小 F 非常喜欢一种卡牌游戏，这种游戏需要 n 个人参加。 游戏开始时，每个人会领取到一张牌。之后每一轮游戏，第 i 个人会将手上的卡牌 交给第 pi 个人。为了保证每一轮游戏后，每个人手上都有一张卡牌，在设计游戏时，小 F 保证了 p1, p2, · · · , pn 是一个排. 列. 。 给出排列 p，小 F 想要知道，最少多少轮游戏后，所有人曾. 再次取得初始的卡牌。 【输入格式】 从文件 card.in 中读入数据。 输入的第一行为一个整数 n，代表参加游戏的人数。 输入的第二行为 n 个整数，第 i 个代表 pi，含义如题所示。 【输出格式】 输出到文件 card.out 中。 输出一行一个整数表示答案的c++代码

<think>嗯，这个问题看起来有点挑战性。让我仔细读题目。题目是说，有n个人参与卡牌游戏。每个人初始有一张卡牌。每一轮，第i个人会把卡牌传给第pi个人。p是一个排列，所以每一轮结束后每个人手里都有一张卡牌。现在需要找出最少多少轮之后，所有人都再次拿到自己初始的那张卡牌。也就是所有卡牌都回到初始位置的最少轮数。 首先，我得理解这个过程。每一轮交换的规则是，每个人i的卡牌传给p_i。那么，这个过程可以看作是一个置换的循环问题。置换的每个循环的长度，应该会影响最终的轮数。因为每个循环中的元素需要经过其长度次数的轮数才能回到原位。而整个系统的最小公倍数，就是所有循环长度的最小公倍数。这样，当所有循环都完成整数次数的循环时，所有卡牌才会回到初始状态。 举个例子，比如排列p是[2,3,1]。这个排列分解成循环的话，就是1→2→3→1，形成一个长度为3的循环。所以最少需要3轮，每个人才能回到初始状态。 那问题的解决步骤应该是： 1. 找出排列p中的所有循环的长度。 2. 计算这些长度的最小公倍数（LCM），这个就是答案。 那如何找出循环呢？可以用一个数组来记录每个位置是否被访问过。然后遍历每个未被访问的位置，进行深度优先搜索或者跟踪循环，直到回到起点，记录循环长度。 比如，对于输入n=3，p=[2,3,1]。初始时，所有位置未被访问。首先访问位置1，发现它指向2，然后2指向3，3指向1。这样循环长度是3。所以LCM是3。 另一个例子，比如排列p=[2,1,4,3]。分解的话，两个循环：(1→2→1)长度2，(3→4→3)长度2。LCM(2,2)=2。所以答案是2。 那现在问题转化为如何编写代码来分解循环，并计算它们长度的LCM。 那么，具体的步骤应该是： - 输入n和数组p。注意数组p的下标可能从0开始还是1开始？题目中的描述是，输入的第二行为n个整数，第i个代表pi。比如样例中的排列是p1到pn。所以p数组的元素是1-based吗？比如，假设输入的p数组中的第一个数是p_1，所以当i=1的时候，传给p_1的位置。这个时候，在代码中，可能需要将数组视为1-based，或者调整为0-based。比如，在C++中，数组通常是0-based的，所以可能需要把输入中的每个数减一，得到对应的索引。 举个例子，假设输入的p数组是2 3 1。那么对于i=1（第一个元素），p_1是2，意味着原来的位置1的卡牌传给位置2。那么在代码中，如果数组是0-based的，那么索引i=0对应原来的1，所以p[0]应该是1（因为位置1传给位置2，即索引0传给索引1）。或者，可能题目中的排列是1-based的，所以输入的p数组中的每个元素都是1-based的，所以在处理的时候，需要将它们转换为0-based的索引。例如，输入的pi是第i个人传给pi的，而pi是1到n中的一个数。所以，在代码中，我们可能需要将每个pi减一，得到对应的数组下标。 这一步非常重要，否则循环分解会出错。例如，假设输入的p数组的元素是1-based的，那么在代码中处理的时候，应该转换成0-based的索引。比如，对于i=0（原第1个人），他传给p[0]（原p1的值，假设输入是2的话，对应的索引是1）。 所以，在代码中，输入数组p的元素应该被处理为每个数减一，得到对应的下标。 接下来，如何找出循环？可以用一个visited数组来记录每个位置是否被访问过。遍历每个位置，如果未被访问过，则开始跟踪这个循环，直到回到起点，记录循环的长度。 例如，初始化visited数组全为false。然后循环每个i从0到n-1： 如果visited[i]为false，则开始一个新的循环。设置current=i，循环计数cnt=0。然后循环：current = p[current] -1？或者如果是已经处理过的数组的话，current = p[current]。这里可能需要根据输入的处理方式调整。 假设输入的p数组中的元素是1-based的，所以将每个元素减一得到正确的索引。例如，输入的pi是2，那么对应的索引是1。这样，在代码中，将数组p处理为每个元素减一后的值。 例如，输入样例中的排列是2 3 1，对应的处理后的数组是[1,2,0]。这样，当i=0时，p[i]是1，即原第1个人传给第2个人。