class Solution { public: bool repeatedSubstringPattern(string s) { int n = s.size(); for (int i = 1; i * 2 <= n; ++i) { if (n % i == 0) { bool match = true; for (int j = i; j < n; ++j) { if (s[j] != s[j - i]) { match = false; break; } } if (match) { return true; } } } return false; } }; 解释这段代码

<think>首先，用户要求解释 "repeatedSubstringPattern" 函数的实现原理和逻辑。参考了提供的引用，特别是引用[1]、[2]、[3]和[4]。 关键点： - 函数的目标是判断一个字符串是否由重复的子字符串构成。 - 引用的方法包括： - 引用[1]：使用字符串拼接和子串搜索。 - 引用[2]：使用KMP算法。 - 引用[3]：解释拼接方法的思想。 - 引用[4]：示例输入和输出。 用户指定了要解释代码功能及其算法逻辑，所以我应该覆盖这些方法。 系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用 $...$ 格式。 - 独立公式必须使用 $$...$$ 格式并单独成段。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 引用的段落末尾添加引用标识。 - 回答结构清晰，逐步解决问题。 结构回答： 1. **介绍函数目的**：解释 repeatedSubstringPattern 函数的作用。 2. **解释实现原理**：基于引用，描述算法逻辑。 - 方法1：字符串拼接和搜索（引用[1]和[3]）。 - 方法2：KMP算法（引用[2]）。 3. **逐步解释逻辑**：对于每种方法，详细说明步骤。 4. **时间复杂度分析**：引用中提到了时间复杂度。 5. **生成相关问题**：在末尾添加相关问题。 使用中文： - 整个回答用中文写。 数学表达式： - 如果有数学内容，使用 $...$ 或 $$...$$。 - 例如，字符串长度可以用 $n$ 表示。 引用标识： - 当引用具体段落时，添加 [^1], [^2], 等。 相关问题： - 在末尾添加3-5个相关问题。 现在，梳理算法逻辑： - **方法1（字符串拼接）**： - 思想：如果字符串 s 由重复子串组成，那么拼接两个 s 得到 ss，然后移除首尾字符（避免匹配到原始 s），在 ss 中搜索 s。如果找到，则返回 true。 - 例如，s = "abcabc"，拼接为 "abcabcabcabc"，移除首尾字符得到 "bcabcabcab"，然后搜索 "abcabc"。如果 s 是重复的，它应该出现在这个新字符串中。 - 时间复杂度：O(n)，因为字符串搜索通常是线性时间（假设使用高效算法如KMP或Boyer-Moore，但实际中可能依赖语言实现）。 - 空间复杂度：O(n)，因为创建了新字符串。 - **方法2（KMP算法）**： - 思想：使用KMP算法计算字符串的 next 数组（部分匹配表）。然后，如果字符串由重复子串组成，那么 len % (len - next[len-1]) == 0 且 next[len-1] != 0。 - 具体：计算 next 数组，其中 next[i] 表示子串 s[0..i] 的最长公共前后缀长度。 - 如果 next[len-1] > 0 且 len 能被 (len - next[len-1]) 整除，则 s 由重复子串组成。 - 例如，s = "abcabcabc"，len=9，next[len-1]=6（假设），则 len - next[len-1] = 3，9 % 3 == 0，所以 true。 - 时间复杂度：O(n)，因为KMP计算 next 数组是线性的。 - 空间复杂度：O(n)，用于存储 next 数组。 在回答中，我需要解释这些原理。 最终回答结构： 1. **函数目的**：简要介绍。 2. **实现原理**： - 方法1：字符串拼接和搜索。 - 方法2：KMP算法。 3. **详细步骤**：对于每种方法，逐步解释。 4. **总结**：比较方法。 5. **相关问题**：生成相关问题。</think>### repeatedSubstringPattern 函数实现原理和逻辑 repeatedSubstringPattern 函数的目标是判断一个输入字符串是否由重复的子字符串构成。例如，字符串 "abcabc" 可以由子字符串 "abc" 重复两次组成，因此应返回 true；而 "abcab" 则不能，应返回 false[^4]。下面我将基于提供的引用，逐步解释两种常见实现方法的原理和逻辑。这两种方法都基于字符串的特性，但使用不同的算法策略：一种是字符串拼接和搜索（高效且直观），另一种是KMP算法（更底层但性能可靠）。 #### 1. 函数目的和核心思想 - **目的**：检测字符串 $s$ 是否能被表示为 $s = k \times \text{sub}$，其中 $\text{sub}$ 是一个非空子字符串，$k$ 是重复次数（$k \geq 2$）。 - **核心思想**：如果 $s$ 由重复子串组成，那么其结构具有周期性，这可以通过字符串的自我匹配或前缀分析来验证[^3]。 #### 2. 