计算机图形学实践二维几何变换

### 计算机图形学中的二维几何变换 #### 平移变换 平移是一种基本的几何变换，用于将对象从一个位置移动到另一个位置。通过向量加法实现，假设有一个点 \(P(x, y)\)，将其沿 \(X\) 轴方向平移 \(T_x\) 单位，沿 \(Y\) 轴方向平移 \(T_y\) 单位，则新的坐标为 \((x', y') = (x + T_x, y + T_y)\)[^1]。 以下是 Python 的平移代码示例： ```python def translate_point(point, tx, ty): """ 对给定点执行平移操作。 参数: point: 原始点的坐标元组 (x, y) tx: X 方向上的平移距离 ty: Y 方向上的平移距离 返回: 新坐标的元组 (x', y') """ x_new = point[0] + tx y_new = point[1] + ty return (x_new, y_new) # 示例调用 original_point = (2, 3) translated_point = translate_point(original_point, 5, -7) print(f"Translated Point: {translated_point}") ``` --- #### 缩放变换（比例变换） 缩放变换可以改变物体的大小。对于一个点 \(P(x, y)\)，如果要相对于原点进行缩放，其新坐标计算方式如下：\((x', y') = (S_x \cdot x, S_y \cdot y)\)[^3]。其中，\(S_x\) 和 \(S_y\) 是分别沿着 \(X\) 轴和 \(Y\) 轴的比例因子。 Python 中的缩放示例代码如下： ```python def scale_point(point, sx, sy): """ 对给定点执行缩放操作。 参数: point: 原始点的坐标元组 (x, y) sx: X 方向上缩放的比例因子 sy: Y 方向上缩放的比例因子 返回: 新坐标的元组 (x', y') """ x_new = point[0] * sx y_new = point[1] * sy return (x_new, y_new) # 示例调用 scaled_point = scale_point(translated_point, 2.0, 0.5) print(f"Scaled Point: {scaled_point}") ``` --- #### 旋转变换 旋转变换围绕某个中心点旋转一定角度。设旋转角为 \(\theta\)，则任意一点 \(P(x, y)\) 经过逆时针旋转后的坐标为： \[ x' = x \cos{\theta} - y \sin{\theta}, \quad y' = x \sin{\theta} + y \cos{\theta} \][^3] 下面是 Python 的旋转变换代码示例： ```python import math def rotate_point(point, angle_degrees): """ 对给定点执行绕原点的旋转变换。 参数: point: 原始点的坐标元组 (x, y) angle_degrees: 顺时针旋转的角度（单位：度数） 返回: 新坐标的元组 (x', y') """ theta_rad = math.radians(angle_degrees) cos_theta = math.cos(theta_rad) sin_theta = math.sin(theta_rad) x_new = point[0] * cos_theta - point[1] * sin_theta y_new = point[0] * sin_theta + point[1] * cos_theta return (x_new, y_new) # 示例调用 rotated_point = rotate_point(scaled_point, 45) print(f"Rotated Point: {rotated_point}") ``` --- #### OpenGL 实现二维几何变换 在 OpenGL 中，可以通过矩阵运算来完成上述变换。例如，在正方形上应用平移、缩放和旋转的操作： ```cpp #include <GL/glut.h> void display() { glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glColor3f(1.0, 0.0, 0.0); // 设置颜色为红色 glBegin(GL_QUADS); glVertex2f(-0.5, -0.5); // 左下角 glVertex2f(0.5, -0.5); // 右下角 glVertex2f(0.5, 0.5); // 右上角 glVertex2f(-0.5, 0.5); // 左上角 glEnd(); // 应用变换 glTranslatef(0.8, 0.8, 0.0); // 平移 glScalef(0.5, 0.5, 1.0); // 缩放 glRotatef(45.0, 0.0, 0.0, 1.0); // 旋转 glColor3f(0.0, 1.0, 0.0); // 设置颜色为绿色 glBegin(GL_QUADS); glVertex2f(-0.5, -0.5); glVertex2f(0.5, -0.5); glVertex2f(0.5, 0.5); glVertex2f(-0.5, 0.5); glEnd(); glutSwapBuffers(); } int main(int argc, char** argv) { glutInit(&argc, argv); glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB); glutInitWindowSize(640, 480); glutCreateWindow("2D Transformations"); glutDisplayFunc(display); glutMainLoop(); return 0; } ``` 此代码展示了如何使用 `glTranslatef` 进行平移[^2]，`glScalef` 进行缩放，以及 `glRotatef` 进行旋转。 ---