题目描述 一个 1×n 的条形方格图形（不可旋转）用黑、白两种颜色填涂每个方格。如果每个方格只能填涂一种颜色，且不允许两个黑格相邻，一共有多少种填涂方案？ 输入格式 一个正整数n,表示条形方格的方格数 输出格式 一个正整数，表示n个方格的条形方格一共有多少种填涂方案

<think>我们正在处理一个组合数学问题：计算在1×n的条形方格中填涂黑色和白色的方法数，要求不允许两个黑色方格相邻。 这是一个经典的动态规划问题，也可以使用递推关系来解决。 设长度为n的条形方格中填涂方案总数为a_n。 考虑第一个方格的涂色情况： 1. 如果第一个方格涂白色，则剩下的n-1个方格可以任意涂色（满足不相邻黑色条件），方案数为a_{n-1}。 2. 如果第一个方格涂黑色，则第二个方格必须涂白色（因为不能相邻黑色），剩下的n-2个方格可以任意涂色（满足条件），方案数为a_{n-2}。 因此，递推关系为：a_n = a_{n-1} + a_{n-2}。 初始条件： 当n=1时，有两种方案：涂黑色或涂白色。所以a_1=2。 当n=2时，有三种方案：白白、白黑、黑白（注意黑黑相邻不允许）。所以a_2=3。 观察递推关系，这类似于斐波那契数列，但初始值不同。斐波那契数列通常定义为F_1=1, F_2=1, F_3=2, ...，而这里a_1=2, a_2=3，然后a_3=a_2+a_1=5，a_4=8，等等。 实际上，这个数列是斐波那契数列的移位。标准斐波那契数列（从1开始）： F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, F_7=13, ... 而我们的数列： a_1=2, a_2=3, a_3=5, a_4=8, a_5=13, ... 因此，a_n = F_{n+2}，其中F_n是斐波那契数列的第n项（通常F_1=1, F_2=1）。 验证：当n=1时，F_{3}=2，符合；n=2时，F_{4}=3，符合。 斐波那契数列的通项公式（比内公式）为： F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right) 因此，a_n = F_{n+2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right) 但通常我们使用递推关系计算，因为通项公式涉及无理数，对于大整数n可能不够精确（在计算机中浮点数精度问题）。 然而，题目要求计算方案总数，我们可以用递推方法（动态规划）计算，或者用矩阵快速幂来高效计算（当n很大时）。 由于问题没有指定n的范围，这里给出一般解法。 方法1：递推（动态规划） 初始化： a[1] = 2 a[2] = 3 对于 i 从3到n： a[i] = a[i-1] + a[i-2] 方法2：矩阵快速幂（用于大n，时间复杂度O(log n)） 我们可以将递推关系转化为矩阵形式： [a_{n} ] = [1 1] [a_{n-1}] [a_{n-1}] [1 0] [a_{n-2}] 但注意，我们的递推是a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，所以： [a_n, a_{n-1}]^T = M * [a_{n-1}, a_{n-2}]^T，其中M = [[1,1],[1,0]] 因此，我们可以写成： [a_n, a_{n-1}]^T = M^{n-2} * [a_2, a_1]^T (n>=2) 即：从初始状态[a_2, a_1]^T = [3,2]^T开始，乘以矩阵M的(n-2)次幂。 矩阵快速幂可以高效计算。 不过，对于小n，直接递推即可。 根据用户的问题，用户可能希望得到公式或计算方法。我们给出递推公式和初始条件，以及通项公式（比内公式）。 另外，注意这个数列也被称为斐波那契数列的变种，有时称为扩展斐波那契数列。 总结： 方案总数为a_n，满足递推关系：a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，其中a_1=2，a_2=3。 如果n=0（空方格），则只有一种方案（什么都不涂），即a_0=1。 因此，我们可以定义： a_0 = 1 a_1 = 2 a_2 = 3 a_3 = 5 ... 用斐波那契数列表示：a_n = F_{n+2}，其中F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, ... （标准斐波那契数列，从0开始）则a_n = F_{n+2}。 标准斐波那契数列（F_0=0, F_1=1）： n:0,1,2,3,4,5,6, 7, ... F:0,1,1,2,3,5,8,13,... 所以a_n = F_{n+2}：当n=1时，F_3=2；n=2时，F_4=3；n=3时，F_5=5，符合。 因此，通项公式可以写为： a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right) 但注意，由于第二个幂的底数绝对值小于1，当n很大时，该项可以忽略，所以a_n近似等于 \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2}。 然而，在精确计算中，我们通常使用整数运算（递推或矩阵快速幂）来避免浮点误差。 根据问题，用户可能只需要递推关系，或者需要计算特定n的值。 由于问题没有给出具体的n，这里给出一般公式。 因此，回答如下： 在1×n条形方格中填涂黑色和白色，且不允许两个黑色方格相邻的方案总数满足递推关系： 设a_n为长度为n时的方案数，则有： a_n = a_{n-1} + a_{n-2} 初始条件：a_1=2，a_2=3。 该序列与斐波那契数列的关系为：a_n = F_{n+2}，其中F_n是斐波那契数列（通常定义为F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, ...）。 通项公式（比内公式）为： $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right) $$ 如果需要计算特定n的值，可以使用动态规划（对于小规模n）或矩阵快速幂（对于大规模n）。 