余方程时的步骤需要再检查一遍。例如，在解2b≡6 mod7的时候，是否得到正确的解？ 是的，因为2b≡6 mod7，两边乘以4（因为2*4=8≡1 mod7），得到b≡6*4=24≡3 mod7，所以b=7k+3。然后带入x=30b+29，得到x=30*(7k+3)+29=210k+90+29=210k+119。当k=0时，x=119，此时是满足所有条件的。 因此，答案应该是119。</think>要解决寻找满足以下条件的最小正整数的问题： 1. 对2取余1 2. 对3取余2 3. 对5取余4 4. 对6取余5 5. 能被7整除 ### 分步解析 #### 步骤1：合并同余条件 前四个条件可以简化为： - $x \equiv 1 \pmod{2}$ 和 $x \equiv 2 \pmod{3}$ 合并为 $x \equiv 5 \pmod{6}$（因为满足这两个条件的数形式为 $6k+5$）。 - 再结合 $x \equiv 4 \pmod{5}$，得到联立方程： $$ \begin{cases} x \equiv 5 \pmod{6} \\ x \equiv 4 \pmod{5} \end{cases} $$ #### 步骤2：解联立同余方程 设 $x = 6k + 5$，代入第二个方程： $$ 6k + 5 \equiv 4 \pmod{5} \implies 6k \equiv -1 \pmod{5} \implies k \equiv 4 \pmod{5} $$ 因此 $k = 5m + 4$，代入得： $$ x = 6(5m + 4) + 5 = 30m + 29 $$ #### 步骤3：结合整除条件 要求 $x$ 能被7整除，即： $$ 30m + 29 \equiv 0 \pmod{7} \implies 2m + 1 \equiv 0 \pmod{7} \implies m \equiv 3 \pmod{7} $$ 因此 $m = 7n + 3$，代入得： $$ x = 30(7n + 3) + 29 = 210n + 119 $$ 当 $n=0$ 时，最小解为 $x=119$。 ### 验证结果 - $119 \div 2 = 59$ 余1 ✅ - $119 \div 3 = 39$ 余2 ✅ - $119 \div 5 = 23$ 余4 ✅ - $119 \div 6 = 19$ 余5 ✅ - $119 \div 7 = 17$ 整除 ✅ ### 完整代码 ```python def find_min_number(): m = 0 while True: x = 210 * m + 119 if x % 7 == 0: # 虽然构造时已保证整除，但保留验证 return x m += 1 print("最小满足条件的数是:", find_min_number()) ``` ### 运行结果 ``` 最小满足条件的数是: 119 ```