i=1时，p[i]=2，即传给第三个人。i=2时，p[i]=0，即传回第一个人。所以循环是0→1→2→0，长度3。 所以，正确的处理方式是将输入的每个pi减一，得到正确的数组下标。 这一步处理正确的话，循环分解就能正确进行。 接下来，计算所有循环长度的LCM。例如，如果有两个循环长度是2和3，则LCM是6。如果有三个循环长度是4、3、6，则LCM是12。 如何计算多个数的LCM？可以先计算两个数的LCM，然后逐步合并。两个数的LCM等于它们的乘积除以GCD。所以，初始时lcm=1。然后对于每个循环长度len，计算lcm = LCM(lcm, len) = lcm * len / GCD(lcm, len)。 所以，在代码中，需要编写一个计算两个数的GCD的函数，可以用欧几里得算法。 现在，将整个思路转化为代码： 1. 读取n。 2. 读取p数组，并将每个元素减一，转换为0-based索引。 3. 初始化visited数组为false，长度n。 4. 遍历每个i从0到n-1： a. 如果未访问，则进行循环检测。 b. 跟踪current，直到回到起始点，记录循环长度。 c. 将循环长度加入计算LCM。 5. 最后输出LCM。 那如何处理循环长度的计算？ 例如，当i=0未被访问时，开始跟踪： current = i count =0 循环： current = p[current] count +=1 直到current等于i。 比如，初始current =0，count=0. 然后循环： current = p[0] →假设p[0]是1。count=1。此时current不等于0，继续。 current = p[1] →假设是2。count=2. current = p[2] →假设是0。count=3.此时等于i=0，循环结束。所以循环长度是3. 所以，在这个过程中，每次循环时，需要将current置为p[current]，并标记为已访问。这样，就能正确分解每个循环。 所以，在代码中： 初始化visited数组为false。 遍历每个i从0到n-1： 如果 visited[i]为false： len =0 current =i while未访问： 如果visited[current]是false： 标记为true current = p[current] len +=1 否则： 退出循环 这样得到的len是否正确？ 例如，假设循环是i→p[i]→p[p[i]]→…→i。那么，在循环过程中，每次移动current到p[current]，直到回到i。但是，在这个过程中，必须确保每个节点都被访问过。所以，正确的做法是： 初始化len=0，current=i. 然后循环： 如果visited[current]为false： 标记为true，len +=1，然后current = p[current] 否则： 退出循环. 但这样的话，如果current回到i的时候，可能已经标记为true了。例如，假设i=0，p[0]=1，p[1]=2，p[2]=0。那么current的移动过程： current=0，未访问，标记为true，len=1 →current=1. current=1，未访问，标记为true，len=2 →current=2. current=2，未访问，标记为true，len=3 →current=0. 此时，current=0已经被访问过，所以退出循环。此时len是3，正确。 所以，这个循环结构是正确的。 或者，可能应该用do-while结构，这样即使current初始被访问过，至少执行一次？ 例如： len=0 current =i. do{ len ++; visited[current] = true; current = p[current]; } while(current !=i); 这样，可以确保循环次数是正确的。例如，当current是i的时候，进入循环，len加1，然后current移动到p[i]，然后继续循环直到回到i。这样得到的len是正确的。 例如，假设循环长度是3： i=0 →current=0. 进入循环，len=1，标记0为已访问，current=p[0]=1. 再次循环，current !=0 →继续。 len=2，标记1为已访问，current=p[1]=2. current !=0 →继续. len=3，标记2为已访问，current=p[2]=0. 此时current等于i，退出循环。得到len=3，正确。 所以，正确的做法是使用do-while循环，并且每次current都更新为p[current]，同时标记为已访问。这样，不管循环长度如何，都能正确计算。 这可能比之前的while循环更准确，因为while循环可能在初始current未被访问时进入，但如果循环的结构导致current可能被多次访问，那么用do-while结构可能更可靠。 所以，在代码中，对于每个未被访问的i： 应该如何处理？ 或者，不管i是否已经被访问，都要处理？