方法1：字符串拼接和搜索（基于引用[1]和[3]） 这种方法高效且易于实现，时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$（$n$ 是字符串长度）。其原理基于以下数学观察： - 如果 $s$ 由重复子串组成，那么拼接两个 $s$ 得到 $ss = s + s$，并在移除 $ss$ 的首尾字符后，原字符串 $s$ 应该出现在新字符串中（且不是原始拼接位置）。 - **逻辑步骤**： 1. **拼接字符串**：创建新字符串 $t = s + s$。 2. **移除首尾字符**：删除 $t$ 的第一个和最后一个字符，得到 $t' = t[1:-1]$。这避免了在 $ss$ 中直接匹配到原始 $s$（例如，避免匹配到 $ss$ 的前半部分或后半部分）。 3. **搜索子串**：检查 $s$ 是否在 $t'$ 中出现。如果出现，则 $s$ 由重复子串组成；否则，不成立。 - **为什么有效**：假设 $s = \text{sub} \times k$（$k \geq 2$），则 $ss = \text{sub} \times 2k$。移除首尾后，$t'$ 包含一个偏移的 $\text{sub} \times (2k-1)$，其中 $s$ 会作为子串出现（但不是 $ss$ 的边界）。例如，$s = \text{"abcabc"}$，$t = \text{"abcabcabcabc"}$，移除首尾后 $t' = \text{"bcabcabcab"}$，$s$ 在 $t'$ 中出现，证明 $s$ 可重复[^3]。 - **代码示例（Python）**： ```python def repeatedSubstringPattern(s: str) -> bool: t = s + s # 拼接两个s t = t[1:-1] # 移除首尾字符 return s in t # 检查s是否在t中 ``` - **性能分析**： - 时间复杂度：$O(n)$，字符串拼接和搜索（如使用内置的 `in` 操作，通常基于高效算法如Boyer-Moore）在平均情况下为线性时间。 - 空间复杂度：$O(n)$，因为创建了 $t$，其长度约为 $2n$[^1]。 #### 3. 方法2：KMP算法（基于引用[2]） KMP（Knuth-Morris-Pratt）算法是一种更底层的字符串匹配方法，它通过计算部分匹配表（next 数组）来检测重复性。时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。原理基于字符串的前缀-后缀匹配： - 如果 $s$ 由重复子串组成，那么其最长公共前后缀长度（存储在 next 数组中）应满足特定条件。 - **逻辑步骤**： 1. **计算 next 数组**：使用KMP算法构建 next 数组，其中 $next[i]$ 表示子串 $s[0..i]$ 的最长公共前后缀长度（即前缀和后缀相等的最大长度）。 2. **检查重复条件**：设字符串长度为 $len$。如果 $next[len-1] > 0$（表示存在非平凡公共前后缀）且 $len$ 能被 $(len - next[len-1])$ 整除，则 $s$ 由重复子串组成。 - **为什么有效**：$len - next[len-1]$ 表示最小重复单元的周期长度。如果 $s$ 可重复，则该周期长度 $d$ 必须整除 $len$，即 $len \mod d = 0$。例如，$s = \text{"abcabcabc"}$，$len=9$，$next[8]=6$（因为前缀 "abcabc" 和后缀 "abcabc" 匹配），则 $d = len - next[len-1] = 3$，$9 \mod 3 = 0$，成立[^2]。 - **代码示例（C++ 简化版）**： ```cpp bool repeatedSubstringPattern(string s) { int len = s.size(); if (len == 0) return false; int next[len]; // 存储next数组 // 计算next数组 next[0] = 0; int j = 0; for (int i = 1; i < len; i++) { while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = next[j-1]; // 回溯 if (s[i] == s[j]) j++; next[i] = j; } // 检查重复条件 if (next[len-1] != 0 && len % (len - next[len-1]) == 0) { return true; } return false; } ``` - **性能分析**： - 时间复杂度：$O(n)$，计算 next 数组只需一次线性扫描。 - 空间复杂度：$O(n)$，用于存储 next 数组[^2]。 #### 4. 方法比较和总结 - **效率**：两种方法都是 $O(n)$ 时间复杂度，但字符串拼接方法更简单，适合大多数场景；KMP方法更稳健，适用于需要避免额外空间或深入理解字符串结构的场景。 - **可靠性**：两种方法都基于数学证明，但拼接方法需注意语言实现的细节（如字符串搜索的效率），而KMP方法直接处理字符串的周期性质。 - **实际应用**：在LeetCode等平台中，拼接方法更常用（代码简洁），但KMP方法在字符串处理库中更常见[^1][^2]。 如果您有具体代码或场景需要分析，我可以进一步解释！