一只猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个；第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半加一个。到第N天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。问：第一天共摘了多少个桃子？ 输入格式: 输入在一行中给出正整数N（1<N≤10）。 输出格式: 在一行中输出第一天共摘了多少个桃子。

<think>我们面对的是一个经典的猴子吃桃子问题。题目描述：猴子每天吃掉前一天剩下桃子的一半加一个，到第N天只剩一个桃子，求第一天的桃子总数。 分析：这是一个递推问题，已知第N天剩下1个桃子，那么我们可以从第N天逆推到第1天。 设第n天的桃子数为x_n，根据题目，第n天的桃子数x_n与第n-1天的桃子数x_{n-1}的关系为： x_n = x_{n-1} / 2 - 1 变形得到逆推关系（从第n天推出第n-1天）： x_{n-1} = (x_n + 1) * 2 因此，从第N天开始，桃子数为1，然后逆推到第1天（即第1天摘的桃子总数）。 步骤： 1. 初始化：第N天的桃子数为1。 2. 循环从第N天开始逆推，直到第1天。循环次数为N-1次（因为从第N天推到第1天需要推N-1次）。 3. 每次循环，根据公式：前一天桃子数 = (当前天桃子数 + 1) * 2，计算出前一天的桃子数。 4. 循环结束后，得到第1天的桃子数。 注意：题目中的第N天是最后一天（只剩一个桃子），而我们要计算的是第1天的桃子数。 例如：N=5，即第5天只剩1个桃子。 第5天：1 第4天：(1+1)*2 = 4 第3天：(4+1)*2 = 10 第2天：(10+1)*2 = 22 第1天：(22+1)*2 = 46 因此，第1天摘了46个桃子。 我们可以编写一个函数来计算第一天的桃子数。 代码实现（使用循环）： 注意：题目中第1天是开始，第N天是结束（只剩1个）。我们逆推N-1次。 公式：设第k天的桃子数为x_k，则： x_{k-1} = (x_k + 1) * 2 代码： 初始化：x = 1 (第N天的桃子数) 循环从i=N-1到1（或者循环N-1次）： x = (x + 1) * 2 循环结束后，x即为第1天的桃子数。 注意：这里循环的次数是N-1次。 验证：当N=1时，第一天就是最后一天，那么桃子数为1。但按照公式，我们不需要循环（循环0次），所以结果就是1。 因此，我们可以写出如下函数：</think>根据猴子吃桃子问题的描述，每天吃掉前一天剩下桃子的一半加一个，第 $N$ 天只剩一个桃子。通过逆推公式可计算第一天桃子总数，公式为： $$x_{k-1} = 2 \times (x_k + 1)$$ 其中 $x_k$ 表示第 $k$ 天的桃子数。已知 $x_N = 1$，从第 $N$ 天逆推到第 $1$ 天即可求解。 ### 计算步骤 1. **初始化**：设第 $N$ 天的桃子数为 $1$ 2. **逆推计算**：从 $i = N$ 开始递减到 $i = 2$（共 $N-1$ 次），执行 $$x_{i-1} = 2 \times (x_i + 1)$$ 3. **结果输出**：最终 $x_1$ 即为第一天桃子总数 ### 代码实现（Python） ```python def calculate_peaches(days): peaches = 1 # 第N天的桃子数 for _ in range(days - 1): # 逆推N-1次 peaches = (peaches + 1) * 2 return peaches # 示例：当N=5时 print(calculate_peaches(5)) # 输出46 ``` ### 验证示例 - **$N=1$**：桃子总数 $=1$ - **$N=2$**：第2天剩 $1$ → 第1天 $=2 \times (1+1)=4$ - **$N=5$**： 第5天：$1$ 第4天：$2 \times (1+1)=4$ 第3天：$2 \times (4+1)=10$ 第2天：$2 \times (10+1)=22$ 第1天：$2 \times (22+1)=46$ ### 通用公式 可直接用闭式解计算： $$x_1 = 3 \times 2^{N-1} - 2$$ 例如 $N=5$ 时：$3 \times 2^4 - 2 = 3 \times 16 - 2 = 46$