但根据之前的逻辑，只有当i未被访问时才处理，因为如果i已经被访问，那么它属于某个循环已经被处理过了。 所以，正确的步骤是： 遍历每个i从0到n-1： if (!visited[i]) { 开始处理这个循环： len =0; current =i; do { visited[current] = true; len ++; current = p[current]; } while(current !=i); 计算LCM，将len加入计算。 } 这样，这样处理的话，每个循环只会被处理一次。例如，当i=0时，处理整个循环，并将循环内的所有节点标记为已访问。之后，当遍历到这些节点时，会被跳过。 这样就能正确分解所有循环，并计算每个循环的长度。 现在，编写代码的结构： 读取n，然后读取数组p，每个元素减一。 初始化visited数组。 然后，计算各个循环的长度，并求它们的LCM。 然后输出LCM。 例如，对于n=3，输入p数组为2 3 1 →处理后变为 [1,2,0]。循环长度是3，LCM是3。 另一个例子，n=4，输入p数组是2 1 4 3 →处理后是 [1,0,3,2]. 此时循环是0→1→0（长度2），2→3→2（长度2）。LCM是2. 现在，编写计算LCM的函数。C++中可以用std::gcd函数（需要C++17或更高），或者自己实现。 对于两个数的LCM，可以用 a*b / gcd(a,b)。但是对于多个数，可以逐个计算。例如，初始lcm是1，然后对于每个循环长度len，计算lcm = lcm * len / gcd(lcm, len)。 例如，循环长度是3，则初始lcm=3。如果有另一个长度2，则gcd(3,2)=1 →lcm=6. 所以，代码中的LCM计算部分可以这样处理： long long result =1; for每个循环长度 len: result = lcm(result, len) = result * len / gcd(result, len); 所以，在代码中，需要用long long类型来避免溢出，尤其是当n很大时，比如n是1e5，每个循环的长度可能很大，它们的LCM可能超过int的范围。 所以，在C++中，可以用： #include <iostream> using namespace std; long long gcd(long long a, long long b) { return b ==0 ? a : gcd(b, a%b); } 然后，计算LCM的函数： long long lcm(long long a, long long b) { return a / gcd(a,b) * b; // 先除后乘，避免溢出 } 注意，这里顺序很重要，先除再乘可以减少中间结果的数值。例如，假设a和b都是很大的数，那么a*b可能会溢出，而先除则可以避免这种情况。所以，在实现的时候，应该先进行除法运算。 现在，将这些整合到代码中。 例如： 读取n： int n; cin >>n; vector<int> p(n); for(int i=0; i<n; i++){ int x; cin >>x; p[i] =x-1; } 然后，初始化visited数组： vector<bool> visited(n, false); long long ans=1; for(int i=0; i<n; i++){ if(!visited[i]){ int current =i; int len=0; do{ visited[current] =true; len++; current = p[current]; } while(current !=i); ans = ans * len / gcd(ans, len); } } cout << ans << endl; 这样，这个代码应该可以正确计算所需的最小轮数。 测试样例： 例如，输入： 3 2 3 1 →处理后p是[1,2,0]. 循环长度3 →输出3. 另一个测试案例： 4 2 1 4 3 →处理后p是[1,0,3,2]. 循环长度分别是2和2 →LCM(2,2)=2 →输出2. 另一个测试案例： 6 2 1 4 3 6 5 →处理后是 [1,0,3,2,5,4]. 三个循环：0→1→0（len=2），2→3→2（len=2），4→5→4（len=2） →LCM是2. 所以，代码应该返回2. 再比如，n=5，排列是3 4 5 1 2 →处理后是 [2,3,4,0,1]. 分解循环： 0→2→4→1→3→0 →长度5。所以输出5. 另一个例子，n=4，排列是4 3 2 1 →处理后p是 [3,2,1,0]. 循环分解： 0→3→0（len=2），1→2→1（len=2） →LCM(2,2)=2 →输出2. 综上，代码应该正确。 那么，最终的代码应该是这样的： 需要注意的是，输入输出需要从文件card.in读取，输出到card.out。