浮点数存储方式

### IEEE 754 浮点数存储详解 IEEE 754 是一种广泛使用的浮点数表示标准，用于定义计算机中浮点数值的存储方式。该标准通过三个主要部分来描述一个浮点数：符号位、指数码以及尾数码。 #### 符号位 (Sign Bit) 符号位是一个单比特值，用来表示浮点数的正负性。如果符号位为 `0`，则代表这是一个正值；如果是 `1`，则代表这是一个负值[^1]。 #### 指数码 (Exponent Field) 指数码是用来表示浮点数规模的部分，在 IEEE 754 中采用移码形式进行编码。对于单精度浮点数（32 位），指数域占用 8 位，而双精度浮点数（64 位）则使用 11 位作为指数域。为了简化比较操作并避免处理负指数的情况，实际存储的是经过偏置后的真值。具体来说，偏置值被设定为 \(2^{k-1} - 1\) ，其中 k 表示指数域所占的位数。例如，在单精度情况下，\(k = 8\)，所以偏置值等于 \(2^{8-1}-1=127\)[^1]。这意味着当原始指数 e 的范围是从 \(-126\) 到 \(127\) 时，其对应的指数码 E 应满足关系式 \(E=e+127\) 。特殊情形如全零或全一的指数码另有特定含义，比如分别对应于次正规数或者无穷大/NaN 等情况[^2]。 #### 尾数码 (Mantissa/Fraction Field) 尾数码也称为有效数字部分，它决定了浮点数的具体数值大小。在规范化表达中，默认存在隐含的一位整数前缀 '1.' 被省略掉不再显式存储，仅记录小数点之后的小数部分。这样可以提高数据密度并且保持较高的精确度。例如，假设某个规格化浮点数的有效数字为 \(1.x_1x_2...x_n\) （这里 n 取决于尾数长度），那么实际上只保存了 \(x_1x_2...x_n\) 这些后续位元组[^1]。 以下是基于 Python 实现的一个简单例子展示如何解析给定十进制数到 IEEE 754 单精度格式的过程： ```python import struct def float_to_ieee754(value): packed = struct.pack('!f', value) # Pack the floating-point number into bytes. unpacked = ''.join(f'{byte:0>8b}' for byte in packed[::-1]) # Convert each byte to binary string and reverse order. sign_bit = int(unpacked[0]) exponent_bits = int(unpacked[1:9], base=2) - 127 fraction_bits = sum(int(bit)*pow(2, -(idx)) for idx, bit in enumerate(unpacked[9:], start=1)) result = (-1)**sign_bit * (1 + fraction_bits) * pow(2, exponent_bits) return f"{'-' if sign_bit else ''}{result:.{len(str(abs(result)))}e}" print(float_to_ieee754(-20.5)) ``` 此脚本会输出 `-2.050000e+01`, 它展示了按照 IEEE 754 标准转换得到的结果。