动态规划acwing

<think>好的，用户想学习或解决AcWing平台上动态规划相关的算法问题，我需要提供相应的题解和学习资源。首先，我得回忆一下AcWing的动态规划题目有哪些典型题，以及用户可能需要的学习路径。 用户提到的引用中有几个题解，比如341题最优贸易的分层图解法，这可能属于动态规划的变种。还有购物单问题，可能涉及背包DP。另外，引用4提到的离散化优化空间，可能和状态压缩有关。引用5的排队打水，可能需要贪心，但动态规划有时候也会结合贪心策略。 首先，动态规划的基础知识很重要，比如状态定义、转移方程、初始化等。用户可能需要从简单题开始，比如01背包问题，这是动态规划的经典入门题。然后逐步过渡到更复杂的问题，如完全背包、多重背包，以及像最长公共子序列、最长上升子序列这样的线性DP问题。 接下来，我需要整理AcWing上的相关题目。例如，AcWing 2. 01背包问题，这是最基础的。然后像AcWing 3. 完全背包问题，AcWing 4. 多重背包问题，这些都是背包问题的变种。还有线性DP中的AcWing 895. 最长上升子序列，AcWing 896. 最长上升子序列 II（优化版），以及区间DP问题如AcWing 282. 石子合并。 用户提到的AcWing 341最优贸易题解，使用分层图方法，这可能涉及到状态机模型，属于动态规划的一种高级应用。状态机模型将问题分解成多个状态，每个状态之间的转移对应不同的操作，比如买入和卖出。这时候可能需要分层的状态设计，每一层代表不同的状态，比如未买入、已买入未卖出、已卖出。这种方法在动态规划中用于处理有多个阶段或操作的问题。 另外，购物单问题可能属于有依赖的背包问题，比如金明的预算方案，每个主件可以有多个附件，选择主件后才能选附件。这类问题需要处理依赖关系，通常使用分组背包或树形DP来解决。 对于学习资源，用户可能需要系统的课程或题解集合。AcWing的算法基础课和提高课都包含动态规划章节，适合系统学习。此外，题解区有很多高质量的解答，用户可以参考。比如，y总的讲解视频，或者其他用户的代码实现。 用户可能的疑问点包括如何定义状态，如何写出转移方程，以及如何进行空间优化。例如，在背包问题中，一维数组优化是通过逆序更新来避免重复计算。而在状态机模型中，需要明确每个状态转移的条件和计算方式。 另外，动态规划的优化技巧如单调队列、斜率优化、离散化等，可能在高级题目中出现。例如，引用4提到的离散化优化，用于减少空间复杂度，这在处理大范围数据时非常有用，比如当状态中的某些维度范围很大但实际使用较少时，可以通过离散化映射到更小的空间。 在推荐学习路径时，建议用户先掌握基本模型，再逐步挑战复杂问题。比如从背包问题开始，然后线性DP，区间DP，状态压缩DP，最后是状态机模型、树形DP等。同时，多练习相关题目，理解不同问题的状态设计和转移方式。 最后，用户可能需要具体的题解示例，比如针对某个题目的代码和思路分析。例如，对于AcWing 2. 01背包问题，可以给出二维和一维的解法，并解释状态转移的过程。对于状态机模型的问题，如AcWing 1052. 设计密码，需要详细说明状态的定义和转移条件。 总结来说，我需要提供动态规划的学习路径、典型例题、解题思路以及AcWing上的相关资源，帮助用户系统地学习和解决动态规划问题。</think>### AcWing动态规划问题学习指南 #### 一、动态规划基础知识 动态规划（DP）核心在于**状态定义**和**状态转移方程**。基本步骤包括： 1. 定义状态：$dp[i][j]$ 表示某种条件下的最优解 2. 初始化边界条件 3. 建立状态转移关系：$dp[i][j] = f(dp[i-1][k], ...)$ 4. 确定最终解的位置 #### 二、经典题型分类 ##### 1. 背包问题 - **01背包**：每个物品选一次 例题：AcWing 2. 01背包问题 状态转移：$dp[j] = \max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i)$（一维数组逆序更新）[^1] - **完全背包**：物品无限次选取 例题：AcWing 3. 完全背包问题 状态转移：$dp[j] = \max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i)$（一维数组正序更新） - **多重背包**：物品有数量限制 例题：AcWing 4. 多重背包问题 优化方法：二进制拆分、单调队列优化 ##### 2. 线性DP - **最长上升子序列（LIS）** 例题：AcWing 895. 最长上升子序列 状态定义：$dp[i]$ 表示以第$i$个元素结尾的LIS长度 优化后时间复杂度：$O(n \log n)$[^4] - **编辑距离** 例题：AcWing 899. 编辑距离 状态转移： $$dp[i][j] = \min\left\{\begin{array}{l} dp[i-1][j] + 1, \\ dp[i][j-1] + 1, \\ dp[i-1][j-1] + (a_i \neq b_j) \end{array}\right.$$ ##### 3. 区间DP - **石子合并** 例题：AcWing 282. 石子合并 状态定义：$dp[l][r]$ 表示合并区间$[l,r]$的最小代价 转移方程： $$dp[l][r] = \min_{k=l}^{r-1}(dp[l][k] + dp[k+1][r]) + \sum_{i=l}^r a_i$$ ##### 4. 状态机模型 - **最优贸易问题** 例题：AcWing 341. 最优贸易[^2] 解法：建立三层状态表示不同交易阶段 - 第一层：未买入 - 第二层：已买入未卖出 - 第三层：已卖出 #### 三、学习资源推荐 1. **AcWing官方课程** - 算法基础课：涵盖DP基础模型 - 算法提高课：包含树形DP、状态压缩等高级内容 2. **题解资源** - AcWing题解区：搜索题目编号查看高质量题解 - 经典教材参考：《算法竞赛进阶指南》动态规划章节 3. **代码模板** ```python # 01背包一维优化模板（Python示例） n, m = map(int, input().split()) dp = [0] * (m+1) for _ in range(n): v, w = map(int, input().split()) for j in range(m, v-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w) print(dp[m]) ``` #### 四、常见优化技巧 1. **滚动数组**：将二维状态压缩为一维 2. **离散化**：处理大范围稀疏数据（如坐标范围大但实际使用点少）[^4] 3. **单调队列优化**：适用于决策单调性问题 4. **斜率优化**：将转移方程转化为凸包问题 #### 五、练习建议 1. 从简单模板题开始（如AcWing 2, 3, 895） 2. 逐步过渡到应用题（如AcWing 341, 282） 3. 每道题尝试写出： - 状态定义 - 转移方程 - 边界条件 - 空间优化方案