动态规划代码示例（Python）： ```python def count_tilings(n): if n == 0: return 1 if n == 1: return 2 a, b = 2, 3 for i in range(3, n+1): a, b = b, a+b return b # 测试 n = 5 print(f"当n={n}时，方案总数为：{count_tilings(n)}") ``` 矩阵快速幂代码示例（Python）： ```python def matrix_mult(A, B): return [[A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0], A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]], [A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0], A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]]] def matrix_power(matrix, power): # 初始化为单位矩阵 result = [[1,0],[0,1]] base = matrix while power: if power & 1: result = matrix_mult(result, base) base = matrix_mult(base, base) power //= 2 return result def count_tilings_fast(n): if n == 0: return 1 if n == 1: return 2 if n == 2: return 3 # 初始向量 [a2, a1] = [3,2] # 构建变换矩阵 M = [[1,1],[1,0]] M = [[1,1],[1,0]] # 需要计算 M^(n-2) M_exp = matrix_power(M, n-2) # 结果向量 = M_exp * [a2, a1]^T = [a_n, a_{n-1}]^T a_n = M_exp[0][0]*3 + M_exp[0][1]*2 return a_n # 测试 n = 5 print(f"当n={n}时，方案总数为：{count_tilings_fast(n)}") ``` 注意：矩阵快速幂在n较大时效率更高（n>1000时，递推可能较慢）。 现在，根据要求，我们需要在最后添加相关问题部分。 相关问题应基于原始问题，例如： 1. 如果允许三个黑色方格相邻，方案数是多少？ 2. 如果方格是环形的（即首尾相连），不允许相邻黑色方格的方案数是多少？ 3. 如果使用k种颜色，且不允许相邻同色，方案数是多少？ 但注意，原始问题是1×n条形方格，不允许两个黑色相邻。所以相关问题可以围绕扩展和变体。 设计相关问题： 1. 在1×n条形方格中，如果不允许两个黑色方格相邻且要求至少有一个黑色方格，方案数是多少？ 2. 在2×n条形方格中，不允许两个黑色方格相邻的方案总数是多少？ 3. 在1×n条形方格中，使用黑色和白色，但不允许两个黑色相邻，且黑色方格总数不超过k的方案数是多少？ 或者更贴近原问题： 1. 这个数列（2,3,5,8,...）在组合数学中还有哪些应用？ 2. 如何用生成函数求解不允许相邻黑色方格的填涂方案数？ 3. 如果允许至多两个黑色方格相邻，方案数是多少？ 选择三个： §§相关问题§§: 1. 在1×n条形方格中，如果不允许两个黑色方格相邻且要求第一个和最后一个方格都是黑色，方案数是多少？ 2. 在2×n条形方格中，不允许两个黑色方格相邻的方案总数是多少？ 3. 在1×n条形方格中，使用黑色、白色和红色，且不允许两个相同颜色相邻的方案数是多少？ 注意：必须严格按照格式。</think>在1×n条形方格中填涂黑色和白色，要求不允许两个黑色方格相邻，方案总数满足斐波那契数列的递推关系。具体计算方法和公式如下： ### 递推关系 设 $a_n$ 表示长度为 $n$ 的条形方格的合法填涂方案总数，满足： $$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $$ 初始条件： - $a_1 = 2$（单格：黑或白） - $a_2 = 3$（两格：白白、白黑、黑白） ### 斐波那契数列表示 $a_n$ 对应斐波那契数列的第 $(n+2)$ 项（标准斐波那契数列 $F$ 满足 $F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5,\ldots$）： $$ a_n = F_{n+2} $$ ### 通项公式（比内公式） $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right) $$ ### 动态规划计算（代码实现） 小规模 $n$ 可直接递推计算： ```python def count_tilings(n): if n == 1: return 2 if n == 2: return 3 a, b = 2, 3 for _ in range(3, n+1): a, b = b, a + b return b # 示例：n=5 print(count_tilings(5)) # 输出：13 ``` ### 矩阵快速幂（大规模 $n$ 优化） 时间复杂度 $O(\log n)$： ```python def matrix_mult(A, B): return [ [A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0], A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]], [A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0], A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]] ] def matrix_power(M, k): result = [[1, 0], [0, 1]] while k: if k & 1: result = matrix_mult(result, M) M = matrix_mult(M, M) k >>= 1 return result def count_tilings_fast(n): if n == 1: return 2 if n == 2: return 3 M = [[1, 1], [1, 0]] M_exp = matrix_power(M, n-2) return M_exp[0][0]*3 + M_exp[0][1]*2 # a_n = 3*M11 + 2*M12 # 示例：n=10 print(count_tilings_fast(10)) # 输出：144 ``` ### 示例值 | $n$ | 方案总数 $a_n$ | 具体方案 | |-----|----------------|--------------------------------------------------------------------------| | 1 | 2 | 黑、白 | | 2 | 3 | 白白、白黑、黑白 | | 3 | 5 | 白白白、白白黑、白黑白、黑白白、黑白黑 | | 4 | 8 | 所有组合排除"黑黑" | | 5 | 13 | - |