所以，在C++中，需要将输入输出重定向到文件。 所以，完整的代码应该是： #include <iostream> #include <vector> #include <fstream> using namespace std; long long gcd(long long a, long long b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } int main() { ifstream fin("card.in"); ofstream fout("card.out"); int n; fin >> n; vector<int> p(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { int x; fin >> x; p[i] = x - 1; } vector<bool> visited(n, false); long long ans = 1; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { int current = i; int len = 0; do { visited[current] = true; len++; current = p[current]; } while (current != i); ans = ans / gcd(ans, len) * len; // 先除后乘，防止溢出 } } fout << ans << endl; fin.close(); fout.close(); return 0; } 注意，在计算ans时，顺序应该是先除以gcd，再乘以len，这样可以避免中间结果过大导致溢出。比如ans * len可能超出long long的范围，所以先进行除法，再乘法。 例如，ans是之前的LCM值，len是当前循环长度。计算新的ans时，ans和len的LCM等于 (ans * len) / gcd(ans, len)。但为了避免ans * len的溢出，可以先除以gcd(ans, len)，再乘以len。这需要确保ans能被gcd(ans, len)整除，这当然成立，因为gcd(ans, len)是ans的因数。 所以，代码中的计算顺序是正确的。 综上，这个代码应该可以正确解决问题。</think>```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <fstream> using namespace std; long long gcd(long long a, long long b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } int main() { ifstream fin("card.in"); ofstream fout("card.out"); int n; fin >> n; vector<int> p(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { int x; fin >> x; p[i] = x - 1; // 将输入的1-based转换为0-based索引 } vector<bool> visited(n, false); long long ans = 1; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { int current = i; int len = 0; do { // 计算循环长度 visited[current] = true; len++; current = p[current]; } while (current != i); ans = ans / gcd(ans, len) * len; // 更新最小公倍数 } } fout << ans << endl; fin.close(); fout.close(); return 0; } ``` ### 解决思路 1. **循环分解**：将排列分解为若干个不相交的循环。例如排列`[2,3,1]`可分解为`1→2→3→1`的单一循环。 2. **计算循环长度**：每个循环中元素需要其长度次数的轮转才能回到初始位置。 3. **最小公倍数（LCM）**：所有循环长度的LCM即为所有卡牌回归初始状态所需的最少轮数。 ### 步骤解析 1. **输入处理**：将输入的1-based索引转换为0-based以便数组操作。 2. **标记访问状态**：通过`visited`数组跟踪已处理的元素。 3. **循环检测**：对每个未访问的起始点进行深度遍历，计算循环长度。 4. **LCM计算**：通过逐个计算循环长度的LCM，最终得到所有循环长度的LCM作为答案。 该算法时间复杂度为$O(n)$，能高效处理大规模数据。